Linienelemente und Flaggen

Transkript

1 Linienelemente und Flaggen Boris Odehnal Habilitationskolloquium, 19. November 2007 p. 1

2 Überblick Linienelemente in R 3 Flaggen in projektiven Räumen Flaggen in euklidischen Räumen Linienelemente in P 3 p. 2

3 Ziele niedrigdimensionale Punktmodelle mit schönen Eigenschaften: lineare MF von Flaggen sollen im Modell URe sein Transformationen im Ausgangsraum induzieren automorphe Kollineationen der Modellfläche verwendbare Koordinaten eventuell Anwendungen p. 3

4 Linienelemente in R 3 p. 4

5 Linienelemente und Koordinaten g g Linienelement (P, G) = Gerade G + Punkt P G p (g, g) Plückerkoordinaten o γ von G, g = 1 f g := p g, g,g = 0 γ := p,g G orientierter Abstand f p (g,g,γ) R 7 Koordinaten von (P,G) abhängig von P, homogen p. 5

6 Linienelemente und Koordinaten: Punktmodell Punktmodell in P 6 1. Kegel M2 5 über der Plücker-Quadrik 2. trägt zwei 3-param.-Familien von 3-Räumen Spitze + eine Erzeugende fehlen nachträglicher proj. Abschluß nicht möglich bestenfalls (g,g, ) für (G,G u ) p. 6

7 Punktmodell: induzierte Autokollineationen äquiforme Bewegung x x = αax+a A SO 3, α R\{0}, a R 3 Transformation der LE-Koordinaten: [ A 0 0 A A αa 0 a T A 0 α ][ g g γ ] = [ g g γ ], a x = A x Satz: Die äquiformen Bewegungen im R 3 induzieren automorphe Kollineationen von M 5 2. p. 7

8 Anwendungen Flächenerkennung Flächenrekonstruktion im Gegensatz zur Liniengeometrie mehr Flächenklassen erkennbar p. 8

9 Flaggen in projektiven Räumen p. 9

10 Flaggen in projektiven Räumen: Definition projektiver Raum P n, 1 < n < Flagge = aufsteigende Unterraumkette F = P d 1... Pd k, 0 d 1 <... < d k < n F vollständig (d 1,...,d k ) = (0,...,n 1) F unvollständig sonst Beispiele in P 3 : Punkt LE Fl.el. g ε vollständig p. 10

11 Flaggen in projektiven Räumen: Punktmodelle P n = P(K n+1 ), K... kommutativer Körper K = R,C, auch andere möglich Punktmodelle für die k-dim. Komponenten: Graßmann-MF G n,k dimg n,k = (n k)(k +1), dim[g n,k ] = ( n+1 k+1) 1 =: mk G n,k P m k = P(V k), K m k+1 =: V k vollständige Flagge = Punkt auf der n+1 Segre-MF S n,... P( V k ) = P(W), dimw =: m+1 k=0 p. 11

12 Flaggen in projektiven Räumen: Flaggenmannigfaltigkeit Definition: Die Flaggen-MF F n ist die Menge aller Punkte aus P(W), die einer vollständigen Flagge entsprechen. dimf n = 1 2 n(n+1) =: f, dim[fn ] =? n f m = Modellräume unverhältnismäßig groß p. 12

13 Flaggen in euklidischen Räumen p. 13

14 Flaggen in euklidischen Räumen R n...n-dimensionaler euklidischer Raum vollständige Flagge F in R n Koordinatensystem in R n (obda orthonormale) Basis des R n euklidische Bewegung des R n Modelle der euklidischen Bewegungsgruppen = Modelle der Flaggen-MF in euklidischen Räumen p. 14

15 speziell im R 3 Study-Quadrik R 6 2 = Punktmodell der euklidischen Bewegungen in R 3 = Punktmodell der Flaggen-MF im euklidischen R 3 (mehrfach überdeckt) p. 15

