Einführung in die Theoretische Informatik

Transkript

1 Einführung in die Theoretische Informatik Maximilian Haslbeck Fabian Mitterwallner Georg Moser David Obwaller cbr.uibk.ac.at

2 Zusammenfassung der letzten LVA Definition Die Regeln des Hoare-Kalkül sind wie folgt definiert: [z] {Q{x t}} x := t {Q} [a] {Q } P {R } {Q} P {R} Q = Q, R = R [s] {Q} P 1 {R} {R} P 2 {S} {Q} P 1 ; P 2 {S} [w] {I B} P {I} {I} while B do P end {I B} Ist ein Hoare-Tripel in diesem Kalkül ableitbar, dann ist es wahr 1

3 Inhalte der Lehrveranstaltung Einführung in die Logik Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen Einführung in die Algebra Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen Einführung in die Berechenbarkeitstheorie Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen Einführung in die Programmverifikation Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare, Kodierung und Sicherheit 2

4 Inhalte der Lehrveranstaltung Einführung in die Logik Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen Einführung in die Algebra Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen Einführung in die Berechenbarkeitstheorie Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen Einführung in die Programmverifikation Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare, Kodierung und Sicherheit 2

5 Frage Kann Verifikation vollständig automatisiert werden? 3

6 Frage Kann Verifikation vollständig automatisiert werden? Antwort Nein ein total korrektes Programm muss als terminierend nachgewiesen werden Termination ist ein unentscheidbares Problem 3

7 Frage Kann Verifikation vollständig automatisiert werden? Antwort Nein ein total korrektes Programm muss als terminierend nachgewiesen werden Termination ist ein unentscheidbares Problem Frage Was tun? 3

8 Frage Kann Verifikation vollständig automatisiert werden? Antwort Nein ein total korrektes Programm muss als terminierend nachgewiesen werden Termination ist ein unentscheidbares Problem Frage Was tun? Antwort Entweder wird Termination vorausgesetzt und muss dann per Hand bewiesen werden Oder der Verifikator für Termination ist partiell 3

9 Bemerkung Termination von imperativen Programmen kann etwa von folgenden Tools gezeigt werden AProVE, COSTA, Julia, SACO, SPEED, Terminator, T T T 2,... 4

10 Bemerkung Termination von imperativen Programmen kann etwa von folgenden Tools gezeigt werden AProVE, COSTA, Julia, SACO, SPEED, Terminator, T T T 2,... Bemerkung Neben der Termination können auch andere (unentscheidbare) Eigenschaften von Programmen automatisch verifiziert werden, etwa der Speicherbedarf, die Laufzeitkomplexität, etc. AProVE, COSTA, LOOPUS, RaML, SPEED, T C T,... 4

11 Bemerkung Termination von imperativen Programmen kann etwa von folgenden Tools gezeigt werden AProVE, COSTA, Julia, SACO, SPEED, Terminator, T T T 2,... Bemerkung Neben der Termination können auch andere (unentscheidbare) Eigenschaften von Programmen automatisch verifiziert werden, etwa der Speicherbedarf, die Laufzeitkomplexität, etc. AProVE, COSTA, LOOPUS, RaML, SPEED, T C T,... NB: diese Tools müssen unvollständig sein 4

12 Organisation 1te Klausur Bitte registrieren Sie sich online für die Klausur Die Klausur findet im Hörsaal A (A-K) und Hörsaal B (L-Z) statt Prüfungsstoff ist alles außer heute Die Prüfung is closed-book: keine Unterlagen, keine Taschenrechner, etc. Alte Klausuren (plus Musterlösungen) sind online 5

13 Organisation 1te Klausur Bitte registrieren Sie sich online für die Klausur Die Klausur findet im Hörsaal A (A-K) und Hörsaal B (L-Z) statt Prüfungsstoff ist alles außer heute Die Prüfung is closed-book: keine Unterlagen, keine Taschenrechner, etc. Alte Klausuren (plus Musterlösungen) sind online 2te Klausur Die 2te Klausur findet Ende Sommersemester statt; genaue Information: Homepage Bitte melden Sie sich dann online für die Klausur an Prüfungsstoff ist alles 5

14 Prüfungsvorbereitung 6

15 Verschlüsselung und Entschlüsselung Kryptographie Nachrichten werden seit sehr, sehr langer Zeit verschlüsselt, die ersten Geheimschriften werden bereits von Heredot beschrieben Kryptographie bezeichnet die Verschlüsselung und Entschlüsselung von Nachrichten, im Gegensatz zur Steganographie Zwei Arten der Kryptographie 1 Transposition Die Buchstaben einer Nachricht werden vertauscht 2 Substitution Die Buchstaben einer Nachricht werden ersetzt 7

