K y = ( K ist eine Konstante; die Einheiten x

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1 Fehlerrechnung 1.) Die Messung einer physikalischen Größe y in Abhängigkeit von einer anderen Größe x ergibt den Zusammenhang ( x) für, y und K werden zur Vereinfachung weggelassen). K y = ( K ist eine Konstante; die Einheiten x a) Durch welche Achsenwahl lässt sich bei der graphischen Darstellung eine Linearisierung der Funktion y ( x) erreichen? b) Welche Werte für x im Bereich 4 x 5 müssen Sie wählen, damit sich 1 verschiedene, äquidistante ( y = konst. ) Messwerte von y ergeben? Berechnen Sie den zweiten und den neunten Wert der Einstellgröße x! y x K c) Wie groß ist der relative Fehler, wenn die Fehler = 1% und = 1% zu y x K berücksichtigen sind? x.) Eine physikalische Größe wird nach der Formel z = berechnet. y a) Welchen Wert hat z, wenn x = ( 1. ±.1) cm und = ( 53. ±.) s y gemessen wurden? b) Berechnen Sie den absoluten Fehler z und geben Sie das Messergebnis für z (sinnvoll gerundet) an! 3.) Wie groß darf jeweils der absolute Fehler r1 = r = r bei der Messung der Abstände r 1 =.1 m und r =.3 m sein, damit die aus ihnen berechnete y Größe y = r r1 nur einen relativen Fehler = 1% aufweist? y

2 Versuch E1 1.) Zur Messung einer Spannung stehen zwei Voltmeter zur Auswahl: Gerät 1: Messbereich 1V; Güteklasse 1.5 Gerät : Messbereich 3V; Güteklasse 1 a) Was versteht man unter Güteklasse eines elektrischen Messinstruments? b) Welches der beiden Voltmeter ermöglicht eine genauere Messung der Spannung U = 1 V? Begründen Sie Ihre Antwort durch die Angabe des absoluten Fehlers U!.) Beantworten Sie folgende Fragen: a) Welcher Strom fließt durch das Messwerk eines Voltmeters, welches in einem gewählten Messbereich mit dem Innenwiderstand R iv die Gleichspannung U anzeigt? b) Welche elektrische Leistung wird vom Messwerk des Voltmeters aufgenommen? c) Warum sind an einem Multimeter in der Regel getrennte Messbereiche mit hohem Innenwiderstand R iv für Spannungsmessungen und mit kleinem Innenwiderstand R ia für Strommessungen realisiert? 3.) Welche physikalische Größe bewirkt den Unterschied zwischen Leerlaufspannung (Quellenspannung) und Klemmenspannung einer (realen) Spannungsquelle und welche Beziehung besteht zwischen Leerlauf- und Klemmenspannung? 4.) Die Klemmenspannung einer Trockenbatterie ist belastungsabhängig. a) Wie lautet die vollständige mathematische Formel für die lineare Funktion U = U( I), wenn folgende Messwerte bekannt sind (der Schaltungsfehler der verwendeten Schaltung ist vernachlässigbar): Strom I in ma Klemmenspannung U in V Für das verwendete Voltmeter gelten folgende Herstellerangaben: Messbereich V Innenwiderstand 1 MΩ Genauigkeit: (.5% vom Messwert+1 Digit) Die Messunsicherheit der Strommessung kann vernachlässigt werden. b) Geben Sie die Leerlaufspannung (Quellenspannung) und den Innenwiderstand der Trockenbatterie an! c) Berechnen Sie den Innenwiderstand der Spannungsquelle nach der Methode der Mehrfachausrechnung.

