ifa Institut für Finanz- und Aktuarwissenschaften Nested Simulations - Innovative Methoden für rechenintensive Probleme in der Lebensversicherung

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1 ifa Institut für Finanz- und Aktuarwissenschaften Nested Simulations - Innovative Methoden für rechenintensive Probleme in der Lebensversicherung Daniela Bergmann WiMa-Kongress 7. November 2009

2 Seite 2 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann 1 Einführung 2 Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz PDE Ansatz Least-Squares Monte Carlo Ansatz 3 Nested Simulations und Solvency II Ansatz über Nested Simulations Least-Squares Monte Carlo Ansatz 4 Zusammenfassung und Ausblick

3 Seite 3 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Einführung 1 Einführung 2 Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz PDE Ansatz Least-Squares Monte Carlo Ansatz 3 Nested Simulations und Solvency II Ansatz über Nested Simulations Least-Squares Monte Carlo Ansatz 4 Zusammenfassung und Ausblick

4 Seite 4 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Einführung Was sind Nested Simulations? Einfache Monte Carlo Simulationen: t=0 t=1 t=2 t=t Vorgehen: Simulation von N Pfaden für den Zeitraum [0, T ] Bestimmung der Cashflows und Diskontierung Schätzung des Werts durch Mittelwertbildung

5 Seite 5 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Einführung Was sind Nested Simulations? Geschachtelte Monte Carlo Simulationen: t=0 t=1 t=2 t=t In jedem der N Knoten wird wieder eine gewisse Anzahl K von Pfaden benötigt Problem: Sehr hoher Rechenaufwand (insbesondere bei langen Vertragslaufzeiten)

6 Seite 6 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Einführung Wo treten Nested Simulations in der Lebensversicherung auf? Marktkonsistente Bewertung von Optionen in Lebensversicherungsverträgen Berechnung des Solvency Capital Requirements (SCR) im Rahmen von Solvency II... Fragen: Wie kann man Nested Simulations sinnvoll umsetzen? Welche alternativen Ansätze gibt es?

7 Seite 7 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen 1 Einführung 2 Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz PDE Ansatz Least-Squares Monte Carlo Ansatz 3 Nested Simulations und Solvency II Ansatz über Nested Simulations Least-Squares Monte Carlo Ansatz 4 Zusammenfassung und Ausblick

8 Seite 8 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz Monte Carlo Simulationen sind sinnvoll, wenn die Verträge keine Early-excercise Features enthalten (z.b. Kündigungsoption) t=0 t=1 t=2 t=t

9 Seite 9 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz Monte Carlo Simulationen sind sinnvoll, wenn die Verträge keine Early-excercise Features enthalten (z.b. Kündigungsoption) t=0 t=1 t=2 t=t Bewertung von Verträgen mit Early-excercise Features Nested Simulations

10 Seite 9 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz Monte Carlo Simulationen sind sinnvoll, wenn die Verträge keine Early-excercise Features enthalten (z.b. Kündigungsoption) t=0 t=1 t=2 t=t Bewertung von Verträgen mit Early-excercise Features Nested Simulations Bias aufgrund der endlichen Anzahl von Simulationen in jedem Knoten

11 Seite 10 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Beispielvertrag Termfix-Vertrag mit Mindestverzinsung und Kündigungsoption kein biometrisches Risiko Kapitalmarktmodelle: Klassisches Black-Scholes-Modell Erweitertes Black-Scholes-Model mit stochastischen Zinsen Zwei verschiedene Gewinnbeteiligungssysteme: MUSS-Fall: modelliert nur die gesetztlich vorgeschriebene Beteiligung der Versicherungsnehmer IST-Fall: modelliert das typische Verhalten deutscher Lebensversicherer in den letzten Jahren

12 Seite 11 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Ergebnisse für Nested Simulations Probleme: Pfade pro Knoten ˆV0 ˆv 0 Zeit , ,0 < 1 s , ,6 15 s , ,3 11 min 37 s , ,8 2 h 47 min , ,6 1 Tag , ,3 6 Tage , ,8 30 Tage Tabelle: Nested Simulations, MUSS-Fall, BS-Modell, 5000 Bäume 1 Schon bei geringer Anzahl von Pfaden pro Knoten immense Rechenzeiten Schätzer haben einen Bias! Suche nach alternativen Ansätzen ist sinnvoll! 1 Die Berechnungen wurden auf einem Linux-Rechner mit Pentium IV 2.40 Ghz CPU und 2.0 GB RAM durchgeführt.