16 Verschlüsselung und Entschlüsselung Kryptographie Nachrichten werden seit sehr, sehr langer Zeit verschlüsselt, die ersten Geheimschriften werden bereits von Heredot beschrieben Kryptographie bezeichnet die Verschlüsselung und Entschlüsselung von Nachrichten, im Gegensatz zur Steganographie Zwei Arten der Kryptographie 1 Transposition Die Buchstaben einer Nachricht werden vertauscht 2 Substitution Die Buchstaben einer Nachricht werden ersetzt Beispiel Ein antikes Beispiel für Transposition ist die von Sparta verwendete scytale (500 n.c.); die scytale ist ein Holzstab um den ein Lederband gewickelt wird 7

17 Beispiel Substitutionsschlüssel (genauer Verschiebechiffre) wurden von Julius Cäsar in den Gallischen Kriegen beschrieben: Römische Buchstaben wurden durch griechische Buchstaben ersetzt 8

18 Beispiel Substitutionsschlüssel (genauer Verschiebechiffre) wurden von Julius Cäsar in den Gallischen Kriegen beschrieben: Römische Buchstaben wurden durch griechische Buchstaben ersetzt Definition Die orginale Nachricht wird Klartext, die verschlüsselt Nachricht wird Geheimtext genannt Ein Verschiebechiffre ersetzt jeden Buchstaben des Klartexts im Geheimtext mit einen um n Buchstaben verschobenen Buchstaben Ein Verschiebechiffre ist eine Operation auf einen Restklassenring 8

19 Beispiel Substitutionsschlüssel (genauer Verschiebechiffre) wurden von Julius Cäsar in den Gallischen Kriegen beschrieben: Römische Buchstaben wurden durch griechische Buchstaben ersetzt Definition Die orginale Nachricht wird Klartext, die verschlüsselt Nachricht wird Geheimtext genannt Ein Verschiebechiffre ersetzt jeden Buchstaben des Klartexts im Geheimtext mit einen um n Buchstaben verschobenen Buchstaben Ein Verschiebechiffre ist eine Operation auf einen Restklassenring Algorithmus und Schlüssel Die Verallgemeinerung des Verschiebechiffre heißt Substitutionschiffre und verwendet eine beliebige Permutation der Klarbuchstaben anhand eines Schlüssels 8

20 Definition Als Kryptoanalyse bezeichnet man Techniken zur Entschlüsselung des Geheimtexts ohne Wissen des Schlüssels Kryptoanalyse basiert auf mathematischen, statistischen und linguistischen Methoden Frequenzanalyse verwendet die Häufigkeit von Buchstaben in einem Alphabet 9

21 Definition Als Kryptoanalyse bezeichnet man Techniken zur Entschlüsselung des Geheimtexts ohne Wissen des Schlüssels Kryptoanalyse basiert auf mathematischen, statistischen und linguistischen Methoden Frequenzanalyse verwendet die Häufigkeit von Buchstaben in einem Alphabet Beispiel Häufige Buchstaben in Englisch a 8.2 e 12.7 b 1.5 f 2.2 c 2.8 g 2.0 d

22 Definition Als Kryptoanalyse bezeichnet man Techniken zur Entschlüsselung des Geheimtexts ohne Wissen des Schlüssels Kryptoanalyse basiert auf mathematischen, statistischen und linguistischen Methoden Frequenzanalyse verwendet die Häufigkeit von Buchstaben in einem Alphabet Beispiel Häufige Buchstaben in Englisch a 8.2 e 12.7 b 1.5 f 2.2 c 2.8 g 2.0 d

23 Le Chiffre Indéchiffrable Definition Die bis jetzt betrachteten Verschlüsselungen sind monoalphabetische Substitutionsschlüssel, die bis in die Renaissance verwendet wurden, allerdings (fast) machtlos gegen die Angriffe der Frequenzanalyse waren 10

24 Le Chiffre Indéchiffrable Definition Die bis jetzt betrachteten Verschlüsselungen sind monoalphabetische Substitutionsschlüssel, die bis in die Renaissance verwendet wurden, allerdings (fast) machtlos gegen die Angriffe der Frequenzanalyse waren Beispiel König Philip II von Spanien verlangte, dass der französische Kryptoanalyst Francois Viète aufgrund eines angeblichen Paktes mit dem Teufel verurteilt werden sollte, da Viète problemlos die spanischen Nachrichten lesen konnte... 10

25 Le Chiffre Indéchiffrable Definition Die bis jetzt betrachteten Verschlüsselungen sind monoalphabetische Substitutionsschlüssel, die bis in die Renaissance verwendet wurden, allerdings (fast) machtlos gegen die Angriffe der Frequenzanalyse waren Beispiel König Philip II von Spanien verlangte, dass der französische Kryptoanalyst Francois Viète aufgrund eines angeblichen Paktes mit dem Teufel verurteilt werden sollte, da Viète problemlos die spanischen Nachrichten lesen konnte... Definition Die Vigenère Verschlüsselung verwendet statt einem Alphabet für die Verschlüsselung soviele Geheimalphabete wie Buchstaben 10

