Solvency II and Nested Simulations - Least-Squares Monte Carlo Approach

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1 Technische Universität Wien Seminararbeit Finanz- und Versicherungsmathematik Solvency II and Nested Simulations - Least-Squares Monte Carlo Approach Khischgee TURBAT 22. Februar 206

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 2 Solvency II 3 2. Grundlagen Erste Säule Internes Modell Standardmodell Rahmenbedingungen für die Berechnungen 6 3. Available Capital Solvency Capital Requirement Nested Simulations Approach 8 4. Annahmen Approximation vom Eigenmittel Eigenmittel zum Zeitpunkt t = Eigenmittel zum Zeitpunkt t = Approximation vom SCR Approximationsfehler Least-Squares Monte Carlo Approach 5 5. Least-Squares Algorithmus Konvergenz Anwendung der Berechnungen 7 6. Modellannahmen Ergebnisse Nested Simulations Approach Least-Squares Monte Carlo Approach Fazit 22 8 Quellenverzeichnis 23 9 Literaturverzeichnis 23 0 Abbildungsverzeichnis 23

3 Einleitung Diese Arbeit beschäftigt sich mit Solvency II und die numerische Berechnung der Solvenz- und Mindeskapitalanforderung mithilfe verschiedener Methoden. Solvency II ist ein Großprojekt der EU-Kommission, welches die Regelungen für Versicherungsunternehmen innerhalb der Europäischen Union reformieren soll. Näheres dazu wird im zweiten Kapitel kurz erläutert. Die Berechnung des Solvenz- und Mindestkapitals (im Folgenden SCR und MCR) kann durch unterschiedliche Methoden erfolgen, die jeweils ihre Vor- und Nachteile haben. Hier werden zwei Methoden präsentiert. Die erste Methode ist die Nested Simulations Approach und die zweite Methode heißt Least Squares Monte Carlo Approach. Sie werden jeweils im vierten und fünften Kapitel definiert und erklärt. Im sechsten Kapitel werden die Ergebnisse dieser Simulationen anhand konkreter Zahlen durchgeführt, um so die Vor- und Nachteile beider Methoden deutlich darzustellen. Schwerpunkt dieser Arbeit liegt jedoch auf der Berechnung des SCR und MCR anhand der ersten Methode, Nested Simulations Approach. Der Großteil meiner Arbeit beruht auf die gleichnamige Veröffentlichung von Daniel Bauer, Daniela Bergmann und Andreas Reuss. Viele Notationen und Definitionen wurden übernommen. 2

4 2 Solvency II Solvency II wird in den kommenden Jahren für Versicherungsmathematiker/-innen ein großes Thema darstellen. Deshalb ist es umso wichtiger zumindest ein Grundverständis aufzuweisen. Da der Schwerpunkt dieser Arbeit jedoch auf die Berechnung des SCR und MCR liegt, wird in diesem Kapitel nur die Grundlagen beschrieben. 2. Grundlagen Dieses Großprojekt der EU-Kommission ist am. Jänner 206 in Österreich mit dem VAG 206 in Kraft getreten. Das Hauptziel dieser einheitlichen Rahmenrichtlinie ist es den Versicherungsbinnenmarkt und die Aufsichtssysteme im Europäischen Wirtschaftsraum (EWR) zu harmonisieren. Die neuen Regelungen bringen viele Änderungen mit sich, auf die sich alle Versicherungsunternehmen vorbereitet haben, wobei die Umsetzung für viele eine große Herausforderung war. Solvency II verfolgt einen 3-Säulen-Ansatz:. Säule - Anforderungen zur Kapitalausstattung Die erste Säule behandelt die Höhe des Solvenz- und Mindestkapitals. Das bedeutet, dass hier die quantitativen Anforderungen an das SCR und MCR für das Folgejahr gegeben sind. Darüberhinaus gibt es auch Regelungen zur ökonomischen, d.h. marktnahen Bewertung von Aktiva und Passiva. 2. Säule - Governance Vorschriften Die zweite Säule umfasst hauptsächlich Regelungen an das Risikomanagementsystem, das sind zum Beispiel die qualitativen Anforderungen an den Vorstandsmitglieder (Fit-and-Proper-Kriterien) und Vorschriften über die Nachweisbarkeit und Vorhandensein von Geschäfts- und Risikostrategien, Interne Revision, Notfallpläne, interne Steuerungs- und Kontrollsysteme. 3. Säule - Veröffentlichungsvorschriften In der dritten Säule sind die Berichterstattungspflichten des Versicherungsunternehmens gegenüber der Öffentlichkeit und der FMA beschrieben. 2.2 Erste Säule Durch Solvency II ist jedes Unternehmen verpflichtet das SCR und MCR mit den Vorschriften in Säule für das Folgejahr zu berechnen. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: mithilfe des Standardmodells oder mit einem internen Modell. Für beide Modelle stellt Solvency II Mindesanforderungen (z.b. die ökonomische Bewertung der Bilanz) Internes Modell Wenn sich ein Versicherungsunternehmen für den internen Modeallansatz entscheidet, muss es seinem Risikoprofil entsprechend die numerischen Implementierungen vornehmen und so ein geeignetes Modell entwickeln. Das kann einerseits ein Vorteil darstellen, da die Approximierung des SCR genauer ist, aber andererseits kann es als Nachteil 3