3 5.) Kreuzen Sie in der nachfolgenden Aufstellung die Größen an, die notwendig sind, um den absoluten Fehler des mit einem Analogmultimeter (Zeigergerät) aufgenommenen Messwertes berechnen zu können: Messwert Güteklasse des Instruments Wert der kleinsten Skalenteilung Endwert des benützten Messbereichs Innenwiderstand des Multimeters 6) Ein Analogmultimeter der Güteklasse 1.5 zeigt den Spannungswert U = 4. V an. Der Vollausschlag im gewählten Messbereich ist 1 V. Wie groß sind absoluter und relativer Fehler des Messwerts? 7) Bei der Messung einer Spannung mit einem Analogmultimeter der Güteklasse 1.5 wird vergessen aus dem Messbereich mit dem Vollausschlag 1 V auf den günstigeren mit dem Vollausschlag.5 V umzuschalten. a) Wie groß ist der absolute Fehler in jedem Messbereich? b) Um welchen Faktor unterscheiden sich die relativen Fehler eines beliebigen Messwerts U, der in beiden Messbereichen messbar gewesen wäre? 8.) Wie groß sind der innere Widerstand R i und die Quellenspannung U einer Spannungsquelle, wenn bei Entnahme von I = 1 1 A bzw. I = 5 A die Klemmenspannung U 1 = 4.6 V bzw. U = 4.3 V gemessen wird?

4 Versuch M 1.) Zur Bestimmung der Viskosität eines Öles nach DIN 5315 wird die Formel η = K ( ρ K ρ ) t angewandt, die mit der Einführung von x = ρ Öl K ρ als Öl neuer Variabler in η = K x t umgeformt werden kann. kg Welcher Fehler x ergibt sich, wenn die Einzelfehler ρ K =.39 und 3 m kg ρ Öl =.63 bekannt sind? 3 m.) Bei der Messung der Viskosität einer Flüssigkeit mit dem Rotationsviskosimeter wird das auf eine rotierende Messspindel übertragene Drehmoment M in Abhängigkeit von der Frequenz f gemessen und als Fließkurve M ( f ) dargestellt. a) Zeichnen Sie für eine sog. reinviskose (NEWTONsche) Flüssigkeit die zugehörige Fließkurve für zwei jeweils konstante Temperatuten T > T1 in ein M = M( f ) Diagramm ein! b) Geben Sie die Formel an (ohne weitergehende Berechnungen), nach der mit dem Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetz der absolute Fehler der Viskosität η berechnet werden kann, wenn folgende Berechnungsformel für die Viskosität mit M ( ra ri ) den fehlerbehafteten Größen M, f, ra, ri,und h gilt: η = 3 π f π h ri η c) Berechnen Sie die partielle Ableitung! r a 3.) Bei der Messung mit dem HÖPPLER-Viskosimeter sinkt eine Kugel in einem Glasrohr, in dem sich die viskose Flüssigkeit befindet. Kennzeichnen Sie die Bewegung der Kugel genau (kurze, präzise Begründung)! 4.) Stellen Sie die Temperaturabhängigkeit der Viskosität eines B T Schmieröls η ( T) = A e als lineare Funktion in einem Diagramm dar und beschriften Sie die Achsen für diesen Fall zutreffend! Welche SI-Einheiten haben die Konstanten A und B? 5.) Bei der Messung mit dem HÖPPLER-Viskosimeter sinkt eine Kugel in einem Glasrohr, in dem sich die viskose Flüssigkeit befindet. a) Welche Bedingung hinsichtlich der auf die sinkende Kugel wirksamen Kräfte muss innerhalb der Messstrecke erfüllt sein? b) Warum lässt sich der Messfehler, der bei der Messung der Fallzeit gemacht wird, auf den Fehler zurückführen, der bei der Beobachtung der Messstrecke gemacht wird?

5 Versuch O1 1.) Die Brennweite einer Linse wird nach der BESSEL-Methode 1x gemessen mit folgenden Werten: Nr f / cm a) Welchen Mittelwert ergeben die Messungen? b) Berechnen Sie die Standardabweichung c) Wie lautet das endgültige Ergebnis der Brennweitenbestimmung (mit Angabe der Vertrauensgrenzen des Mittelwerts)? d) Konstruieren Sie in einer maßstäblichen 1:1-Skizze mit dem Mittelwert aus a) für eine dünne, beiderseits an Luft grenzende die Lage des Bildes für einen Gegenstand, der sich im Abstand a = 4 f befindet! e) Welche Bildweite a ergibt sich aus der maßstäblichen Skizze?.) Eine dünne Linse befindet sich beiderseits in Luft und bildet ein Objekt der Größe y = cm, das im Abstand a = ( 46 ± 5) mm von der Linse angeordnet ist, in ein Bild der Größe y in der Bildweite a = ( 3 ± 5) mm ab. a) Zeichnen Sie im Maßstab 1:1 den Strahlenverlauf, der ein nur noch halb so großes, umgekehrtes, reelles Bild des Objekts ergibt! b) Ermitteln Sie die Brennweite der dünnen Linse aus der Zeichnung (Maßstab beachten)! c) Geben Sie den Abbildungsmaßstab β an! y a d) Berechnen Sie den absoluten Fehler des Abbildungsmaßstabs β = = für die y a gemessenen Werte a und a. 3.) Berechnen Sie die Brennweite einer dünnen Linse (mit Angabe des absoluten Fehlers) nach der Abbildungsgleichung =, wenn für die a a f Gegenstandsweite a = ( 17 ± ) mm gemessen wurde und der Abstand zwischen Gegenstand und Bild L = ( 4 ± ) mm beträgt!

