Gleichungslehre - 2. Teil Kapitel 3 aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter

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1 Gleichungslehre - 2. Teil Kapitel 3 aus meinem Lehrgang ALGEBRA Ronald Balestra CH St. Peter März 2010

2 Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen: 1 Mengenlehre 1.1 Die Menge im mathematischen Sinne 1.2 Darstellungsformen 1.3 Teilmengen 1.4 Rechnen mit Mengen 1.5 Mengen im Koordinatensystem 1.6 Rechnen in Mengen 2 Termumformungen 2.1 Grundbegriffe 2.2 Einfache Termumformungen 2.3 Das Rechnen mit Polynomen 2.4 Das Rechnen mit Brüchen 3 Gleichungslehre 3.1 Aussagen, Aussageformen & Gleichungen 3.2 Das Lösen von Gleichungen 3.3 Lineare Gleichungen & deren Diskussion 3.4 Bruchgleichungen I

3 Inhaltsverzeichnis 3.5 Quadratische Gleichungen Bruchgleichungen & Biquadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Quadratische Gleichungen mit Parametern und deren Diskussion Textaufgaben - ein Unterrichtspuzzle Der Satz von Vieta Kubische Gleichungen II

4 3.5 Quadratische Gleichungen Einfache und gut konditionierte quadratische Gleichungen haben wir schon kennen und lösen gelernt. Um sie zu lösen gehen wir wie folgt vor: 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: Unser Ziel in diesem Kapitel ist, uns von den einfachen Gleichungen zu lösen und eine Lösungsformel herzuleiten, die es uns ermöglicht, die Lösungsmenge jeder quadratischen Gleichung zu bestimmen. Zuerst noch eine Definition: Def.: Bem.: Eine Gleichung heisst quadratisch, genau dann wenn sie von der folgenden Form ist: ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c R a 0 Jetzt noch einige einfache, schon lösbare Beispiele: Beispiel Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: i. x 2 49 = 0 ii. x 2 =

5 iii. x 2 = 12 iv. x = 0 v. 6x = 3x 2 9 vi. x 2 9x = 18 vii. 2x x 294 = 0. viii. x 2 + 0, 6x 2, 8 = 0 104

6 Und nun zur Herleitung der Lösungsformel: ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c = 0 a x 2 + b ( ) b 2 a x + 4a 2 b2 4a 2 + c = 0 a x 2 + b ( ) 2 b a x + b2 2a 4a 2 + c = 0 a ( x + b ) 2 b2 4ac 2a 4a 2 = 0 ( x + b ) 2 ( ) 2 b2 4ac = 0 2a 2a [ ( x + b ) ] [ ( b2 4ac x + b ) ] b2 4ac + = 0 2a 2a 2a 2a ( x + b ) b2 4ac = 0 2a 2a x + b b 2 4ac 2a x 1 = b + b 2 4ac 2a ( x + b ) b2 4ac + = 0 2a 2a = 0 x + b + b 2 4ac 2a = 0 x 2 = b b 2 4ac 2a Aufgaben : 1. Versuche jede Umformung zu verstehen. 2. Löse die folgende Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel: x 2 + 0, 6x 2, 8 = 0 105

7 Wir wollen die Lösungsformel in folgendem Satz zusammenfassen: Satz: Eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c R a 0 hat die Lösungen x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Beispiel Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen mit Hilfe der Lösungsformel: i. 2x 2 5x 3 = 0 ii. x 2 = x

8 iii. x 2 = 12x 36 iv. 4x 2 12x = 11 Wir können feststellen, dass ob eine quadratische Gleichung der Form keine, ax 2 + bx + c = 0 genau eine oder zwei Lösungen hat, abhängig ist von... (Aufg.: 1-12 und ; 1a, 4b, 10c, 35b, 38b, 39b, 51a, 53c, 55c, 59c, 61a, 62a, 71, 76a,b ) 107

9 Mit Hilfe der Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichungen lässt sich das zugehörige Polynom 2. Grades in Linearfaktoren zerlegen. Es gilt der folgende Satz: (Der Faktorisierungssatz) Mit x 1 und x 2 als die Lösungen der folgenden Gleichung ax 2 + bx + c = 0 folgt: ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) Aufgaben : Beweise den Fakorisierungssatz Beispiel Zerlege die folgenden Terme vollständig in Linearfaktoren: 1. x x x x x x x x