16 Flaggen in euklidischen Räumen: speziell R 3 G ĝ P E g g g F = (P,G,E) Linienelement (P,G) = (g,g,γ) Ebene E durch (P, G) mit Normalenvektor ĝ E G = ĝ g = g,ĝ = 0 Vereinfachung: g,g = ĝ,ĝ (= 1) {p;g,ĝ,g ĝ}... orientierte kartesische Basis p. 16

17 Flaggen in euklidischen Räumen: speziell R 3 F = (g,g,ĝ,γ) R 10 Das geometrische Objekt F trägt vier orientierte Flaggen: (g,g,ĝ,γ), ( g, g,ĝ, γ), ( g, g, ĝ, γ), (g,g, ĝ,γ) Die Koordinaten der Flagge sind homogen, wobei ĝ unabhängig skaliert werden kann. (g,g,ĝ,γ) (λg,λg,µĝ,λγ), λµ 0 p. 17

18 Flaggen in euklidischen Räumen: speziell R 3 Satz. Der Vektor (g,g,ĝ,γ) R 10 ist Koordinatenvektor einer Flagge F R 3. Voraussetzungen und Einschränkungen: g 0, ĝ 0, g,g = 0, g,ĝ = 0, g,g ĝ,ĝ = 0 Beweis: Komponenten aus (g, g, ĝ, γ) rekonstruierbar. p. 18

19 Eigenschaften des Punktmodells (g,g,ĝ,γ) = (g 1,g 2,g 3 ;g 4,g 5,g 6 ;g 7,g 8,g 9 ;g 10 ) g i... homogene Punktkoordinaten in P 9 Gleichungen der MF M: g,g = g 1 g 4 +g 2 g 5 +g 3 g 6 = 0 g,ĝ = g 1 g 7 +g 2 g 8 +g 3 g 9 = 0 g,g ĝ,ĝ = g1 2 +g2 2 +g3 2 g7 2 g8 2 g9 2 = 0 degm = 8, dimm = 6 g 10 kommt in keiner Gleichung vor = M 6 8 ist ein Kegel. p. 19

20 Eigenschaften des Punktmodells Satz: M 6 8 ist rational parametrisierbar. M Schnitt 3er quadr. Kegel i... 3-dim. Spitzen, 6-dim. Erzeugende G 3, g 4 = g 5 = g 6 = g 10 = G 3,1 G 3,1 p. 20

21 induzierte Kollineationen im Modellraum (A,a,α)... äquiforme Bewegung in R 3 Transformation der Flaggenkoordinaten A A A αa A 0 a T A 0 0 α g g ĝ γ = g g ĝ γ Satz: Die äquiformen Bewegungen im R 3 induzieren automorphe Kollineationen der M 6 8. p. 21

22 Eigenschaften des Punktmodells Büschel von Flaggen = Geraden in M 6 8 Bündel von Flaggen = ov. Quadriken, Ebenen, quadr. Kegeln in M 6 8. p. 22

23 Beziehungen zu nichteuklidischen Geometrien Bündel mit festem Punkt: Flaggen durch einen Punkt = euklidische Drehungen um einen Punkt = elliptischer Dreiraum Bündel mit fester Ebene: Flaggen, die sich nur im LE unterscheiden = ebene euklidische Bewegungen = quasi-elliptischer Dreiraum beide aufgrund der mehrfachen Orientierbarkeit der Flaggen mehrfach überdeckt p. 23

24 Kennzeichnung von Flaggenpaaren mit wenigen linearen Gleichungen möglich p. 24

25 Anwendung: Bewegungsplanung p. 25

26 Anwendung: Bewegungsplanung p. 26

27 Anwendung: Bewegungsplanung p. 27

28 Anwendung: Bewegungsplanung p. 28

29 Anwendung: Bewegungsplanung p. 29

30 Linienelemente in P n p. 30

31 Linienelemente in P n P n = P(K n+1 ), 0 < n <, K... kommutativer Körper (R,C,...) F0,1 n... MF aller LE in Pn Linienelement = Gerade G + inzidenter Punkt P dual: Hyperebene H + Hyperebene in H LE = vollst. Flagge in P 2, sonst unvollst. p. 31