26 Vigenère Verschlüsselung Für einen deutschen Klartext werden 30 Geheimalphabete verwendet Jeder Buchstabe wird in einem anderen Alphabet verschlüsselt Schlüsselwort wird verwendet, um zu bestimmen wie welcher Buchstabe verschlüsselt wird Frequenzanalyse ist machtlos, da die gleiche Verschlüsselung verschiedene Buchstaben bedeuten kann 11

27 Vigenère Verschlüsselung Für einen deutschen Klartext werden 30 Geheimalphabete verwendet Jeder Buchstabe wird in einem anderen Alphabet verschlüsselt Schlüsselwort wird verwendet, um zu bestimmen wie welcher Buchstabe verschlüsselt wird Frequenzanalyse ist machtlos, da die gleiche Verschlüsselung verschiedene Buchstaben bedeuten kann Babbage gegen Vigenère Charles Babbage ( , UK) bekannt für die Analytical Machine Wiederholungen im Geheimtext lassen auf die Länge des Schlüsselwortes schließen Dadurch kann eine Vigenère Verschlüsselung nach mehreren Schritten auf eine monoalphabetische Verschlüsselung zurückgeführt werden 11

28 Mechanisierung der Verschlüsselung und Entschlüsselung Enigma Mechanisierung der Verschlüsselung als Antwort auf die Entschlüsselung des Vigenère Codes Die Entschlüsselung des Vigenère Codes ist zeitintensiv und hängt von der Länge des Schlüssels ab mechanische bzw. elektrische Kodiermaschinen erlauben lange Schlüssel Enigma wurde von Arthur Scherbius entwickelt und schlußendlich an das deutsche Militär verkauft Hauptakteure der Entschlüssung: Rejewski & Turing 12

29 Alice und Bob: der Anfang Austausch von Schlüsseln Wie sollen Alice und Bob sicher miteinander kommunizieren ohne gemeinsamen Schlüssel? Wie können sie aber einen Schlüssel austauschen, wenn sie sich nie treffen? Das key-distribution problem wurde lange Zeit als unlösbar betrachtet 13

30 Alice und Bob: der Anfang Austausch von Schlüsseln Wie sollen Alice und Bob sicher miteinander kommunizieren ohne gemeinsamen Schlüssel? Wie können sie aber einen Schlüssel austauschen, wenn sie sich nie treffen? Das key-distribution problem wurde lange Zeit als unlösbar betrachtet God rewards Fools Whitfield Diffie, Martin Hellman und Ralph Merkle lösten in den 1970igern dieses Problem Ihre DES Koodierung verwendet die Idee der doppelten Verschlüsselung mit privaten und öffentlichen Schlüsseln Theoretisches Konzept basierend auf Einfachfunktionen 13

31 Eine unendliche Geschichte? Die Geschichte zwischen code makern und code breakern könnte ewig so weitergehen, außer es gelingt die Realisierung der Quantum Verschlüsselung 14

32 Eine unendliche Geschichte? Die Geschichte zwischen code makern und code breakern könnte ewig so weitergehen, außer es gelingt die Realisierung der Quantum Verschlüsselung Dies wäre die erste praktische Realisierung des Einmalschlüssel-Verfahrens 14

33 Eine unendliche Geschichte? Die Geschichte zwischen code makern und code breakern könnte ewig so weitergehen, außer es gelingt die Realisierung der Quantum Verschlüsselung Dies wäre die erste praktische Realisierung des Einmalschlüssel-Verfahrens Die Mehrheit der Erfindungen in der Kryptographie und Kryptoanalyse sind geheim: die Existenz von Einfachfunktionen wurde von Ronald Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman nachgewiesen werden allerdings wurde ihre Erfindung von Clifford Cocks und James Ellis vom Goverment Communication Center (UK) vorweggenommen 14

34 Eine unendliche Geschichte? Die Geschichte zwischen code makern und code breakern könnte ewig so weitergehen, außer es gelingt die Realisierung der Quantum Verschlüsselung Dies wäre die erste praktische Realisierung des Einmalschlüssel-Verfahrens Die Mehrheit der Erfindungen in der Kryptographie und Kryptoanalyse sind geheim: die Existenz von Einfachfunktionen wurde von Ronald Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman nachgewiesen werden allerdings wurde ihre Erfindung von Clifford Cocks und James Ellis vom Goverment Communication Center (UK) vorweggenommen es ist durchaus denkbar, dass die NSA über einen Quantencomputer verfügt... 14

35 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 15