Aufgabe 1: Systemeigenschaften (15 Pkt.)

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1 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I Aufgabe 1: Systemeigenschaften (15 Pkt.) Das Downsampling Filter, S 1, mit natürlicher Zahl M, ist gegeben durch: y 1 (k) = v[mk] v(k) S 1 y 1 (k) Abbildung 1: Downsampling Filter Sein Gegenstück, das Upsampling Filter, S, ist gegeben durch: { [ v 1 y (k) = k] k für Z M M 0 für sonst. v(k) S y (k) Abbildung : Upsampling Filter 1. Untersuchen Sie die Linearität beider Systeme (Rechenweg angeben).. Untersuchen Sie die Eigenschaft der Zeitinvarianz der beiden Systeme (Rechenweg angeben). 3. Welche der beiden Systeme sind LTI-Systeme (Begründung angeben)? Lassen sich die beiden Systeme durch eine Impulsantwort eindeutig charakterisieren? 4. Handelt es sich um reellwertige Systeme (Begründung angeben)? 5. Handelt es sich um gedächtnislose oder gedächtnisbehaftete Systeme (Begründung angeben)? 6. Untersuchen Sie die Stabilitätseigenschaften beider Systeme. 7. Untersuchen Sie die Kausalitätseigenschaften der beiden Systeme. Wintersemester 01/ Seite 1 von 8

2 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I Aufgabe : Zweitore (0 Pkt.) 1. Gegeben ist das Zweitor N 1. Bestimmen Sie die Impedanzmatriz Z N1 von N 1 : Z 1 Z Z 3 N 1 Abbildung 3: Netzwerk N 1. Gegeben ist das Zweitor N. Bestimmen Sie die Impedanzmatriz Z N von N : Z 4 Z 5 N Abbildung 4: Netzwerk N Die beiden Zweitore N 1 und N sollen jetzt zusammen geschaltet werden. 3. Skizzieren Sie die Parallelschaltung aus N 1 und N. Ist die Torbedingung erfüllt (Begründung)? 4. Skizzieren Sie die Reihenschaltung aus N 1 und N. Ist die Torbedingung erfüllt (Begründung)? 5. Bei einem der Fälle unter 3. und 4. ist die Torbedingung nicht erfüllt. Geben Sie für diesen Fall eine schaltungstechnische Methode zur Verwirklichung der Torbedingung an und skizzieren Sie die resultierende Schaltung. 6. Berechnen Sie für die Reihenschaltung die Gesamtimpedanzmatrix und für die Parallelschaltung die Gesamtadmittanzmatrix. 7. Für das Zweitor N 1 soll nun gelten: Z 1 = Z. Überführen Sie dieses Zweitor in eine Kreuzersatzschaltung. Skizzieren Sie diese Ersatzschaltung und bestimmen Sie die kanonischen Impedanzen Z k1 und Z k. Wintersemester 01/ Seite von 8

3 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I Aufgabe 3: Leitungstheorie / Impulse auf Leitungen (5 Pkt.) Durch eine zeitbereichsreflektometrische Messung sollen Störstellen in einer Leitung aufgespürt werden. Ein Sprungfunktionsgenerator (Innenwiderstand R i = 50Ω) speist einen Spannungssprung (Ũ G (t) = U 0 u(t), Einheitssprungu(t)) in den Eingang der dispersionsfreien und verlustlosen Leitung (Leitungswellenwiderstand Z L = 50Ω, Phasengeschwindigkeit v ph = 10 8m ) ein. Der in der Ebene 1-1 aufgezeichnete Spannungsverlauf ergibt s die Störstellen ST 1 und ST, die zu den Zeitpunkten t 1 und t am Leitungseingang durch charakteristische Reflexionsmuster erkennbar sind. Die Leitung ist reflexionsfrei abgeschlossen durch R L = 50Ω. R i 1 Ũ G (t) U 1 Z L,v ph ST 1 Z L,v ph ST Z L,v ph R L 1' l 1 l l 3 r 1 r 1 ' r Abbildung 5: Leitung mit Störstellen U 0 = 1V Ũ G (t) 0 7 t ns Abbildung 6: Spannungssprung U 1 = 0.5V U = 0.4V U 3 = 0.5V UT U 1 (t) t ns Abbildung 7: Spannungsverlauf in der Ebene 1-1 Wintersemester 01/ Seite 3 von 8