6 Versuch O6 1.) Auf einen Einzelspalt der Breite b fallen ebene Wellen und werden an diesem gebeugt. a) Unter welchem Winkel gegen die ursprüngliche (ungebeugte) Ausbreitungsrichtung verlaufen die Wellen, die das erste Intensitätsminimum der Beugungsfigur ergeben? η λ L b) Wie groß ist die Breite b = des Einzelspalts und wie genau wird sie y bestimmt, wenn folgende Größen gemessen werden: y λ = ( 67 ± 1) nm ; L = ( 7 ± ) mm ; Steigung = (.35 ±.)mm unter η Berücksichtigung des Maßstabsfaktors?.) Auf einen Doppelspalt fallen ebene Wellen und werden an diesem gebeugt. a) Zu welcher Ordnung des Beugungsbildes führen die Wellen, deren Ausbreitungsrichtung in nebenstehender Skizze eingezeichnet ist? b) Unter welchem Winkel ϑ wird das Beugungsbild erster Ordnung (erstes Nebenmaximum) entstehen (Formelangabe)? ζ λ L c) Wie groß ist der Mittenabstand g = des Doppelspalts und wie genau wird y er bestimmt, wenn folgende Größen gemessen wurden: y λ = ( 67 ± 1) nm ; L = ( 7 ± ) mm ; Steigung = (.35 ±.)mm unter ζ Berücksichtigung des Maßstabsfaktors?

7 Versuch O9 1.) Mit einem MICHELSON-Interferometer soll die unbekannte Wellenlänge einer Gasentladungslampe bestimmt werden, wobei bei einer Spiegelverschiebung um s = ( 9.6 ±.3) µ m die Änderung der Ringzahl N = ( 1 1) N beobachtet wird. ± a) Nach welcher Formel berechnet sich die gesuchte Wellenlänge? Kreuzen Sie von den nachstehend angegebenen Formeln die richtige an: s N N s N N λ = λ = λ = λ = N s N N s N b) Welchen Wert hat die gesuchte Wellenlänge? c) Schätzen Sie den absoluten Fehler λ ab!.) Wie groß ist der Gangunterschied der optischen Weglängen zwischen den kohärenten Teilwellen 1und gleicher Wellenlänge λ = nm, die einerseits 1 mm dickes Glas der Brechzahl n = 1. 5 passieren und andererseits parallel dazu durch.5 mm dickes, identisches Glas und in Luft verlaufen? Berechnen Sie den absoluten Fehler λ, wenn folgende Daten gegeben sind: Ks µ m λ = ; s = ( 9. ±.1) Skt ; K = 1. ; N N Skt K = 1% ; N N = ( 1 ± 1) K 3) Bei einem MICHELSON-Interferometer, das mit einer Hg-Spektrallampe der Wellenlänge λ = nm betrieben wird, ändert sich das Interferenzbild im Gesichtsfeld des Beobachters infolge mechanischer Erschütterungen. Welche relative Spiegelverschiebung im Interferometer wurde durch die mechanischen Erschütterungen ausgelöst, wenn ein zusätzlicher Interferenzring auftritt?

