Die Ideen auf den folgenden Seiten sind für die Anwendung in der Lehrerausund -fortbildung gedacht.

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1 Die Ideen auf den folgenden Seiten sind für die Anwendung in der Lehrerausund -fortbildung gedacht. Ziel dieser Aufgaben ist es, die Lehrer(innen) bzw. Student(inn)en dazu zu ermuntern, mehr über allgemeine mathematische Ideen, anstatt über spezielle technische Fragen nachzudenken. Die Auseinandersetzung mit diesen Aufgaben erfolgt meist in kleinen Gruppen. Es geht darum zu reflektieren, inwiefern sie Anlass bieten mathematisch zu denken und wie diese Art von Aufgaben im Zusammenhang mit Schüler(inne)n eingesetzt werden kann.

2 Erfinden Sie ein einfaches Beispiel und jetzt erfinden Sie ein schwieriges. Erfinden Sie ein einfaches Beispiel für eine linearen Gleichung, die Sie lösen können und jetzt erfinden Sie ein schwieriges. Schüler(innen), die mit dieser Art von Fragen nicht vertraut sind, könnten 17x - 8 ½ = 57,31 als schwieriges Beispiel angeben, da sie sich eher auf die verwendeten Zahlen als auf den Rechenvorgang konzentrieren. Nachdem sie ein anderes schwieriges Beispiel, wie etwa 1 3 ( a+ 1) a= 11 ( 7 a ), gesehen haben, beginnen sie sich auch der 3 zugrundeliegenden mathematischen Prozesse statt lediglich der numerischen Schwierigkeiten bewusst zu werden. Einige weitere Kontexte für diese Aufgabenstellung werden im Folgenden beschrieben. Vervollständigen Sie die Tabelle mit eigenen Beispielen. Eine Formel nach einer Variablen auflösen. Lösen Sie nach x auf. Lösen quadratischer Gleichungen Finden des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion durch quadratische Ergänzung Die passende unendliche geometrische Reihe finden Den Flächeninhalt eines Dreiecks ermitteln Leicht y= 3x+ a Schwer 1 y = 1 a x x 144 = 0 ( x ) y= x 6x+ 11 Der zweite Term ist 6 und der fünfte Term ist 9 = x y= 5 x 3x Die Seitenlängen sind 4cm, 13cm und 15cm Bestimmte Terme einer Binomialentwicklung ermitteln

3 Metakognition durch Fragen anregen Die folgenden Aufgabetypen basieren auf Anregungen aus dem Buch: Questions and Prompts for Mathematical Thinking von Anne Watson und John Mason, veröffentlicht von der im Vereinigten Königreich ansässigen Association of Teachers of Mathematics (ATM). ISBN X. Denken Sie sich für jeden Aufgabentyp weitere Fragen zu Themen Ihrer Wahl aus. Welche Antworten würden Sie sich von Ihren Schüler(inne)n erhoffen? Denken Sie sich drei Fragen aus, die zeigen, dass Sie verstehen. Denken Sie sich drei Fragen aus, die zeigen, dass Sie die Standardoperationen mit Wurzelausdrücken verstehen (Zahlen, die durch Verknüpfung mit Grundrechenarten mit Hilfe von rationalen Zahlen und Wurzeln ausgedrückt werden können). Denken Sie sich drei Fragen aus, die zeigen, dass Sie verschiedene Arten des Lösens quadratischer Gleichungen verstehen. Denken Sie sich drei zu lösende trigonometrische Gleichungen aus, die zeigen, dass Sie die Symmetrie der drei trigonometrischen Kurven verstehen. Nennen Sie eine Eigenschaft, welche haben muss. Nennen Sie eine Eigenschaft, welche die Koeffizienten a und b haben müssen, damit die Gerade zu y = ax eine Tangente an die Kurve zu y= x + bx+ 4 ist. Nennen Sie eine Eigenschaft, welche die Gleichung eines Kreises haben muss. Nennen Sie eine Eigenschaft, welche die Koeffizienten a und b haben müssen, sodass sich die Parabeln zu x + ax + 3 und bx + x + 4 zwar berühren, aber nicht schneiden.