13 Seite 12 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen PDE Ansatz Idee: Löse das entsprechende Kontrollproblem auf einem diskretisierten Raum Wertfunktion V (T, y, d) ist bei Vertragsende für alle Zustände (y, d) bekannt Herleitung einer P(I)DE-Darstellung für die Wertfunktion V (t, y, d) auf [T 1, T ) (Feynman-Kac) Beispiel: Klassisches Black-Scholes-Modell 0 = V t + V Y ry V 2 2 Y σ2 Y 2 rv. Analog für andere Stichtage 0 P(I)DE P(I)DE... T-2 P(I)DE T-1 P(I)DE An den Stichtagen fließen Optionen durch Endbedingung ein, z.b. bei Kündigungsoption V (t 1, Y t 1, D t 1 ) := max{v (t 1, Y t 1, D t 1 ), D (1) t 1 }. T

14 Seite 12 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen PDE Ansatz Idee: Löse das entsprechende Kontrollproblem auf einem diskretisierten Raum Problem: Wertfunktion V (T, y, d) ist bei Vertragsende für alle Zustände (y, d) bekannt Herleitung einer P(I)DE-Darstellung für die Wertfunktion V (t, y, d) auf [T 1, T ) (Feynman-Kac) Beispiel: Klassisches Black-Scholes-Modell 0 = V t + V Y ry V 2 2 Y σ2 Y 2 rv. Analog für andere Stichtage 0 P(I)DE P(I)DE... T-2 P(I)DE T-1 P(I)DE An den Stichtagen fließen Optionen durch Endbedingung ein, z.b. bei Kündigungsoption V (t 1, Y t 1, D t 1 ) := max{v (t 1, Y t 1, D t 1 ), D (1) t 1 }. Effizienz hängt stark von der Gestalt der P(I)DE ab Algorithmus kann sehr rechen- und zeitintensiv sein T

15 Seite 13 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Least-Squares Monte Carlo Ansatz (1) Ansatz wurde zuerst von Longstaff/Schwartz (2001) für die Bewertung von Amerikanischen Optionen vorgestellt Kombiniert die Vorteile der beiden vorhergehenden Ansätze Rückwärts iteratives Vorgehen zur Berücksichtigung des Versicherungsnehmerverhaltens Einfache Monte Carlo Simulationen für einperiodige Probleme 1. step MC MC MC 0 1 T-2 T-1 T 2. step Regr. Regr. Regr. Struktur der Wertfunktion V (t, y, d) muss vorher spezifiziert werden (z.b. Polynom in den Zustandsvariablen) Parameter der Wertfunktion werden durch Regression geschätzt

16 Seite 14 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Least-Squares Monte Carlo Ansatz (2) Beispiel: Bewertung eines Vertrags mit Kündigungsoption 1. Monte Carlo Simulationen 2. Berechnung der Cashflows C(T ) zum Laufzeitende unter der Annahme, dass die Kündigungsoption zu keinem Zeitpunkt ausgeübt wurde 3. Diskontierung der Cashflows um eine Periode und Bestimmung des Fortführungswerts durch Regression 4. Entscheidung, ob der VN den Vertrag zu t = T 1 kündigt 5. Bestimmung der neuen zukünftigen Cashflows, d.h. Entscheidung Cashflow zu T 1 T Kündigung Rückkaufswert 0 Fortführung 0 C(T ) 6. Wiederholung des Vorgangs für alle Perioden

17 Seite 14 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Least-Squares Monte Carlo Ansatz (2) Beispiel: Bewertung eines Vertrags mit Kündigungsoption 1. Monte Carlo Simulationen 2. Berechnung der Cashflows C(T ) zum Laufzeitende unter der Annahme, dass die Kündigungsoption zu keinem Zeitpunkt ausgeübt wurde 3. Diskontierung der Cashflows um eine Periode und Bestimmung des Fortführungswerts durch Regression 4. Entscheidung, ob der VN den Vertrag zu t = T 1 kündigt 5. Bestimmung der neuen zukünftigen Cashflows, d.h. Entscheidung Cashflow zu T 1 T Kündigung Rückkaufswert 0 Fortführung 0 C(T ) 6. Wiederholung des Vorgangs für alle Perioden Probleme: Bestimmung der neuen zukünftigen Cashflows kann kompliziert sein, wenn Vertrag nach Ausübung der Option nicht beendet ist Qualität der Regressionsfunktion für verschiedene Optionen (z.b. Entnahmen bei GMWBs)

