Modellprädiktive Regelung nichtlinearer sampled-data Systeme
|
|
|
- Klemens Baumann
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Modellprädiktive Regelung nichtlinearer sampled-data Systeme L. Grüne 1 D. Nešić 2 J. Pannek 1 1 Mathematisches Institut Universität Bayreuth 2 EEE Department University of Melbourne 13. Februar 2006 Workshop Mathematische Systemtheorie, Elgersburg
2 Gliederung 1 Problemstellung Problemformulierung Emulation Der modellprädiktive Ansatz 2 Stabilität und (Sub )Optimalität 3 Numerik des Problems Problemformulierung Numerische Lösung Numerische Probleme 4 Beispiele Modell Ergebnisse
3 Gliederung 1 Problemstellung Problemformulierung Emulation Der modellprädiktive Ansatz 2 Stabilität und (Sub )Optimalität 3 Numerik des Problems Problemformulierung Numerische Lösung Numerische Probleme 4 Beispiele Modell Ergebnisse
4 Gliederung 1 Problemstellung Problemformulierung Emulation Der modellprädiktive Ansatz 2 Stabilität und (Sub )Optimalität 3 Numerik des Problems Problemformulierung Numerische Lösung Numerische Probleme 4 Beispiele Modell Ergebnisse
5 Gliederung 1 Problemstellung Problemformulierung Emulation Der modellprädiktive Ansatz 2 Stabilität und (Sub )Optimalität 3 Numerik des Problems Problemformulierung Numerische Lösung Numerische Probleme 4 Beispiele Modell Ergebnisse
6 Problemformulierung Zugrundeliegendes Modell Vorgegeben ist ein Kontrollsystem ẋ(t) = f (x(t), u(t)), das mit Hilfe eines digitalen Rechners online stabilisiert werden soll. 1 u U ist als statisches / dynamisches Zustandsfeedback zu implementieren. 2 Lediglich zu vorgegebenen diskreten Zeitpunkten kann eingegriffen werden.
7 Problemformulierung Zugrundeliegendes Modell Vorgegeben ist ein Kontrollsystem ẋ(t) = f (x(t), u(t)), das mit Hilfe eines digitalen Rechners online stabilisiert werden soll. 1 u U ist als statisches / dynamisches Zustandsfeedback zu implementieren. 2 Lediglich zu vorgegebenen diskreten Zeitpunkten kann eingegriffen werden.
8 Problemformulierung Abtastfunktionen Gesucht wird eine Funktion u T : R n U, so dass der Ursprung asymptotisch stabil ist für das System ẋ(t) = f (x(t), u T (x(t k )))
9 Problemformulierung Abtastfunktionen Gesucht wird eine Funktion u T : R n U, so dass der Ursprung asymptotisch stabil ist für das System mit fester Abtast Rate T > 0. ẋ(t) = f (x(t), u T (x(t k ))) }{{} konstant auf [t k,t k+1 ) Dabei bezeichnet man t k = k T als Abtast Punkte, an denen Sprünge im Feedback auftreten können.
10 Emulation Emulationslösungen der einfache Weg Vorgehensweise: 1 Finde stabilisierendes u(x(t)) für das kontinuierliche System 2 Wähle u T (x(t k )) = u(x(t k )) für t [t k, t k+1 ), t k = k T Für diese Lösung kann asymptotische Stabilität für hinreichend kleine T gezeigt werden.
11 Emulation Emulationslösungen der einfache Weg Vorgehensweise: 1 Finde stabilisierendes u(x(t)) für das kontinuierliche System 2 Wähle u T (x(t k )) = u(x(t k )) für t [t k, t k+1 ), t k = k T Für diese Lösung kann asymptotische Stabilität für hinreichend kleine T gezeigt werden.
12 Der modellprädiktive Ansatz Grundlegende Ziele 1 Länge der Abtast Intervalle vergrößern 2 Referenz-Lösung möglichst exakt nachfahren 3 Stabilität der erhaltenen Lösung
13 Der modellprädiktive Ansatz Annahmen Man betrachtet zwei Systeme: ẋ(t) = f (x(t), u(x(t))), x(t 0 ) = x Referenz Lösung ξ(t) = f (ξ(t), v i ), ξ(t 0 ) = ξ, t [t i, t i+1 ) mit u(x(t)) ist ein zulässiges kontinuierliches Zustandsfeedback vorgegeben zudem stabilisiert u(x(t)) das kontinuierliches closed loop System ẋ(t) Gesucht: digitales Feedback (v k ) k N
14 Der modellprädiktive Ansatz Annahmen Man betrachtet zwei Systeme: ẋ(t) = f (x(t), u(x(t))), x(t 0 ) = x Referenz Lösung ξ(t) = f (ξ(t), v i ), ξ(t 0 ) = ξ, t [t i, t i+1 ) mit u(x(t)) ist ein zulässiges kontinuierliches Zustandsfeedback vorgegeben zudem stabilisiert u(x(t)) das kontinuierliches closed loop System ẋ(t) Gesucht: digitales Feedback (v k ) k N
15 Der modellprädiktive Ansatz Annahmen Man betrachtet zwei Systeme: ẋ(t) = f (x(t), u(x(t))), x(t 0 ) = x Referenz Lösung ξ(t) = f (ξ(t), v i ), ξ(t 0 ) = ξ, t [t i, t i+1 ) mit u(x(t)) ist ein zulässiges kontinuierliches Zustandsfeedback vorgegeben zudem stabilisiert u(x(t)) das kontinuierliches closed loop System ẋ(t) Gesucht: digitales Feedback (v k ) k N