10 3.5.1 Bruchgleichungen & Biquadratische Gleichungen Du wirst im Folgenden zwei Gleichungstypen kennenlernen, die auf ihrem Weg zur Lösung auf quadratische Gleichungen führen und mit Hilfe der Lösungsformel gelöst werden können: Bruchgleichungen Biquadratische Gleichungen Die Gleichungstypen werden vorgestellt, der Lösungsweg kurz beschrieben und einige Beispiele mit den zugehörigen Lösungsmengen angegeben. Deine Aufgabe besteht nun darin, dass du, in dem du die Beispiel mit Hilfe der beschriebenen Lösungswege durcharbeitest, dich mit den Gleichungen und den zugehörigen Lösungsverfahren selbständig vertraut machst. (Für weitere Übungen ist wieder eine Auswahl an passenden Aufgaben angegeben.) Du hast wieder 60 Minuten Zeit und kannst anschliessend freiwillig eine Kurzprüfung ablegen. Bruchgleichungen Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen, werden gleich wie die bisherigen gelöst: 1. Schritt: Definitionsbereich bestimmen. 2. Schritt: Gleichung vereinfachen/ Bruchterme zum Verschwinden bringen. Der Unterschied zu den bisherigen Bruchgleichungen besteht nun darin, dass durch die Vereinfachung keine lineare Gleichung, sondern eine quadratische Gleichung entsteht, welche wir wie folgt lösen: 3. Schritt: Gleichung gleich 0 setzen. 4. Schritt: Vollständige Faktorzerlegung und die Lösungen herauslesen oder mit Hilfe der Lösungsformel die Lösungen direkt bestimmen. 109

11 Beispiel Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen: i. 60 x + 2 = x L = {2, 4} ii. x + 3 x 3 + x 1 x + 4 = x L = {6, 10} x 4 (Aufg.: ; 143a,b, 146b) 110

12 Biquadratische Gleichungen Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen der folgenden Form: ax 4 + bx 2 + c = 0 Durch eine einfache Substitution lässt sich eine biquadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung überführen und dann mit der Lösungsformel weiter bearbeiten. Beispiel : x 4 + 3x 2 = 28 Durch die Substitution a := x 2 erhalten wir a 2 + 3a = 28 eine quadratische Gleichung, welche wir gleich 0 setzen a 2 + 3a 28 = 0 und mit vollständiger Faktorzerlegung oder der Lösungsformel lösen können: L a = {4, 7} Wir haben somit die Lösungsmenge für a, also für die substituierte Gleichung bestimmt. Durch eine Rücksubstitution können wir nun auch die Lösungsmenge für x, also für die ursprüngliche Gleichung, bestimmen: Rücksubstitution : x = ± a x 1,2 = ± 4 = ±2 x 3,4 = ± 7 L = {±2} 111

13 Beispiel Bestimme die Lösungsmengen der folgenenden Gleichungen: iii. x = 7x 2 L = {±2, ± 3} iv. 32x 4 82x = 0 L = {± 9 4 } (Aufg.: ; 158b, 159b) 112

14 Aufgaben : Beweise, die folgende Aussage: Wenn die drei Koeffizienten einer biquadratishen Gleichung dasselbe Vorzeichen haben, dann gilt: L = { } 113

15 3.5.2 Wurzelgleichungen Die Wurzelgleichung ist ein Typ, in welchem die Lösungsvariable im Radikanden (dem Term unter der Wurzel) vorkommt. Durch (eventuell mehrmaliges) beidseitiges Quadrieren lassen sich die Wurzelteme zum Verschwinden bringen. Es gilt dabei zu beachten, dass beim beidseitigen Quadrieren beidseitig mit einem Term multipliziert wird, welcher die Lösungsvariable beinhaltet, d.h., dass eine Gewinnumformung vorliegen kann und wir das Schlussresultat auf alle Fälle überprüfen müssen. Beispiel x 1 2 2x + 5 = 3x (x 1) 2 5 x 1 2 2x (2x + 5) = 3x 5 33x 5 20 (x 1)(2x + 5) = 3x 5 20 (x 1)(2x + 5) = 30x :( 10) 2 (2x 2 + 3x 5) = 3x 2 4(2x 2 + 3x 5) = 9x 2 x 2 12x + 20 = 0 x 1 = 10 x 2 = 2 Durch Einsetzen der Lösungen in der ursprünglichen Gleichung können wir feststellen, dass x 1 die Aussagform in eine wahre Aussage überführt und x 2 die Aussageform in eine falsche Aussage überführt. Wir haben somit die folgende Lösungsmenge: L = {10} 114