32 Punktmodell P n = P(K n+1 )... Punkte, G n,1 P(K m+1 ), m = ( ) n Geraden S n,m... Punktmodell für die Menge aller Paare (P,G) (Segre-MF mit Indizes n und m) S n,m P(K q ), q = (n+1)(m+1) dims n,m = n+m dimf n 0,1 = 2n 1, speziell dimf 3 0,1 = 5 p. 32

33 Punktmodell Satz: F n 0,1 ist stets in einem l-dimensionalen Schnitt von S n,m enthalten, wobei l= 1 3 (n3 +3n 2 +2n 3) gilt. Beweis: Anzahl der IBen (Inzidenzbedingungen) für P G in P n ist ( ) n+1 3, d.s. ebensoviele l.u. lineare Gleichungen, die einen P l bestimmen. p. 33

34 Linienelemente in P 3 (g 7 : g 8 : g 9 : g 0 )... hom. Koordinaten von P, (g 1 :... : g 6 )... hom. Plücker-Koord. von G w ij = p i g j... Koordinaten im Modellraum P 23 vier IBen (und die Plücker-Bedingung) 0 g 4 g 5 g 6 g 4 0 g 3 g 2 g 5 g 3 0 g 1 g 6 g 2 g 1 0 = F 3 0,1 S 3,5 P 19 g 0 g 7 g 8 g 9 = p. 34

35 Koordinatisierung: anders L = (P,G) = (g,g,ĝ,g 0 ) R 10 Koordinaten von L homogen mit λµ 0 (g,g,ĝ,g 0 ) (λg,λg,µĝ,µg 0 ) = Punktmodell in P 9 es gelten g,g = Plücker-Bedingung ĝ,g = 0, g 0 g +ĝ g = IBen p. 35

36 Punktmodell: Eigenschaften IBen und Plücker-Bedingung bestimmen eine algebraische Varietät M5 5 vom Grad 5: H(t) = t = degm 5 = degh(t)! = 5 komplementäre Ausnahmeräume A i : A 1 : ĝ = 0, g 0 = dim UR A 2 : g = 0, g = dim UR Die Punkte in A i entsprechen keinem LE. Satz: M 5 5 ist lineares Bild von F 3 0,1 S 3,5. p. 36

37 induzierte Autokollineationen vom M 5 5 κ PGL(P 3 ) : xk x K = TxK, T GL(K,4) Transformation der LE-Koordinaten: [ T T 0 0 T ] g g ĝ = g g ĝ T T... alternierendes Quadrat von T Satz: Die projektiven Kollineationen in P 3 induzieren automorphe Kollineationen von M 5 5. g 0 g 0 p. 37

38 Punktmodell: Eigenschaften Satz: M 5 5 ist rational parametrisierbar. B 1 B 5 B 9 B 7 B 6 B 8 B 0 B 2 B 4 S 1 = [B 7,B 8,B 9,B 0 ] S 2 = [B 3,B 4,B 5,B 9 ] S 3 = [B 1,B 5,B 6,B 7 ] S 4 = [B 2,B 4,B 6,B 8 ] S 5 = [B 0,B 1,B 2,B 3 ] B 3 p. 38

39 Spezielle Teilmannigfaltigkeiten Punktreihe Ger.-büschel Ger.-bündel Gerade Gerade Ebene LE-Büschel LE-Feld LE-Bündel Ebene r.a. Quadrik Dreiraum (vermindert um die Punkte in A i ) p. 39

40 ein paar Bemerkungen maßgeschneiderte Punktmodelle für spezielle Räume Untergrenzen für Dimensionen der Modellräume? Modelle können bestimmten Anwendung gemäß gestaltet werden: etwa Ausstatten mit einer Metrik Linienelementkoordinaten auch für Zylinder oder Kreise geeignet p. 40