4 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I 1. Wie lang ist das Leitungsstück l 1 zwischen Leitungsanfang und der ersten Störstelle?. Wie lang ist das Leitungsstück l zwischen der ersten und der zweiten Störstelle? 3. Warum ist der Spannungspegel U 1 (t) für 0 < t < 1ns gleich U 0? 4. Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild für die Störstelle ST 1. Begründen Sie Ihre Antwort. 5. Berechnen Sie den Reflexionsfaktor r 1 an der Störstelle ST Dimensionieren Sie das Bauteil aus Ihrer Ersatzschaltung der Störstelle ST Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild für die Störstelle ST. Begründen Sie Ihre Antwort. 8. Bei t = 5ns können Sie U T = U 3 (1 e 1 ) mit U 3 = U 0 4 = 0.5V ablesen. Wie groß ist die Zeitkonstante T? 9. Gehen Sie davon aus, dass der Aufladevorgang in der Störstelle ST bei t = 7ns weitgehend abgeschlossen ist. Bestimmen Sie die Reflexionsfaktoren r und r Dimensionieren Sie den resistiven Anteil der Ersatzschaltung, die Sie für die Störstelle ST entwickelt haben. Wintersemester 01/ Seite 4 von 8

5 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I Aufgabe 4: Smith-Chart / Streuparameter (0 Pkt.) Gegeben ist die Anordnung in Abbildung 8, sowie das Smith-Chart in Abbildung 9. Mit Hilfe des Anpassnetzwerkes AN soll die nachfolgende Schaltung an die Bezugsimpedanz Z 0 angepasst werden. Über die Anordnung sind folgende Informationen bekannt: Bezugsimpedanz Z 0 = 50 Ω Leitungswellenwiderstände Z L1 = Z L = 50 Ω Die auf die Bezugsimpedanz normierten Abschlussimpedanzen sind im Smith- Chart angegeben.z A1 entspricht dem PunktP(A1) undz A entspricht dem Punkt P(A). Die Eingangsimpedanzen sind im Smith-Chart normiert auf die Bezugsimpedanz angegeben. Z E1 für das Tor 1-1 entspricht dem Punkt P(E1) und Z E für das Tor - entspricht dem Punkt P(E). AN Z E1, r E1 3 1 Y AN Z L1, l 1 Z A1 3 1 Z in, r in Z E,ges, r E,ges Z L, l Z A Z E, r E Abbildung 8: Gesamtschaltung 1. Geben Sie Z A1 in Ohm an und bestimmen Sie r A1.. Geben Sie Z E1 in Ohm an und bestimmen Sie die Länge l 1 in Abhängigkeit der Wellenlänge λ. 3. Geben SieZ E an und bestimmen Sie die Längel in Abhängigkeit der Wellenlänge λ. 4. Bestimmen Sie die EingangsadmittanzY E,ges am Tor 3-3 und tragen Sie den Punkt in das Smith-Chart (Abbildung 1 auf Seite 8 Ihrer Lösungsbogen!) ein. Wie groß ist der Reflexionsfaktor r E,ges dieses Tores? Wintersemester 01/ Seite 5 von 8

6 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I 5. Mit Hilfe des Anpassnetzwerkes AN wird die Schaltung an den Bezugswiderstand Z 0 = 50 Ω angepasst. Wie groß werden dann der Reflexionsfaktor r in und der Eingangswiderstand Z in sein? 6. Geben Sie die Kettenmatrix des Anpassnetzwerkes AN in Abhängigkeit der Größe Y AN an. Zeigen Sie, dass das Zweitor reziprok und symmetrisch ist. 7. Bestimmen Sie die Streumatrix des Anpassnetzwerkes AN, in Abhängigkeit der Größe Y AN. 8. Bestimmen Sie die Größe des Elementes Y AN des Anpassnetzwerkes AN analytisch oder mit Hilfe des Smith-Charts. Wintersemester 01/ Seite 6 von 8

7 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I P(A1) P(E1) P(A) P(E) Abbildung 9: Smith Diagramm Wintersemester 01/ Seite 7 von 8