5 interpretiert werden, da die mathematische Umsetzung im Allgemeinen mit immenser Rechenaufwand verbunden werden kann. Weiters muss dieser Modellansatz von der FMA genehmigt werden (in der Regel nach aufwendigen und strengen Prüfungsmaßnahmen) Standardmodell Das in Solvency II vordefinierte Methode beruht auf einen modularen Ansatz. Demnach setzt sich das SCR aus der Summe der Basissolvenzkapitalanforderung (BSCR), der Kapitalanforderung für das operationale Risiko (SCR Op ) abzüglich der Anpassungen für die Verlustausgleichsfähigkeit der versicherungstechnischen Rückstellungen und latente Steuern (Adj): SCR = BSCR + SCR Op Adj Das BSCR wird in Risikomodulen unterteilt und diese dann weiter in Unter- bzw Submodulen: Abbildung : Aufbau des Standardmodells, Quelle: 4

6 Für jedes Risiko- und Submodul wird eine Kapitalanforderung ermittelt, diese dann mithilfe von Korrelationsmatrizen aggregiert, um so die Kapitalanforderung für das Gesamtrisiko zu erhalten. Für die Berechnung des gesamten SCR wird das Value-at-Risk- Maß der Basiseigenmittel ermittelt. Diese Berechnung erfolgt auch für die einzelnen Risikomodule konsistent. Prinzipiell entspricht das SCR dem Value-at-Risk-Maß (kurz: VaR-Maß) der Basiseigenmittel eines Versicherungsunternehmens zu einem Konfidenzniveau von 99,5 % über den Zeitraum eines Jahres 2. Das bedeutet, dass das Solvenzkapital sowohl die laufenden Geschäftstätigkeiten, als auch ein 200-Jahres-Ereignis, also quasi eine größere unerwartete Katastrophe, abzudecken hat. Dabei werden sowohl Aktiva und Passiva der Bilanz, als auch die vorhandenen Eigenmittel mit dem Marktwert bewertet. Zum Verständnis was das VaR-Maß bedeutet ist hier eine andere Definition des SCR: SCR wird so bestimmt, dass die Ruinwahrscheinlichkeit des Unternehmens für das Folgejahr maximal 0,5 % beträgt, oder anders ausgedrückt, dass den Versicherungsnehmern eine technische Sicherheit von 99,5 % dafür garantiert wird, dass alle im Folgejahr anfallenden Zahlungsverpflichtungen inklusive der Folgeverpflichtungen seitens des Unternehmens bedient werden können 3. Das SCR und MCR werden als Zuschläge auf die Rückstellungen berechnet. Was das bedeutet, können wir an diesem Graphen erkennen. Rückstellungen werden als Erwartungswerte geschätzt (sog. Best Estimate) und auf diese dann zusätzlich eine Kapitalkostenmarge (Risk Marge) berechnet. Auf diese Basis kommen dann die geschätzten MCR und SCR dazu. Abbildung 2: Bilanz eines Versicherungsunternehmens, Quelle: Solvency II Kompakt 2 75 VAG

7 3 Rahmenbedingungen für die Berechnungen Dieses Kapitel schafft die mathematischen Rahmenbedingungen für die weiteren Berechnungen. Zuerst werden die Bedingungen, unter welcher ein Versicherungsunternehmen solvent ist, also zahlungsfähig, betrachtet, dann die notwendigen Größen für die Ermittlung des SCR definiert. Die quantitative Bewertung der Solvabilität eines Lebensversicherers besteht aus zwei Komponenten, dem Available Capital (AC), also Eigenmittel und dem Solvency Capital Requirement (SCR), die beide hier beschrieben werden. 3. Available Capital Das Eigenmittel ist jene Vermögen, das dem Unternehmen zum Zeitpunkt t = 0 zur Verfügung steht, zum Beispiel als Absicherung gegen unerwartete Risiken und Verluste. Es wird als Differenz zwischen den Marktwerten vom Vermögen und Verbindlichkeiten berechnet. Für Versicherungsunternehmen ist es leicht Vermögen zum Marktwert zu bewerten, was aber für Verbindlichkeiten nicht der Fall ist. Um sie zu ermitteln gibt es die sogenannte Market-Consistent Embedded Value, kurz MCEV. Das ist eine spezielle Methode zur Bewertung von Versicherungsbeständen und wurde entwickelt, um eine vergleichbare Berechnungsbasis in der Versicherungsbranche zu schaffen. Die Annahmen bzw. Anforderungen (z.b. Annahmen über den aktuellen Finanzmarkt) für diese Berechnungsmethode sind in den Market-Consistent Embedded Value Principles 4 zusammengefasst. Hier wird das MCEV definiert als die Summe vom bereinigten Nettovermögenswerten (engl.: Adjusted Net Asset Value bzw. ANAV) und dem Barwert der erwarteten künftigen Nettoerträge (engl.: Present Value of Future Profits bzw. PVFP) abzüglich der Kapitalkosten (engl.: Cost of Capital bzw. CoC): MCEV := ANAV + P V F P CoC () Das ANAV ist der Nettovermögenswert mit Anpassungen für immaterielles Vermögen, nichtrealisierte Gewinne und Verluste an Vermögenswerten. Im Allgemeinen kann es aus den Bilanzkennzahlen und aus dem Marktwert des Vermögens berechnet werden. Da die Ermittlung keine Simulationen benötigt wird hier angenommen, dass der Nettovermögenswert eine deterministische Größe ist. Das PVFP entspricht dem Barwert der künftigen Gewinne nach Steuern und enthält unteranderem den Zeitwert von Optionen und Garantien. Dadurch dass das PVFP stark von der zukünftigen Entwicklung des Finanzmarktes abhängt, benötigt man ein stochastisches Modell für die Approximierung. Kapitalkosten (CoC) entstehen durch Fremdkapitalbeschaffung oder Eigenkapitaleinsatz. Für die weiteren Berechnungen werden sie allerdings einfachheitshalber vernachlässigt. Weiters wird, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, angenommen, dass zum Zeitpunkt t = 0 das Eigenmittel und das MCEV übereinstimmen. Diese Annahme ist berechtigt, da die Strukturen der beiden Größen sich sehr ähneln, also gelte für t = 0: 4 AC 0 := MCEV 0 (2) 6