18 Seite 15 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Vergleich der Ergebnisse Pfade pro Knoten ˆV0 ˆv 0 Zeit , ,0 < 1 s , ,6 15 s , ,3 11 min 37 s , ,8 2 h 47 min , ,6 1 Tag , ,3 6 Tage , ,8 30 Tage Tabelle: Nested Simulations, MUSS-Fall, BS-Modell PDE Ansatz: ,4 in 10 Minuten LSM Ansatz: ,2 in 24 Sekunden 2 LSM liefert ähnlich gute Ergebnisse und ist wesentlich schneller! 2 Die Berechnungen wurden auf einem Linux-Rechner mit Pentium IV 2.40 Ghz CPU und 2.0 GB RAM durchgeführt.

19 Seite 16 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II 1 Einführung 2 Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz PDE Ansatz Least-Squares Monte Carlo Ansatz 3 Nested Simulations und Solvency II Ansatz über Nested Simulations Least-Squares Monte Carlo Ansatz 4 Zusammenfassung und Ausblick

20 Seite 17 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Einführung: Solvency II Solvency II: Neue Rahmenrichtlinie für Beaufsichtigung von Versicherungsunternehmen in der Europäischen Union Zentraler Punkt: Bestimmung des Solvency Capital Requirements (SCR) für einen Zeitraum von einem Jahr auf Basis von marktkonsistenter Bewertung von Assets und Liabilities Standardmodell: Approximation des SCR durch Square-Root Formula häufig keine angemessene Modellierung (siehe z.b. Pfeifer/Strassburger (2008)). Alternative: Multivariater Ansatz auf Basis eines stochastischen Unternehmensmodells (Internes Modell).

21 Seite 17 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Einführung: Solvency II Solvency II: Neue Rahmenrichtlinie für Beaufsichtigung von Versicherungsunternehmen in der Europäischen Union Zentraler Punkt: Bestimmung des Solvency Capital Requirements (SCR) für einen Zeitraum von einem Jahr auf Basis von marktkonsistenter Bewertung von Assets und Liabilities Standardmodell: Approximation des SCR durch Square-Root Formula häufig keine angemessene Modellierung (siehe z.b. Pfeifer/Strassburger (2008)). Alternative: Multivariater Ansatz auf Basis eines stochastischen Unternehmensmodells (Internes Modell). Probleme: Bewertung von LV-Verträgen mit geschlossenen Formeln meist nicht möglich Numerische Probleme und Rechenzeitprobleme

22 Seite 18 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 1. Available Capital (AC 0 ) Kapital, das zum Zeitpunkt t = 0 als Puffer für finanziellen Verluste zur Verfügung steht

23 Seite 18 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 1. Available Capital (AC 0 ) Kapital, das zum Zeitpunkt t = 0 als Puffer für finanziellen Verluste zur Verfügung steht Marktkonsistente Bewertung von Assets und Liabilities AC 0 := MVA 0 MVL 0 MCEV 0

24 Seite 18 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 1. Available Capital (AC 0 ) Kapital, das zum Zeitpunkt t = 0 als Puffer für finanziellen Verluste zur Verfügung steht Marktkonsistente Bewertung von Assets und Liabilities AC 0 := MVA 0 MVL 0 MCEV 0 MCEV0 bezeichnet den Market Consistent Embedded Value, d.h. MCEV 0 = ANAV 0 + PVPF 0 CoC 0, where ANAV 0 wird aus bilanziellem Eigenkapital abgeleitet PVFP 0 ist der Present Value of Future Profits (nach Steuern) CoC 0 bezeichnet Cost-of-Capital (hier keine weitere Berücksichtigung).

25 Seite 18 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 1. Available Capital (AC 0 ) Kapital, das zum Zeitpunkt t = 0 als Puffer für finanziellen Verluste zur Verfügung steht Marktkonsistente Bewertung von Assets und Liabilities AC 0 := MVA 0 MVL 0 MCEV 0 MCEV0 bezeichnet den Market Consistent Embedded Value, d.h. MCEV 0 = ANAV 0 + PVPF 0 CoC 0, where ANAV 0 wird aus bilanziellem Eigenkapital abgeleitet PVFP 0 ist der Present Value of Future Profits (nach Steuern) CoC 0 bezeichnet Cost-of-Capital (hier keine weitere Berücksichtigung). Wesentliche Aufgabe: Berechnung von PVFP0.