8 Versuch S1 1.) Das Massenträgheitsmoment einer dünnen Metallscheibe mit vorbereiteten Bohrungen wird mit Hilfe einer Drillachse um verschiedene parallel verschobene Achslagen 1,, 3, 4, 5 gemessen. a) Welches Drehmoment ist aufzuwenden, um bei - einer Winkelrichtgröße c * =.5 1 Nm der Spiralfeder einer Drillachse diese zusammen mit der auf ihr befestigten Metallscheibe um 18 gegenüber ihrer Ruhelage abzulenken? b) Welche Abhängigkeit des Massenträgheitsmomentes J von den Achslagen ergibt sich? Kreuzen Sie nachfolgend den richtigen Kurvenverlauf an! a b c d c) Mit welcher Genauigkeit (Angabe als relativer prozentualer Fehler) können die Massenträgheitsmomente bestimmt werden, wenn Winkelrichtgröße c * und Periodendauer T jeweils auf 1 % genau gemessen worden sind? c * T Beachten Sie die Berechnungsformel J =! 4 π.) Bei der experimentellen Bestimmung des Massenträgheitsmoments einer homogenen, starren Kreisscheibe (Radius r, konstante Dicke) wird festgestellt, dass die Bohrung zum Aufstecken auf eine Drillachse gegenüber der idealen, zentralen Lage um s =. 1 r parallel verschoben ist. a) Bezeichnet man den durch die abweichende Achszentrierung verursachten Fehler als: absoluten, systematischen, relativen, oder relativen prozentualen Fehler? Kreuzen Sie die richtige Antwort an! mr b) Welche Abweichung J s gegenüber dem Wert J s = des Massenträgheitsmoments bei idealer Achslage ergibt sich durch die um s =. 1 r parallel verschobene Achse? Hinweis: Satz von Steiner anwenden und J s in % von J s ausdrücken! J c) Schätzen Sie den Einfluss der zu messenden Periodendauer T = π der c * T Drehschwingung ab, der allein von der Abweichung J s herrührt, indem Sie T durch logarithmische Differentiation berechnen.

9 3.) Die Winkelrichtgröße c * der Spiralfeder einer Drillachse soll mit dem bekannten Massenträgheitsmoment ( ) J = 1.99 ± kgm eines aufgesteckten A J Normkörpers aus der Periodendauer von Drehschwingungen T = π ermittelt c * werden. a) Berechnen Sie die Winkelrichtgröße c * und geben Sie den relativen prozentualen Fehler an, wenn mehrfache Messungen die Periodendauer = ( 3.1 ±.) s Drehschwingung bei dem aufgesetzten Normkörper ergeben? T der b) Welches Drehmoment ist bei der verwendeten Drillachse erforderlich, um eine Auslenkung β = 18 (zu Beginn) der Drehschwingung zu erreichen? 4.) Eine Drillachse wird aus ihrer stabilen Ruhelage ausgelenkt. a) Stellen Sie das rücktreibende Drehmoment der Spiralfeder als Funktion der Winkelauslenkung dar1 b) Für einen Körper mit dem bekannten Massenträgheitsmoment J = ( 1.98 ±.) 1 3 kgm, der auf die Drillachse aufgesetzt wird, ergibt die Messung der Periodendauer den Wert T = ( 1.74 ±.) s. 4 J Berechnen Sie die Winkelrichtgröße c* = π und den absoluten Fehler c *. T 5.) Mit einer Drillachse, deren Winkelrichtgröße c * = (.48 ±.5) 1 Nm bekannt ist, soll das Massenträgheitsmoment eines starren Körpers gemessen werden. a) Nach welcher Gleichung wird das Massenträgheitsmoment aus Messungen der Periodendauer von Drehschwingungen der Drillachse bestimmt? Führen Sie eine Einheitenrechnung durch mit [ c *] = Nm, [ T ] = s, [ J ] = kgm und kreuzen Sie nachfolgend die richtige Formel an: c * c * T T J = J = J 4π T 4π = c * T J = 4π c * 4π J b) Geben Sie die Formel zur Berechnung des relativen Fehlers an! J c) Welcher relative prozentuale Fehler ist bei der Messung der Periodendauer T J noch zulässig, wenn nur eine Genauigkeit von = 5% angestrebt wird? J