8 Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I Aufgabe 5: Rauschen (0 Pkt.) Gegeben ist der in Abbildung 10 dargestellte Empfänger einer LTE-Basisstation. Mit dieser Basisstation können LTE-Signale bei einer Frequenz von f LTE = 1800 MHz mit einer Signalleistung von P LTE = 90 dbm empfangen werden. Der Empfänger besteht aus einer Antenne, einem Bandpassfilter, dessen Mittenfrequenz auf die LTE-Frequenz abgestimmt ist und dessen Bandbreite f = 10 MHz beträgt, einem Verstärker sowie einer Leitung. Für alle weiteren Berechnungen ist die Bandbreite des Bandpasses ausschlaggebend. Weiterhin ist T 0 = 90 K.(Boltzmann Konstante k B = J K ). Antenne f = 10MHz SNR 1 SNR l = 0 m α = 0,1 db m T L = 90K T R = T 0 Bandpass Verstärker Leitung Abbildung 10: Empfangsschaltung mit Antenne, Bandpass sowie Verstärker und Leitung Zunächst gilt die Annahme, dass der Bandpass rauschfrei ist. 1. Bestimmen Sie das Signal-zu-Rausch Verhältnis SNR 1 am Eingang der Schaltung.. Bestimmen Sie das Signal-zu-Rausch-Verhältnis SNR am Ausgang des Bandpasses. Begründen Sie kurz Ihre Antwort. Nun besitzt der Bandpass eine Rauschzahl F BP,1 = 1,6 bei T 1 = 380 K. 3. Geben Sie die effektive RauschtemperaturT BP,eff des Bandpasses, sowie die Rauschzahl F BP,0 bezogen auf T 0 an. 4. Mithilfe der Y-Faktor Methode soll die effektive Rauschtemperatur und die Rauschzahl des verwendeten Verstärkers bestimmt werden. Die Rauschleistung am Ausgang des Verstärkers wird für zwei unterschiedliche Eingangsrauschtemperaturen gemessen. Für T = 1300 K verdreifacht sich die gemessene Leistung gegenüber T 0 = 90 K. Bestimmen Sie die effektive Rauschtemperatur T RV,eff und die Rauschzahl F V des Verstärkers bezogen auf T Unabhängig von Ihren eventuellen Ergebnissen in den Aufgabenpunkten 3. und 4. bestimmen Sie die Gesamtrauschzahl F ges der Schaltung bestehend aus Bandpass (G BP = 0.8), Verstärker (G V,dB = 30 db, T V.eff = 5K) und Leitung (l = 0m, α = 0,1 db m, T L = 90K) bezogen auf T 0. Wintersemester 01/ Seite 8 von 8

9 Aufgabe 1: Systemeigenschaften 1. Ein lineares System erfüllt die Additivitäts- und die Homogenitätseigenschaft: Downsampling Filter: Das System ist linear. S{c 1 v 1 (k)+c v (k)} = c 1 S{v 1 (k)}+c S{v (k)} c 1 v 1 (Mk)+c v (Mk) = c 1 v 1 (Mk)+c v (Mk) Upsampling Filter: c 1 v 1 ( 1 M k ) +c v ( 1 M k ) = c 1 v 1 ( 1 M k ) +c v ( 1 M k ) Das System ist linear.. Für ein zeitinvariantes System muss gelten, wenn v(k) y(k) = S{v(k)}, dann gilt v(k k 0 ) y(v(k k 0 )) = S{v(k k 0 )}. Downsampling Filter: Das System ist zeitvariant. Upsampling Filter: Das System ist zeitvariant. v[m(k k 0 )] v[mk k 0 ] [ ] [ ] 1 1 v M (k k 0) v M k k 0 3. Weder das Downsampling Filter noch das Upsampling Filter besitzt die LTI- Eigenschaft, da keines von beiden linear und zeitinvariant ist. 4. Beide Systeme sind reellwertig, denn für beide gilt: v(k) R y(k) R 5. Bei einem gedächtnislosen System hängt der aktuelle Wert am Ausgang nur vom aktuellen Wert am Eingang ab. Beide Systeme sind demnach nicht gedächtnislos. 6. Beide Systeme sind BiBo-stabil, denn sie reagieren auf ein beschränktes Eingangssignal mit einem ebenfalls beschränkten Ausgangssignal: v(k) M y(k) cm < 7. Beide Systeme sind nicht kausal. Das Downsampling Filter verarbeitet für k > 0 und das Upsampling Filter verarbeitet für k 0 zukünftige Werte am Eingang. Wintersemester 01/ Seite 1 von 13

