Lageinvariante Konturbilderkennung. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 1
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- Ursula Weiss
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1 Kapitel 4 Lageinvariante Konturbilderkennung H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 1
2 Konturerfassung und Konturbeschreibung Bei allgemeinen Grau- oder Farbbildvorlagen ist das Problem der Konturfindung nichttrivial (Siehe Praktikum DBV, Kantenfilter). I.a. ist semantisches Wissen erforderlich! H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 2
3 Konturerfassung und Konturbeschreibung Bei allgemeinen Grau- oder Farbbildvorlagen ist das Problem der Konturfindung nichttrivial (Siehe Praktikum DBV, Kantenfilter). I.a. ist semantisches Wissen erforderlich! H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 3
4 Kantenfilter bei Möwe H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 4
5 Kantenextraktion mit dem Canny-Operator H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 5
6 Kantenextraktion mit dem Laplacian of Gaussian H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 6
7 Konturerfassung durch einfache Schwellwertoperation Bei guten Kontratsverhältnissen ist das Problem wesentlich einfacher H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 7
8 Konturbeschreibung in der komplexen Ebene An dieser Stelle gehen wir davon aus, dass die Konturen von Objekten bereits extrahiert wurden (drastische Datenreduktion!) Geschlossene Konturen bilden in der komplexen Ebene periodische Funktionen d.h. x(t+kt)=x(t), k. Im(x(t)) x(t) t=s s Bogenlänge T Umfang Re(x(t)) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 8
9 Darstellung geschlossener Konturen durch endliche Fourierreihen mit N+1 komplexen Koeffizienten Periodische Funktionen können in Form von Fourierreihen dargestellt werden. Die Klasse N bezeichne die Menge bandbegrenzter periodischer Muster, welche eindeutig durch die endliche Fourierreihe mit N+1 komplexen Fourierkoeffizienten dargestellt werden können: n N /2 jn t x( t) c e mit: 2 / T n N /2 n Überlagerung von Kreisen in der komplexen Ebene mit den Fourierkoeffizienten (FK): T j 1 j 2 nt / T n cn cn e x() t e dt T 0 Skalarprodukt: Projektion auf Basisfunktionen Die Umlaufrichtung sei so definiert, dass das innere Gebiet bei zunehmender Bogenlänge sich links von der Konturlinie befindet. Bei komplexen periodischen Funktionen sind die FK beliebig, bei reellwertigen Funktionen gilt hingegen: H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 9 c n c n
10 Im( ) e j e j t Parametrische Beschreibung eines Kreises in kartesischen und in Polarkoordinaten cos t sin t Re( ) j t j x( t) ce ce = c(cos t j sin t) mit: c, 2 / T 0 t T Im( ) ce j c Bei x( t) ce jn t Re( ) wird der Kreis n-mal durchlaufen H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 10
11 Eigenschaften der Fourierreihen Der nullte FK c 0 gibt die Lage des Linienschwerpunktes an (Konturlinie mit konstanter Massenbelegung; Drahtmodell; siehe Kap. 4b). Eine Fourierreihe mit nur einem Koeffizienten stellt einen Kreis dar, welcher je nach Frequenz mehrmals durchlaufen wird. Zusammen mit dem dazugehörigen negativen Koeffizienten ergibt sich eine Ellipse: j t j t x() t c0 c 1 e c 1e Kreis, links laufender Zeiger Kreis, rechts laufender Zeiger c n und c -n repräsentieren eine Ellipse, welche n-mal durchlaufen wird. EllipseDem\ellipsedem.html H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 11
12 Interpretation von Fourierreihen Eine Fourierreihe besteht aus der Überlagerung von Kreisen (Anfangswert: c n ), wobei für +n die Kreise im Gegenuhrzeiger- und für n im Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Fasst man je zwei Terme +n und n zusammen, so hat man eine Überlagerung von Ellipsen! c n und c -n repräsentieren eine Ellipse, welche n-mal durchlaufen wird. Damit kann eine Fourierreihe auch als Überlagerung von Ellipsen interpretiert werden. Fourierdeskriptor-Demol H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 12
13 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=2 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 13
14 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=4 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 14
15 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=6 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 15
16 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=10 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 16
17 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=16 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 17
18 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=24 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 18
19 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=34 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 19
20 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=46 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 20
21 Fouriersynthese einer geschlossenen Kontur N=2 N=4 N=6 N=10 N=16 N=24 N=34 N=46 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 21
22 Die Freiheitsgrade der Darstellung Bei freier Wahl der komplexen Zahlen c 0,c 1 und c -1 ergeben sich insgesamt 6 Freiheitsgrade. Eine Ellipse besitzt hingegen nur 5 Freiheitsgrade (2 Translationen, 2 Achsen und die Drehung). Wo verbleibt der 6. Freiheitsgrad? Verschiebt man den Aufpunkt, so ergibt sich: x( t ) c c e e c e e j j t j j t Wählt man derart, dass c 1 e j reell wird, so verschwindet ein Freiheitsgrad. Demnach ist die Wahl des Aufpunktes der 6. Freiheitsgrad. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 22
23 Eigenschaften der Fourierreihen Die Darstellung einer Kontur mit einer Fourierreihe hat integralen (globalen) Charakter. Es ergibt sich bei Beschränkung auf nur wenige (niederfrequente) Koeffizienten eine wesentliche Datenreduktion im Spektralbereich im Vergleich zur Darstellung mit Abtastwerten im Originalbereich. Geschlossene Konturen sind stetig und beschränkt. Dafür streben die Beträge der FK mit 1/n 2 gegen Null (schnelle Konvergenz): c n 2 1/n H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 23 n
24 Rotationssymmetrie vom Grade s Rotationssymmetrie vom Grade s liegt dann vor, wenn ein Objekt bei Rotation um den Winkel 360 /s in sich selbst übergeht. Dies hat zur Folge, dass nur FK im Abstand s von Null verschiedene Werte haben können, nämlich für die Indizes: n 1 ks für k c n S=5 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg ME-I, Kap. 4a 24 n
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