26 Seite 19 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 2. Solvency Capital Requirement (SCR) SCR basiert auf Available Capital zu t = 1, wobei AC 1 := MCEV 1 + X 1 und X 1 beschreibt die Cashflows des Aktionärs zu t = 1.

27 Seite 19 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 2. Solvency Capital Requirement (SCR) SCR basiert auf Available Capital zu t = 1, wobei AC 1 := MCEV 1 + X 1 und X 1 beschreibt die Cashflows des Aktionärs zu t = 1. Intuition: Ein Versicherungsunternehmen ist solvent wenn das Available Capital zu t = 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. α = 99, 5% positiv ist. Betrachtung der Verlustfunktion L := AC0 AC 1 /(1 + i) wobei i die einjährige Spotrate zu t = 0 bezeichnet

28 Seite 19 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 2. Solvency Capital Requirement (SCR) SCR basiert auf Available Capital zu t = 1, wobei AC 1 := MCEV 1 + X 1 und X 1 beschreibt die Cashflows des Aktionärs zu t = 1. Intuition: Ein Versicherungsunternehmen ist solvent wenn das Available Capital zu t = 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. α = 99, 5% positiv ist. Betrachtung der Verlustfunktion L := AC0 AC 1 /(1 + i) wobei i die einjährige Spotrate zu t = 0 bezeichnet Definition SCR SCR := argmin x {P (AC 0 AC 1 /(1 + i) > x) 0, 5%} = VaR 99,5% (L)

29 Seite 19 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wichtige Definitionen 2. Solvency Capital Requirement (SCR) SCR basiert auf Available Capital zu t = 1, wobei AC 1 := MCEV 1 + X 1 und X 1 beschreibt die Cashflows des Aktionärs zu t = 1. Intuition: Ein Versicherungsunternehmen ist solvent wenn das Available Capital zu t = 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. α = 99, 5% positiv ist. Betrachtung der Verlustfunktion L := AC0 AC 1 /(1 + i) wobei i die einjährige Spotrate zu t = 0 bezeichnet Definition SCR SCR := argmin x {P (AC 0 AC 1 /(1 + i) > x) 0, 5%} = VaR 99,5% (L) Wesentliche Aufgabe: Berechnung des 99,5%-Quantils von AC1.

30 Seite 20 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Bewertung zu t = 0 Ziel: AC 0 = ANAV 0 } {{ } aus HGB-Bilanz + E Q [ T t=1 t exp( 0 r u du)x t ] } {{ } =:V 0 Problem: Keine geschlossenen Formeln für V 0

31 Seite 20 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Bewertung zu t = 0 Ziel: AC 0 = ANAV 0 } {{ } aus HGB-Bilanz + E Q [ T t=1 t exp( 0 r u du)x t ] } {{ } =:V 0 Problem: Keine geschlossenen Formeln für V 0 Q RF Y (1) 1 Y (2) Y ( K ) 0 t=0 t=1 t=t(=50) Monte Carlo Simulationen: Ṽ0(K 0 ) = 1 K 0 K 0 T k=1 t=1 ( exp t 0 r (k) u du ) X (k) t

32 Seite 21 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Bewertung zu t = 1 Ziel: Verteilung von AC 1 = ANAV 1 + E Q [ T t=2 t exp( 1 r u du)x t (Y 1, D 1 ) } {{ } =:V 1 ] +X 1 F

33 Seite 21 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Bewertung zu t = 1 Ziel: Verteilung von AC 1 = ANAV 1 + E Q [ T t=2 t exp( 1 r u du)x t (Y 1, D 1 ) } {{ } =:V 1 ] +X 1 F RF 1 P Y (1), D (1) Q Y (i,1) Y (i),d (i) Y (N),D (N) Y (i, K 1 (i)) t=0 t=1 t=t Simulation von N einjährige Pfade unter P : (Y (i) 1, D(i) 1 ) Simulation von K 1 Pfade unter Q beginnend in (Y (i) 1, D(i) N K 1 Pfade 1 )

34 Seite 22 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Schätzer beim Ansatz über Nested Simulations Schätzer für SCR Wir schätzen SCR mit SCR = ÃC 0 + z (αn) 1 + i wobei z (αn) das α-quantil der empirischen Verteilungsfunktion basierend auf ÃC(i) 1, 1 i N, ist.