8 3.2 Solvency Capital Requirement Die zweite Komponente für die Bewertung der Solvabilität ist die Bestimmung vom SCR. Für dessen Bestimmung wird das Eigenmittel zum Zeitpunkt t =, unter der Annahme, dass der Gewinn vom ersten Jahr an den Aktionären nicht ausgeschüttet wurde, benötigt, also gelte AC := MCEV + X (3) wobei X der Gewinn vom ersten Jahr und AC das Eigenmittel zum Zeitpunkt t = seien. Aus der Definition vom SCR und der Definition von AC kann man intuitiv sagen, dass ein Versicherungsunternehmen laut Solvency II zahlungsfähig ist, wenn das Eigenmittel zum Zeitpunkt t = mit einer Wahrscheinlichkeit von α = 99, 5% positiv ist, also P (AC 0 AC 0 = x) 99, 5% Daraus folgt, dass das SCR das kleinste x für das die Ungleichung gilt. Diese Definition ist eher intuitiv und nicht notwendigerweise wichtig für die weitere Berechnung. Eine praktisch leicht umsetzbare Definition bietet die folgende: SCR :=argmin x {P ( AC 0 AC ) } + i > x α =argmin x {P (L > x) α} (4) mit dem risikofreien Zinssatz i und der einjährige Verlustfunktion L, die wie folgt definiert ist L := AC 0 AC + i Daraus folgt, dass das SCR das α-quantil von L ist bzw. das VaR von L mit einer Wahrscheinlichkeit von α, also SCR = V ar 99,5% (L) 7

9 4 Nested Simulations Approach In diesem Kapitel geht es um die Approximierung des SCR mit der Nested Simulations Approach bzw. verschachtelte Simulationen. Als erstes werden die mathematischen Rahmenbedingungen festgelegt, dann das Eigenmittel zu den Zeitpunkten t = 0, betrachtet. 4. Annahmen Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werden die folgenden Annahmen getroffen: (Ω, F, P, F = (F t ) t [0,T ] ) filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, wobei T Endvertragszeit vom längsten Vertrag im Portfolio (ca. zwischen Jahren) Y = (Y t ) t [0,T ] = (Y t,,..., Y t,d ) t [0,T ] d-dimensionaler regulärer Markow-Prozess, um die zukünftige Finanzmarktentwicklung zu modellieren (B t ) t [0,T ] risikoloses Bankkonto mit B t = exp( 0 r udu) und r t = r(y t ) als risikofreier sofortiger Zinsrate zum Zeitpunkt t es existiert ein zu P äquivalentes Martingalmaß Q unter dem die Erwartungswerte der Zahlungsströme gebildet werden, d.h. Q P f,..., f T : X t = f t (Y s, s [0, t]) mit X = (X,..., X T ), d.h. es existieren Funktionale, die die künftigen Erträge des Versicherungsunternehmens zum Zeitpunkt t von der Finanzmarktentwicklung bis t, t =,..., T abbilden 4.2 Approximation vom Eigenmittel 4.2. Eigenmittel zum Zeitpunkt t = 0 Wie schon im Kapitel 3. erwähnt, braucht es ein stochastisches Modell, um den Barwert der künftigen Gewinne, also PVFP, zu modellieren. Dafür wird das PVFP zum Zeitpunkt t = 0, definiert als V 0, berechnet aus dem Q-Erwartungswert der diskontierten künftigen Gewinne X t : ( ) ] X t V 0 := E Q [ T t= exp 0 r u du, t =,..., T Weiters kann die Standardabweichung definiert werden als ( t ) ] σ 0 := exp r u du X t, t =,..., T VQ [ T t= Im Allgemeinen kann V 0 nicht analytisch berechnet werden, da es stochastische Zufallsvariablen enthält, weshalb man auf numerische Methoden zurückgreifen muss, um V 0 zu schätzen. Eine Lösung bietet die Monte Carlo Simulation der unahhängigen Pfade (Y (k) t 0 ) t [0,T ], k =,..., K 0, unter dem Martingalmaß Q. Die Simulation verläuft so, dass 8

10 zuerst (Y (k) t ) t [0,T ] mit k =,..., K 0 Pfade erzeugt werden, dann mithilfe der Funktionale f die Cash Flows X (k) t mit k =,..., K 0 und t =,..., T berechnet und mit der entsprechenden Diskontfaktor abgezinst werden. Danach wird der Mittelwert über alle K 0 Pfade gebildet. Daraus folgt der approximierte Barwert der künftigen Gewinne Ṽ0(K 0 ) zum Zeitpunkt t = 0: Ṽ 0 (K 0 ) := K 0 K 0 k= ( T exp t= 0 r u (k) du wobei r (k) t die sofortige risikofreie Zinsrate zum Zeitpunkt t für einen Pfad k ist. Daraus folgt mit () und (2) die Approximierung des Eingemittels zum Zeitpunkt t = 0: ) X (k) t ÃC 0 = ANAV 0 + Ṽ0 (5) Abbildung 3: Simulationen der unabhängigen Pfade (Y (k) t ) t [0,T ] zum Zeitpunkt t = 0, Quelle: Eigenmittel zum Zeitpunkt t = Hier wird die Verteilung des Eigenmittels zum Zeitpunkt t = bestimmt, die für die Ermittlung des SCR benötigt wird. Unter der Annahme dass der Profit vom ersten Jahr X nicht an den Aktionären ausgeschüttet wird, lässt sich die P-Verteilung der F -messbaren Zufallsvariable 9