16 Der modellprädiktive Ansatz Konzept Bestimmung eines Feedbacks u T für das ξ System, das bei paralleler Betrachtung des kontinuierlich feedback gesteuerten x Systems die geringstmögliche Abweichung erzeugt J M (ξ, x, u T )) := i=0 t i+1 t i l(ξ(t) x(t), u T (t i ))dt min Problem muss auf unendlichem Zeithorizont gelöst werden (HJB-Gleichung)
17 Der modellprädiktive Ansatz Konzept Bestimmung eines Feedbacks u T für das ξ System, das bei paralleler Betrachtung des kontinuierlich feedback gesteuerten x Systems die geringstmögliche Abweichung erzeugt J M (ξ, x, u T )) := i=0 t i+1 t i l(ξ(t) x(t), u T (t i ))dt min Problem muss auf unendlichem Zeithorizont gelöst werden (HJB-Gleichung)
18 Der modellprädiktive Ansatz Reduktion auf endlichen Horizont Alternativ: Bestimmung der Steuerfolge û [0,M 1] aus der Menge der Folgen v [0,M 1] für das ξ System, die bei paralleler Betrachtung des kontinuierlich feedback-gesteuerten x Systems innerhalb eines bestimmten (Zeit )Horizonts H = M T die geringstmögliche Abweichung erzeugt J M (ξ, x, v [0,M 1] ) := M 1 i=0 t i+1 t i l(ξ(t) x(t), v i )dt + F(ξ(t M ), x(t M ))
19 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren t digitales Feedback
20 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback. Horizont Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren T H t digitales Feedback
21 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback. Horizont Grundschema: 1 Shift des Horizonts Steuerfolge bestimmen 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren T H t digitales Feedback
22 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback Steuerfolge bestimmen u 0 anwenden T Horizont. H t Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren digitales Feedback
23 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback Grundschema: 1 Shift des Horizonts T u 0 angewandt t 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren digitales Feedback
24 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback. T Verschiebung des Horizonts. T Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren 0 H t digitales Feedback
25 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback. T Verschiebung des Horizonts. T Grundschema: 1 Shift des Horizonts neue Steuerfolge berechnen 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren 0 H t digitales Feedback
26 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren t digitales Feedback
27 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback.. Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren t digitales Feedback
28 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback.. Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren t digitales Feedback
29 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren t digitales Feedback
30 Der modellprädiktive Ansatz Von der Steuerung zum Feedback Grundschema: 1 Shift des Horizonts 2 Berechnung der Steuerung auf Horizont 3 u 0 implementieren t digitales Feedback
31 Stabilität Stabilität Ziel: Stabilität des kontinuierlichen MPC geregelten sampled data Systems
32 Stabilität Stabilitätsbeweis Theorem (Grimm, Messina, Teel, Tuna 2004) Beweis der semiglobal praktisch asymptotischen Stabilität für exaktes zeitdiskretes sampled-data System unter den Voraussetzungen Q und F sind stetig, U ist beschränkt, das System ist detektierbar, die Wertefunktion V i (ξ, x) ist durch eine Funktion ᾱ K nach oben beschränkt.
33 Stabilität Stabilitätsbeweis Theorem (Nešić, Grüne, 2004) Semiglobal praktisch asymptotische Stabilität kann für das kontinuierliche sampled data System mit MPC Regelung gezeigt werden, wenn Detektierbarkeit des exakten zeitdiskreten Systems aus Bedingungen an das kontinuierliche System gefolgert werden kann.
34 Stabilität Stabilitätsbeweis Praxis: Verwendung von approximierten zeitdiskreten Systemen aber: Rückschluss auf exakte zeitdiskrete Systeme (Nešić, Teel, Kokotović 1999) Schluss auf kontinuierliche Systeme (Nešić, Teel, Sontag 1999 / Nešić, Teel 2004)
35 Stabilität Stabilitätsbeweis Praxis: Verwendung von approximierten zeitdiskreten Systemen aber: Rückschluss auf exakte zeitdiskrete Systeme (Nešić, Teel, Kokotović 1999) Schluss auf kontinuierliche Systeme (Nešić, Teel, Sontag 1999 / Nešić, Teel 2004)
36 Optimalität (Sub )Optimalität Theorem (Nešić, Grüne 2004) Unter standardmäßigen Voraussetzungen an F kann gezeigt werden, dass das bestimmte Feedback u M invers optimal ist. Insbesondere existiert eine Funktion l l, für die u M das Funktional J(ξ, x, u [0, ) ) := T i=0 0 l(ξ(t) x(t), ui )dt (1) minimiert.
