Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Institut für Informatik Lehrstuhl für Mustererkennung und Bildverarbeitung Prof. Dr.-Ing.

Transkript

1 Musterlösung Blatt 6 Aufgabe 6.. Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Institut für Informatik Lehrstuhl für Mustererkennung und Bildverarbeitung Prof. Dr.-Ing. Hans Burkhardt 6.. Die Fourierkoeffizienten c n, n sind invariant gegenüber Translation Aufpunktverschiebung: c n T x(t)e j2πnt/t dt (vgl. Folie 9) c n T Multiplikation mit e j2πnt/t e j2πnt/t führt zu Ersetze u : t t () T e j2πnt/t T (3) e j2πnt/t T 7. Dezember 28 Seite von 5 X(t t )e j2πnt/t dt () X(t t )e j2πn(tt)/t e j2πnt/t dt (2) X(t t )e j2πn(tt)/t dt (3) X(u)e j2πn/t dt e j2πnt/t c n (4) Der Betrag der Koeffizienten bleibt gleich: c n c n, Phase ändert sich in Abh. von n Rotation in C: c n T e jφ T e jφ X(t)e j2πnt/t dt X(t)e j2πnt/t dt e jφ c n Auch hier wird lediglich die Phase verschoben. Rotation um Drehwinkel φ R 6..4 Betrachtet man die Fourierreihe als Überlagerung von Kreisen, so sind die c n gleich der Radien. Betrachtet man die Fourierreihe als Überlagerung von Schwingungen, so entsprechen die c n der Amplitude Ein periodisches Muster ist bandbegrenzt, gdw es durch die endliche Fourierreihe mit N komplexen Fourierkoeffizienten eindeutig dargestellt werden kann. Nur für bandbegrenzte Muster bilden die komplexen Fourierdeskriptoren einen vollständigen und minimalen Satz von Invarianten(vgl. 4b, Folie 36) Geht ein Muster bei Rotation um den Schwerpunkt mit φ 2π/s in sich selbst über, so liegt Rotationssymmetrie vom Grad s vor. c n für n k s, k Z 6..7 Eine Parametrisierung einer Kontur ist eine Darstellung, in der alle Punkte auf der Kontur über genau einen Parameter abgelaufen werden. Die Bogenlänge ist nicht invariant gegenüber affinen Abbildungen, daher kann mit der Bogenlänge keine gleichmässige Parametrisierung vorgenommen werden, wenn man Affininvarianz erhalten will.

2 Musterlösung Blatt 6 2 of 5 Aufgabe Wir setzen in der Formel für s l (P) an der Stelle von x i T(x i ) und an der Stelle von x i T(x i ) ein und erhalten: s l (T(P)) 2 (Rejφ x i z Re jφ x i z) Re jφ x i z Re jφ x i z Re jφ x i z Re jφ x i z 2 (Rejφ (x i x i ) 2z) Re jφ (x i x i ) Re jφ (x i x i ) 2 [Rejφ (x i x i ) 2z] x i x i x i x i 2 Rejφ (x i x i ) x i x i n z x i x i x i x i Re jφ n 2 (x i x i ) x i x i z n x i x i x i x i Re jφ 2 (x i x i ) x i x i z x i x i Re jφ s l (P) z T(s l (P)) QED (x i x i ) ist der Schwerpunkt des Geradenstücks zwischen x i und x i. Dieser wird gewichtet mit der Länge ( Gewicht) x i x i dieses Geradenstücks und all diese gewichteten Schwerpunkte werden aufsummiert. Das Ergebnis wird schließlich durch die Gesamtlänge ( Gesamtgewicht) x i x i dieses Polygons dividiert. s l (P) stellt also nichts anderes dar, als den Linienschwerpunkt des Polygons. Wird nun jeder Eckpunkt des Polygons einer Ähnlichkeitstransformation T unterworfen, so erfährt auch der Linienschwerpunkt die gleiche Ähnlichkeitstransformation. Aufgabe 6.3. Berechnung des Flächenschwerpunktes: x s x i,x i (x i x i ) 3 i x i,x i i /2

3 Musterlösung Blatt 6 3 of 5 Berechnung der Parameter: t t /2 3/2 /2 3 4 t /2 2 3/2 /2 6 4 t /2 2 3/2 /2 9 4 T kann als Summe der Flächen von zwei Dreiecken über die Determinante berechnet werden, etwa: T / /2 3 Damit Berechnung der e k,i : e k,i e j2πkti/3 e k, e k, e jπk/2 e k,2 e jπk e k,3 e j3πk/2 Fourierkoeffizienten: Mit t i t i 3/4 i folgt: 3 X k (2πk) (x i x i )(e k,i e k,i ) i ( j) k ( ) k (πk) 2 [(2x x x 3 )e k, (2x x x 2 )e k, (2x 2 x x 3 )e k,2 (2x 3 x 2 x )e k,3 [ ] 4 2 (πk) 2 ( j) k 4 ( ) k 2 j k [ ] 4 (πk) 2 [ ( )k ] j k 2 Somit verschwinden Fourierkoeffizienten mit geradem Index X 2z,z Z. Sonst ergibt sich: 2 4 2j U4z X 4z π 2 (4z ) 2 und j V 4z 2 4 2j U4z X 4z π 2 (4z ) 2 j V 4z Insbesondere haben wir für p : X 2 4 2j π 2 j ( U V ) j k

4 Musterlösung Blatt 6 4 of 5 Daraus ergibt sich für die Deskriptoren Q k U kv V k U U V V U mit U V V U 4 π 4 2j Q 2z Q 4z π4 4 2j 4 π 4 (4z ) 2 [( 4 2j)( j) ( j)( 4 2j)] (4z ) 2 Q 4z π4 4 2j 4 π 4 [( 4 2j)( j) ( j)( 4 2j)]. (4z ) 2 Die Deskriptoren von P stimmen also mit denen von Q überein, und deshalb sind die beiden Vierecke äquivalent unter affinen Abbildungen. Aufgabe 6.4. // Polygonzug in r e e l e n Koordinaten P[ ; ]; // Polygonzug i n komplexen Koordinaten PC(P(,:) %i P ( 2, : ) ). ; // CoGline berechnet den Linienschwerpunkt des durch // den komplexen S p a l t e n v e k t o r X d e f i n i e r t e n Polygons function c o g l i n e CoGLine (X) dx abs (X [X( 2 : $ ) ; X( ) ] ) ; c o g l i n e ( (X [X( 2 : $ ) ; X( ) ] ). dx) / (2 sum(dx ) ) ; endfunction // CoGArea berechnet den Flaechenschwerpunkt des durch // die 2xN Matrix P gegebenen Polygons ( Jede S p a l t e e n t h a e l t // die Koordinaten eines Punktes ) function cogarea CoGArea(P) da P(, : ). [P( 2, 2 : $ ) P( 2, ) ] P( 2, : ). [P(, 2 : $ ) P (, ) ] ; cogarea ( (da (P [P ( :, 2 : $ ) P ( :, ) ] ) ) / (3 sum(da ) ) ) ; endfunction

5 y Musterlösung Blatt 6 5 of 5 Mit den folgenden Zeilen Code erhält man die gewünschten Schwerpunkte: --> CoGLine(PC); ans.463e i --> CoGArea(P); ans Polygon x Polygon s_linie s_fläche Abbildung : Polygonzug mit eingezeichnetem Linien- und Flächenschwerpunkt. Wie man sieht sind sich diese in diesem Beispiel sehr ähnlich