2.3 Klassische Variationsprobleme

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1 58 Kapitel. Variationsrechnung.3 Klassische Variationsprobleme Wir werden nun zwei klassische Variationsprobleme behandeln, die bei der Entwicklung der bisher vorgestellten Methoden eine wichtige Rolle gespielt haben. Minimale Rotationsflächen. Taucht man zwei Drahtringe in eine Seifenlauge und zieht dann den einen Ring vertikal nach oben, bildet die Seifenhaut zwischen den Ringen eine rotationssymmetrische Fläche von minimaler Oberfläche. Um diese minimale Fläche zu bestimmen, formulieren wir die Situation als Variationsproblem. Wir wählen die Symmetrieachse der Rotationsfläche als x-achse, plazieren den Nullpunkt in einen der Drahtringe und ergänzen zu einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Die x-y-ebene schneidet die Fläche in zwei spiegelbildlichen Kurven. Die Kurve oberhalb der x-achse können wir als Graph einer glatten Funktion ϕ:[0,l] R >0 darstellen. Die Werte ϕ(0) = r 1, ϕ(l) = r geben die Radien der beiden Drahtringe an. Umgekehrt erzeugt jede solche Funktion eine Rotationsfläche in R 3. Zeichnen wir nämlich den Funktionsgraphen von ϕ in die x-y-ebene ein und lassen wir diese Kurve im Raum um die x-achse rotieren, so erhalten wir eine Fläche, die drehsymmetrisch ist bezüglich jeder Drehung um die x-achse. Wir betrachten also Funktionen aus der Teilmenge Z := {ϕ C ([0,L],R >0 ) ϕ(0) = r 1,ϕ(L) = r } (r 1,r > 0 fest gewählt) des Banachraums B = C ([0,L],R). Frage: Welche der durch die Funktionen aus Z erzeugten Rotationsflächen haben die kleinste Oberfläche? Oder gibt es möglicherweise gar keine solche Minimalfläche? Die Oberfläche der von ϕ Z erzeugten Rotationsfläche F (ohne die berandenden Kreisscheiben) beträgt I(ϕ) = L 0 πϕ(x) 1+ϕ (x) dx. Dennπϕ(x)gibtdenUmfangdesKreisesan,denwirerhalten,wennwirF miteiner EbenesenkrechtzurSymmetrieachse aufderhöhexschneiden, und 1+ϕ (x) dx = ds beschreibt ein infinitesimales Wegstück auf dem Funktionsgraphen von ϕ. Hat das Funktional I bei ϕ Z ein lokales Minimum, so erfüllt ϕ die zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung f(x,ϕ(x),ϕ (x)) = d dx 3f(x,ϕ(x),ϕ (x)), wobei f(x,ϕ(x),ϕ (x)) = πϕ(x) 1+ϕ (x). Der Integrand f hängt also hier nicht explizit von x ab. In diesem Fall lässt sich die Euler-Lagrange-Gleichung auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zurückführen..8 Lemma Sei f:[a,b] U R (U R ) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit 1 f(x,y,z) = 0 für alle x,y,z. Ist ϕ C ([a,b],r) eine Lösung der entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichung, dann gibt es eine Konstante c R mit: ϕ (x) 3 f(x,ϕ(x),ϕ (x)) f(x,ϕ(x),ϕ (x)) = c für alle x [a,b].