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5 Nennen Sei zwei/ drei Wege zum Lösen von. Nennen Sie drei Wege, wie man den Koeffizienten von x herausfinden kann, der beim Ausmultiplizieren von (+x) 5 entsteht. Nennen Sie zwei Wege, wie man den Scheitelpunkt des Graphen von y = x 5x + 3 herausfinden kann. Nennen Sie drei Wege zum Lösen von x x 3 5 =. Beschreiben Sie, welche Merkmale von es zu einem Beispiel für machen. Beschreiben Sie, welche Merkmale von a b sin(α) diesen Ausdruck eher zu einer Formel für einen Flächeninhalt als zu einer Formel für eine Länge oder für ein Volumen machen. Beschreiben Sie, welche Merkmale die Kurve von y = x + 6x+1 zu einem Beispiel für eine Parabel machen, die die x-achse nicht schneidet. Beschreiben Sie, welche Merkmale der Funktionsgleichung y = x 3 4x den zugehörigen Funktionsgraphen zu einem Beispiel für eine zum Ursprung drehsymmetrische Kurve machen. Wie würden Sie erklären, warum? Wie würden Sie erklären, warum es zwei Dreiecke PQR mit P= 30 o, PQ= 1, QR= 8gibt? Wie würden Sie erklären, warum das Produkt der Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden -1 ist? Wie würden Sie erklären, warum beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgedreht werden muss?

6 Was ist gleich und was ist unterschiedlich bei? Was ist gleich und was ist unterschiedlich bei ( x ) und( x) Was ist gleich und was ist unterschiedlich bei periodischen Dezimalbrüchen und unendlichen geometrischen Reihen?? Was ist gleich und was ist unterschiedlich bei der Primfaktorzerlegung von Zahlen und beim Faktorisieren quadratischer Polynome? Erklären Sie die Zusammenhänge zwischen und. Erklären Sie die Zusammenhänge zwischen dem Pascal schen Dreieck und den Koeffizienten der Potenzen von x beim Ausmultiplizieren von (1+x) n. Erklären Sie die Zusammenhänge zwischen dem Differenzieren und quadratischer Ergänzung. Erklären Sie die Zusammenhänge zwischen den beiden Regeln p q p+ q log ab = log a + log b und = 10. ( ) Ist es jemals falsch, dass? Ist es jemals falsch, dass natürliche Zahl ist)? n + n+ 41 eine Primzahl ist (wenn n eine Ist es jemals falsch, dass n irrational ist, wenn n eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl ist? Ist es jemals falsch, dass das Produkt der Nullstellen einer Parabel gleich ihrem y-achsenabschnitt ist?

7 Ändern Sie etwas an, so dass. Ändern Sie etwas an der Gleichung 3y +x = 4, so dass die dazugehörige Gerade senkrecht auf der Geraden mit der Gleichung y = x 1 steht. Ändern Sie etwas an der Gleichung y = x + 6x + 8, so dass der dazugehörige Graph die x-achse berührt. Ändern Sie etwas an (x-4) + (y-) = 9, so dass der dazugehörige Kreis durch alle vier Quadranten geht. Wie können wir uns sicher sein, dass? Wie können wir uns sicher sein, dass die Mittelsenkrechte einer Kreissehne durch den Kreismittelpunkt geht? Wie können wir uns sicher sein, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl immer eine gerade Zahl an der Zehnerstelle hat? Wie können wir sicher sein, dass Integrieren wirklich den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen liefert? Warum haben alle das gleiche Ergebnis? 1 1 Warum haben, und alle den gleichen Wert? π Warum haben y = sin( x), y = cos( x) gleichen Graph? und y = sin( x) alle den Warum haben 6 3, 3 1, 7 alle den gleichen Wert?

8 Geben Sie ein Beispiel für. Geben Sie dann noch ein weiteres an. Geben Sie ein Beispiel für eine Kurve an, für die y dx = y dx ist. Geben Sie ein Beispiel für eine unendliche geometrische Reihe mit der Summe 4 an. Geben Sie ein Beispiel für eine Aufgabe an, für deren Lösung der Sinussatz hilfreicher als der Kosinussatz ist. 0 0 Ist eine nützliche Methode für? Ist der Sinussatz eine nützliche Methode für das Lösen von Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken? Ist das Quadrieren beider Seiten eine nützliche Methode für das Lösen von x+ 1+ x =7? 3 Ist Logarithmieren eine nützliche Methode, um die Gleichung 3 x = x zu lösen? Ist es immer, manchmal oder nie wahr, dass? Ist es immer, manchmal oder nie wahr, dass der Graph einer kubischen Funktion entweder einen Wendepunkt oder ein Maximum und ein Minimum besitzt? Ist es immer, manchmal oder nie wahr, dass das Quadrat einer Primzahl größer als 3, entweder um eins größer oder um eins kleiner ist als ein Vielfaches von 4? Ist es immer, manchmal oder nie wahr, dass log ( b) log ( a) = 1? a b