37 Problemformulierung Problemformulierung In jedem Schritt ist ein Problem der Form Optimaler Steuerprozess auf einem Horizont zu lösen. Finde û [0,M 1] = arg min J M (ξ, x, v [0,M 1] ) v [0,M 1] [t 0, t M ] = [j T, (j + M) T ], j N
38 Problemformulierung Problemformulierung In jedem Schritt ist ein Problem der Form Optimaler Steuerprozess Finde û [0,M 1] = arg Verwendet wird hierbei das Zielfunktional J M (ξ, x, v [0,M 1] ) := M 1 i=0 t i+1 min J M (ξ, x, v [0,M 1] ) v [0,M 1] t i l(ξ(t) x(t), v i )dt + F(ξ(t M ), x(t M ))
39 Problemformulierung Problemformulierung In jedem Schritt ist ein Problem der Form Optimaler Steuerprozess Finde û [0,M 1] = arg unter den Nebenbedingungen min J M (ξ, x, v [0,M 1] ) v [0,M 1] v i U i {0,..., M 1} ξ(t) = f (ξ(t), v i ), ξ(t 0 ) = ξ, t [t i, t i+1 ) ẋ(t) = f (x(t), u(x(t))), x(t 0 ) = x t i = t 0 + i T, i {0,..., M}.
40 Numerische Lösung Numerische Lösung Vorgaben Vorgaben: Problemstellung macht die Verwendung eines äquidistanten Gitters mit Schrittweite T notwendig keine Gitteranpassung möglich da T möglichst groß gewählt werden soll Schrittweitensteuerung innerhalb jedes Teilintervalls nötig
41 Numerische Lösung Numerische Lösung Vorgaben Vorgaben: Problemstellung macht die Verwendung eines äquidistanten Gitters mit Schrittweite T notwendig keine Gitteranpassung möglich da T möglichst groß gewählt werden soll Schrittweitensteuerung innerhalb jedes Teilintervalls nötig
42 Numerische Lösung Numerische Lösung Umsetzung Verwendung eines direkten Ansatzes zur Lösung der Folge von optimalen Steuerprozessen Diskretisierung der Zustandssysteme sowie des Zielfunktionals Optimierungsproblem mit vielen Nebenbedingungen Integral Anteil kann dabei mittels Transformation in das Differentialgleichungssystem aufgenommen und berechnet werden
43 Numerische Lösung Numerische Lösung Umsetzung Verwendung eines direkten Ansatzes zur Lösung der Folge von optimalen Steuerprozessen Diskretisierung der Zustandssysteme sowie des Zielfunktionals Optimierungsproblem mit vielen Nebenbedingungen Integral Anteil kann dabei mittels Transformation in das Differentialgleichungssystem aufgenommen und berechnet werden
44 Numerische Probleme Problemfeld Anfangslösung starke Abhängigkeit der Stabilität von den Anfangswerten Rechenzeit beobachtbar allerdings: typische Entwicklung der Rechenzeiten verwendet wird SQP-Verfahren gute Anfangslösung ist stets erforderlich sonst kaum Optimierung möglich MPC Schritt
45 Numerische Probleme Problemfeld Anfangslösung starke Abhängigkeit der Stabilität von den Anfangswerten Rechenzeit beobachtbar allerdings: typische Entwicklung der Rechenzeiten verwendet wird SQP-Verfahren gute Anfangslösung ist stets erforderlich sonst kaum Optimierung möglich MPC Schritt
46 Numerische Probleme Problemfeld Anfangslösung starke Abhängigkeit der Stabilität von den Anfangswerten Rechenzeit beobachtbar allerdings: typische Entwicklung der Rechenzeiten verwendet wird SQP-Verfahren gute Anfangslösung ist stets erforderlich sonst kaum Optimierung möglich MPC Schritt
47 Numerische Probleme Problemfeld Horizontlänge Instabilitäten können für sehr groß gewählte T auftreten mittels Verkürzung des Horizonts evtl. vermeidbar aber: es existiert eine untere Schranke für die Horizontlänge (aus Stabilitätstheorem) zudem: längere Horizonte liefern in der Regel bessere Ergebnisse längerer Horizont vergrößert Rechenzeit
48 Numerische Probleme Problemfeld Horizontlänge Instabilitäten können für sehr groß gewählte T auftreten mittels Verkürzung des Horizonts evtl. vermeidbar aber: es existiert eine untere Schranke für die Horizontlänge (aus Stabilitätstheorem) zudem: längere Horizonte liefern in der Regel bessere Ergebnisse längerer Horizont vergrößert Rechenzeit
49 Numerische Probleme Problemfeld Horizontlänge Instabilitäten können für sehr groß gewählte T auftreten mittels Verkürzung des Horizonts evtl. vermeidbar aber: es existiert eine untere Schranke für die Horizontlänge (aus Stabilitätstheorem) zudem: längere Horizonte liefern in der Regel bessere Ergebnisse längerer Horizont vergrößert Rechenzeit
50 Numerische Probleme Problemfeld Horizontlänge Instabilitäten können für sehr groß gewählte T auftreten mittels Verkürzung des Horizonts evtl. vermeidbar aber: es existiert eine untere Schranke für die Horizontlänge (aus Stabilitätstheorem) zudem: längere Horizonte liefern in der Regel bessere Ergebnisse längerer Horizont vergrößert Rechenzeit
51 Numerische Probleme Problemfeld Horizontlänge Instabilitäten können für sehr groß gewählte T auftreten mittels Verkürzung des Horizonts evtl. vermeidbar aber: es existiert eine untere Schranke für die Horizontlänge (aus Stabilitätstheorem) zudem: längere Horizonte liefern in der Regel bessere Ergebnisse längerer Horizont vergrößert Rechenzeit