10 Aufgabe : Zweitore 1. Die Impedanzmatriz Z N1 von N 1 lautet: Z 1 Z Z 3 N 1 Abbildung 1: Netzwerk N 1 [ Z1 +Z Z N1 = 3 Z 3 Z 3 Z +Z 3. Die Impedanzmatriz Z N von N lautet: ] Z 4 Z 5 N Abbildung : Netzwerk N [ Z4 +Z Z N = 5 Z 5 Z 5 Z 5 ] 3. Die Parallelschaltung der beiden Zweitore ergibt ein neues Zweitor N P : Z 1 Z 1 Z 3 N 1 1' Z 4 ' Z 5 N Abbildung 3: Parallelschaltung der beiden Zweitore N 1 und N Wintersemester 01/ Seite von 13

11 Bei der Parallelschaltung der beiden Zweitore entsteht eine geschlossene Kurzschlussschleife, die die Torbedingung gewährleistet. 4. Die Reihenschaltung der beiden Zweitore ergibt ein neues Zweitor N R : 1 Z 1 Z Z 3 N 1 Z 4 1' Z 5 ' N Abbildung 4: Reihenschaltung der beiden Zweitore N 1 und N Die Torbedingung wird hier nicht erfüllt. Keines der Tore der beiden Zweitore besitzt eine galvanische Trennung. Abbildung 4 belegt, dass auch keine Kurzschlußschleife zustande kommt. Z 4 wird kurzgeschlossen. Die Impedanzmatrix des resultierenden Zweitores N R kann daher nicht aus der Summe der beiden Impedanzmatrizen N 1 und N berechnet werden. 5. Die Torbedingung ist mit Sicherheit erfüllt, wenn in mindestens einem der beiden in Reihe geschalteten Zweitore eine galvanische Entkopplung vorliegt. In diesem Fall kann der in das eine Zweitor N 1 hineinfließende Strom nicht auf das zweite Tor dieses Zweitors übergehen. Folgendes Beispiel zeigt eine galvanische Entkopplung mittels eines Übertragers: 1 1 : 1 Z 1 Z Z 3 N 1 Z 4 1' Z 5 ' Abbildung 5: Reihenschaltung mit galvanischer Entkopplung N Wintersemester 01/ Seite 3 von 13

12 6. Ist die Torbedingung verwirklicht, ergibt sich die Impedanzmatrix des resultierenden Zweitores N R als die Summe der beiden Impedanzmatrizen Z N1 und Z N : Z NR = Z N1 +Z N [ ] [ ] Z1 +Z Z NR = 3 Z 3 Z4 +Z + 5 Z 5 Z 3 Z +Z 3 Z 5 Z 5 [ ] Z1 +Z Z NR = 3 +Z 4 +Z 5 Z 3 +Z 5 Z 3 +Z 5 Z +Z 3 +Z 5 Die Admittanzmatrix des resultierenden Zweitores N P ist die Summe der beiden Admittanzmatrizen Y N1 und Y N : Y NP = Y NP = [ Z +Z 3 detz N1 Z 3 detz N1 Z 3 detz N1 Z 1 +Z 3 detz N1 Y NP = Y N1 +Y N ] [ + Z 5 detz N Z 5 detz N Z 5 detz N Z 4 +Z 5 detz N [ Z +Z 3 detz N1 + Z 5 detz N Z 3 detz N1 Z 5 detz N Z 3 detz N1 Z 5 detz N Z 1 +Z 3 detz N1 + Z 4+Z 5 detz N ] ] 7. Ein symmetrisches Zweitor läßt sich in eine Kreuzersatzschaltung überführen. Die kanonischen Impedanzen der Kreuzersatzschaltung für das Zweitor Z N1 ergeben sich wie folgt: Z k1 = Z N1.11 Z N1.1 = Z 1 +Z 3 Z 3 = Z 1 Z k = Z N1.11 +Z N1. = Z 1 +Z 3 +Z 3 = Z 1 +Z 3 Z k1 Z k Z k Z k1 Abbildung 6: Kreuzersatzschaltung Wintersemester 01/ Seite 4 von 13