11 ( [ T AC := ANAV + E Q exp r u du X t Y s, s [0, ] +X t=2 }{{} =:V im folgenden bestimmen. Hier bezeichnet V den Barwert der künftigen Gewinne zum Zeitpunkt t =. Die Approximierung von AC hängt hauptsächlich von der Struktur von V ab und nicht von die der anderen Komponenten, da ANAV deterministisch ist und X keine Simulationen braucht, somit leicht zu ermitteln ist. Deshalb wird im folgenden nur die Annäherung von V beschrieben. Dadurch, dass V nicht von der gesamten Vergangenheit des Finanzmarktes abhängt, können alle notwendigen Informationen für die Projektion vom Cash Flow mithilfe endlicher Markovzustandsvariablen (Y, D ) mit D = (D (),..., D (m) ) beschrieben werden. So kann V wie folgt geschrieben werden: ( ) ] V := E Q [ T t=2 exp r u du ) X t (Y, D ) Die Verteilung von AC lässt sich mithilfe einer entsprechenden empirischen Verteilungsfunktion annähern, die wie folgt bestimmt wird: Der Barwert der künftigen Gewinne zum Zeitpunkt t = für ein Szenario i {,..., N} und N N kann definiert werden als ( T := E Q exp t=2 V (i) r u du ) ] X t (Y, D ) = (Y (i), D (i) ) } {{ } =:P V (i) wobei die Pfade (Y s (i) ) s [0,] die Finanzmarktentwicklung unter dem P-Maß mit den entsprechenden Zustandsvariablen (Y (i), D (i) ), i {,..., N} darstellen. Darüberhinaus können wir die Standardabweichung folgendermaßen definieren: [ T ( ) ] σ (i) := VQ exp r u du X t (Y, D ) = (Y (i), D (i) ) t=2 0 Beachte dabei, dass sich σ (i) für verschiedene Szenarien ( i erheblich unterscheiden können und dass die diskontierten Zahlungsströme T t ) exp r u du X t im Normalfall nicht identisch verteilt sind. t=2 (6) (7) 0

12 Abbildung 4: Simulationen der unabhängigen Pfade (Y (i), D (i) ) zum Zeitpunkt t =, Quelle: Wie oben erwähnt lassen sich die anderen Komponenten ANAV und X von AC für alle i {,..., N} für das erste Jahr leichter ermitteln. Daraus folgt für das erste Jahr N Realisierungen vom Eigenmittel: AC (i) = ANAV (i) + V (i) + X (i) 5 Aus dem selben Grund wie in Kapitel 4.2. können V und V (i) ((6) und (7)) nicht analytisch berechnet werden und müssen wieder durch Monte Carlo Simulation der Zustandsvariablen (Y (i), D (i) ) unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P appoximiert werden. Für jeden dieser Zustandsvariablen (Y (i), D (i) ), i {,..., N} werden K (i) N Pfade unter dem Martingalmaß Q erzeugt und mit (Y s (i,k) ) s (,T ] bezeichnet. Nachdem die erwarteten künftigen Gewinne X (i,k) t für t = 2,..., T, k =,..., K (i) und i =,..., N ermittelt werden, bekommt man die Monte Carlo-Approximation für V (i) indem man den Mittelwert aller K (i) Pfade für jeden Szenario i {,..., N} bildet: V (i) (K (i) ) := K (i) K (i) k= ( T exp t=2 r u (i,k) du ) X (i,k) t } {{ } =:P V (i), i {,..., N} 5 Bemerkung: Die F -messbaren Zufallsvariablen AC (i), i {,..., N} sind unabhängig und identisch verteilt

13 Weiters kann die Standardabweichung von P V (i) definiert werden als: σ (i) (K (i) ) := K (i) ( ) 2 K (i) P V (i,k) Ṽ (i) (K (i) ) Daraus folgt nun die Approximation von AC für i {,..., N}: 4.3 Approximation vom SCR k= AC (i) (K (i) ) = ANAV (i) + Ṽ (i) (K (i) ) + X (i) Aus (4) in Kapitel 3.2 wissen wir, dass das SCR das α-quantile der Zufallsvariable L ist. Der einzige Unbekannte von L ist AC, da AC 0 durch den erwartungstreuen Schätzer ÃC 0 approximiert wird und i zum Zeitpunkt t = 0 bekannt ist. Durch die Nested Simulations -Methode bekommt man N approximierte Realisationen bzw. Pfade von der Zufallsvariable Z = AC, die als z,..., z N bezeichnet werden. Weiters benötigt man eine Ordnungsstatistik von Z, die definiert wird als Z (),..., Z (N) mit Werten z (),..., z (N). Das α-quantil z α wird durch das entsprechende empirische Quantil approximiert, das bedeutet z α = z (m), wobei m = N α gilt. Daraus folgt das approximierte SCR: SCR = ÃC 0 + z (m) + i (8) 4.4 Approximationsfehler Wie bei jeder Schätzungsprozess treten auch hier Approximationsfehler auf. Es sind drei große Fehlerquellen gegeben: Abschätzung von AC 0 durch (nur) K 0 Pfaden N (endliche) Szenarien, um das α-quantil bzw. die Verteilungsfunktion zu bestimmen Abschätzung von AC durch (nur) K Pfaden Dadurch ist die Gleichung in (8) nicht notwendigerweise die Approximation für das Quantil der Verteilungsfunktion der F -messbaren Zufallsvariable L = L(Y, D ) = AC 0 AC + i = AC 0 ANAV + V + X, + i aber stattdessen wurde die Verteilung von der approximierten Zufallsvariable L(Y, D ) = ÃC 0 ANAV + ( K T K e r u (k) du (k) X t k= t=2 + i ) (Y, D ) + X (9) 2

