Einige Erweiterungen der Variationsrechnung*

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1 Kapitel 5 Einige Erweiterungen der Variationsrechnung* 5.1 Einleitung In vielen Anwendungen treten Variationsprobleme auf, die in der einen oder anderen Weise vom der bislang behandelten Grundstruktur abweichen, aber dennoch mit dem Formalismus der Variationsrechnung also insbesondere der Euler-Gleichung behandelt werden können. Im Folgenden werden, mehr im Sinne einer Formelsammlung, folgende Erweiterungen behandelt: Mehrdimensionale Variationprobleme Systeme: Das Variationsproblem umfasst mehrere unbekannte Funktionen aber nur ein Zielfunktional Gleichungsrestringierte Variationsprobleme: Algebro-, Differential- und isoperimetrische Restriktionen Freier Endzeitpunkt: Auch der Zeithorizont T ist optimal zu wählen. Sämtliche dieser Erweiterungen, insbesondere Differentialrestriktionen und algebraische Restriktionen auch als Ungleichungen, lassen sich auch und besser mit dem Maximumprinzip der Kontrolltheorie behandeln, weswegen wir dieses Kapitel nicht in der Vorlesung besprechen. 5.2 Mehrdimensionale Variationsprobleme Ein solches liegt vor, wenn das Variationsproblem mehrere unbekannte Funktionen umfasst, die ein Zielfunktional maximieren oder minimieren. Gegeben ist also eine Momentanertragsfkt. f t, x 1,... x n, ẋ 1,..., ẋ n der 2 n + 1 Variablen x1,... x n =: x, ẋ 1,..., ẋ n =: ẋ sowie t. Gesucht sind stetig diff.bare Funktionen x 1 t,..., x n t =: xt auf dem Intervall [t, t 1 ], die das Funktional Jx = t f t, x 1 t,..., x n t, ẋ 1 t,..., ẋ n t dt minimieren oder maximieren, und zwar unter Randbedingungen der Art x i t = x i, i = 1,..., n sowie x i t 1 = x 1 i, i = 1,..., n a x i t 1 frei, i = n a + 1,..., n b x i t 1 x 1 i i = n b + 1,..., n Das zentrale Ergebnis der mehrdimensionalen Variationsrechnung lautet: In einer Lösung ist die Euler-Gleichung notwendigerweise für jede der Fktnen x i t erfüllt, d.h. es gilt f x i = d f, dt ẋ i 63 i = 1,..., n

2 64 Erweiterungen der Variationsrechnung* Um das zu sehen, betrachtet man eine als existent unterstellte Lösung x 1 t,..., x nt des mehrdimensionalen Problems und hält alle bis auf die i-te Funktion x i t fest. Dadurch entsteht ein eindimensionales Variationsproblem in xt := x i t, in dessen Momentanertragsfkt. die partiellen Ableitungen nach x bzw. ẋ mit denjenigen von f nach x i bzw. ẋ i übereinstimmen. Analoges gilt für die totale Ableitung d f dt ẋ i. Die Euler-Gleichung für das eindimensionale Problem liefert dann die Euler-Gleichung für die i-te Komponentenfunktion des mehrdimensionalen Problems. Mit einem analogen Argument reduzieren sich auch die Transversalitätsbedingungen des mehrdimensionalen Problems auf die entsprechenden eindimensionalen. Zu beachten ist, dass die Euler-Gleichungen im mehrdimensionalen Fall ein System von Differentialgleichungen i.a. zweiter Ordnung darstellen, das im Normalfall nicht entkoppelt. Insofern ist die analytische Behandlung mehrdimensionaler Variationsprobleme i.d.r. komplizierter. Das System von Euler-Gleichungen zusammen mit den Transversalitätsbedingungen stellt eine notwendige Bedingung für die Lösung dar. Die für den eindimensionalen Fall angegebene hinreichende insbes. Existenz-sichernde Bedingung