13 Aufgabe 3: Leitungstheorie / Impulse auf Leitungen Durch eine zeitbereichsreflektometrische Messung sollen Störstellen in einer Leitung aufgespürt werden. Ein Sprungfunktionsgenerator (Innenwiderstand R i = 50Ω) speist einen Spannungssprung (Ũ G (t) = U 0 u(t), Einheitssprungu(t)) in den Eingang der dispersionsfreien und verlustlosen Leitung (Leitungswellenwiderstand Z L = 50Ω, Phasengeschwindigkeit v ph = 10 8m ) ein. Der in der Ebene 1-1 aufgezeichnete Spannungsverlauf ergibt s die Störstellen ST 1 und ST, die zu den Zeitpunkten t 1 und t am Leitungseingang durch charakteristische Reflexionsmuster erkennbar sind. Die Leitung ist reflexionsfrei abgeschlossen durch R L = 50Ω. R i 1 Ũ G (t) U 1 Z L,v ph ST 1 Z L,v ph ST Z L,v ph R L 1' l 1 l l 3 r 1 r 1 ' r Abbildung 7: Leitung mit Störstellen U 0 = 1V Ũ G (t) 0 7 t ns Abbildung 8: Spannungssprung U 1 = 0.5V U = 0.4V U 3 = 0.5V UT U 1 (t) t ns Abbildung 9: Spannungsverlauf in der Ebene 1-1 Wintersemester 01/ Seite 5 von 13

14 1. Die Leitungslänge l 1 läßt sich aus der Phasengeschwindigkeit der Leitung und dem gemessenen Zeitpunkt der Reflexion an der ersten Störstelle bestimmen: l 1 = v ph t 1 = 108m s 10 9 s = 10cm.. Die Leitungslänge l läßt sich aus der Phasengeschwindigkeit der Leitung und dem gemessenen Zeitpunkt der Reflexion an der zweiten Störstelle unter Berücksichtigung der ermittelten Leitungslänge l 1 bestimmen: l = v ph t l 1 = 108m s s 0,1m = 30cm. 3. Für den Zeitraum 0 < t < 1ns ist die Eingangsimpedanz der Leitung gleich ihrem Wellenwiderstand. Innenwiderstand und Wellenwiderstand sind mit 50Ω identisch. Die Generatorspannung verteilt sich demnach je zur Hälfte auf beide Impedanzen. 4. Das bei t = 1ns sprungförmig abfallende und gleichbleibende Spannungsniveau in Abbildung 9 zeigt eine resistive Last, die kleiner als der Wellenwiderstand der Leitung ist. 5. Der Reflexionsfaktor r 1 wird bestimmt aus der hinlaufenden und rücklaufenden Welle für den Zeitpunkt 1ns < t < 4ns: r 1 = U rück = U U0 U U 0 = ( )V hin 0.5V = Aus der Beziehung r 1 = Z ST1 Z L Z ST1 +Z L läßt sich die Impedanz der Störstelle für den Zeitbereich t 1 < t < t bestimmen: Z ST1 = Z L 1+r 1 1 r 1 = 33.33Ω. Das bestätigt die oben vorgenommene Abschätzung, daß Z ST1 < Z L ist. Die Impedanz Z ST1 beträgt für den betrachteten Zeitraum Z ST1 = R 1 Z L = R 1Z L R 1 +Z L R 1 = Z ST1Z L Z L Z ST1 = 100Ω 7. Die Störstelle ST reagiert auf den Spannungssprung zunächst mit einem Kurzschluss. Der sich anschließende exponentielle Verlauf der Spannung erreicht ein Spannungsniveau unterhalb von U. Die Störstelle ST kann also als eine Parallelschaltung einer Kapazität mit einem Ohmschen Widerstand aufgefasst werden. Wintersemester 01/ Seite 6 von 13