14 betrachtet. Insbesondere ist L(Y, D ) nicht F -messbar. Der mittlere quadratische Fehler MSE ist eine gute Größe, um die Abweichung des Schätzers SCR zu analysieren. Mithilfe von (i) (Kapitel 2.2) lässt sich so der MSE zerlegen in: ] MSE = E [( SCR SCR) 2 = V( SCR) + E( SCR) SCR }{{} Verzerrung Da ÃC 0 einen unverzerrten Schätzer von AC 0 und von z (m) unabhängig ist, lässt sich die Varianz von (8) aufteilen und es folgt: ( ) [ ( ) MSE = V(ÃC z(m) z(m) 0) + V + E z ] 2 α (0) + i + i + i 2 Nach Kapitel 4.2. ist V(ÃC 0) = σ2 0 K 0 mithilfe von (i) berechnet. Sei und der zweite und dritte Term in (0) werden Z K (Y, D ) = ANAV + ( K T K e r u (k) du (k) X t k= t=2 + i ) (Y, D ) + X ANAV + V + X + i die Differenz zwischen der approximierten Zufallsvariable in (9) und sein tatsächlicher Wert unter der Annahme, dass ÃC 0 genau ist. Außerdem sei g K (, ) die gemeinsame Verteilungsfunktion von L und Z K := Z K K. Nach Proposition 2 in (i) gelten: ( z(m) E + i ( z(m) V + i ) ) ( ) ( ) α( α) = (N + 2)f 2 (SCR) + O N + o N 2 K ()O N N z ( ) ( ) ( ) α + i = θ α K f(scr) + o K + O N + o K ()O N N N wobei f( ) die Dichtefunktion von L und K θ α = [ [ f(u)e V( 2 u Z ]] K Y, D ) L = u u=scr = z 2 2 u g K (u, z)dz u=scr gilt. Wie man sieht hängt das Vorzeichen von θ α, und daher auch die Richtung der Verzerrung, davon ab, ob die Ableitung der gemeinsamen Verteilungsfunktion g u K (u, z)dz positiv oder negativ ist. Im Allgemeinen wird g u K (u, z)dz u=scr negativ sein und daher eine Überschätzung des SCR erwartet, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass das Versicherungsunternehmen nach einem Jahr solvent ist, ist größer gleich α = 99, 5%. 3

15 Um die Approximation zu optimieren, ist es notwendig die Parameter K 0, K und N so zu wählen, dass der mittlere quadratische Fehler MSE minimal wird. Daraus folgt das folgende Optimierungsproblem nachdem die Terme niedrigere Ordnung vernachlässigt wurden: σ0 2 θα 2 + K 0 K 2 f 2 (SCR) + α( α) (N + 2)f 2 (SCR) min () wobei Γ := K 0 + N K der gesamte Rechenaufwand sei. Mithilfe der Langrange- Multiplikatoren, folgen daraus für beliebige Γ: N α( α) K2 2θ 2 α K 0 σ 0 K f(scr) θ α N K 2 (2) d.h. für ein gegebenes K muss man θ α bestimmen und dann die Parameter N und K 0 passend wählen. 4

16 5 Least-Squares Monte Carlo Approach von Um das SCR anzunähern, ist es bei dieser Methode auch notwendig die Verteilung AC :=ANAV + V + X ( [ T =ANAV + E Q exp r u du X t (Y, D ) +X t=2 }{{} =:V zu bestimmen. Eine Schwierigkeit bei dieser Berechnung bereitet die Approximation von V, die hier mithilfe von (ii) und (iii) bestimmt wird. Danach ist diese äquivalent zur Bewertung von Bermuda-Optionen. F. A. Longstaff und E. S. Schwartz, (iii), verwenden least-squares regression, also Methode der kleinsten Quadrate, auf eine endliche Menge von Funktionen, um den bedingten Erwartungswert anzunähern. Allerdings wird hier der Algorithmus in (ii) angewendet. Der erste Schritt des Approximationsprozesses ist das Ersetzen von V durch endliche Linearkombination von Basisfunktionen. Als nächstes wird die Linearkombination durch Monte Carlo Simulationen und Kleinste-Quadrate-Schätzung approximiert. Die Konvergenz dieser Algorithmus ist unter bestimmten Bedingungen gegeben, die im folgenden ebenfalls kurz erläutert werden. 5. Least-Squares Algorithmus Wie oben erwähnt, wird der bedingte Erwartungswert V durch endliche Linearkombination von Basisfunktionen (e k (Y, D )) k {,...,M} ersetzt: V ˆV (M) (Y, D ) = ) M α k e k (Y, D ) (3) wobei die Folge (e k (Y, D )) k linear unabhängig ist. Danach werden diese durch Monte Carlo Simulationen approximiert, d.h. es werden N unabhängige Pfade (Y () t, D () t ), (Y (2) t, D (2) t ),..., (Y (N) t, D (N) t ) mit t (0, T ], für das erste Jahr unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P und sonst unter dem Martingalmaß Q, erzeugt. Danach werden die realisierten abgezinsten Cash Flows ( T t ) P V (i) = exp r u (i) du X (i) t t=2 für i {,..., N} berechnet, wobei r (i) t und X (i) t die Zinsrate und Cash Flow für einen Pfad (Y (i) t, D (i) t ) bezeichnen. Dieser Schritt ist für die Bestimmung der Koeffizienten α = (α,..., α M ) in (3) wichtig. Für deren Bestimmung wird hier eine Regressionsformel angewendet: k= ] 5