2 .3. Klassische Variationsprobleme 59 Beweis. Bestimmen wir die Ableitung nach x der linken Seite in der Gleichung, erhalten wir wegen der Voraussetzung: d dx (ϕ (x) 3 f(x,ϕ(x),ϕ (x)) f(x,ϕ(x),ϕ (x))) = ϕ (x) 3 f +ϕ (x) d dx 3f 1 f ϕ (x) f ϕ (x) 3 f = ϕ (x)( d dx 3f f). Gilt also die Euler-Lagrange-Gleichung, verschwindet die Ableitung, und daher ist die linke Seite wie behauptet konstant. q.e.d. Wenden wir dies Lemma nun auf das Problem der Minimalflächen an. Die vereinfachte Version der Euler-Lagrange-Gleichung lautet hier: πϕ (x) ϕ (x)ϕ(x) 1+ϕ (x) πϕ(x) 1+ϕ (x) = c. Daraus folgt ϕ (x) = ( π c ϕ(x)) 1. Wir setzen c 1 := π. Dann können wir diese Differentialgleichung auch in der Form c y = (c 1 y) 1 schreiben und durch Trennung der Variablen lösen. Die Trennung der Variablen liefert dy (c1 y) 1 = 1 arcosh(c 1 y) = x+c. c 1 Also lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ϕ(x) = 1 c 1 cosh(c 1 (x+c )) (x [0,L]) mit Konstanten c 1,c R, c 1 > 0. Es handelt sich also um eine passend skalierte und verschobene Form des Cosinus hyperbolicus. Ob es eine Lösung gibt, die auch die vorgegebenen Randbedingungen ϕ(0) = r 1, ϕ(l) = r, erfüllt, hängt (bei vorgegebenen Werten r 1,r > 0) von der Wahl von L ab. Dies entspricht der Beobachtung, dass die Seifenhaut beim Auseinanderziehen der Drahtringe zerreisst, sobald die Entfernung der Ringe eine kritische Marke überschreitet. Schauen wir uns dies genauer an für den Fall, dass die beiden Drahtringe denselben Radius haben, das heisst r 1 = r = r > 0. Dann muss gelten ϕ(0) = ϕ(l), und dies ist nur erfüllt, wenn wir c = L setzen. Die Kandidaten, die möglicherweise eine Minimalfläche erzeugen, sind also die Funktionen der Form wobei c > 0 so gewählt sein muss, dass ϕ(x) = 1 c cosh(c(x L )) (x [0,L]), ϕ(l) c = cosh( L c) = rc.

3 60 Kapitel. Variationsrechnung Geometrisch bedeutet dies: die Gerade G durch den Nullpunkt mit der Steigung r schneidet den Graphen der Funktion ψ L :c cosh( L c) im Punkt (c,rc). Aus dem Verlauf des Cosinus hyperbolicus ergeben sich nun drei Möglichkeiten. 1. Fall: DieGeradeGist einetangenteandenfunktionsgraphenvonψ L und(c,rc) ist der eindeutige Berührpunkt. In diesem Fall ist r = ψ L (c) = L sinh(l c) =: r 0 und r 0 c = ψ L (c) = cosh( L c). Das heisst also: L sinh( ( L ) r 0 r +1) = 1. 0 Das Verhältnis von r 0 zu L liegt etwa bei r 0 /L 0,76.. Fall: Die Gerade G schneidet den Funktionsgraphen von ψ L nicht und es gibt keine Lösung. Dieser Fall tritt ein, wenn r < r 0. Unter diesen Umständen gibt es keine Minimalfläche, das Funktional I nimmt auf Z kein Minimum an. 3. Fall: Die Gerade G schneidet den Funktiongraphen von ψ L in zwei Punkten. Dieser Fall tritt ein, wenn r > r 0. Hier gibt es zwei Lösungen der Euler-Lagrange- Gleichung, aber nur eine erzeugt tatsächlich eine Minimalfläche. Resultat: Das Variationsproblem hat eine eindeutige Lösung, wenn das Verhältnis von L zu r genügend klein ist. Problem der Brachistochrone. Hier geht es darum, eine optimale Rutschbahn zu finden. Sind p, q vorgegebene Punkte, suchen wir diejenige Bahnkurve, längs der ein Massenpunkt nur unter dem Einfluss der Schwerkraft in der kürzesten Zeit von p nach q gelangt. Dies Problem wurde 1696 von Johann Bernoulli gelöst, der dafür die Grundideen der Variationsrechnung entwickelte. Wir wählen den Punkt p als Ursprung des Koordinatensystems in der vertikalen Ebene durch p und q. Die y-achse orientieren wir(entgegen der üblichen Gewohnheit) nach unten, so dass q = (a,b) (a,b > 0) sei. Die Bahnkurve von p nach q, die der Massenpunkt zurücklegen soll, sei als Funktionsgraph beschrieben. In Frage kommen also Funktionen aus der Menge Z := {ϕ C ([0,a],R) ϕ(0) = 0,ϕ(a) = b}. Nehmen wir an, der Massenpunkt sei zu Beginn der Bewegung beim Startpunkt p in Ruhe und falle dann entlang der Bahn bis zum Punkt q. Das Energieerhaltungsprinzip liefert dann: Daraus folgt 0 = E kin +E pot = 1 mv mgϕ(x). v = gϕ(x) = ds dt. Weiter gilt für den längs der Bahn zurückgelegten Weg ds = 1+ϕ (x) dx.