52 Modell Problemmodellierung ẋ 1 (t) = x 2 (t) + x 6 (t)x 3 (t) ẋ 2 (t) = k 1 M x 1(t) b 1 M x 2(t) + x 6 (t)x 4 (t) mr M 2 b 1x 6 (t) ẋ 3 (t) = x 6 (t)x 1 (t) + x 4 (t) ẋ 4 (t) = x 6 (t)x 2 (t) k 1 M x 3(t) b 1 M x 4(t) + mr M 2 k 1 ẋ 5 (t) = x 6 (t) ẋ 6 (t) = a 1 x 5 (t) a 2 x 6 (t) + a 1 x 7 (t) + a 3 x 8 (t) p 1 x 1 (t) p 2 x 2 (t) ẋ 7 (t) = x 8 (t) ẋ 8 (t) = a 4 x 5 (t) + a 5 x 6 (t) a 4 x 7 (t) (a 5 + a 6 )x 8 (t) + 1 J u(t)
53 Modell Dynamische Regelung Ausgang des Systems: Ziel: ζ(t) := x 5 (t) a ( ) 3 x 6 (t) a 3 x 7 (t) x 5 (t) a 1 a 2 a 3 ζ(t) soll eine vorgegebene Referenzfunktion ζ r (t) asymptotisch annähern
54 Modell Dynamische Regelung Ausgang des Systems: Ziel: ζ(t) := x 5 (t) a ( ) 3 x 6 (t) a 3 x 7 (t) x 5 (t) a 1 a 2 a 3 ζ(t) soll eine vorgegebene Referenzfunktion ζ r (t) asymptotisch annähern
55 Modell Dynamische Regelung Die dynamische Regelung ist dabei gegeben durch Vorgehensweise: u(t) = g(z(t)) ż(t) = h(z(t), v(t)), z(t 0 ) = z 0. 1 Bestimme ζ (k) = ζ t k, k = 0,..., bis gilt ζ(k) u 0 2 Auflösen nach u 3 Erweitere u um v und setze ein ζ (k) = v
56 Modell Dynamische Regelung Die dynamische Regelung ist dabei gegeben durch u(t) = g(z(t)) ż(t) = h(z(t), v(t)), z(t 0 ) = z 0. Die Funktion v ist dabei aus der Differenz zwischen Ausgang ζ und Referenzfunktion ζ r sowie den Differenzen der Ableitungen geeignet zusammenzusetzen.
57 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = 1
58 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = 1
59 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = 1
60 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = 1
61 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = sin(t)
62 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = sin(t)
63 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = sin(t)
64 Ergebnisse Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung ζ r (t) = sin(t)
65 Zusammenfassung Fazit: MPC Lösungen generell besser als Emulation Verlängerung der Abtast Intervalle möglich Tracking möglich Ausblick: Verbesserung der Startlösung Stabilitätsbeweis des Trackingproblems
66 Zusammenfassung Fazit: MPC Lösungen generell besser als Emulation Verlängerung der Abtast Intervalle möglich Tracking möglich Ausblick: Verbesserung der Startlösung Stabilitätsbeweis des Trackingproblems
Ansätze zur Lösung von NMPC Problemen
Ansätze zur Lösung von NMPC Problemen Jürgen Pannek 12. Juni 2006 Seminar Modellprädiktive Regelung Gliederung 1 Problemstellung Lösungsansätze 2 Direkte Verfahren Diskretisierung Konvergenzanalyse 3 Nichtlineare
Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC: eine quantitative Betrachtung
Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC: eine quantitative Betrachtung Karl Worthmann Mathematisches Institut, Universität Bayreuth in Zusammenarbeit mit Lars Grüne gefördert vom DFG Schwerpunktprogramm
Spezialisierte adaptive Algorithmen für die Modellprädiktive Regelung von PDEs
Spezialisierte adaptive Algorithmen für die Modellprädiktive Regelung von PDEs Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Mathematisches Institut Universität Bayreuth 28.02.2018 12. Elgersburg Workshop (26.02.
14. Das Minimumprinzip
H.J. Oberle Variationsrechnung u. Optimale Steuerung SoSe 2008 14. Das Minimumprinzip In diesem Abschnitt behandeln wir die Idee der dynamischen Programmierung, die auf Bellmann 31 (1957) zurückgeht und
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differenzialgleichungssysteme 5.1-1 1.1 Grundlagen
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differentialgleichungssysteme Prof. Dr. Wandinger
Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen
Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden
Übungsskript Regelungstechnik 2
Seite 1 von 11 Universität Ulm, Institut für Mess-, Regel- und Mikrotechnik Prof. Dr.-Ing. Klaus Dietmayer / Seite 2 von 11 Aufgabe 1 : In dieser Aufgabe sollen zeitdiskrete Systeme untersucht werden.
ODE-Solver. Inhalt. Einleitung. grundlegende Algorithmen. weiterführende Algorithmen
Martin Reinhardt angewandte Mathematik 8. Semester Matrikel: 50108 ODE-Solver 11. Mai 2011 Inhalt Einleitung grundlegende Algorithmen weiterführende Algorithmen Martin Reinhardt (TUBAF) 1 Orientierung
Parallelisierung von Modellprädiktiver Regelung auf CUDA-Hardware
Parallelisierung von Modellprädiktiver Regelung auf CUDA-Hardware Thomas Jahn Universität Bayreuth 6 Februar 20 Zeitdiskretes Modell Modellfunktion Diskrete Dynamik eines Kontrollsystems ist durch Φ :
Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsrückführung via Euler-Methode
Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsrückführung via Euler-Methode Markus Müller gemeinsame Arbeit mit M. French (Southampton) und A. Ilchmann (Ilmenau) Elgersburg-Workshop 2007 Elgersburg, 21.