verallgemeinert sich auf die mehrdimensionale Situation: Wenn die Fkt. ft, x, ẋ für jedes t konkav bzw. konvex in x, ẋ ist, so ist ein System von Funktionen xt, das den Euler-Gleichungen sowie den Anfangs- und Transversalitätsbedingungen genügt, eine maximierende bzw. minimierende Lösung des mehrdimensionalen Variationsproblems. Beispiel: Die Länge einer durch xt = x 1 t, x 2 t, x 3 t im Zeitraum t [t, t 1 ] beschriebenen Kurve im R 3 ist durch ẋ1 2t + ẋ 2 2t + ẋ 3 2 t dt t gegeben. Das ergibt sich daraus, dass die Länge des im Zeitraum [t, t 1 ] durchlaufenen Kurvenstücks das Zeit-Integral der Momentan-Geschwindigkeit vt = ẋ1 2t + ẋ 2 2t + ẋ 3 2t über diesen Zeitraum ist, wobei vt = ẋt = ẋ 1 t, ẋ 2 t, ẋ 3 t der Geschwindigkeitsvektor ist. Das Problem der kürzesten Verbindung zweier Punkte x und x 1 ist also das Variationsproblem mit ft, x, ẋ = ẋ1 2 + ẋ ẋ 3 2 als Momentanertrag unter den Randbedingungen xt = x, xt 1 = x 1. Da hier f f x i =, ẋ i = ẋ i / ẋ ẋ2 2 + ẋ2 3, lautet das System der Eulergleichungen: ẋ 1 = d ẋ2 dt 1 + ẋ 2 2 +, = d ẋ2 ẋ2 dt ẋ 2 2 +, = d ẋ2 ẋ2 dt ẋ ẋ2 3 Zur Behandlung dieses Systems von Differentialgleichungen ist es am einfachsten, geometrisch zu argumentieren: In Vektorform besagen die Gleichungen vt ẋ 2 d vt dt vt = wobei vt der auf Länge eins normierte Tangentenvektor der Kurve ist. Das System der Eulergleichungen besagt also, dass eine Lösung des Problems notwendigerweise einen in jedem Punkt der Kurve konstanten Tangentenvektor hat. Das ist offensichtlich nur für Geraden der Fall, was natürlich die Lösung des Problems darstellt. Es bleibt anzumerken, dass die analytische Auswertung der totalen Ableitungen d f dt x i hier zu einem angesichts der einfachen Lösung: erstaunlich komplizierten System von Differentialgleichungen führt. Der Grund dafür liegt darin, dass die Lösung des Problems nicht vorschreibt, mit welcher Geschwindigkeit die Verbindungsgerade zwischen x und x 1 durchlaufen wird. Mit jeder diff.baren Funktion vt, die vt = und vt 1 = 1 erfüllt, wird durch xt = x +vtx 1 x eine analytische Lösung des Problems definiert geometrisch ergibt sich immer die Verbindungsgerade. Das System der Eulergln. muss diese Mehrdeutigkeit der analytischen Lösung zulassen. ẋ 3

3 c K.H. Schild, Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Uni Marburg Gleichungsrestringierte Variationsprobleme Betrachtet sei nun das n-dimensionale Variationsproblem max xt oder min xt t f t, xt, ẋt dt unter m Nebenbedingungen der Form g t, xt, ẋt =, d.h. g 1 t, xt, ẋt =, g m t, xt, ẋt =, die für alle t [t, t 1 ] gelten sollen. Von einer Punkt- oder algebraischen Restriktion spricht man, wenn g j nicht von ẋ abhängt, ansonsten von einer Differential-Restriktion. Man beachte, dass es sich hier um Gleichungs- nicht Ungleichungs-Restriktionen handelt. Sofern die Restriktionen keine Redundanzen enthalten, hat das Problem zu jedem Zeitpunkt t nur n m Freiheitsgrade. Daraus folgt, dass der Fall m > n mehr Restriktionen als unbekannte Funktionen normalerweise keinen Sinn macht, weil die zulässige Menge leer ist. Auch der Fall m = n ist uninteressant, da hier xt i.a. bereits durch die Restriktionen festgelegt ist. Das gilt auch bei Differential- Restriktionen hier hat man zwar noch je einen freien Parameter