4 .3. Klassische Variationsprobleme 61 Die Gesamtzeit der Bewegung können wir jetzt als Integralausdruck schreiben, nämlich: q q ds a T(ϕ) = dt = v = 1+ϕ (x) dx. gϕ(x) Wir müssen also folgende Frage beantworten: p p Frage: Nimmt das Funktional T auf der Menge Z ein Minimum an, und wenn ja an welchen Stellen? Auch hier hängt der Integrand nicht explizit von der Variablen x ab, wir können also wieder die vereinfachte Form der Euler-Lagrange-Gleichung verwenden: ϕ (x) gϕ(x)(1+ϕ (x) ) 1+ϕ (x) = c. gϕ(x) Daraus ergibt sich: ϕ(x)(1+ϕ (x) ) = C für eine weitere Konstante C R. Diese Differentialgleichung ist zwar elementar integrierbar, die Lösung sieht aber kompliziert aus und ist nicht leicht zu interpretieren. Deshalb verfolgen wir einen anderen Ansatz und schreiben den Funktionsgraphen als parametrisierte Kurve in der Form γ(t) = (x,ϕ(x)) = (x(t),y(t)) (t [0,T]). Dabei gebe γ(t) an, an welchem Punkt der Bahn sich der Massenpunkt zum Zeitpunkt t befindet. Dann gilt für die momentane Geschwindigkeit des Massenpunktes: Ausserdem liefert die Kettenregel: Daraus folgt: v(t) = gy(t) = ẋ(t) +ẏ(t). ẏ(t) = d dt ϕ(x(t)) = ϕ (x(t)) ẋ(t). ϕ (x(t)) = ẏ(t) ẋ(t). Setzen wir dies in die Differentialgleichung für ϕ ein, erhalten wir: y(t)(ẋ(t) +ẏ(t) ) = Cẋ(t). Mit der Gleichung für die Momentangeschwindigkeit wird daraus: und wir erhalten: ẏ(t) = gy(t) = C(gy(t) ẏ(t) ), g Cy(t) y(t) g und ẋ(t) = C c y(t). 0

5 6 Kapitel. Variationsrechnung In dieser Form ist die Differentialgleichung für y leicht lösbar, und die Lösung zur Anfangsbedingung y(0) = 0 lautet: y(t) = C (1 cos g C t). Daraus ergibt sich folgende Parametrisierung der gesuchten Bahnkurve: γ(t) = ( C g g ( C t sin( C t), C g (1 cos t)) (t [0,T]). C S := g C t und Um die Darstellung der Bahnkurve zu vereinfachen, setzen wir: s := CT. Bezogen auf den Parameter s lautet die Beschreibung der Kurve: g γ(s) = ( C (s sin(s), C ) (1 cos(s)) (s [0,S]). Dies ist ein Ausschnitt aus einer sogenannten Zykloide. So nennt man diejenige Kurve, die beim Abrollen einer Kreisscheibe mit konstanter Drehgeschwindigkeit entlang der x-achse entsteht, wenn man einen Punkt auf dem Rand des Kreises markiert. Der Parameter C gibt dabei den Durchmesser des Kreises an. Kehren wir wieder zurück zum ursprünglichen Variationsproblem, der Frage nach der optimalen Rutschbahn. Damit die Bahnkurve am vorgesehenen Punkt endet, muss folgende Bedingung erfüllt sein: ( C γ(s) = q = (a,b) = (S sin(s), C ) (1 coss). Daraus folgt insbesondere b a = 1 coss S sins. Durch diese Beziehung ist ein eindeutiger Wert S (0, π) festgelegt, denn die Ursprungsgerade mit der Steigung b > 0 schneidet den Abschnitt der Zykloide zum a Kreis von Radius 1 über [0,π] ausser im Nullpunkt in genau einem weiteren Punkt. Nun ist auch C eindeutig festgelegt, denn C = b. 1 cos(s) Resultat: Das Problem der Brachistochrone hat stets eine eindeutige Lösung, und es handelt sich dabei um einen Ausschnitt aus einer Zykloide. Es kann übrigens vorkommen, dass der tiefste Punkt der optimalen Bahnkurve tiefer liegt als der Endpunkt q. Und zwar ist dies immer dann der Fall, wenn b a < π..4 Variationsprobleme mit Nebenbedingung Man kann, ähnlich wie im Fall von Funktionen mehrerer Variabler, auch bei Funktionalen auf Banachräumen nach Extrema unter Nebenbedingungen fragen. Hier ist ein typisches Beispiel für so eine Fragestellung:

6 .4. Variationsprobleme mit Nebenbedingung 63.9 Beispiel Seien a > 0 und L > a vorgegeben, und sei B = C 0 ([,a],r). Weiter sei Z = {ϕ B C ((,a),r 0 ) ϕ() = 0 = ϕ(a)}. Unter den Kurven mit Weglänge L, die sich als Graph einer Funktion ϕ Z schreiben lassen, suchen wir nach derjenigen, die zusammen mit der x-achse die grösste Fläche umschliesst. Gesucht istalsodasmaximumdesfunktionalsa:z R,definiertdurchA(ϕ) = ϕ(x)dx, unter der Nebenbedingung L(ϕ) = 1+ϕ (x)dx = L. Es gilt folgende notwendige Bedingung für lokale Extremwerte unter einer Nebenbedingung..30 Satz Die Funktionale I,K:Z C ([a,b],r) seien definiert durch I(ϕ) = b a f(x,ϕ(x),ϕ (x))dx und K(ϕ) = b a g(x,ϕ(x),ϕ (x))dx, wobei f, g jeweils zweimal stetig differenzierbare Funktionen in drei Variablen seien. Nehmen wir jetzt an, das Funktional I habe bei ϕ Z ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung K(ϕ) = L (L R vorgegeben). Dann gibt es einen Lagrange- Multiplikator λ R mit (f +λg)(x,ϕ(x),ϕ (x)) = d dx 3(f +λg)(x,ϕ(x),ϕ (x)) für alle x, es sei denn ϕ erfüllt die Differentialgleichung g(x,ϕ(x),ϕ (x)) = d dx 3g(x,ϕ(x),ϕ (x)) für alle x..31 Beispiel Kehren wir wieder zu unserem Beispiel zurück und wenden wir den Satz darauf an. In diesem Fall ist f(x,ϕ(x),ϕ (x)) = ϕ(x) und g(x,ϕ(x),ϕ (x)) = 1+ϕ (x). Die Differentialgleichung für (f +λg) lautet also hier: ( ) 1 = d ϕ (x) λ. dx 1+ϕ (x) Durch Integration folgt und daraus ergibt sich ϕ (x) x c 1 = λ 1+ϕ (x), ϕ (x) = (x c 1) λ (x c 1 ).

7 64 Kapitel. Variationsrechnung Nochmalige Integration liefert nun die allgemeine Lösung (x c 1 ) ϕ(x) = λ (x c 1 ) dx = λ (x c 1 ) +c mit Konstanten λ,c 1,c R. Der Graph von ϕ ist also ein Ausschnitt aus dem Kreis, gegeben durch (x c 1 ) +(y c ) = λ, von Radius λ um den Mittelpunkt (c 1,c ). Wegen der Randbedingungen ϕ() = ϕ(a) = 0 muss ausserdem gelten: c 1 = 0 und c = λ < 0. Schliesslich liefert die Nebenbedingung noch eine zusätzliche Beziehung: K(ϕ) = 1+ϕ (x) dx = λ λ x dx = λarcsin(a λ ) = L. Zu gegebenen L > a hat diese Gleichung eine eindeutige Lösung λ a, falls L πa. Resultat: Für L = πa erhält man als optimale Kurve den Halbkreisbogen; er umschliesst mit der x-achse die grösste Fläche; allerdings ist ϕ in diesem Fall in den Randpunkten nicht differenzierbar. Tatsächlich gilt folgendes:.3 Satz Unter allen einfach geschlossenen stetigen Kurven vorgegebener Länge berandet die Kreislinie die grösste Fläche. Daraus folgt die sogenannte isoperimetrische Ungleichung. Sie besagt, dass für die von einer einfach geschlossenen stetigen Kurve γ der Länge L umschlossene Fläche A(γ) stets gilt: A(γ) L 4π. Die obere Schranke wird nur genau dann angenommen, wenn γ eine Kreislinie ist.