Entwicklung asynchroner prädiktiver Regelungsverfahren für digital vernetzte Systeme
Entwicklung asynchroner prädiktiver Regelungsverfahren für digital vernetzte Systeme 1 P. Varutti 2 J. Pannek 3 C. Böhm 1 Universität Magdeburg 2 Universität Bayreuth 3 Universität Stuttgart 1. Workshop
Hybride Modellprädiktive Regelung
Hybride Modellprädiktive Regelung Sebastian Götschel Universität Bayreuth Mathematisches Institut 12.07.2006 Motivation In vielen Anwedungen ist das Verhalten von Kontrollsystemen (auch) durch Logik bestimmt:
5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
ETHZ, D-MATH. Numerische Methoden D-PHYS, WS 2015/16 Dr. V. Gradinaru
ETHZ, D-MATH Prüfung Numerische Methoden D-PHYS, WS 5/6 Dr. V. Gradinaru..6 Prüfungsdauer: 8 Minuten Maximal erreichbare Punktzahl: 6. Der van-der-pol Oszillator ( Punkte) Der van-der-pol Oszillator kann
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am 3.7.8 Arbeitszeit: 5 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 3
Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum
Optimale Steuerung chemischer Batch-Reaktoren Praktikum Nichtlineare Modellierung in den Naturwissenschaften im WS 2012/13
MÜNSTER Optimale Steuerung chemischer Batch-Reaktoren Praktikum Nichtlineare Modellierung in den Naturwissenschaften im WS 2012/13 Karoline Pelka Christian Schmidt Christoph Große Kracht 5. Februar 2013
Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie
Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik Aufgabensammlung zur Systemtheorie Prof. Dr. techn. F. Gausch Dipl.-Ing. C. Balewski Dipl.-Ing. R. Besrat 05.04.2013 Übungsaufgaben zur Systemtheorie
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Übung 8 - Lösungsvorschlag
Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 2. Januar 21 Prof. R. Herzog, M. Bernauer Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen WS29/1 Übung 8 - Lösungsvorschlag 1. Ziel dieser Aufgabe ist die Umsetzung
Das Trust-Region-Verfahren
Das Trust-Region-Verfahren Nadine Erath 13. Mai 2013... ist eine Methode der Nichtlinearen Optimierung Ziel ist es, das Minimum der Funktion f : R n R zu bestimmen. 1 Prinzip 1. Ersetzen f(x) durch ein
6. Polynom-Interpolation
6. Polynom-Interpolation 1 6.1. Klassische Polynom-Interpolation 2 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen 3 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen 4 6.4. Fehlerabschätzung für
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am 8.6.13 Arbeitszeit: 1 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe
Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 2016
Institut für Analysis Prof Dr Michael Plum Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 0 0090 Aufgabe Punkte: Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 0 und b
2. Vorlesung. Systemtheorie für Informatiker. Dr. Christoph Grimm. Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main
2. Vorlesung Systemtheorie für Informatiker Dr. Christoph Grimm Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main Letzte Woche: EA-System Eingabe: Ausgabe: u y t E/A-System 2. Vorlesung Systemtheorie
(Lineare) stochastische Optimierung
(Lineare) stochastische Optimierung Bsp: Aus zwei Sorten Rohöl wird Benzin und Heizöl erzeugt. Die Produktivität sowie der Mindestbedarf (pro Woche) und die Kosten sind in folgender Tabelle angegeben:
x= f(x) p= U (x). (b) Zeigen Sie, dass auf jeder auf einem Intervall existierenden Lösung t x(t) die Energie E(t) := 1 2 p(t)2 + U(x(t)) x 1
Blatt 1 03042006 H-Ch Grunau Aufgabe 1 Betrachten Sie die Differentialgleichung x= f(x) mit f = U und U C 2 ((α, β), R) und schreiben Sie diese in der Form x= p, p= U (x) (a) Skizzieren Sie die Phasenportraits
Charakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
tun, sondern nur mit der Reaktion auf verschiedene Anfangswerte.
2.3 Stabilität Eine wichtige Rolle spielt das Stabilitätsverhalten dynamischer Systeme. Wie üblich sei Φ die Fundamentalmatrix des linearen Systems ẋ = A(t)x + u. Im weiteren sei t fixiert, später wird
VF-2: 2. Es seien x = 1 3 und y = π Bei der Berechnung von sin(x) sin(y) in M(10, 12, 99, 99) tritt. Auslöschung auf.
