Optimale Steuerung. Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht. 13. Dezember 2012
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1 13. Dezember 212
2 1 Einleitung Bang-Bang-Steuerung Berücksichtigung der Steuerung Minimierung des Steueraufwandes 7
3 Einleitung Ende des 17. Jahrhunderts Variationsrechnung (Brachistochrone)
4 Einleitung Ende des 17. Jahrhunderts Variationsrechnung (Brachistochrone) Ab ca. 195 Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- und Raumfahrt sowie dem Militär Verallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischen Steuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird
5 Einleitung Ende des 17. Jahrhunderts Variationsrechnung (Brachistochrone) Ab ca. 195 Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- und Raumfahrt sowie dem Militär Verallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischen Steuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird Heute Anwendung in diversen Bereichen Hochpräzisionssteuerung technischer Prozesse Optimierung von Unternehmensprozessen Produktionsprozesse in der Industrie
6 Einleitung Ende des 17. Jahrhunderts Variationsrechnung (Brachistochrone) Ab ca. 195 Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- und Raumfahrt sowie dem Militär Verallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischen Steuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird Heute Anwendung in diversen Bereichen Hochpräzisionssteuerung technischer Prozesse Optimierung von Unternehmensprozessen Produktionsprozesse in der Industrie...
7 Minimiere J = ϕ(x(t ), x(t f )) + tf t f (t, x(t), u(t))dt
8 Minimiere J = ϕ(x(t ), x(t f )) + tf t f (t, x(t), u(t))dt unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)), t t t f,
9 Minimiere J = ϕ(x(t ), x(t f )) + tf t f (t, x(t), u(t))dt unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)), t t t f, den Steuer- und Zustandsbeschränkungen u(t) [u a, u b ] t t t f, x(t) [x a, x b ] t t t f,
10 Minimiere J = ϕ(x(t ), x(t f )) + tf t f (t, x(t), u(t))dt unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)), t t t f, den Steuer- und Zustandsbeschränkungen u(t) [u a, u b ] t t t f, x(t) [x a, x b ] t t t f, den Randbedingungen x(t ) = x, x(t f ) = x e
11 Allgemeine
12 Direktes Verfahren Diskrete Optimalsteuerungsprobleme Dynamik eines Prozesses in diskreter Form
13 Direktes Verfahren Diskrete Optimalsteuerungsprobleme Dynamik eines Prozesses in diskreter Form Beeinflussung nur an endlich vielen Stellen
14 Direktes Verfahren Diskrete Optimalsteuerungsprobleme Dynamik eines Prozesses in diskreter Form Beeinflussung nur an endlich vielen Stellen
15 Direktes Verfahren Diskrete Optimalsteuerungsprobleme Dynamik eines Prozesses in diskreter Form Beeinflussung nur an endlich vielen Stellen Gitter
16 Direktes Verfahren Diskrete Optimalsteuerungsprobleme Dynamik eines Prozesses in diskreter Form Beeinflussung nur an endlich vielen Stellen Gitter Zustandsgitterfunktion
17 Direktes Verfahren Diskrete Optimalsteuerungsprobleme Dynamik eines Prozesses in diskreter Form Beeinflussung nur an endlich vielen Stellen Gitter Zustandsgitterfunktion Steuergitterfunktion
18 Diskrete Optimalsteuerungsprobleme
19 Diskrete Optimalsteuerungsprobleme
20 Diskrete Optimalsteuerung am Beispiel des s
21 Es bezeichne t Zeit t [, t f ] x(t) Position des Wagens zum Zeitpunkt t v(t) Geschwindigkeit des Wagens zum Zeitpunkt t u(t) Beschleunigung des Wagens zum Zeitpunkt t, Steuerung Dynamik des Systems ist gegeben durch ẋ(t) = v(t) v(t) = u(t) mit x, x e, v, v e R gewünschte Anfangs- und Endbedingungen: x() = x, v() = v, x(t f ) = x e v(t f ) = v e
22 Ziel: Der Wagen soll an der vorgegebenen Endposition x e mit der Geschwindigkeit v e ankommen. Unterschiedliche Forderungen an das System Abhängig von diesen Forderungen unterschiedliches Zielfunktional J(u)
23 Mathematische Formulierung der
24 Mathematische Formulierung der min J(u) u(t)
25 Mathematische Formulierung der unter den Nebenbedingungen min J(u) u(t) x() = x, x(t f ) = x e v() = v, v(t f ) = v e
26 Mathematische Formulierung der unter den Nebenbedingungen min J(u) u(t) x() = x, x(t f ) = x e v() = v, v(t f ) = v e und den Steuerbeschränkung U b, d.h. U b u(t) U b
27 Mathematische Formulierung der unter den Nebenbedingungen min J(u) u(t) x() = x, x(t f ) = x e v() = v, v(t f ) = v e und den Steuerbeschränkung U b, d.h. U b u(t) U b Je nach Forderungen an das System werden sich x(t), v(t) und u(t) unterschiedlich verhalten.
28 In Matlab verwendete Funktionen Trapez-Regel zur Zeitintegration
29 In Matlab verwendete Funktionen Trapez-Regel zur Zeitintegration Euler-Verfahren zum Lösen von Anfangswertproblemen
30 In Matlab verwendete Funktionen Trapez-Regel zur Zeitintegration Euler-Verfahren zum Lösen von Anfangswertproblemen Runge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahren
31 In Matlab verwendete Funktionen Trapez-Regel zur Zeitintegration Euler-Verfahren zum Lösen von Anfangswertproblemen Runge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahren fmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung von J(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.
