TEIL 1 (ohne Rechner)

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1 Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme Dozent: R. Burkhardt Büro: Klasse: Systemtechnik Semester: Datum: FS 008 Hilfsmittel: Erlaubt sind alle Unterrichtsunterlagen (Script, Bücher und Formelsammlung). (Korrekte) Resultate ohne ersichtlichen Lösungsweg ergeben nicht die volle Punktzahl. Zeit: 10 Minuten Punkte: Maximal Punktzahl 70 (65 + pro Aufgabe einen Bonuspunkt für saubere, mathematisch korrekte Darstellung), Punkte für eine SECHS 60, Punkte für eine VIER 34. TEIL 1 (ohne Rechner) 1. Aufgabe (3 / 9 / 3 Punkte) Die 6 Variablen x 1, x,...,x 6 des SIMULINK Modells werden auf den workspace geführt und dann als Graphen in Abhängigkeit der Zeit gezeichnet. (a) Finde für jede der Variablen x 1, x,...,x 6 die Differentialgleichung, die durch das Simulink Modell beschrieben wird. Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

2 Name: Seite: x 1 : x : x 3 : x 4 : x 5 : x 6 : x 1 1 x 1 x 1 (0) 1 x 4x x (0) 1 x 3 x 3 t x 3 (0) 1 x 4 4x 4 13x 4 x 4 (0) 1 x 4 (0) 0 x 5 9x 5 x 5 (0) 1 x 5 (0) 0 x 6 sin(3t) 4x 6 x 6 (0) 1 x 6 (0) 0 (b) Bestimme von den gefundenen Anfangswertproblemen die partikulären Lösungen. x 1 : trennbare DGL x 1 1 x 1 x 1 dx 1 dt t + C x 1 ± t + C 1 C C 1 x 1 (t) t +1 x : trennbare oder lineare DGL x +4x 0 k +4 0 k 4 x Ce 4t 1C x (t) e 4t x 3 : lineare DGL 1-ter Ordnung x 3 x 3 t k 1 0 k 1 x 1 Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

3 Name: Seite: 3 x 3,hom Ce t x p At + B x p A A (At + B) t A B 1 x 3 Ce t + t +1 1C +1 C 0 x 3 (t) t +1 x 4 : lineare DGL -ter Ordnung x 4 +4x 4 +13x 4 0 k +4k k 1, ± 3i x 4 e t (C 1 sin (3t)+C cos (3t)) x 4 e t (C 1 sin (3t)+C cos (3t)) + e t (3C 1 cos (3t) 3C sin (3t)) 1 C 0 C +3C 1 C 1 3,C 1 x 4 (t) e t 3 sin (3t)+cos(3t) x 5 : lineare DGL -ter Ordnung x 5 +9x 5 0 k +9 0 k 1, ±3i x 5 (0) 1 x 5 (0) 0 x 5 C 1 sin (3t)+C cos (3t) x 5 3C 1 cos (3t) 3C sin (3t) 1 C 0 3C 1 C 1 0,C 1 x 5 (t) cos(3t) x 6 : lineare DGL -ter Ordnung x 6 +4x 6 sin(3t) k +4k 0 k 1 0 k 4 x 6,hom C 1 + C e 4t x p A sin (3t)+Bcos (3t) x p 3A cos (3t) 3B sin (3t) x p 9A sin (3t) 9B cos (3t) ( 9A sin (3t) 9B cos (3t)) + 4 (3A cos (3t) 3B sin (3t)) sin (3t) ( 9A 1B)sin(3t)+(1A 9B)cos(3t) sin(3t) 1 9 A 0 A B 1 B 4 75 Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

4 Name: Seite: 4 x 6 C 1 + C e 4t 1 5 sin (3t) 4 cos (3t) 75 x 6 4C e 4t 3 cos (3t)+1 sin (3t) C 1 + C C C1 75 C1 0 4 C 3 1 C x 6 (t) e 4t 1 4 sin (3t) cos (3t) 5 75 (c) Beschrifte die 6 Graphen mit den zugehörigen Variablennamen. x 1 : x 1 (t) t +1Graph rechts Oben! x : x (t) e 4t Graph links Unten! x 3 : x 3 (t) t +1Graph links Oben! x 4 : x 4 (t) e t 3 sin (3t)+cos(3t) Graph rechts Unten! x 5 : x 5 (t) cos(3t) Graph mitte Oben! x 6 : x 6 (t) e 4t 1 5 sin (3t) 4 75 cos (3t) Graph mitte Unten! Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