IGPM RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil NumaMB H11 (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Es müssen mindestens zwei
Autonome Mobile Systeme
Autonome Mobile Systeme Teil II: Systemtheorie für Informatiker Dr. Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik Universität Ulm SS 2007 Wiederholung vom letzten Mal! Die Übertragungsfunktion Die Übertragungsfunktion
Differentialgleichungen
Differentialgleichungen Viele physikalische Probleme können mathematisch als gewöhnliche Differentialgleichungen formuliert werden nur eine unabhängige Variable (meist t), z.b. Bewegungsgleichungen: gleichmäßig
Das Gradientenverfahren
Das Gradientenverfahren - Proseminar: Algorithmen der Nichtlinearen Optimierung - David Beisel December 10, 2012 David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, 2012 1 / 28 Gliederung 0 Einführung 1
Gewöhnliche Dierentialgleichungen
Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat
Stabilität von geschalteten DAEs
Elgersburg Workshop 2011, 16.02.2011, 17:30-18:00 Einleitung Klassische DAEs Distributionelle Lösungen für geschaltetet DAEs Inhalt 1 Einleitung Systemklasse: Definition und Motivation Beispiele 2 Klassische
Diplom VP Numerik 27. August 2007
Diplom VP Numerik 27. August 2007 Multiple-Choice-Test 30 Punkte Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine einzige Aussage angekreuzt, gilt diese
Exkurs: Method of multiple scales (Mehrskalen Methode)
Exkurs: Method of multiple scales (Mehrskalen Methode) dr. karin mora* Im folgenden betrachten wir nichtlineare dynamische Systeme (NDS) mit sogenannten kleinen nichtlinearen Termen. Viele mathematische
Klausur: Regelungs- und Systemtechnik 2
4 6 Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger Klausur: Regelungs- und Systemtechnik 2 Humboldt-Hörsaal Dienstag, den 07. 02. 2012 Beginn: 10.30 Uhr Bearbeitungszeit: 120 Minuten Modalitäten
Diskret oder kontinuierlich modellieren?
Diskret oder kontinuierlich modellieren? Franz Pauer, Florian Stampfer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2017 21. April 2017
2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung
2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung 2.1 Grundlagen 2.2 Mathematisches Pendel 2.3 Selbstzentrierung Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik 2 7.2-1 2.1 Grundlagen Für ein Anfangswertproblem 2.
Differenzialgleichungen
Differenzialgleichungen Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Problemstellung Richtungsfeld Beispiel 2 Eulerverfahren Heunverfahren
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am 8.5.5 Arbeitszeit: min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 3 4
Klassische Polynom Interpolation.
Klassische Polynom Interpolation. Bestimme ein Polynom (höchstens) n ten Grades p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, das die gegebenen Daten interpoliert, d.h. p n (x i ) = f i, 0 i n. Erster
Mathematische Grundlagen der dynamischen Simulation
Mathematische Grundlagen der dynamischen Simulation Dynamische Systeme sind Systeme, die sich verändern. Es geht dabei um eine zeitliche Entwicklung und wie immer in der Informatik betrachten wir dabei
Optimale Steuerung. Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht. 13. Dezember 2012
13. Dezember 212 1 Einleitung 2 3 4 5 6 Bang-Bang-Steuerung Berücksichtigung der Steuerung Minimierung des Steueraufwandes 7 Einleitung Ende des 17. Jahrhunderts Variationsrechnung (Brachistochrone) Einleitung
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am 9.05.07 Arbeitszeit: 50 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe
(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)
![(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)](/thumbs/67/57224748.jpg "(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)")
33 Interpolation 147 33 Interpolation In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik treten Funktionen f auf, deren Werte nur näherungsweise berechnet werden können oder sogar nur auf gewissen endlichen
Hamilton-Systeme. J. Struckmeier
Invarianten für zeitabhängige Hamilton-Systeme J. Struckmeier Vortrag im Rahmen des Winterseminars des Instituts für Angewandte Physik der Johann-Wolfgang-Goethe-Universität Frankfurt a.m. Hirschegg, 04.
Anfangswertprobleme bei differential-algebraischen Gleichungen (DAEs)
Anfangswertprobleme bei differential-algebraischen Gleichungen (DAEs) Elgersburg, 13. Februar 2006 Gliederung 1 Differential-algebraische Gleichungen 2 Distributionen 3 Anfangswertprobleme 4 Zusammenfassung
Invarianz-Entropie für Kontrollsysteme
Invarianz-Entropie für Kontrollsysteme Christoph Kawan Institut für Mathematik, Universität Augsburg in Zusammenarbeit mit Fritz Colonius, Institut für Mathematik, Universität Augsburg im Rahmen des DFG-Schwerpunktprogramms
Kapitel 8: Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen Motivation: z.b. Newton 2.