die Integrationskonstante, der aber z.b. schon durch einen vorgegebenen Anfangswert x bestimmt ist. Es liegt nahe, das Problem mit der Lagrange-Methode zu behandeln: Man sieht für jede Restriktion einen Lagrange-Parameter λ j vor, ersetzt die Momentanertragsfkt. ft, x, ẋ durch die Lagrange-Funktion Lt, x, ẋ, λ := ft, x, ẋ + m λ j g j t, x, ẋ = ft, x, ẋ + λ gt, x, ẋ j=1 und behandelt das unrestringierte mehrdimensionale Variationsproblem max / min xt,λt t. L t, xt, ẋt, λt dt mit den insgesamt m + n unbekannten Funktionen x 1 t,..., x n t und λ 1 t,..., λ m t. Zu beachten ist dabei, dass für die Lagrange-Multiplikatoren λ j Funktionen der Zeit t anzusetzen sind die Restriktionen sollen ja zu jedem Zeitpunkt t gelten. Die Eulergln. des unrestringierten Problems bzgl. L lauten: L = d L i = 1,..., n x i dt ẋ i Wie in der statischen Optimierung reproduziert die Euler-Gl. für λ j, also L λ j = d L dt λ, die j-te j =. Mit f und g j ausgedrückt lauten die Restriktion g j t, x, ẋ =, da L L λ j = g j t, x, ẋ, λ j Euler-Gln sie werden jetzt auch als Euler-Lagrange-Gleichungen bezeichnet: f + x λ g j j = d f + i j x i dt ẋ λ g j j i j ẋ i oder d f f = g j λ j d g j λj dt ẋ i x i j x i dt ẋ i Im Fall einer einzigen algebraischen Restrikionen, wo also m = 1 und g ẋ i =, reduziert sich dies auf d f f = λt g, i = 1,..., n dt ẋ i x i x i

4 66 Erweiterungen der Variationsrechnung* Beispiel: Gegeben eine durch gx 1, x 2, x 3 = definierte Fläche im R 3, besteht das Problem der geodätischen Kurve darin, die kürzeste Kurve xt = x 1 t, x 2 t, x 3 t auf dieser Fläche zu finden, die zwei auf der Fläche liegende Punkte x und x 1 miteinander verbindet. Als Variationsproblem ist dies die Aufgabe, t ẋ1 2t + ẋ 2 2t + ẋ 3 2 t dt zu minimieren unter der Restriktion gx 1, x 2, x 3 =. Das System der Euler-Lagrange-Gln lautet hier: d ẋ ẋ 1 dt ẋ2 2 + ẋ 3 2 = λ g x 1, d ẋ ẋ 2 dt ẋ2 2 + ẋ 3 2 = λ g x 2, d ẋ ẋ 3 dt ẋ2 2 + ẋ 3 2 = λ g x 3 oder in Vektorform mit dem normierten Tangentenvektor v/ v und dem Gradienten g von g: d vt dt vt = λt g. Hierbei definiert g die Normalenrichtung der Fläche. Um die geometrische Bedeutung des abgeleiteten normierten Tangentenvektors d vt dt vt zu erfassen, betrachten wir: d v dt v = 1 v d d dt v + dt 1 v v = v v v v v 3 v = v v v v v v v v = y t y t Dies ist das Residuum der Orthogonalprojektion Regression des Vektors y := v/ v Beschleunigungsrichtung auf die Tangente t = v/ v ein Vektor, der senkrecht zur Tangente steht und in der von Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor v und v aufgespannten Schmiegungsebene an die Kurve liegt. Die durch den Vektor d v dt v festgelegte Richtung in R 3 wird als der Hauptnormalenvektor n bezeichnet. Zusammen mit dem sog Binormalenvektor b, der senkrecht sowohl zur Tangente als auch zur Hauptnormalen steht, definieren t, n, b das begleitende orthonormale Dreibein der Kurve. Man kann zeigen: Die Länge des Vektors d dt vt/ vt misst die Krümmung der Kurve in der Schmiegungsebene. Das System der Eulergln. besagt hier also: In jedem Punkt einer geodätischen Kurve fallen der Normalenvektor der Fläche und der Hauptnormalenvektor der Kurve zusammen. Der Lagrange- Multiplikator λt skaliert die Länge des Gradienten auf die Krümmung der Kurve. 