35 Seite 22 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Schätzer beim Ansatz über Nested Simulations Schätzer für SCR Wir schätzen SCR mit SCR = ÃC 0 + z (αn) 1 + i wobei z (αn) das α-quantil der empirischen Verteilungsfunktion basierend auf ÃC(i) 1, 1 i N, ist. Fehlerquellen bei der Schätzung 1. Schätzung von AC 0 mit nur K 0 Pfaden 2. Schätzung des Quantils mit nur N Real-World-Szenarien 3. Schätzung von AC (i) 1 mit nur K 1 inneren Simulationen i Analyse der Fehler bei der Schätzung von SCR

36 Seite 23 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Fehleranalyse Idee: Analysiere Mean-Square Error (MSE) 2 [ MSE = E ( SCR SCR) 2] = Var( SCR) + E( SCR) SCR } {{ } bias σ2 0 α(1 α) + K 0 (N + 2)f 2 (SCR) + θα 2 K1 2 f 2 (SCR)

37 Seite 23 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Fehleranalyse Idee: Analysiere Mean-Square Error (MSE) 2 [ MSE = E ( SCR SCR) 2] = Var( SCR) + E( SCR) SCR } {{ } bias σ2 0 α(1 α) + K 0 (N + 2)f 2 (SCR) + θα 2 K1 2 f 2 (SCR) Bias hängt im Wesentlichen von der Anzahl der inneren Simulationen ab Bias ist in der Praxis positiv, d.h. wir überschätzen SCR Problem: Um Bias gering zu halten, darf K 1 nicht zu klein sein Hoher Rechenaufwand!

38 Seite 24 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Beispielvertrag Termfix-Vertrag mit Mindestverzinsung kein biometrisches Risiko Kapitalmarktmodell: Erweitertes Black-Scholes-Model mit stochastischen Zinsen Gewinnbeteiligung: MUSS-Fall Dividendenzahlungen d t für die Aktionäre Falls notwendig, erhält das Unternehmen Nachschüsse c t der Anteilseigner

39 Seite 25 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Bias bei Nested Simulations, N = K 1 =1 K 1 =5 K 1 =10 K 1 = 100 K 1 = Loss (L) K 1 SCR AC0 / SCR ,0 94% ,7 134% ,7 141% ,2 149% ,3 151%

40 Seite 25 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Bias bei Nested Simulations, N = K 1 =1 K 1 =5 K 1 =10 K 1 = 100 K 1 = Loss (L) K 1 SCR AC0 / SCR ,0 94% ,7 134% ,7 141% ,2 149% ,3 151% Wahl von K 1 hat starken Einfluss auf Schätzung des SCR! Optimierung der Parameter N, K 0 und K 1 sinnvoll

41 Seite 26 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Variance-Bias Tradeoff Wahl von K 0, N und K 1 Idee: Minimiere Mean-Square Error (MSE) Ähnlich wie bei Gordy/Juneja (2008), erhalten wir: Optimierungsproblem in K 0, N und K 1 MSE σ2 0 α(1 α) + K 0 (N + 2)f 2 (SCR) + θα 2 K1 2 f 2 (SCR) min mit der Budgetrestriktion K 0 + N K 1 = Γ. Schätzung von θ α durch Pilotsimulation mit N = , K 1 = 100 und Regression/Finite Differenzen: ˆθ α 0, 027 (K 0 ; N; K 1 ) = ( ; ; 300) ungefähr optimal Berechnung dauert ungefähr 15 Minuten

42 Seite 27 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Vergleich von verschiedenen Parameterkombinationen SCR N = 160, K1 = 600 N = 320, K1 = 300 N = 640, K1 = 150 N =1, 280, 000 K1 =75 N K 1 Mean Empirical Estimated Estimated Corrected ( SCR) Variance Bias MSE Mean ,7 24,6 1,4 26, , ,3 15,8 2,9 24, , ,3 7,9 5,7 40, , ,4 4,2 11,4 133, ,1 Tabelle: Wahl von N und K 1 (K 0 = ), Γ = , 150 Runs

43 Seite 28 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Least-Squares-Algorithmus Basiert auf LSM-Ansatz von Longstaff/Schwartz (2001)