5 Name: Seite: 5. Aufgabe (6 / 6 Punkte) (a) Bestimme vom Anfangswertproblem x t x x (0) 1 x (0) 1 die Lösung analytisch und nummerisch (Euler-Cauchy-Verfahren, h 0.5, 4 Iterationsschritte) und vergleiche die gefundenen Resultate. analytisch: homogene DGL: x + x 0 k + k 0 k 1 0 k 1 x hom C 1 + C e t inhom. DGL (Ansatz in Form der Störung): RESONANZ! x p At + Bt x p At + B x p A (A)+(At + B) t A 1,B 1 x C 1 + C e t + 1 t t xn+1 v n+1 x C e t + t 1 Anfangsbedingung einsetzen: 1 C 1 + C 1 C 1 C 1 1,C 0 x (t) 1 t t +1 numerische Umwandeln in ein System: x v v x t x t v x v v t v Iterationsvorschrift: t 0 0 x0 1 1 v n v 0 t n+1 t n + h xn xn + h v n Berechnung: xn v n + h v n t n v n x n + hv n v n + h (t n v n ) Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

6 Name: Seite: 6 x1 x v v 1 Erster Schritt: t 1 t 0 + h x 0 + hv 0 v 0 + h (t 0 v 0 ) Zweiter Schritt: t t 1 + h x 1 + hv 1 v 1 + h (t 1 v 1 ) Dritter Schritt: t 3 t + h x + hv v + h (t v ) x3 x4 v 4 v 3 Vierter Schritt: t 4 t 3 + h x 3 + hv 3 v 3 + h (t 3 v 3 ) Vergleich: 1+0.5( 1) 1+0.5(0 ( 1)) ( 0.5) (0.5 ( 0.5)) (0) 0+0.5(1 0) (0.5) ( ) t x ex x num (b) Bestimme vom Anfangswertproblem x xt x (1) 1 9 die Lösung analytisch und nummerisch (Runge-Kutta-Verfahren, h 0.5, 4 Iterationsschritte) und vergleiche die gefundenen Resultate. analytisch: dx x t dt dx tdt x x 3 t 3 + C x 1 3 t + C 3 Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

7 Name: Seite: 7 numerisch: Iterationsvorschrift: C C 0 3 x 1 3 t t3 3 9 t 0 1 x t n+1 t n + h m 1 x n t n m x n + h m 1 t n + h x n + h m 3 x n + h m t n + h x n + h m 4 (x n + hm 3 )(t n + h) x n + h x n + h xn t n t n + h x n + h xn t n t n + h t n + h x n + h xn t n t n + h t n + h (tn + h) m 1 6 (m 1 +m +m 3 + m 4 ) x n+1 x n + hm Berechnung: Erster Schritt: t 1 t 0 + h m 1 1 x 0 t m x 0 + h m 1 t 0 + h m 3 x 0 + h m t 0 + h m 4 1 (x 0 + hm 3 )(t 0 + h) ( ) m 1 ( ) x 1 x 0 + hm Zweiter Schritt: t t 1 + h m 1 x 1 t m x 1 + h m 1 t 1 + h m 3 x 1 + h m t 1 + h m 4 (x 1 + hm 3 )(t 1 + h) ( ) ( ) Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

8 Name: Seite: 8 m 1 ( ) x x 1 + hm Dritter Schritt: t 3 t + h m 1 x t m x + h m 1 t + h m 3 x + h m t + h m 4 (x + hm 3 )(t + h) ( ) ( + 0.5).0876 m 1 ( ) x 3 x + hm Vierter Schritt: t 4 t 3 + h m 1 x 3 t m x 3 + h m 1 t 3 + h m 3 x 3 + h m t 3 + h m 4 (x 3 + hm 3 )(t 3 + h) ( ) (.5+0.5) m 1 ( ).56 6 x 4 x 3 + hm Vergleich: t x ex x num Aufgabe (4 / 4 / 4 Punkte) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung x +6x +10x s (t) x (0) 1 x (0) 0 (a) Bestimme die Lösung des Anfangwertproblems für s (t) 0. Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

9 Name: Seite: 9 Charakteristische Gleichung: k +6k k 1, 3 ± i Allgemeine x e 3t (C 1 sin (t)+c cos (t)) x 3e 3t (C 1 sin (t)+c cos (t)) + e 3t (C 1 cos (t) C cos (t)) Anfangswerte einsetzen: 1 C 0 C 1 3C C 1 3,C 1 Gesuchte partikuläre x e 3t (3 sin (t)+cos(t)) (b) Bestimme die Lösung des Anfangwertproblems für s (t) 10t +1t +1. Ansatz in Form der Störung: x p At + Bt + C x p At + B x p A Einsetzen: x +6x +10x 10t +1t +1 (A)+6(At + B)+10 At + Bt + C 10t +1t +1 (10A) t +(1A +10B) t +(A +6B +10C) 10t +1t A B 10 1 A B C 1 C 1 Allgemeine x e 3t (C 1 sin (t)+c cos (t)) + t +1 x 3e 3t (C 1 sin (t)+c cos (t)) + e 3t (C 1 cos (t) C sin (t)) + t Anfangswerte einsetzen: 1 C +1 0 C 1 3C C 1 C 0 Gesuchte partikuläre x t +1 (c) Bestimme die Lösung des Anfangwertproblems für s (t) e 3t. Ansatz in Form der Störung: x p Ae 3t Einsetzen: x p 3Ae 3t x p 9Ae 3t x +6x +10x e 3t 9Ae 3t +6 3Ae 3t +10 Ae 3t e 3t Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