5.4 Variationsprobleme unter isoperimetrischen Restriktionen Das isoperimetrische Problem im engeren Sinne besteht darin, diejenige ebene Figur mit gegebenem Umfang l zu finden, die den größten Flächeninhalt F hat. 1 Unter der Annahme, dass die Figur oberhalb der t-achse durch den Graphen einer Fkt. xt t [, T ] berandet ist, ergibt sich das Variationsproblem max xt dt xt 1 Das isoperimetrische Problem war bereits in der Antike bekannt: Der Königin Dido wurde so viel Land versprochen, wie auf eine Kuhhaut passt bzw. sich von einer Kuhhaut umranden lässt. Sie zerschnitt die Kuhhaut in dünne Streifen, verband diese Streifen zu einem Band und stand nun vor dem isoperimetrischen Problem: Welche Form sollte sie dem Stück Land, das sie mit dem Band gegebener Länge l umfassen wollte, geben? Die Lösung des Problems ist nicht, wie man vielleicht vermutet, ein Quadrat dort erhält man bei gegebenem Umfang l = 4a die Fläche F = a 2 = l/4 2 = l 2 /16 sondern ein Kreis, wo man bei gegebenem Umfang l = 2π r die Fläche F = π r 2 = l 2 /4 π hat, immerhin 27.4 % mehr als beim Quadrat gleichen Umfangs π/

5 c K.H. Schild, Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Uni Marburg 67 unter der Restriktion konstanter Länge l des Graphen von xt, d.h. 1 + ẋ 2 t dt = l sowie x =, xt =. Verallgemeinert spricht man bei einem Variationsproblem min xt oder max xt f t, xt, ẋt dt unter einer Restriktion der Art zur Vereinfachung beschränken wir uns hier auf eine solche Restriktion g t, xt, ẋt dt = l von einem isoperimetrischen Problem. Im Unterschied zu den Algebro- oder Differential- Restriktionen liegt hier also nicht in jedem Punkt t eine Restriktion vor, sondern die Restriktion besteht darin, dass ein zweites Funktional den vorgegebenen Wert l annimmt. Von daher erscheint es sinnvoll, die Lagrange-Methode mit einem konstanten, d.h. von t unabhängigen Parameter λ anzusetzen, was auf das unrestringierte Zielfunktional min / max xt,λ xt,λ [ f t, xt, ẋt dt + λ g t, xt, ẋt ] dt hinausläuft. Die Euler-Gleichungen bzgl. Lt, x, ẋ, λ = ft, x, ẋ + λ gt, x, ẋ lassen sich hier mit λt = const, also λ = folgendermaßen schreiben: f d f g = λ d g x i dt ẋ i x i dt ẋ i Beispiel: Beim Problem der größten Fläche bei gegebenem Umfang, d.h. ft, x, ẋ = x und gt, x, ẋ = 1 + ẋ 2, ergibt sich als Euler-Lagrange-Gleichung 1 = λ d ẋ d ẋ = 1 dt 1 + ẋ 2 dt 1 + ẋ 2 λ Anstatt hier auf der li. Seite die totale Ableitung nach der Zeit zu bilden, um die entstehende DGl. 2. Ordnung zu erhalten dies würde auf führen ist es einfacher, die Aussage ẍ 1+ẋ 2 d direkt zu lesen als dt... = const. Mit A/λ als der Integrationskonstanten folgt λ ẋ = t A 1 + ẋ 2 = 1 λ Wir lösen nach ẋ auf: λ 2 ẋ 2 = t A ẋ 2 = t A 2 + t A 2 ẋ 2 ẋ = ± t A λ 2 t A 2 Als Stammfkt. der re. Seite erweist sich ± λ 2 t A 2, d.h. mit B als Integr.Konstante: xt = ± λ 2 t A 2 + B xt B 2 + t A 2 = λ 2 Dies beschreibt einen Kreis in der t, x-ebene mit Mittelpunkt A, B und Radius λ. D.h. die Lösung des gestellten Problems ist ein Kreisbogen sofern das Problem eine minimierende Lösung hat und die Euler-Lagrange-Gl. eine notwendige Bedingung für diese darstellt. Obwohl die Lösung also geometrisch einfach zu konstruieren ist, gelingt die formelmäßige Bestimmung der beiden Integrationskonstanten A und B zusammen mit dem Kreisradius λ nicht in geschlossener Form wenn T vorgegeben ist; bei freiem T, was wir hier noch nicht behandeln können, sollte sich ein Halbkreis mit Mittelpunkt auf der t-achse ergeben, dessen Radius λ sich aus 2π λ = 2l zu λ = l/π bestimmt; dann wäre B =, A = λ und T = 2λ