Kapitel 8: Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen Motivation: z.b. Newton 2. Gesetz: (enthalten Ableitungen der gesuchten Funktionen) Geschwindigkeit:
Übung 4 - Implementierung
Übung 4 - Implementierung 1 PID-Realisierung Das Folgeverhalten eines PID-Reglers durch die Einführung von setpoint weights (a, b und c) verbessert werden kann. 1. P: Sollwertgewichtung a, oft 0 < a
C7 Differentgleichungen (DG) C7.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen Motivation: z.b. Newton 2. Gesetz: Ort: Geschwindigkeit:
C7 Differentgleichungen (DG) C7.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen Motivation: z.b. Newton 2. Gesetz: (enthalten Ableitungen der gesuchten Funktionen) [Stoffgliederung im Skript für Kapitel
Newton- und und Quasi-Newton-Methoden in der Optimierung. János Mayer
Newton- und und Quasi-Newton-Methoden in der Optimierung János Mayer 1 GLIEDERUNG Newton-Methode für nichtlineare Gleichungen nichtlineare Gleichungssysteme freie Minimierung. Quasi-Newton-Methoden für
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen IGPM RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen
Unstetige Galerkin-Verfahren und die lineare Transportgleichung. Tobias G. Pfeiffer Freie Universität Berlin
Unstetige Galerkin-Verfahren und die lineare Transportgleichung Tobias G. Pfeiffer Freie Universität Berlin Seminar DG-Verfahren, 26. Mai 2009 , Voraussetzungen & Ziele Voraussetzungen Kenntnisse in Numerik
Kontinuierliche Optimierung
Kontinuierliche Optimierung Markus Herrich Wintersemester 2018/19 ii Inhaltsverzeichnis 2 Optimalitäts- und Regularitätsbedingungen 1 2.1 Einleitung und Wiederholung.................... 1 2.2 Optimalitätsbedingungen
Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner
Systemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Approximation eines periodischen Signals
Übungsaufgabe Numerische Lösung DGL
Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgabe Numerische Lösung DGL 1. Bestimmen Sie die Lösung der DGL ẋ = (t 2) 2 + t x mit x(0) = 1 im Bereich von t = 0 bis t = 5 mit Hilfe des Euler schen Streckenzugverfahrens,
Newton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben
Newton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben Patrick Knapp Berichtseminar zur Bachelorarbeit Universität Konstanz 14.12.2010 Einleitung Aufgabenstellung min J(y,
Numerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Alexander Breuer Dr.-Ing. Markus Kowarschik Numerisches Programmieren,
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am 8.7.211 Arbeitszeit: 12 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe
EINLEITUNG MAGNETSCHWEBETECHNIK
EINLEITUNG Magnetschwebebahnen sind Transportmittel der Zukunft. Hohe Beschleunigungen und Geschwindigkeiten bedeuten eine Verbesserung der Mobilität im Transportwesen. Die Probleme dieser noch jungen
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierungstechnik am
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierungstechnik am 10.12.2010 Arbeitszeit: 120 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer:
(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist.
Aufgabe 0: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt
Seminar Gewöhnliche Dierentialgleichungen
Seminar Gewöhnliche Dierentialgleichungen Dynamische Systeme II Valentin Jonas 8. 6. 215 1 Einleitung In dem letzten Kapitel "Dynamische Systeme I" ging es vor allem um in t glatte, autonome, dynamische
Der Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen
Der Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen Joachim Schneider Juni 2004 Zusammenfassung Es wird ein enfacher Beweis des Taylorsche Satz über die lokale Approximierbarkeit hinreichend glatter Funktionen
Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden - Wintersemester 2016/17
Institut für Analysis Prof Dr Michael Plum Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden - Wintersemester 6/7 837 Aufgabe Punkte): Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 6 3 und
Burgers Gleichung. Juri Chomé, Olaf Merkert. 2. Dezember J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember / 25
Burgers Gleichung Juri Chomé, Olaf Merkert 2. Dezember 2009 J. Chomé, O. Merkert () Burgers Gleichung 2. Dezember 2009 1 / 25 Gliederung 1 Geschichte 2 Herleitung 3 Charakteristiken 4 Numerische Lösung
NICHTRESTRINGIERTE OPTIMIERUNG
3 NICHTRESTRINGIERTE OPTIMIERUNG Die Aufgabe, mit der wir uns im Folgen beschäftigen werden, ist die Lösung von Minimierungsproblemen der Form minimiere f(x) in R n, (3.1) wobei f : R n R eine gegebene
Graphentheorie. Kürzeste Wege. Kürzeste Wege. Kürzeste Wege. Rainer Schrader. 25. Oktober 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 25. Oktober 2007 1 / 20 2 / 20 Wir werden Optimierungsprobleme vom folgenden Typ betrachten: gegeben eine Menge X und eine Funktion
Prüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf. Klausurdauer: 180 Minuten. Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name:... Vorname:...
Klausur zum Modul Ingenieurmathematik II (B22) 20. März 2014 für den Bachelorstudiengang Geodäsie und Geoinformation In der Klausur können 10 Punkte pro Aufgabe, also insgesamt 100 Punkte erreicht werden.
Dierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Mathias Hinkel, WS 2010/11
Mathias Hinkel, WS 2010/11 1. Motivation und Einführungsbeispiel 2. Mathematische Beschreibung des Ofenprozesses 3. Lösungsansätze für Differentialgleichung 4. Einführung der Laplace-Transformation 5.
Hinreichende Bedingungen für Optimalsteuerungsprobleme mit nichtglatten Zuständen
Hinreichende Bedingungen für Optimalsteuerungsprobleme mit nichtglatten Zuständen Ricki Rosendahl Schwerpunkt Optimierung und Approximation Department Mathematik - Universität Hamburg Hamburg, 10. April
Numerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 7 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 200 Prof. Dr. Klaus Höllig (IMNG)
x 1 + u y 2 = 2 0 x 2 + 4u 2.