16 Beispiel x 5 = 7 L = {27} 2x x = 1 L = {4} (Aufg.: ; 171a, 173a, 182a, 183a) 115

17 Zum Lösen von Wurzelgleichungen kann auch ein uns schon bekanntes Verfahren hilfreich sein: Die Substitution. Beispiel x 1 x + 1 x x = 0 (Aufg.: ) 116

18 3.5.3 Quadratische Gleichungen mit Parametern und deren Diskussion Ob mit oder ohne Parameter, quadratische Gleichungen lassen sich immer wie folgt lösen: 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: Beispiel Verifiziere die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen: i. x 2 + 4ax + 3a 2 = 0 L = { 3a, a} ii. x 2 + (p q)x = pq L = { p, q} iii. x + a x a + x 2a = 2, 25 L = { 7a, 3a} x + a (Aufg.: freie Wahl aus ; 152, 153, 156 ; 163, 164) 117

19 Die Diskussion halten wir sehr kurz: Wir wissen bereits, dass eine quadratische Gleichung entweder hat und die Mächtigkeit der Lösungsmenge von der abhängig ist. Aufgaben : Bestimme bei den folgenden Gleichungen die Anzahl Lösungen: 1. x x + 1 = x 2 x = x 7 = 2x 4. 0, 3x 2 + 4, 8 = 2, 4x 5. Bestimme k so, dass die folgende Gleichung 2x 2 + 6x + k = 0 (a) keine, (b) genau eine, (c) zwei Lösungen hat. (Aufg.: freie Wahl aus 85-88, ) 118

20 Wir schliessen diesen Abschnitt mit einem Beispiel zur Anwendung der Substitutionsmethode: Beispiel x 5 x 12 = 0 und einem Beispiel zur Diskussion einer Gleichung: Beispiel a + x a x = 2 a x (Aufg.: freie Wahl aus ) 119

21 3.6 Textaufgaben - ein Unterrichtspuzzle Der folgende Abschnitt, der sich mit den Textaufgaben beschäftigt, ist als ein sog. Unterrichtspuzzle gestaltet. Aufgeteilt in fünf Gruppen sollt ihr in einer ersten Runde, der Aktivierungsrunde, die Musteraufgabe durcharbeiten. Das Ziel ist, die notwendigen Kenntnisse für die nächste Runde zu aktivieren. In einer Zwischenrunde werden wir, falls erwünscht oder notwendig, jeweils die erste Aufgabe der fünf Themenkreise in der Gruppe besprechen. In der zweiten Runde, der Expertenrunde, sollt ihr euch in eurer Gruppe intensiv mit den euch zugeteilten Aufgaben beschäftigen, um eure Fähigkeiten im Lösen von Textaufgaben zu vertiefen und zu festigen. Das Ziel ist, dass jedes Mitglied der Gruppe jede Aufgabe lösen und die Lösung auch präsentieren kann. Die Aufgaben sind in folgende Themen gegliedert: 1. Bestimmung von Zahlen 2. Altersbestimmungen 3. Prozentaufgaben 4. Mischungsaufgaben 5. Leistungsaufgaben In der letzten Runde, der Unterrichtsrunde, werden die Gruppen neu gebildet, und zwar so, dass aus jeder Expertengruppe mindestens ein Vertreter/ eine Vertreterin anwesend ist. In dieser Runde präsentieren und erklären die ExpertInnen ihre Aufgaben den übrigen Gruppenmitglieder. Es folgt abschliessend noch eine Schlussrunde im Klassenverband, in welcher die letzten offenen Fragen besprochen werden. Zur Verfügung stehen euch ausführliche Musterlösungen zu den jeweils ersten Aufgaben der Themen und die numerischen Lösungen aller übrigen Aufgaben. 120