10 Name: Seite: 10 A 1 Allgemeine x e 3t (C 1 sin (t)+c cos (t)) + e 3t Ae 3t e 3t x 3e 3t (C 1 sin (t)+c cos (t)) + e 3t (C 1 cos (t) C sin (t)) 3e 3t Anfangswerte einsetzen: 1 C +1 0 C 1 3C C C 3 C1 3 0 C Gesuchte partikuläre x e 3t (3 sin (t)+1) TEIL (mit Rechner) 4. Aufgabe ( / 4 / 4 Punkte) Wir betrachten die Differentialgleichung x +ln 1+x 1 x (0) (a) Gib die stationäre Lösung x 0 der Differentialgleichung an. Bei der stationären Lösung ändert sich das Signal nicht mehr, also gilt x 0. Eingesetzt findet man: 0+ln 1+x 1 1+x e x 0 e 1 (b) Bestimme die linearisierte Gleichung (Arbeitspunkt ist x 0 ). Wir linearisieren die Funktion f (x) ln 1+x im Arbeitspunkt: f lin (x) f (x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) ln (1 + x) lin ln 1 1+x 0 + (x x 0 ) 1+x 0 1 ln 1+e 1 + x e (1+e 1 1) 1+ e x e e x + e Linearisierte Funktion in der DGL einsetzen: x e x + e 1 x + e x 1 e (c) Erstelle ein SIMULINK Modell, das beide Lösungen produziert. Modell: Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

11 Name: Seite: 11 Graphen: 5. Aufgabe (3 / 3 / 10 Punkte) Die Masse m 1kg bewegt sich auf der Bahn 0 x<0 y 1 e x x 0 Zum Startzeitpunkt t 0 0sdurchfährt die Masse den Punkt P 0 (0, 0) mit einer Geschwindigkeit v 0 10 m s. Zwischen der Masse und der Unterlage wirkt Gleitreibung (μ G 0.15). Weitere Reibungseinflüsse werden vernachlässigt. (a) Bestimme den Krümmungsradius der Bahn allgemein für x>0und gib den Wert numerisch an der Stelle x 1 1an. Bahn: x (u) u r y (u) 1 e u Krümmungsradius: (x (u)) +(y (u)) 3 R x (u) y (u) x (u) y (u) mit: x (u) 1 Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

12 Name: Seite: 1 x (u) 0 y (u) ue u y (u) e u 4u e u folgt: 1 + ue u 3 R (u) 1 e u 4u e u 0 ue u 1+4u e u 3 e u (1 u ) 1+4u e 3 u e u (1 u ) Krümmungsradius für den angegebenen Punkt (x 1 1 u 1 1): 1+4(1) 3 e (1) e (1) R (1) 1 (1) e (1 + 4e ) 3.60 (b) Skizziere die Bahn und zeichne die Masse und die auf sie wirkenden Kräfte (keine Resultierenden oder Zerlegungen von Kräften!) an den Punkten x 0.5 und x ein. Achte darauf, dass die Längen der Vektoren zueinander im richtigen Verhältnis stehen. (c) Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung der Masse zu untersuchen. Beantworte insbesondere die folgenden Fragen: Welche Geschwindigkeit hat die Masse nach einer Sekunde? Wie gross ist die Normalkraft bei x 1 1? Nach welcher Zeit und an welchem Ort kommt die Masse zum stehen? Modell: Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

13 Name: Seite: 13 Graphen: Antworten: Die Geschwindigkeit nach einer Sekunde beträgt: v (1s) m s. Normalkraft bei x 1 1mbeträgt F N (x 1 )F N (0.54s).31N. Die Endposition (Stillstand) hat die Masse nach t end.89s erreicht. Die Endposition ist Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