17 ˆα (N) = argmin α R M [ N i= P V (i) M k= Daraus folgt für (3), wenn man α durch (4) ersetzt: α k e k (Y (i), D (i) ] 2 (4) V ˆV (M) (Y, D ) ˆV (M,N) (Y, D ) = M k= ˆα k (N) e k (Y, D ) Weiters können die Pfade für AC mithilfe dieser Approximationen berechnet werden, indem ÂC (i) (i) = ANAV + ˆV (M,N) (i) (Y, D (i) ) + X (i) für alle i {,..., N} ausgewertet werden. 5.2 Konvergenz Die Konvergenz des Algorithmus ist eine notwendige Bedingung, um eine gute Approximation zu erhalten. Aus den Voraussetzungen für (e k (Y, D )) k folgt die Kovergenz im quadratischen Mittel, die aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt, von ˆV (M) α k e k (Y, D ) = V, M, k= und daher auch die Konvergenz in der Verteilung. Deshalb bleibt nur noch zu zeigen, dass ˆV (M,N) ˆV (M), N (5) gilt. Sei dafür P ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω, F, F), der unserem identisch ist, sodass für alle Zufallsvariable Y und F -messbaren Zufallsvariable Z, 0 t gelten: E Q [Y (ω) F ] = E P[Y ( ω) F ] P(Z(ω) z) = P(Z( ω) z) z R Anhand von (iii) Kapitel 2.2 und Satz 3.5 in (iv) folgt die Konvergenz in Verteilung von (5) in L 2 ( Ω, F, F). 6

18 6 Anwendung der Berechnungen Die Annahmen, die hier getroffen werden, wurden einfach gehalten und beruhen größtelteils auf die Arbeit in (v). 6. Modellannahmen Sei eine einfache Bilanz gegeben, wobei A t den Marktwert des Vermögens vom Versicherer, L t die gesetzlichen Verpflichtungen gegenüber den Versicherungsnehmer und R t := A t L t die Reserve zum Zeitpunkt t bezeichnen, also: Assets A t Liabilities L t R t A t A t 0 Vermögen zum Zeitpunkt t = 0, A 0, besteht aus den Verpflichtungen gegenüber den Versicherungsnehmer (also Schulden) und den Kapitaleinalgen der Aktionäre. Wenn Gebühren und unrealisierte Gewinne bzw. Verluste vernachlässigt werden, sind die beiden Komponenten gleich den offenen Prämien L 0 und der Reserve zum Zeitpunkt t = 0, R 0. Seien darüberhinaus d t die Dividende ( für die Aktionäre, die jede Periode ausgezahlt T ) werden und RIO T := R T exp r u du R 0 der Zeitwert der Gewinne für deren Investitionen am Ende der Periode T. Versicherungsunternehmen haben gesetzliche Sonderverpflichtungen gegenüber seinen Aktionären, z. B. sind sie verpflichtet eine minimale Zinsrate g auf Versicherungsverträge zu garantieren bzw. eine minimale Beteiligungsrate δ aus den Erträgen der Lebensversicherungsprämien mit dem Zeitwert zurückzuzahlen. Da der Zeitwert der Einnahmen nicht mit Marktwert der Einnahmen übereinstimmt, wird angenommen, dass diese ein Teil des letzteren ausmacht. Im Falle, dass die Erträge so niedrig sind, dass eine Gutschrift der garantierten Rate g eine negative Reserve als Auswirkung hat, wird der Versicherer einen Verlust erleiden. Nichtsdestotrotz sollte nach den MCEV-Prinzipien das MCEV so berechnet werden, dass die Kapitaleinlagen der Aktionäre jeden Verlust deckt. Nach diesen Voraussetzungen, wird hier angenommen, dass der Versicherer zusätzliche Kapitaleinlagen c t, in so einem defizitären Fall, erhält. Daher sei der Marktwert der Erträge gleich A t A + t, wobei A t und A + t = A t d t +c t den Marktwert des Vermögens kurz vor und nach dem Dividendenausschüttung d t und Kapitaleinlagenzahlung c t zum Zeitpunkt t. Insbesondere gilt für t T : L t = ( + g)l t + [δy(a t A + t ) gl t ] + Unter der Annahme, dass die übrigen Erträge als Dividende (mit dem Zeitwert) ausbezahlt werden, folgen daraus d t =( δ)y(a t A + t ) {δy(a t A + t )>gl t } +[y(a t A + t ) gl t ] {δy(a t A + t ) gl t y(a t A+ t )} c t =max{l t A t, 0} 7