15 8. Bei t = 5ns ist demnach U max (1 e 1 ) = U max (1 e t t 0 T ) Daraus folgt: t t 0 = T = (5 4)ns = 1ns. 9. Der Reflexionsfaktor r 1 wird bestimmt aus: r 1 = R 1 Z L Z L R 1 Z L +Z L = 0. = r 1 Für den Zeitpunkt t = 7ns kann der Kondensator als aufgeladen betrachtet werden. Die in die erste Leitung hineinlaufende Spannungswelle U 1hin wird an beiden Störstellen reflektiert und die rücklaufenden Wellen überlagern sich: U 1 (t = 7ns) = U 1hin +U 1hin r 1 +U 1hin r +U 1hin r 1 r +U 1hin r r 1 +U 1hin r 1 r r 1 U 1 (t = 4ns) = U 1hin (1+r 1 +r +r 1 r +r r 1 +r 1 r r 1) 0.5V = 0.5V( r ) r = Aus dem Reflexionsfaktor r kann einfach auf den Widerstand R geschlossen werden: r = R R L Z L R R L +Z L R R L = Z L 1 r 1+r = 50Ω = 18Ω R = 18Ω 50Ω 50Ω 18Ω = 8Ω Wintersemester 01/ Seite 7 von 13

16 R i 1 Ũ G (t) U 1 Z L,v ph Z L,v ph Z L,v ph R L R 1 R C 1' l 1 l l 3 r 1 r 1 ' r Abbildung 10: Leitung mit Störstellen Wintersemester 01/ Seite 8 von 13

17 Aufgabe 4: Smith-Chart / Streuparameter 1. Geben Sie Z A1 in Ohm an und bestimmen Sie r A1. Z A1 Z 0 = 0.5+j0.5 ablesen aus SC Z A1 = (0.5+j0.5)Z 0 = (5+j5) Ω r A1 = 0.46 e j116 abgelesen r A1 = e j berechnet. Geben SieZ E1 an und bestimmen Sie die Längel 1 in Abhängigkeit der Wellenlänge λ. Z E1 Z 0 = +j1 ablesen aus SC Z E1 = (+j1)z 0 = (100+j50) Ω Winkel zwischen P(1) und P(1 ) =90 90 = λ 8 3. Geben SieZ E an und bestimmen Sie die Längel in Abhängigkeit der Wellenlänge λ. Z E Z 0 = ablesen aus SC Z E ist LL Z A = 0 ist KS λ 4 -Trafo l= λ 4 4. Bestimmen Sie die EingangsadmittanzY E,ges am Tor 3-3 und tragen Sie den Punkt in das Smith-Chart ein. Wie groß ist der Reflexionsfaktor r E,ges dieses Tores? Y E,ges = Y E1 +Y E Y E = 0 Y E,ges = Y E1 = 1 Z E1 = 1 5 ( 1j) r E,ges = 0.46 e j6 abgelesen r E,ges = e j6.56 berechnet 5. Mit Hilfe des Anpassnetzwerkes AN wird die Schaltung an den Bezugswiderstand Z 0 = 50 Ω angepasst. Wie groß werden dann der Reflexionsfaktor r in und der Eingangswiderstand Z in sein? Z in = 50 Ω Wintersemester 01/ Seite 9 von 13

18 r in = 0 6. Geben Sie die Kettenmatrix des Anpassnetzwerkes AN, in Abhängigkeit der Größe Y AN, an. Zeigen Sie, dass das Zweitor reziprok und symmetrisch ist. [ ] [ ] A B 1 0 = C D Y AN Z 0 1 reziprok: det ABCD = 1? det ABCD = (1 1) Y AN Z 0 0) = 1 symmetrisch: A = D und reziprok. 7. Bestimmen Sie die Streumatrix des Anpassnetzwerkes AN, in Abhängigkeit der Größe Y AN. S 11 = S = Y ANZ 0 +Y AN Z 0 S 1 = S 1 = +Y AN Z 0 [ Y ANZ 0 S AN = +Y AN Z 0 +Y AN Z 0 +Y AN Z 0 Y ANZ 0 +Y AN Z 0 ] 8. Bestimmen Sie die Größe Y AN des Anpassnetzwerkes AN analytisch oder mit Hilfe des Smith-Charts. Ablesen: Re{Y AN } = 0.01 S ; Im{Y AN } = S Analytisch: Y E = Y E +Z AN = 1 1 Y E = Y AN = 1 Re{Y AN } = 0.01 S ; Im{Y AN } = S Wintersemester 01/ Seite 10 von 13