14 Name: Seite: 14 dann P end (4.0844m, 1m). Steuerungsskript: % s_mod08_aufgabe6 % Diese Skript laeuft in Verbindung mit dem Modell % m_mod08_aufgabe6.mdl % % $Revision: 1.0 $ % Roger Burkhardt (FHNW) FS 008 modell m_mod08_aufgabe6 ; % % Groessen definieren: % % Feste Konstanten: g 9.81; %[m/s^] % Parameter: m 1; %[kg] mue 0.15; %[-] %Startwerte: u_0 0; s_0 0; %[m] v_0 6; %[m/s] % Grössen für die Simulation: % %Hier werden die Parameter für die Simulation gesetzt: %Startzeit: set_param(modell, Start time, 0 ); %Endzeit: set_param(modell, Stop time, 5 ); %Verfahren: set_param(modell, Solver, ode4 ); %Schrittweite: set_param(modell, FixedStep, ); %Ausgabe zu MATLAB konfigurieren SaveFormatStructureWithTime set_param([modell, /To Workspace ], SaveFormat, StructureWithTime ); set_param([modell, /To Workspace1 ], SaveFormat, StructureWithTime ); set_param([modell, /To Workspace ], SaveFormat, StructureWithTime ); % % Simulation ausführen: % sim(modell) % % Simulation auswerten: % % Signale: % %Zeitvektor: t_w simout.time; %p: u_w simout.signals.values(:,1); %Weg: s_w simout.signals.values(:,); %Schnelligkeit: v_w simout.signals.values(:,3); %Beschleunigung Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

15 Name: Seite: 15 a_w simout.signals.values(:,4); %x: x_w simout.signals.values(:,5); %y: y_w simout.signals.values(:,6); %Kruemmungsradius: R_w simout1.signals.values(:,1); %Steigungswinkel: phi_w simout1.signals.values(:,); %Zentripedalkraft: F_Z_w simout.signals.values(:,1); %Normalkraft: F_N_w simout.signals.values(:,); %Reibkraft: F_R_w simout.signals.values(:,3); %normale Komponente Gewichtskraft: F_G_norm_w simout.signals.values(:,4); %tangentiale Komponente Gewichtskraft: F_G_tang_w simout.signals.values(:,5); %Resultierende Kraft: F_res_w simout.signals.values(:,6); %Antworten: % t_1_index min(find(t_w>1)) v_t_1 v_w(t_1_index) t_x_1_index min(find(x_w>1)) F_N_x_1 F_N_w(t_x_1_index) t_end_index min(find(v_w<0)) u_end u_w(t_end_index) x_end x_w(t_end_index) y_end y_w(t_end_index) %Graphen: % %Fenster 1 (Weg / Schnelligkeit / Beschleunigung): figure(1); p1newplot; %s (blau): set(p1, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),s_w(1:t_end_index), b, LineWidth,); %v (rot): set(p1, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),v_w(1:t_end_index), r, LineWidth,); %a (schwarz): set(p1, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),a_w(1:t_end_index), k, LineWidth,); %Gitter einschalten: grid on; %Titel der Grafik setzen: title( Weg / Schnelligkeit / Beschleunigung ); %Legende: legend( s, v, a ); %Fenster (Geometrie): figure(); pnewplot; %R (blau): Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008

16 Name: Seite: 16 set(p, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),r_w(1:t_end_index), b, LineWidth,); %phi (rot): set(p, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),phi_w(1:t_end_index), r, LineWidth,); %Gitter einschalten: grid on; %Achsen: axis([ ]) %Titel der Grafik setzen: title( Geometrie ); %Legende: legend( R, phi ); %Fenster 3 (Bahn): figure(3); p3newplot; %s (blau): set(p3, NextPlot, add ); plot(x_w(1:t_end_index),y_w(1:t_end_index), b, LineWidth,); %Gitter einschalten: grid on; %Titel der Grafik setzen: title( Bahnkurve ); %Fenster 4 (Kraefte): figure(4); p4newplot; %F_Z (blau): set(p4, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),abs(f_z_w(1:t_end_index)), b, LineWidth,); %F_N (rot): set(p4, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),f_n_w(1:t_end_index), r, LineWidth,);%F_R (schwarz): set(p4, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),f_r_w(1:t_end_index), k, LineWidth,); %F_G_norm (gruen): set(p4, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),f_g_norm_w(1:t_end_index), g, LineWidth,); %F_G_tan (margenta): set(p4, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),f_g_tang_w(1:t_end_index), m, LineWidth,); %F_res (cyan): set(p4, NextPlot, add ); plot(t_w(1:t_end_index),f_res_w(1:t_end_index), c, LineWidth,); %Gitter einschalten: grid on; %Achsen: axis([ ]) %Titel der Grafik setzen: title( Kräfte ); %Legende: legend( F_Z, F_N, F_R, F_G_{norm}, F_G_{tan}, F_{res} ); % % Ende Skriptdatei % Systemtechnik Lösungen MSP Modellieren dynamischer Systeme FS 008