22 Gruppeneinteilung: (Aktivierungs- und Expertenrunde) 1. Gruppe 2. Gruppe 3. Gruppe 4. Gruppe 5. Gruppe Themenzuteilung: 1. Gruppe: Bestimmung von Zahlen & Altersbestimmungen 2. Gruppe: Altersbestimmung & Prozentaufgaben 3. Gruppe: Prozentaufgaben & Mischungsaufgaben 4. Gruppe: Mischungsaufgaben & Leistungsaufgaben 5. Gruppe: Leistungsaufgaben & Bestimmung von Zahlen Gruppeneinteilung: (Unterrichtsrunde) 1. Gruppe 2. Gruppe 3. Gruppe 4. Gruppe 5. Gruppe Zeitrahmen: Aktivierungs- und Expertenrunde: 3 Stunden Zwischenrunde: 10min pro Gruppe Unterrichtsrunde: 2 Stunden Beachtet, dass ihr wahrscheinlich in der Unterrichtsrunde nicht genügend Zeit haben werdet, um alle eure Aufgaben aus der Expertenrunde zu präsentieren. Trefft also vorgängig eine Auswahl an Aufgaben, die für euch wichtig sind und die ihr in der euch zur Verfügung stehenden Zeit erklären wollt. 121

23 Für den Einstieg verwenden wir eine Aufgabe von Adam Ries ( ): Im heutigen Deutsch liest sich die Aufgabe etwa wie folgt: Einer hat Geld, verspielt davon 1/3. Von dem, was ihm übriggeblieben ist, verbraucht er 4 Gulden. Mit dem Rest handelt er und verliert ein Viertel. Es bleiben ihm 20 Gulden. Wie viele Gulden hat er anfänglich besessen? Wenn wir eine solche Textaufgabe algebraisch lösen wollen, müssen wir sie zuerst aus der Umgangssprache in die Sprache der Algebra übersetzen, wo wir das Problem mit den uns schon bekannten Verfahren lösen können: 1. Schritt: Definieren/ Festlegen der Unbekannten Setze x := Anzahl Gulden, die der Mann anfänglich besessen hat. 2. Schritt: Aufstellen der Gleichung 3 4 (2 x 4) = Schritt: Auflösen der Gleichung 3 4 (2 6 x 4) = x 3 = x = 23 x = Schritt: Formulieren der Antwort Der Mann hat anfänglich 46 Gulden besessen. 122

24 Die Themen mit den zugehörigen Aufgaben für die Expertenrunde Bestimmung von Zahlen 1. Eine dreiziffrige Zahl hat die Quersumme 13. Ihre Einerziffer ist doppelt so gross wie ihre Hunderterziffer. Wird die Einer- mit der Zehnerziffer vertauscht, so entsteht eine um 27 kleinere Zahl. Wie lautet die zugehörige Zahl. Wir definieren unsere gesuchten Grössen: x := Anzahl Hunderter, y := Anzahl Zehner und z := Anzahl Einer. Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen: i x + y + z = 13 ii z = 2x iii 100x + 10y + z = 100x + 10z + y + 27 Das Auflösen des Gleichungssystems liefert uns z = 4, y = 7 und x = 2 und somit als Lösung: Welche Zahl hat die folgende Eigenschaft: Wird von ihr 9 subtrahiert und zur Hälfte dieser Differenz 5 addiert, entsteht die ursprüngliche Zahl. ( 1 ) 3. Welche drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen bilden addiert die Summe 33. ( 9, 11, 13 ) 4. Welche Zahl ändert ihren Wert nicht, auch wenn sie mit 13 multipliziert oder durch 13 dividiert wird? ( 0 ) 123

25 5. Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist 4. Wird diese links weggestrichen und rechts wieder angesetzt, so entsteht eine um 243 grössere Zahl. Berechne die ursprüngliche Zahl. ( 471 ) 6. Welche zweiziffrige Zahl ist durch 11 teilbar und hat die Quersumme 8? ( 44 ) 7. Die Summe zweier Zahlen ist 56, ihre Differenz 22. Wie heissen die beiden Zahlen? ( 17 und 39 ) 8. Eine Zahl hat im binären System die folgende Form: Wie lautet die Zahl im 10er-System? ( 657 ) Stelle die Zahl im 5er-System dar. ( ) 124