10 Versuch S 1.) Bei einer harmonischen Schwingung, die durch eine geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft gedämpft ist, werden die Amplituden t mit guter Näherung durch die Einhüllende ˆ δ ( t) = ˆ β e beschrieben. β a) Wie groß ist die Abklingkonstante δ, wenn folgende Daten gemessen wurden: für t = : ˆ β = (. ±.1) Skt für t = 1 T = (. ±.) s : ˆ( β t) = ( 7.4 ±.) Skt b) Berechnen Sie den absoluten Fehler δ!.) Gegeben ist folgende Darstellung: 15 1 A beta(t) in SKt 5-5 B t/s a) Wie heißen die dargestellten Dämpfungsfälle A und B einer gedämpften harmonischen Schwingung? b) Tragen Sie den Kurvenverlauf für den aperiodischen Grenzfall in die Darstellung richtig ein! c) Durch welchen Dämpfungsgrad ist der aperiodischen Grenzfall gekennzeichnet? Kreuzen Sie die richtige Formel an! D < 1 D = 1 D > 1 d) Weshalb ist die kritische Dämpfung des aperiodischen Grenzfall für schwingungsfähige Systeme in der Praxis von großer Bedeutung?

11 Versuch W5 1.) Zur Bestimmung des Adiabatenexponenten κ für verschiedene Gase werden Schwingungen eines kleinen Kunststoffkörpers, die durch periodische Druckänderungen im jeweiligen Gas zustande kommen, ausgewertet. a) Mit welcher Periodendauer schwingt der Kunststoffkörper, dessen harmonische ungedämpfte Schwingung (Auslenkung y ) durch die Differentialgleichung κ p A y + y = beschrieben wird? V m 64 m V b) Welchen Wert muss n in der Berechnungsformel κ = besitzen, damit n T p d sich κ als dimensionslose Größe ergibt? c) Berechnen Sie für die Berechnungsgleichung κ = κ( m V, T, p, d), zunächst die relative, dann die absolute Unsicherheit von κ. d) Bei welcher Messgröße müssten Sie zuerst mit einer Verbesserung der Messungenauigkeit beginnen, um den absoluten Fehler κ zu verringern unter der Annahme, dass die relativen Fehler aller Messgrößen gleich sind?.) Zur Bestimmung des Adiabatenexponenten κ aus Schwingungen eines Kunststoffkörpers auf einer Gassäule soll die Periodendauer sehr genau bestimmt werden, indem anstelle der im Physiklabor praktizierten Vorgehensweiseinsgesamt mal die Anzahl der Schwingungen pro Minute z ( Schwingungsrate ) gemessen wird: Häufigkeit h i der Messwerte z i Messwerte z i a) Stellen Sie die verschieden häufig gemessenen Werte zi in einem Histogramm dar und berechnen Sie den Mittelwert z. b) Wie groß ist der Mittelwert der Periodendauer T? c) Berechnen Sie die Standardabweichung s und die Standardabweichung des Mittelwerts sm für die Periodendauer. 3.) Wie ist der Adiabatenexponent κ definiert? Kreuzen Sie die richtige Formel an! c p c V R c p cv C mp ( m bedeutet molare Größen) c p c c V p C mv 4.) Worauf deuten bei verschiedenen Gasen (z. B. Stick-, Sauer-, Wasserstoff) hin? 5) Durch welche Bedingung ist die adiabatische Zustandsänderung eines Gases gekennzeichnet?

12 5) Zur Bestimmung des Adiabatenexponenten κ nach der Methode von 64 m V RÜCHARDT/FLAMMERSFELD dient die Formel κ =. Folgende Werte 4 T p d liegen vor: = ( ±.5)g m ; ( ) 3 V = 1.1 ±. dm ; p = ( 1 6) hpa ; d = ( 1. ±.1) mm ± a) Welche Periodendauer T sollte der Schwingkörper bei Stickstoff haben, wenn der Adiabatenexponent für Stickstoff den Wert κ = 1. 4 hat? b) Wie viele Schwingungen müssen gemessen werden, um bei einem geschätzten Fehler der gesamten Messzeit von t = T für die Bestimmung des κ Adiabatenexponenten den relativen Fehler = % zu realisieren? κ