9 Die Verwendung von Fragen zur Förderung schülerzentrierten Unterrichtens Die Aufgabentypen auf den folgenden vier Seiten können für die Verwendung in vielen verschiedenen mathematischen Themenbereichen angepasst werden. Sie sind so gestaltet, dass sie Schüler(innen) zu Diskussionen anregen, wodurch die Lehrkraft Gelegenheit hat ihr Verständnis zu analysieren und zu entscheiden, wann weitere Hilfe angebracht ist. Im Folgenden sind einige Aufgabenvorschläge dargestellt. Venn-Diagramm Welchem Bereich würden Sie y= sin xzuordnen? Welche Familien von Funktionen erfüllen das Kriterium A? Ist es möglich für jeden der acht Bereiche ein Beispiel zu finden? Welche Ihrer gewählten Funktionen sind ungerade? Können Sie drei andere Kategorien (für ein mathematisches Thema Ihrer Wahl) finden, die es erlauben genau sieben Bereiche zu füllen? Arithmogons Warum hat dieses Arithmogon keine eindeutige Lösung? Welche Information(en) könnten Sie hinzufügen, um die Lösung eindeutig zu machen? Welche Kombinationen von Anfangsinformationen sind mindestens nötig, um eine eindeutige Lösung zu erhalten? Denken Sie sich selbst Aufgaben aus, indem Sie die leeren Arithmogons verwenden, aber stellen Sie sicher, dass in jedem vervollständigten Arithmogon der Punkt ( 3, ) vorkommt. Welche anderen mathematischen Themengebiete wären geeignet für Arithmogons? Karten (Die gesamten benötigten Informationen finden Sie auf Karte A. Nachdem die Fragen beantwortet sind, legen sie die Karten so aus, dass deutlich wird, welche benutzt wurden, um nachfolgende Fragen zu beantworten.) Welche Karten können Sie sofort beantworten? Welche machen Informationen von anderen Karten erforderlich? Welche Fragen würden Sie auf den Karten M und N stellen? Gibt es irgendwelche Methoden in der linearen analytischen Geometrie, die nicht geprüft wurden? Fragen im Prüfungsstil Die erste Aufgabe regt Student(inn)en/Schüler(innen) dazu an, über die gegebenen Informationen nachzudenken und darüber, was sie selbst hätten herausfinden können, wenn die gleiche Aufgabe anders gestellt worden wäre. Hätten sie die Aufgabe beispielsweise ohne Bild lösen können? Was, wenn die Gleichung des Kreises nicht in dieser Form angegeben gewesen wäre?

10 Die zweite Aufgabe ist es über Ansätze zu sprechen (z.b. gleiche Tangenten). Bei der dritten Aufgabe gilt es kreativ zu sein. Was könnten sie noch herausfinden? Wie können sie auf dem bisher Entdeckten aufbauen, um eine vollständigere mathematische Geschichte zu gestalten?

11 Kategorisieren trigonometrischer Graphen A: Die Periode beträgt 180 B: Die Amplitude beträgt 1 C: Der Graph geht durch den Ursprung

12 x + y = 7 y = x + 1 ( 3, ) P Die Gleichung der Geraden, die durch P und Q läuft Q

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14 A. P:(0,1) und Q:(4,4) sind benachbarte Ecken des Quadrates PQRS (wobei die Ecken gegen den Uhrzeigersinn benannt wurden) B. Die Koordinaten von R und S C. Die Steigung von PR D. Die Gleichung von PR E. Der Flächeninhalt des Quadrats F. Die Länge von PQ G. Der Mittelpunkt von PR H. Der Flächeninhalt des Umkreises des Quadrats I. Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Quadrats mit der y-achse J. Die Länge von QS K. Die Gleichung der Mittelsenkrechten auf die Seite QR L. Die Koordinaten des Schnittpunkts von der Gerade durch Q und S mit der x- Achse

15 Fragen im Prüfungsstil Der abgebildete Kreis hat die Gleichung ( 3) ( 5) x + y = 5 den Mittelpunkt A. Der Punkt B( 7,8 ) liegt auf dem Kreis. und (i) (ii) Finden Sie die Steigung des Radius AB und bestimmen Sie damit die Gleichung der Tangenten an den Kreis in B. Wie lang ist das Stück der Tangente von B zu dem Punkt, an dem sie die x-achse schneidet? Lösen Sie zunächst diese Aufgabe und bearbeiten Sie anschließend die folgenden drei Aufgaben: 1. Nennen Sie drei Möglichkeiten, wie diese Aufgabe schwieriger gemacht hätte werden können.. Nennen Sie mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten, um Teil (ii) zu lösen. 3. Entscheiden Sie, was Teil (iii) dieser Aufgabe sein könnte.