19 P(A1) P(E1) P(A) P(E) Y E,ges. Abbildung 11: Smith Diagramm Wintersemester 01/ Seite 11 von 13

20 Aufgabe 5: Rauschen (0 Pkt.) Gegeben ist der in Abbildung 10 dargestellte Empfänger einer LTE-Basisstation. Mit dieser Basisstation können LTE-Signale bei einer Frequenz von f LTE = 1800 MHz mit einer Signalleistung von P LTE = 90 dbm empfangen werden. Der Empfänger besteht aus einer Antenne, einem Bandpassfilter, dessen Mittenfrequenz auf die LTE-Frequenz abgestimmt ist und dessen Bandbreite f = 10 MHz beträgt, einem Verstärker sowie einer Leitung. Für alle weiteren Berechnungen ist die Bandbreite des Bandpasses ausschlaggebend. Weiterhin ist T 0 = 90 K.(Boltzmann Konstante k B = J K ). Antenne f = 10MHz SNR 1 SNR l = 0 m α = 0,1 db m T L = 90K T R = T 0 Bandpass Verstärker Leitung Abbildung 1: Empfangsschaltung mit Antenne, Bandpass sowie Verstärker und Leitung Zunächst gilt die Annahme, dass der Bandpass rauschfrei ist. 1. Bestimmen Sie das Signal-zu-Rausch Verhältnis SNR 1 am Eingang der Schaltung. P noise = k B T 0 f 40fW (1) P noise,db = 133,98dB P noise,dbm = 103,98dBm ) SNR 1 = P LTE = 10( = 4,99 P noise SNR 1 db = (P LTE,dBm 30dB) P noise,db = 13,98dB = P LTE,dB P noise,db = 13,98dB. Bestimmen Sie das Signal-zu-Rausch-Verhältnis SNR am Ausgang des Bandpasses. Begründen Sie kurz Ihre Antwort. SNR = SNR 1 () Das Rauschen wird durch den Bandpass ebenso gedämpft. Zudem erzeugt er kein eigenes Rauschen. Wintersemester 01/ Seite 1 von 13

21 Nun besitzt der Bandpass eine Rauschzahl F BP,1 = 1,6 bei T 1 = 380 K. 3. Geben Sie die effektive RauschtemperaturT BP,eff des Bandpasses, sowie die Rauschzahl F BP,0 bezogen auf T 0 an. F BP.90K = 1+(F 380K 1) 380K = 1,34 (3) 90K T BP.eff = (F 90K 1) T 0 = 98,6K 4. Mithilfe der Y-Faktor Methode soll die effektive Rauschtemperatur und die Rauschzahl des verwendeten Verstärkers bestimmt werden. Die Rauschleistung am Ausgang des Verstärkers wird für zwei unterschiedliche Eingangsrauschtemperaturen gemessen. Für T = 1300 K verdreifacht sich die gemessene Leistung gegenüber T 0 = 90 K. Bestimmen Sie die effektive Rauschtemperatur T RV,eff und die Rauschzahl F V des Verstärkers bezogen auf T 0. P 0 = G V k B f(t 0 +T RV,eff ) P = 3P 0 = G V k B f(t +T RV,eff ) Y = P P 0 = 3 = T +T RV,eff T 0 +T RV,eff T RV,eff = T 3T 0 = 15K F V = T T 0 T 0 (Y 1) = 1,74 5. Unabhängig von Ihren eventuellen Ergebnissen in den Aufgabenpunkten 3. und 4. bestimmen Sie die Gesamtrauschzahl F ges der Schaltung bestehend aus Bandpass (G BP = 0.8), Verstärker (G V,dB = 30 db, T V.eff = 5K) und Leitung (l = 0m, α = 0,1 db m, T L = 90K) bezogen auf T 0. F BP = 1 G BP = = 1,5 G V = = 1.000, F V.90K = 1+ T V.eff 5K = 1+ 90K 90K = 1,76 G L = 10 α 0 10 = 0.63, F L = 1 = 1,58 G L F ges.90k = F BP + F V.90K 1 G BP F ges.90k = ,8 + F L 1 G BP G V + 1,58 1 0, =, Wintersemester 01/ Seite 13 von 13