44 Seite 28 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Least-Squares-Algorithmus Basiert auf LSM-Ansatz von Longstaff/Schwartz (2001) Algorithmus: Simulation von N Szenarien (erstes Jahr P, restliche Jahre Q) PV (i) 1 (ω i ) := T t=2 { exp t 1 } r s(ω i ) ds [ ] X t (ω i ) = E Q PV (i) 1 F 1 + ε i, 1 i N

45 Seite 28 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Least-Squares-Algorithmus Basiert auf LSM-Ansatz von Longstaff/Schwartz (2001) Algorithmus: Simulation von N Szenarien (erstes Jahr P, restliche Jahre Q) PV (i) 1 (ω i ) := T t=2 { exp t 1 } r s(ω i ) ds [ ] X t (ω i ) = E Q PV (i) 1 F 1 + ε i, 1 i N 1. Schritt : Approximation von V1 durch eine endliche Summe von geeigneten Basisfunktionen [ T ] t M V 1 = E Q exp( r u du)x t (Y 1, D 1 ) α k e k (Y 1, D 1 ) t=2 1 k=1

46 Seite 28 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Least-Squares-Algorithmus Basiert auf LSM-Ansatz von Longstaff/Schwartz (2001) Algorithmus: Simulation von N Szenarien (erstes Jahr P, restliche Jahre Q) PV (i) 1 (ω i ) := T t=2 { exp t 1 } r s(ω i ) ds [ ] X t (ω i ) = E Q PV (i) 1 F 1 + ε i, 1 i N 1. Schritt : Approximation von V1 durch eine endliche Summe von geeigneten Basisfunktionen [ T ] t M V 1 = E Q exp( r u du)x t (Y 1, D 1 ) α k e k (Y 1, D 1 ) t=2 1 k=1 2. Schritt: Schätzung des unbekannten Parametervektors α mittels Regression: [ N M ( ) ]2 ˆα (N) = argmin α R M PV (i) 1 α k e k Y (i) 1, D(i) 1 i=1 k=1

47 Seite 28 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Least-Squares-Algorithmus Basiert auf LSM-Ansatz von Longstaff/Schwartz (2001) Algorithmus: Simulation von N Szenarien (erstes Jahr P, restliche Jahre Q) PV (i) 1 (ω i ) := T t=2 { exp t 1 } r s(ω i ) ds [ ] X t (ω i ) = E Q PV (i) 1 F 1 + ε i, 1 i N 1. Schritt : Approximation von V1 durch eine endliche Summe von geeigneten Basisfunktionen [ T ] t M V 1 = E Q exp( r u du)x t (Y 1, D 1 ) α k e k (Y 1, D 1 ) t=2 1 k=1 2. Schritt: Schätzung des unbekannten Parametervektors α mittels Regression: [ N M ( ) ]2 ˆα (N) = argmin α R M PV (i) 1 α k e k Y (i) 1, D(i) 1 i=1 Schätzung des Available Capitals: ÂC (i) 1 = ANAV(i) 1 + M k=1 k=1 ˆα (N) k e k (Y (i) 1, D(i) 1 ) + X (i) 1, 1 i N

48 Seite 29 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Wahl der Regressionsfunktion beim LSM Ansatz # Regression Function Mean (ŜCR) 1 ˆα (N) 0 + ˆα (N) 1 A ,3 2 ˆα (N) 0 + ˆα (N) 1 A 1 + ˆα (N) 2 A ,5 3 ˆα (N) 0 + ˆα (N) 1 A 1 + ˆα (N) 2 A ˆα(N) 3 r ,6 4 ˆα (N) 0 + ˆα (N) 1 A 1 + ˆα (N) 2 A ˆα(N) 3 r 1 + ˆα (N) 4 r ,5 5 ˆα (N) 0 + ˆα (N) 1 A 1 + ˆα (N) 2 A ˆα(N) 3 r 1 + ˆα (N) 4 r ˆα(N) 5 L ,2 6 ˆα (N) 0 + ˆα (N) 1 A 1 + ˆα (N) 2 A ˆα(N) 3 r 1 + ˆα (N) 4 r ˆα(N) 5 L 1 + ˆα (N) 6 x ,9 7 ˆα (N) 0 + ˆα (N) 1 A 1 + ˆα (N) 2 A ˆα(N) 3 r 1 + ˆα (N) 4 r ˆα(N) 5 L 1 + ˆα (N) 6 x 1 + ˆα (N) 7 A 1 e r ,3 8 ˆα (N) + ˆα (N) A ˆα (N) A ˆα(N) r ˆα (N) r ˆα(N) 5 L 1 + ˆα (N) x ˆα (N) 7 A 1 e r 1 + ˆα (N) L 8 1 e r ,5 9 ˆα (N) + ˆα (N) A ˆα (N) A ˆα(N) r ˆα (N) r ˆα(N) 5 L 1 + ˆα (N) x ˆα (N) 7 A 1 e r 1 + ˆα (N) L 8 1 e r 1 + ˆα (N) e A 1 / ,9 9 Tabelle: SCR für verschiedene Regressionsfunktionen, N = Hoher Einfluss der Basisfunktionen auf Schätzung Bei geeigneter Wahl der Basisfunktionen liegt das geschätzte SCR nahe am Wert mittels Nested Simulations Regressionsfunktion kann meist auch bei Veränderungen der Kapitalmarktparameter weiter verwendet werden Berechnung dauert ungefähr 25 Sekunden