32 Bang-Bang-Steuerung Berücksichtigung der Steuerung Minimierung des Steueraufwandes Ausschließliche Berücksichtigung der Position und Geschwindigkeit J = t f (x(t) x e ) 2 + (v(t) v e ) 2 dt (1) J wird minimal, wenn das Ziel möglichst schnell erreicht wird. Es ergibt sich die Bang-Bang-Steuerung.
33 Steuerung Steuerung zum Zeitpunkt Position Position zum Zeitpunkt Zeit[s] Geschwindigkeit Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Zeit[s] Zeit[s] x e x = 7, t f = 5, 1 u 1 Bang-Bang-Steuerung: Steuerung bis zum Ziel stets an ihren Grenzen
34 Steuerung Steuerung zum Zeitpunkt Position Position zum Zeitpunkt Zeit[s] 3 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Zeit[s] Geschwindigkeit Zeit[s] x e x = 7, t f = 1, 1 u 1 Bang-Bang-Steuerung: Steuerung bis zum Ziel stets an ihren Grenzen
35 2 Steuerung zum Zeitpunkt 8 Position zum Zeitpunkt 1 6 Steuerung 1 2 Position 4 2 Geschwindigkeit Zeit[s] Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Zeit[s] Zeit[s] x e x = 7, t f = 1, 2 u 2 Steuerung bis zum Ziel stets an ihren Grenzen Ziel wird schnell, aber mit großem Steuerungsaufwand erreicht
36 Bang-Bang-Steuerung Berücksichtigung der Steuerung Minimierung des Steueraufwandes Zusätzlich kann der Steuerungsaufwand berücksichtigt werden: J = t f (x(t) x e ) 2 + (v(t) v e ) 2 + λu 2 (t)dt (2) Im Auto-Beispiel bedeutet das: Vollgas führt zu hohem Spritverbrauch. Wie hoch die Kosten tatsächlich sind und wie viel Geld für Zeitersparnis gezahlt werden soll, lässt sich durch λ einstellen.
37 5 4 Steuerung zum Zeitpunkt 1 Position zum Zeitpunkt Steuerung Position Zeit[s] Geschwindigkeit Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Zeit[s] Zeit[s] x e x = 1, t f = 1 1 u 1, λ =, 1 Starke Steuerung wird weitgehend vermieden.
38 2 Steuerung zum Zeitpunkt 15 Position zum Zeitpunkt 15 1 Steuerung 1 5 Position Zeit[s] Geschwindigkeit 1 5 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Zeit[s] Zeit[s] x e x = 1, t f = 1 1 u 1, λ =, 1 Starke Steuerung wird weitgehend vermieden. Mit erhöhtem Steueraufwand wird das Ziel schneller erreicht.
39 Bang-Bang-Steuerung Berücksichtigung der Steuerung Minimierung des Steueraufwandes Nur die Endposition und -geschwindigkeit wird Berücksichtigt: t f J = (x(t f ) x e ) 2 + (v(t f ) v e ) 2 + λ Die benötigte Zeit geht nicht mehr ein. u 2 (t)dt (3)
40 Steuerung Steuerung zum Zeitpunkt Zeit[s] Geschwindigkeit Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Position Position zum Zeitpunkt Zeit[s] x e x = 5, t f = 5 2 u 2 Minimierung der Steuerung: Zeit wird voll ausgeschöpft Zeit[s]
41 Steuerung Steuerung zum Zeitpunkt Zeit[s] Geschwindigkeit Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Zeit[s] Position Position zum Zeitpunkt Zeit[s] x e x = 5, t f = 5 2 u 2 Minimierung der Steuerung: Zeit wird voll ausgeschöpft Steuerung wird minimal
42 .4 Steuerung zum Zeitpunkt 5 Position zum Zeitpunkt Steuerung.2.2 Position Zeit[s] Geschwindigkeit Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Zeit[s] Zeit[s] x e x = 5, t f = 1 2 u 2 Minimierung der Steuerung: Zeit wird voll ausgeschöpft Steuerung wird minimal
43 Endbedingungen Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zwei Randbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeit
44 Endbedingungen Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zwei Randbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeit Endbedingungen bisher mit im Zielfunktional
45 Endbedingungen Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zwei Randbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeit Endbedingungen bisher mit im Zielfunktional Problem: Von diesen Bedingungen kann die optimale Steuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderen Summanden abweichen.
46 Endbedingungen Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zwei Randbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeit Endbedingungen bisher mit im Zielfunktional Problem: Von diesen Bedingungen kann die optimale Steuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderen Summanden abweichen. Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung an fmnincon.
47 Indirekter Zugang Bisher: Diskretisierung von Anfang an
48 Indirekter Zugang Bisher: Diskretisierung von Anfang an Alternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an die optimale Steuerung
49 Indirekter Zugang Bisher: Diskretisierung von Anfang an Alternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an die optimale Steuerung Analytische Herleitung eines Gleichungssystems, das anschließend numerisch gelöst wird
50 Indirekter Zugang Bisher: Diskretisierung von Anfang an Alternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an die optimale Steuerung Analytische Herleitung eines Gleichungssystems, das anschließend numerisch gelöst wird Stichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand
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