3. Übung: gelkreis Aufgabe 3.. Gegeben sind die beiden linearen zeitkontinuierlichen Systeme 3 ẋ = 6 x + u 6 3 [ ] y = x (3.a) (3.b) und [ ] [ ] 8 ẋ = x + 6 4 [ ] y = x + 4u. u (3.a) (3.b) Berechnen Sie
Systemtheorie. Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Systemtheorie Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Einführung Viele technischen Anwendungen lassen sich zumindest näherungsweise
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierungstechnik am
Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierungstechnik am..9 Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 3 4 erreichbare
Übungsblatt 6 Musterlösung
MSE SS7 Übungsblatt 6 Musterlösung Lösung Methode der Charakteristiken) a) Hier ist c = x, d =. Also sind die Gleichungen für die Charakteristiken durch ẋt) = xt), żt) =, mit Anfangsbedingungen x) = x,
Numerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
Numerische Mathematik
Numerische Mathematik SS 999 Augabe 6 Punkte Das Integral I ln d soll numerisch bis au eine Genauigkeit von mindestens - approimiert werden. a Wie groß muss die Anzahl N der Teilintervalle sein damit mit
Grundlagen Kondition Demo. Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
Klausur: Nichtlineare Regelungssysteme 1 Sommer 2018
4 6 Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger Humboldt-Hörsaal Dienstag, den 24. 07. 2018 Beginn: 08.00 Uhr Bearbeitungszeit: 120 Min Modalitäten Als Hilfsmittel sind nur handschriftliche
Analysis 4. Lösungsvorschlag zum 12. Übungsblatt
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Andreas Geyer-Schulz SS 208. Juli 208 Analysis 4 Lösungsvorschlag zum 2. Übungsblatt Aufgabe 42 Wir untersuchen
Theorie digitaler Systeme
Theorie digitaler Systeme Vorlesung 6: Impulsantwort und Faltung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Grundlegende Systemeigenschaften Beispiele führten zu linearen Differenzengleichungen
Ablauf. 1 Imitationsdynamik. 2 Monotone Auszahlung. 3 Entscheidung gegen iterativ dominierte Strategien. 4 Beste-Antwort-Dynamik 2 / 26
Spieldynamik Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge, Kap. 8 Simon Maurer Saarbrücken, den 13.12.2011 1 / 26 Ablauf 1 Imitationsdynamik 2 Monotone Auszahlung
Numerische Integration
Numerische Integration home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/cover_sheet_5a.tex Seite 1 von 12. p.1/12 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Newton-Cotes Formeln Rechteckformel Trapezformel Simpsonsche
Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Sommer 2012 Prof. H.-R. Künsch
b Prüfung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Multiple Choice: Sommer Prof. H.-R. Künsch Gegeben sei die folgende Matrix A = 4. 4 (a) x AA T ist eine 4 4 Matrix mit ( AA T) = 4. AA T ist
u(x, 0) = g(x) : 0 x 1 u(0, t) = u(1, t) = 0 : 0 t T
8.1 Die Methode der Finiten Differenzen Wir beschränken uns auf eindimensionale Probleme und die folgenden Anfangs und Anfangsrandwertprobleme 1) Cauchy Probleme für skalare Erhaltungsgleichungen, also
Zuname: Vorname: KennNr: Matr.Nr: PRÜFUNG AUS MATHEMATIK 3. 1)(8 P.) Lösen Sie das folgende AWP mit Hilfe der Laplacetransformation.
(8 P.) Lösen Sie das folgende AWP mit Hilfe der Laplacetransformation. y 7y + 10y = sin(2x), y(0) = 1, y (0) = 3. x ( ) Bemerkung: Für festes a gilt L(e ax ) = 1 und L sin(ax) = arctan a. s a x s Die auftretenden
3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet.
unit 1 / Seite 1 Einführung Differenzialgleichungen In physikalischen Anwendungen spielt oft eine Messgrösse in Abhängigkeit von der Zeit die Hauptrolle. Beispiele dafür sind Druck p, Temperatur T, Geschwindigkeit
7. Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung
H.J. Oberle Differentialgleichungen II SoSe 2013 7. Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung Als Beispiel für eine parabolische PDG betrachten wir die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung u t (x, t)
Optimale Steuerung 1
Optimale Steuerung 1 Kapitel 6: Nichtlineare Optimierung unbeschränkter Probleme Prof. Dr.-Ing. Pu Li Fachgebiet Simulation und Optimale Prozesse (SOP) Beispiel: Parameteranpassung für Phasengleichgewicht
1 Nicht-lineare dynamische Systeme
1 Nicht-lineare dynamische Systeme 1.1 Charakteristika linerarer Systeme Superpositionsprinzip: Sind x 1 und x Lösungen eines linearen Systems, dann ist auch α 1 x 1 + α x eine Lösung. Berühmte Beispiele:
Konvexe Optimierungsprobleme
von: Veronika Kühl 1 Konvexe Optimierungsprobleme Betrachtet werden Probleme der Form (P) min x C f(x) wobei f : C R eine auf C konvexe, aber nicht notwendigerweise differenzierbare Funktion ist. Ziel
Studientag zur Algorithmischen Mathematik
Studientag zur Algorithmischen Mathematik Aufgaben zur nicht-linearen Optimierung Teil II Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 1. Juli 2012 Aufgabe 5 Bestimmen
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Wiederholungsklausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
4. Transiente Analyse
4. Transiente Analyse Bei der transienten Analyse wird der zeitliche Verlauf der Antwort auf eine zeitlich veränderliche Last bestimmt. Die zu lösende Bewegungsgleichung lautet: [ M ] [ü ]+[ D ] [ u ]+
Mehrzielige Bahnoptimierung mit MOPS DGLR Workshop Umweltfreundliches Fliegen
Multi-Objective Trajectory Optimization Methods within DLR-RM Mehrzielige Bahnoptimierung mit MOPS DGLR Workshop Umweltfreundliches Fliegen Reiko Müller DLR-RM Folie 1 Optimierungsmethoden im Institut