49 Seite 30 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Nested Simulations und Solvency II Vergleich für verschiedene N beim LSM-Ansatz ŜCR N = 160, 000 N = 320, 000 N = 640, 000 N = 1,280, 000 N Mean Empirical Solvency (ŜCR) Variance Ratio ,4 110,9 151% ,9 39,1 151% ,3 24,0 151% ,4 12,1 151% Tabelle: LSM Ansatz, 150 Runs

50 Seite 31 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Zusammenfassung und Ausblick 1 Einführung 2 Nested Simulations bei der Bewertung von Optionen Einfacher Monte Carlo Ansatz PDE Ansatz Least-Squares Monte Carlo Ansatz 3 Nested Simulations und Solvency II Ansatz über Nested Simulations Least-Squares Monte Carlo Ansatz 4 Zusammenfassung und Ausblick

51 Seite 32 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Nested Simulations: Hoher Rechen- und Zeitaufwand Schätzer haben einen Bias (kann sehr groß sein!)

52 Seite 32 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Nested Simulations: Hoher Rechen- und Zeitaufwand Schätzer haben einen Bias (kann sehr groß sein!) LSM: Sehr schnell bei relativ guten Ergebnissen Wahl der Regressionsfunktion hat großen Einfluss auf Ergebnisse

53 Seite 32 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Nested Simulations: Hoher Rechen- und Zeitaufwand Schätzer haben einen Bias (kann sehr groß sein!) LSM: Sehr schnell bei relativ guten Ergebnissen Wahl der Regressionsfunktion hat großen Einfluss auf Ergebnisse Ausblick Verbesserung der Ergebnisse durch Varianzreduktion (Antithetics, Control Variates) Einsatz von Quasi-Monte-Carlo Methoden Fokussierung auf den Tail der Verteilung bei der Berechnung des SCR durch Screening Theoretische Analyse des Bias beim LSM im Rahmen von Solvency II

54 Seite 33 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Zusammenfassung und Ausblick Literatur D. Bauer, R. Kiesel, A. Kling, and J. Ruß: Risk-neutral valuation of participating life insurance contracts. Insurance: Mathematics and Economics, 39: , D. Bauer, D. Bergmann und R. Kiesel: On the risk-neutral valuation of life insurance contracts with numerical methods in view, Working Paper, Universität Ulm, D. Bauer, D. Bergmann und A. Reuß: Solvency II and Nested Simulations - a Least-Squares Monte Carlo Approach, Working Paper, Universität Ulm, M.B. Gordy und S. Juneja: Nested simulations in portfolio risk measurement, Finance and Economics Discussion Series, submitted to Management Science. F.A. Longstaff und E.S. Schwartz: Valuing American options by simulation: A simple least-squares approach. The Review of Financial Studies, 14: , D. Pfeifer und D. Strassburger: Solvency II: stability problems with the SCR aggregation formula. Scandinavian Actuarial Journal, 1:61 77, K. Zaglauer und D. Bauer: Risk-neutral valuation of participating life insurance contracts in a stochastic interest rate environment. Insurance: Mathematics and Economics, 43:29 40, 2008.

55 Seite 34 Nested Simulations 7. November 2009 Daniela Bergmann Zusammenfassung und Ausblick Kontakt ifa Institut für Finanz- und Aktuarwissenschaften Daniela Bergmann Universität Ulm Helmholtzstr Ulm Germany Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!