Musterlosung 1. z w () 9a 2 R : w = z + a (1 + i) Eine Relation ist Aquivalenzrelation, gdw. gilt:

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1 ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSIT AT FREIBURG INSTITUT F UR INFORMATIK Lehrstuhl fur Mustererkennung und Bildverarbeitung Prof. Dr.-Ing. Hans Burkhardt Georges-Kohler-Allee Geb. 052, Zi D Freiburg Tel Ubungen zur Vorlesung Grundlagen der Bilderzeugung und Bildanalyse (Mustererkennung) WS 04/05 Musterlosung 1 Aufgabe 1.1: Aquivalenzrelation, Invarianz 1. Zeigen Sie ist eine Aqivalenzrelation. z w () 9a 2 R : w = z + a (1 + i) Eine Relation ist Aquivalenzrelation, gdw. gilt: z z reexiv z w () w z symmetrisch z w ^ w v ) z v transitiv reexiv z.z. 9a 2 R : z = z + a (1 + i) Wahle a = 0 z = z + 0 (1 + i) symmetrisch z.z. 9a 0 2 R : z = w + a 0 (1 + i) Wahle a 0 = a z w () def w = z + a (1 + i) () z = w + ( a) (1 + i) () z = w + a 0 (1 + i) () w z transitiv z.z. 9a 0 2 R : v = z + a 0 (1 + i) Wahle a 0 = a 1 + a 2 z w ^ w v () w = z + a 1 (1 + i) ^ v = w + a 2 (1 + i) ) v = z + (a 1 + a 2 ) (1 + i) () v = z + a 0 (1 + i) () z v q.e.d.

2 2. Finden sie zu Aquivalenzrelationen (1), (2) und (3) jeweils eine Invariante (1) Eine Projektion der komplexen Zahl auf die Richtung (1 i) erfullt die Invariantenbedingung. (2) I 2 (z) = jzj (3) I 3 (z) = jzj 2 + (Re (z)) 2 I 1 (z) = z (1 + i) + z (1 i) = z + z + i (z z) = 2 (Re (z) Im (z)) Bei (2) und (3) kann die Invariante direkt aus der Denition der Aquivalenzrelation abgelesen werden, da die Relationen in diesem Fall nur auf Gleichheit basieren. 3. Beschreiben Sie die geometrische Gestalt der Aquivalenzklassen (1) Jede Aquivalenzklasse bildet in der komplexen Ebene eine Gerade mit Steigung 1. (Abb. 1) Im Re Abbildung 1: Beispiel einer Aquivalenzklasse der Relation (1) Eine Abbildung die diese Gestalt erzeugt ist: z a (t) = (1 + i) t + (1 i) a (2) Jede Aquivalenzklasse bildet einen Kreis um den Ursprung der komplexen Ebene (Abb. 2) Im Re Abbildung 2: Beispiel einer Aquivalenzklasse der Relation (2) Eine Abbildung, die diese Gestalt erzeugt ist: z a (t) = a e it

3 (3) Jede Aquivalenzklasse bildet eine Ellipse um den Ursprung der komplexen Ebene (Abb. 3) Im 2 a a Re Abbildung 3: Beispiel einer Aquivalenzklasse der Relation (3) Eine Abbildung, die diese Gestalt erzeugt ist: Herleitung: z a (t) = a cos t + i p 2 sin t jzj 2 + (Re (z)) 2 = z z z 2 1 = 2z z 2 2 = const mit z = z 1 + iz 2 Dies ist eine allgemeine quadratische Form und bildet damit eine Ellipse in der komplexen Ebene. Eine allgemeine Ellipse in der komplexen Ebene wird durch die Formel z = a cos t + ib sin t beschrieben. Eingesetzt in unsere quadratische Form erhalt man: 2a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t = const ) p 2a = b Aufgabe 1.2: Starre Bewegung in der Ebene 1. Geben Sie eine Invariante I : C 2! R + auf Punktepaaren an, die die Klassen separieren. z 0 1 = e i z 1 + t und z 0 2 = e i z 2 + t z 0 2 z 0 1 = e i (z 2 z 1 ) ) jz 0 2 z 0 1j 2 = (z 0 2 z 0 1) (z 0 2 z 0 1) = e i (z 2 z 1 ) (e i (z 2 z 1 )) = e i (z 2 z 1 ) e i (z 2 z 1 ) = e i e i (z 2 z 1 ) (z 2 z 1 ) {z } =1 = jz 2 z 1 j 2 Das Quadrat kann man weglassen, da es auf die Invarianzeigenschaften keinen Ein- uss hat und man erhalt als Invariante: I (z 1 ; z 2 ) = jz 2 z 1 j

4 Dies kann man sich auch anschaulich klar machen, wenn man sich vorstellt, dass beide Punkte um Winkel gedreht und um t verschoben werden. Gegenuber euklidischer Bewegung (Drehung und Verschiebung) invariant ist der euklidische Abstand der beiden Punkte und nichts anderes ist unsere Invariante. 2. Verallgemeinern Sie obige Aufgabe auf Punktetripel Wie in Aufgabenteil 1 sind auch hier die paarweisen Abstande invariant gegenuber Drehung und Verschiebung. Die drei Abstande bilden ein Dreieick. Ein Dreieck ist durch Angabe seiner Seitenlangen fast vollstandig bestimmt. Lediglich der Umlaufsinn (oder die Orientierung) ist durch drei Abstande noch nicht festgelegt. Der Umlaufsinn ist durch das Vorzeichen des Ausdrucks A (z 1 ; z 2 ; z 3 ) = Re(z 1 z 2 )Im(z 3 z 2 ) Re(z 3 z 2 )Im(z 1 z 2 ) gegeben, wobei A die orientierte Flache des durch z 3 z 2 und z 1 z 2 augespannten Parallelogramms beschreibt. Man erhalt also zum Beispiel mit I (z 1 ; z 2 ; z 3 ) = ein vollstandiges Merkmal. 0 sg(a (z 1 ; z 2 ; z 3 )) jz 1 jz 2 z 3 j jz 3 z 1 j z 2 j 1 C A Aufgabe 1.3: Programmieraufgabe: Euklidische Bewegung 1. Es sollten zwei Funktionen in Scilab implemeniert werden. Etwa: function res = translate (pts,x,y) // function for moving points // pts - the points ( given in a matrix: // first row: x-coordinates // second row: y-coordinates // x - shift along the x-axis // y - shift along the y-axis // res - the translated points res = pts; res(1,:) = pts(1,:) + x; res(2,:) = pts(2,:) + y; endfunction;

5 function res = rot (pts,phi) // function for rotating points around the center // pts - the points ( given in a matrix: // first row: x-coordinates // second row: y-coordinates // phi - angle // res - the rotated points A = [ cos(phi), -sin(phi);.. sin(phi), cos(phi)] res = A*pts; endfunction; 2. Nun sollten die Transformationen berechnet werden. A = [ ; ]; //transformation a=translate(a,1,1); a=rot(a,%pi/2) a =! !! ! b=rot(a,%pi/2); b=translate(b,1,1) b =! !! !

6 3. Ausgabe der Polygone in einer Grak: //Format Grafikfenster plot2d(0,0,strf="015",rect=[-10,-10,10,10]); //Zeichne Original xpoly(a(1,:),a(2,:),"lines",1); //translation-rotation xpoly(a(1,:),a(2,:),"lines",1) //rotation-translation xpoly(b(1,:),b(2,:),"lines",1) Beobachtung: Die Gruppe der eukl. Bewegungen ist i. a. nicht kommuntativ. x 0 = R(x + t) = Rx + Rt x 00 = Rx + t