19 Da hier unrealisierte Gewinne bzw. Verluste und sonstige Gebühren vernachlässigt werden, gilt ANAV 0 = NAV 0 = R 0, wobei NAV 0 der Nettovermögenswert ohne Anpassungen für immaterielles Vermögen, nichtrealisierte Gewinne bzw. Verluste. So kann das Eigenmittel zum Zeitpunkt t = 0, aus Sicht der Aktionäre, geschrieben werden als AC 0 =ANAV 0 + V 0 T =R 0 + E Q exp t= T =E Q exp t= 0 0 r u du (d t c t ) + exp r u du X t T 0 r u du RIO T (6) wobei X t := { d t c t, t {,..., T } d T c T + R T, t = T gilt. Das Eigemittel AC 0 kann natürlich auch aus Sicht der Versicherungsnehmer beschrieben werden: AC 0 = A 0 E Q exp r u du L t (7) Ebenso folgt zum Zeitpunkt t = für das Eigenmittel AC aus den beiden Sichtweise: T AC = ANAV + V + X = E Q exp t=2 0 0 r u du X t F + X (8) und AC = A + E Q exp T r u du L T F + X (9) Für die Modellierung der Finanzmarktentwicklung wird hier ein Black-Scholes- Modell mit stochastischen Zinsensätzen angenommen, wobei der Vermögens- und Zinsprozess die folgenden Differentialgleichung erfüllen müssen: da t =µa t dt + ρσ A A t dw t + ρ 2 σ A A t dz t, A 0 > 0 dr t =κ(ξ r t )dt + σ r dw t, r 0 > 0 mit Korrelation ρ [, ], µ R, σ A, κ, ξ, σ r > 0, W und Z unabhängige Brownsche Bewegungen unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P. Sei darüberhinaus λ der Marktpreis von Zinsänderungsrisiko, der hier als konstant angenommen wird. 8

20 Daraus folgen diese Differentialgleichungen unter dem Martingalmaß Q: da t =r t A t dt + ρσ A A t d W t + ρ 2 σ A A t d Z t, A 0 > 0 dr t =κ( ξ r t )dt + σ r d W t, r 0 > 0 wobei ξ = ξ λσr, W κ und Z zwei unabhängige Brownsche Bewegungen unter Q seien. Nach ausführlicher Auswertung und Filtrierung der zur Verfügung stehenden Daten (in Kapitel 6..3 der ursprünglichen Arbeit aufgezählt) folgen daraus die folgenden Werte für die Parameter: Abweichung des Vermögensprozess µ = 4, 25%, Volatilität σ A = 4, 28%, κ = 4, 49%, ξ = 3, 64%, σ r = 0, 6%, Anfangswert des Zinssatzes r 0 = 4, 9%, approximierte Korrelation ρ = 0, 0597% und der Marktpreis des Zinsänderungsrisikos λ = 0, 506%. Darüberhinaus gelte die Annahmen für Versicherungsverträge (wie in (v)): minimale garantierte Zinsrate g = 3, 5%, minimale Beteiligungsrate δ = 90%, Anfangsprämie von L 0 = 0000 und Fälligkeit T = Ergebnisse Die Implementierung beider Approximationsmethoden werden hier mit den obigen Annahmen durchgeführt Nested Simulations Approach Um den verzerrten Schätzer von SCR zu analysieren, werden die Zahlungsströme bzw. Anzahl der inneren Simulationen sowohl aus Sicht der Versicherungsnehmer als auch aus Sicht der Aktionäre betrachtet ((6)-(9)). Zu Beginn sei für die Approximierung von V 0 ein fixes K 0 = gegeben, N = Pfade für die Simulationen im ersten Jahr und seien die K (i) für alle i {,..., N} gleich K. Abbildung 5: Empirische Dichtefunktion für verschiedene K, N = und K 0 = ; links - aus Sicht der Versicherungsnehmer und rechts - aus Sicht der Aktionäre 9

21 In der obigen Abbildung wurde die empirische Dichtefunktion beider Schätzer geplottet. Wie man sieht ist die Verteilung für kleinere K zerstreuter, als für größere K. Das hat zur Folge, dass das SCR für kleinere K überschätzt wird. Dieses Problem kann in der unteren Tabelle beobachtet werden, wo das geschätzte SCR und die Solvabilitätsquote für verschiede K berechnet wurden. Außerdem lässti sich eine höhere Zerstreuun der approximierten Werte des SCR, also SCR, aus Sicht der Aktionäre als aus Sicht der Versicherungsnehmer beobachten. Da die Verzerrung der Varianz von Ṽ (i) (K (i) ), also σ (i) mit i N, abhängt, zeigt dies, dass diese Schätzer größere Varianzen aufweisen. Aus diesem Grund werden mehr innere Simulationen benötigt, um eine gute Annäherung zu erhalten. Diese Tatsache kann auch in der unteren Tabelle beobachtet werden, wo das SCR aus Aktionärssicht immer größer als Versicherungsnehmersicht für das gleiche K ist. Abbildung 6: Approximierte SCR und Solvabilitätsquote für verschiedene K, N = und K 0 = ; NSA Aus den obigen Resultaten sieht man, dass eine sorgfältige Auswahl der Parameter K 0, K und N eine große Rolle bei einer genauen Approximation spielt. Um eine gute Schätzung des 99,5% Quantil der empirischen Verteilungsfunktion zu erhalten, folgt nach langer Berechnung, dass die optimalen Werte folgendermaßen zu wählen sind: K = 300, N = und K 0 = , wobei ein Gesamtaufwand von Γ = daraus resultiert. Mit diesen Werten berechnet, ergibt es ein approximiertes SCR = 249, 7 und ÃC 0 / SCR = 50%, welches eine ziemlich gute Annäherung darstellt. Um zu zeigen, dass die Wahl der Parameter nachvollziehbar ist, wurde der Approximationsprozess des SCR 50 mal mit K 0 fix und mit verschiedene N und K durchgeführt. Dabei wurde die Verzerrung durch θ α K f( SCR) und der MSE in (9) durch die Summe der empirischen Varianz und dem Quadrat der Verzerrung abgeschätzt. So kann der Mittelwert durch die geschätzte Verzerrung korrigiert werden. Aufgrund der erhöhten Verzerrung nimmt der Mittelwert von SCR zu, je kleiner K wird. Dagegen nimmt die empirische Varianz ab, je größer N wird. Außerdem führt die optimale Wahl von N = und K = 300 zum kleinsten MSE in der unteren Tabelle, weshalb unsere Wahl sehr wohl angemessen erscheint. 20