26 Altersbestimmung 1. Eine Mutter ist heute dreimal so alt wie ihre Tochter. In vier Jahren wird sie achtmal so alt sein wie ihre Tochter heute vor 7 Jahren war. Wie alt sind Mutter und Tochter heute? Wir definieren unsere gesuchten Grössen: M := Alter der Mutter heute, T := Alter der Mutter heute. (jeweils in Jahre) Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen: i M = 3 T ii M + 4 = 8 (T 7) Das Auflösen des Gleichungssystems liefert uns T = 12, M = Ein Vater ist heute doppelt so alt wie sein Sohn. Vor 24 Jahren war er 32 Jahre älter als dieser. Wie alt sind beide heute? ( 32 und 64 ) 3. Heute ist Max 16 Jahre und sein Bruder Moritz 12 Jahre alt. (a) Vor wie vielen Jahren war Max doppelt so alt wie Moritz? ( vor 8 Jahren ) (b) In wie vielen Jahren werden sie gleich alt sein? ( nie ) 4. Ein Onkel ist heute dreimal so alt wie sein Neffe und viermal so alt, wie sein Neffe vor 5 Jahren war. Wie alt sind beide heute? ( 20 und 60 ) 125

27 5. Karl ist heute 27 Jahre alt. Er ist dreimal so alt, wie Inge war, als Karl doppelt so alt war, wie Inge heute ist. Wie alt ist Inge heute? ( 12 ) 6. (Löse ohne Bestimmungsgleichung, nur durch Knobeln) Platon war ein Schüler Sokrates, Aristoteles ein Schüler Platons. Der Schüler war jeweils um 43 Jahre jünger als sein Lehrer. Die Zahl der Lebensjahre hat bei jedem dieser Philosophen die Quersumme 8. Das von Platon erreichte Alter wird durch die grösste zweistellige Zahl mit dieser Eigenschaft angegeben. Sokrates starb im 8.ten, Aristoteles im 7.ten Jahrzehnt seines Lebens. Wird die doppelte Summe der drei Lebensalter um 1 vergrössert, so erhält man das Geburtsjahr von Platon. Bestimme für jeden dieser drei Philosophen das Geburts- und Todesjahr. ( Sokrates: vchr, Platon: vchr, Aristoteles: vchr ) 126

28 Prozentaufgaben 1. Fritz hat einen gewissen Betrag als Einlage in ein Geschäft eingebracht. Nach einem Jahr erhält er 10% davon als Gewinn. Er erhöht seinen Geschäftsanteil um diesen Betrag. Im darauffolgenden Jahr erzielt er aber nur einen Gewinn von 5% seiner Einlage. Immerhin hat er nun Fr mehr als anfangs. Wie gross war seine ursprüngliche Einlage? Wir definieren unsere gesuchte Grösse: x := Ursprüngliche Einlage in Fr. Der Text liefert uns die folgende Gleichung: 1.1x x = x Das Auflösen der Gleichung liefert uns x = Ein Grossist verkauft das direkt aus einer Fabrik bezogene Tuch mit 15% Gewinn an den Händler, der seinerseits noch 25% Gewinn daraufschlägt. Nun ist der Meter um Fr.17,50 teurer als der Fabrikpreis. Bestimme die Höhe des Fabrikpreises. ( Fr ) 3. Zu wieviel Zins sind Fr.2 662,50 ausgeliehen, wenn sie in 144 Tagen Fr.49,70 Zins einbringen? (Das Zinsjahr hat 360 Tage.) ( 4.667% ) 127

29 4. Ein Kapital von Fr wird zu 3% verzinst. Nach einem Jahr wird der Zins zum Kapital geschlagen. Gleichzeitig ändert die Bank den Zinsfuss. Nach einem weiteren Jahr ist das Kapital samt Zinsen auf ein Guthaben von Fr.6 427,20 angewachsen. Wie hoch war der Zinsfuss im zweiten Jahr? ( 4% ) 5. Sepp spekuliert mit seinem Vermögen und gewinnt dadurch 7%, verbraucht aber Fr Mit seinem jetzigen Vermögen gewinnt er im darauffolgenden Jahr 6%, verbraucht aber Fr , so dass er schliesslich um 5% mehr Vermögen als am Anfang besitzt. Wieviel hatte er am Anfang? ( Fr ) 6. Zwei Kapitalien brachten gleichviel Zins, obwohl das erste um 0,5% höher verzinst wurde als das zweite. Wie hoch waren sie verzinst, wenn das erste Fr und das zweite Fr betrug? ( 4% und 4.5% ) 128