6 68 Erweiterungen der Variationsrechnung* 5.5 Freier Endzeitpunkt allgemeinere Transvers.bedingungen Wir betrachten ein der Einfachheit halber: skalares und unrestringiertes Variationsproblem mit freiem Endzeitpunkt T min / max xtt [,T ], T > ft, x, ẋ dt Das heißt, es soll nun auch über den Endzeitpunkt T optimiert werden. Man könnte dieses Problem folgendermaßen angehen: Man löst zunächst das Problem mit T als Parameter, d.h. mit festem, aber beliebigem T, bekommt eine Lösung x t; T, setzt diese in das Zielfunktional ein, indem man J T := f t, x t; T, ẋ t; T dt ermittelt und optimiert schließlich über T. Letzteres ist eine relativ einfache Aufgabe, da man nur eine eindimensionale Optimierung der Funktion J T durchzuführen hat, wozu man im Wesentlichen die Ableitung J T benötigt. Der Haken bei diesem Vorgehen besteht darin, dass man nicht nur das Problem mit festem T als Parameter lösen muss, sondern auch die Funktion J T ermitteln muss: Das ist oft sehr mühsam, da dazu ein parameterabhängiges Integral zu berechnen ist Parameter ist T. Dies kann man sich ersparen, denn für die Ableitung J T von J T nach T ergibt sich zumindest dort, wo sie existiert etwas, das man viel einfacher bekommt: d dt J T = f T, x T ; T, ẋ T ; T ẋt ; T f ẋ ft, x T ; T, ẋ T ; T Da man zur Ermittlung der rechten Seite die Lösung x t; T zum Parameterwert T ausgewertet in t = T in f ẋ f ẋ einsetzt, schreiben wir kurz: d dt J T = f ẋ f ẋ Die Bedingung erster Ordnung für ein Extremum von J T wird damit zu f ẋ f ẋ = Diese Bedingung bekommen wir als zusätzliche notwendige Bedingung, wenn wir auch über T optimieren man beachte, dass es nur eine notwendige Bedingung ist. Vom Typ her ist f ẋ f ẋ = eine Transversalitätsbedingung, wie sie sich auch bei freiem xt bei gegebener Zeit T als f ẋ = ergab. Da man bei variablem x = xt in der x-richtung vertikal frei ist, bei variablem T dagegen in der t-richtung horizontal, spricht man auch von der vertikalen und horizontalen Transversalitätsbedingung: { vertikale Transversalitätsbedingung freies xt : f ẋ = horizontale Transversalitätsbedingung freies T : f ẋ f ẋ = Horizontale und vertikale Transversalitätsbedingung können auch gemischt auftreten, wenn nämlich sowohl xt als auch T frei sind. Sind tatsächlich beide, T und xt, frei, hat man zwei zusätzliche Endbedingungen für die Eulergl. die insbes. auch f = implizieren. Ist aber eigentlich nur T frei und xt soll auf den Graphen einer Funktion gt gezwungen werden, d.h. liegt die Restriktion xt = gt vor, so lautet die einzige Transversalitätsbedingung Transversalitätsbedingung bei Restriktion auf Kurve xt = gt : f + g ẋ f ẋ = Diese Variante lässt sich auch so lesen, dass xt frei ist, aber T auf den Graphen der Umkehrfkt von g gezwungen wird. Die Transversaltitätsbedingungen gelten auch bei den oben besprochenen restringierten Variationsproblemen, wobei f durch die Lagrange-Funktion zu ersetzen ist. To do als Demo-Beispiel: Den Halbkreis beim isoperimetrischen Problem herleiten.