22 Abbildung 7: NSA für verschiedene N und K, K 0 = Deshalb werden weiters N und K mit diesen Werten berechnet, wenn nicht anders ausdrücklich erwähnt und das korrigierte SCR NSA = 246, 4 soll als Vergleichswert für die nächste Methode dienen. Weitere Berechnungen zeigen, dass die Schätzer aus Sicht der Versicherungsnehmer bessere Ergebnisse aufweisen, weshalb die weiterführenden Analysen sich nur auf diese stützen werden Least-Squares Monte Carlo Approach Im Gegensatz zur ersten Methode braucht die Least-Squares Monte Carlo Methode keine enorme Anzahl an Simulationen. Aber der Nachteil hier ist die Wahl der Regressionsfunktion, die eine große Auswirkung auf das Ergebniss hat. Nach dem Modell, das in 6. beschrieben ist, sind die statistisch unabhängigen Variablen, also die Regressoren, die folgende: A +, r, L und x = R /L. Die Regressionsformel beruht auf einem bottom-up-prinzip, das bedeutet, dass man mit einem Regressor beginnt und nach der Analyse der Residuen werden mehr Regressoren hinzugefügt. Abbildung 8: Approximierte SCR durch verschiedene Regressionsformel; K 0 = , N = Die Approximation wird auch hier mit N = und K 0 = mal für jede Regressionsformel durchgeführt. Danach werden die Mittelwerte ausgerechnet. 2

23 Die obere Tabelle zeigt den geschätzten Mittelwert des SCR für verschiedene Regressionsfunktion. Man sieht hier, dass die letzten beiden Funktionen dem geschätzten SCR der Nested Simulations Approach, also SCR NSA = 246, 4, sehr nahe kommt. Für weitere Analyse siehe die ursprüngliche Arbeit. 7 Fazit Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die erste Methode, Nested Simulations Approach, sehr aufwändig ist und dass die Approximation nicht notwendigerweise besser wird je mehr Simulationen durchgeführt werden, das bedeutet, dass diese Methode nicht effizient genug ist. Außerdem ergibt die Approximation einen verzerrten Schätzer, was die Berechnung noch komplizierter bzw. ungenauer macht. Eine systematische Überschätzung des SCR ist ebenfalls ein weiteres Ergebnis dieser Methode. Die Monte Carlo Methode ergibt hingegen gute Annäherungen zu den tatsächlichen Ergebnissen. Ein großer Vorteil ist die im Gegensatz zur Nested Simulations Approach die beträchtlich geringere Anzahl an Simulationen, die durchgeführt werden müssen, um eine gute Annäherung zu erhalten. Die beste Approximation wäre eine Mischung beider Methoden, wo die einzelnen Vorteile ausgenutzt werden. So würde zum Beispiel die Approximierung des Eigenmittels durch die Monte Carlo Methode durchgeführt, wodurch die Notwendigkeit großer Anzahl an Simulationen verschwindet und so der Gesamtaufwand der Berechnungen sich verringert. 22

24 Quellenverzeichnis Value Literaturverzeichnis (i) M.B. Gordy and S. Juneja. Nested simulations in portfolio risk measurement. Management Science, (ii) E. Clément, D. Lamberton, and P. Protter. An analysis of a least squares regression method for American option pricing. Finance and Stochastics, (iii) F.A. Longstaff and E.S. Schwartz. Valuing American options by simulation: A simple least-squares approach. The Review of Financial Studies, 200. (iv) H. White. Asymptotic Theory for Econometricians. Academic Press, New York, 984 (v) D. Bauer, R. Kiesel, A. Kling, and J. Ruß. Risk-neutral valuation of participating life insurance contracts. Insurance: Mathematics and Economics, 2006 Abbildungsverzeichnis Aufbau des Standardmodells unter Solvency II Bilanz eines Versicherungsunternehmens Simulationen der unabhängigen Pfade (Y (k) t ) t [0,T ] zum Zeitpunkt t = Simulationen der unabhängigen Pfade (Y (i), D (i) ) zum Zeitpunkt t =. 5 Empirische Dichtefunktion für verschiedene K Approximierte SCR und Solvabilitätsquote für verschiedene K NSA für verschiedene N und K, K 0 = Approximierte SCR durch verschiedene Regressionsformel