30 Mischungsaufgaben 1. Aus einer 10%igen und aus einer 4%igen Salzlösung sollen durch Mischen 2kg einer 7,6% Salzlösung hergestellt werden. Wie viele Kilogramm von jeder Ausgangslösung müssen verwendet werden? Wir definieren unsere gesuchten Grössen: x := Anzahl kg der 4%igen Salzlösung, y := Anzahl kg der 10%igen Salzlösung. Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen: Die Gesamtmenge betreffend: x + y = 2, Nur das Salz betreffend: x y 0.1 = Das Auflösen des Gleichungungssystems liefert uns x = 0.8 und y = g einer 10%igen Sole werden mit 400g Wasser verdünnt. Wieviel % Salz enthält die Mischung? ( 6.667% ) 3. Bei starken Blutverlusten wird häufig eine 2 3 %ige Kochsalzlösung in die Blutbahn eingeführt. Mit wie vielen Kilogamm reinen Wassers müssen 539g 2%ige Kochsalzlösung verdünnt werden, um die erforderliche Konzentration herstellen zu können? ( 1 078g ) 129

31 4. 180g einer Sole werden durch Verdampfen 125g Wasser entzogen, wodurch ihr Salzgehalt auf 12% ansteigt. Bestimme den Salzgehalt der Lösung vor dem Verdampfen. ( 3.667% ) 5. Von einer Kaffeesorte kosten 16kg Fr.368.-, von einer zweiten Sorte kostet das Kilogramm Fr Bestimme die Menge der ersten Sorte, welche mit 26kg der zweiten Sorte gemischt werden muss, um ein Kilogramm der Mischung für Fr.26.- verkaufen zu können. ( kg ) 6. Mit wieviel Gramm Kupfer müssen 234g Feingold gemischt werden, um eine Legierung mit dem Feingehalt 585 zu erhalten? (Feingehalt ist der in Promille es Gesamtgewichtes ausgedrückte Gehalt an reinem Edelmetall. Bsp.: 1kg Gold mit dem Feingehalt 600 enthält 600g reines Gold.) ( 166g ) 7. In welchem Verhältnis muss Silber vom Feingehalt 750 mit Silber vom Feingehalt 600 gemischt werden, um Silber vom Feingehalt 700 zu erhalten? ( 2:1 ) 130

32 Leistungsaufgaben 1. Einem Teich führen 5 Kanäle Wasser zu. Der erste Kanal benötigt 1/3 Tag, um den Teich zu füllen, der zweite braucht für die Füllung 1 Tag, der dritte Tage, der vierte 3 Tage und der letzte benötigt 5 Tage. In wie vielen Tagen füllen die Kanäle gemeinsam den Teich? Wir definieren unsere gesuchte Grösse: x := Zeit (in Tagen), welche zur Füllung benötigt wird. Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen: 1. Kanal: pro Tag 3 Füllungen, 2. Kanal: pro Tag 1 Füllung, 3. Kanal: pro Tag 2/5 Füllung, 4. Kanal: pro Tag 1/3 Füllung, 5. Kanal: pro Tag 1/5 Füllung. alle Kanäle zusammen liefern pro Tag 74/15 Füllungen x = 1 Das Auflösen der Gleichung liefert uns x = 15/74 2. Ein Gasherd mit zwei Brennern wird aus einer Propangasflasche gespiesen. Mit einer Füllung kann der eine Brenner 30 Stunden, der andere 20 Stunden bei voller Flamme versorgt werden. Wie lange reicht der Flascheninhalt, wenn beide Brenner gleichzeitig in Betrieb sind? ( 12Std ) 131

33 3. Ein Wasserbehälter hat zwei Zuflussröhren. Mittels der ersten Röhre allein kann der Behälter in 6 Stunden, mittels der zweiten Röhre allein in 4 Stunden gefüllt werden. Wie lange dauert das Füllen, wenn beide Röhren gleichzeitig in Betrieb sind? ( 2.4Std ) 4. Zum Ausheben einer Baugrube wird ein Bagger verwendet, der die gesamte Arbeit in 8 Tagen erledigen würde. Um schneller voranzukommen, wird nach drei Tagen noch ein zweiter Bagger eingesetzt, der den ganzen Aushub in 12 Tagen alleine bewältigen könnte. Wieviel Tage müssen beide Maschinen noch in Betrieb sein? ( 3 ) 5. Zum Schluss noch eine Aufgabe aus einem byzantischen Rechenbuch des frühen 14. Jahrhunderts: Einer hatte ein Schiff mit fünf Segeln. Mit dem ersten Segel wurde es an das beabsichtigte Ziel in der Hälfte eines Tagens hingebracht, mit dem zweiten aber in 1/3 Tag, mit dem dritten in 1/5, den vierten in 1/7 und dem fünften in 1/9 Tag. Nachdem nun die 5 Segel gleichzeitig gehiesst waren, in welchem Teil des Tages wurde das Schiff hingebracht? ( 1/26 ) (Aufg.: freie Wahl aus ; ) 132

34 3.7 Der Satz von Vieta Wir wollen uns noch mit einigen interessanten Aufgabenstellungen zu den quadratischen Gleichungen beschäftigen und hierfür Eigenschaften der Lösungen verwenden, welche im Satz von Vieta dargestellt werden. Aufgaben : Formuliere und beweise den Satz von Vieta. 133

35 Aufgaben : 1. Bestimme eine Gleichung der Form x 2 + px + q = 0, welche die Lösungsmenge L = {2, 5} hat. 2. Bestimme zwei verschiedene Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0, welche die Lösungsmenge L = { 5, 2} haben. 134

36 3. Bestimme für die folgende Gleichung x 2 + 4x + u = 0, mit x 1 = 7 den Parameter u und die zweite Lösung x Bestimme für die folgende Gleichung x 2 5x + w = 0 die Lösungen und w so, dass eine Lösung doppelt so gross wie die andere ist. 5. Beweise den Faktorisierungssatz mit Hilfe des Satzes von Vieta. (Aufg.: freie Wahl aus ) 135

37 3.8 Kubische Gleichungen Wir schliessen das Kapitel Gleichungslehre ab, mit einem Ausblick auf das Lösen von Gleichungen dritter Ordnung und werden dabei ein Verfahren kennen lernen, das sog. Abspalten von Nullstellen, was auch bei Gleichungen noch höherer Ordnung zur Anwendung kommen kann. Eine Gleichung der Form ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 mit a, b, c, d R und a 0 heisst eine kubische Gleichung/ Gleichung dritter Ordnung in x. Wenn eine Lösung bekannt ist, lässt sich durch Abspalten dieser Lösung die kubische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zurückführen, so dass sich mögliche weitere Lösungen mit Hilfe der Lösungsformel bestimmen lassen. Die folgenden Umformungen führten im 16. Jahrhundert durch Geronimo CAR- DANO ( ) und Francois VIETA ( ) zu dieser Ueberlegung: Sei x 0 eine Lösung der Gleichung ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. Dann gilt: ax 3 + bx 2 + cx + d = ax 3 + bx 2 + cx + d 0 = ax 3 + bx 2 + cx + d (ax bx cx 0 + d) = ax 3 + bx 2 + cx + d ax 3 0 bx 2 0 cx 0 d = a(x 3 x 3 0) + b(x 2 x 2 0) + c(x x 0 ) = (x x 0 )[a(x 2 + xx 0 + x 2 0) + b(x + x 0 ) + c] = (x x 0 )[ax 2 + (ax 0 + b)x + ax bx 0 + c] = (x x 0 )(Ax 2 + Bx + C) mit A = a, B = ax 0 + b und C = ax bx 0 + c. Zusammengefasst gilt der folgende Satz: Satz Ist x 0 eine Lösung der Gleichung ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, so lässt sich die linke Seite faktorisieren zu ax 3 + bx 2 + cx + d = (x x 0 )(Ax 2 + Bx + C) mit A =..., B = und C =

38 Erkläre jede Umformung in der obigen Herleitung. Für die Gleichung = wurde verwendet. Beweise die Gleichung. a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Überlege, wie die Aussage des Satzes für das Lösen von kubischen Gleichungen verwendet werden kann. Verwende dazu das folgende Zahlenbeispiel: Von der folgenden Gleichung x 3 x 2 81x + 81 = 0 ist eine Lösung bekannt: x o = 1. Durch das Abspalten der Lösung folgt: x 3 x 2 81x + 81 = (x 1)(x 2 81) was sich mit Hilfe der 3. binomischen Formel weiter zerlegen lässt zu (x 1)(x + 9)(x 9) und somit die folgende Lösungsmenge liefert: L = {1, 9, 9} Aufgaben : 1. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: x 3 + 2x 2 5x 6 = 0 Ein Element der Menge A = {1, 2, 3} ist auch Element der gesuchten Lösungsmenge. 2. Löse die folgenden Gleichungen: (a) x 3 + 7x 2 + 4x 12 = 0 (b) x 3 = 14x x (c) x 4 0, 5x 3 218x , 5x = 0 3. Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion: f(x) = x 3 + x 2 14x