Wahrscheinlichkeitstheorie II

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1 Wahrscheinlichkeitstheorie II Vorlesung vo Christian Wiesel V Martingale, Stoppzeiten und Filtrierungen Stochastische Prozesse und -Algebren Stoppzeiten Martingale.3a Martingale in diskreter Zeit.3b Martingal-Ungleichungen Wdhl. (): Definition und Charakterisierung von Martingalen : Ω,F,P R,B R Definition Ein F -adaptierterstoch. Prozess it ( )<, heißt bzgl. F : ( F ) Superartingalbzgl. F : ( F ) Beispiel : L < F, (: F ) Martingal bzgl. F : ( F ) = Martingal ( + ) = ( ) für alle beschränkten Stoppzeiten * ( ) ( )!"#$ ( ) ( ) %&&#$ ( )= ( ) '(")) ( ) Charakterisierung Ein F -adaptierterstoch. Prozess it ( )< ist ein Martingal bzgl. F Superartingal = ( + ) ( +789 ) für alle beschränktenstoppzeiten * d.h. * -. ax {* 4) 4 Ω R 6

2 Wdhl. (2): Relation zwischen en und Martingalen : Ω,F,P R,B R Definition Ein F -adaptierterstoch. Prozess it ( )<, heißt bzgl. F : ( F ) Superartingalbzgl. F : ( F ) Beispiel : L < F, (: F ) Martingal bzgl. F : ( F ) = Martingal ( + ) = ( ) für alle beschränkten Stoppzeiten * ( ) ( )!"#$ ( ) ( ) %&&#$ ( )= ( ) '(")) ( ) Doob sche Martingalzerlegung Martingal wachsend, F A< -adaptiert F - = +> +? (> =? = 0) eindeutig.3a Martingale in diskreter Zeit (0) Sei ein F -, d.h. es gilt ( F ) Jedes lässt sich eindeutig zerlegen in ein Martingal und einen wachsenden Prozess: Doob sche Martingalzerlegung F - F -Martingal > F A< {,Ω} F A< -adaptierten, wachsendenstoch. Prozess? (? ist F A< -b.) (? 6<?, ). Schritt: CDE")#F s.d.: = +> +? (> =? = 0) Diese Zerlegung ist eindeutig! Definiere? durch:? := 0,? 6< := R( S SA< F SA< ) F A< -b. M I istp IAQ -b. undwachsend 6<! Noch z.z.: H I J I J L M I definiert ein Martingal!? &? 6< ist F -.b.!

3 .3a Martingale in diskreter Zeit () Sei ein F -, d.h. es gilt ( F ) Doob sche Martingalzerlegung Martingal wachsend, F A< -adaptiert F - = +> +? (> =? = 0) eindeutig. Schritt: CDE")#F 6< Definiere? durch:? := 0,? 6< := R( S SA< F SA< ) M I istp IAQ -b. undwachsend Noch z.z.: H I J I J L M I E) F b. F A< b.! definiert ein Martingal! > ist F -b. ( und integrierbar)? &? 6< ist F -.b.! EE) Martingaleigenschaft: (> F A< ) = ( F A< )? = A<? A< = > A< (> F A< )= > =? A< + ( A< F A< ) A< ( ) iterieren: = F A< ( ) ( ) A< (> F AU ) = (> F A< F AU )= (> A< F AU ) = > AU (> F ) = >.3a Martingale in diskreter Zeit (2) Sei ein F -, d.h. es gilt ( F ) Doob sche Martingalzerlegung Martingal wachsend, F A< -adaptiert F - = +> +? (> =? = 0) eindeutig. Schritt: CDE")#F Definiere? durch:? := 0,? 6< := M I istp IAQ -b. undwachsend 6< R( S SA< F SA< ) H I J I J L M I definiert ein Martingal!? CE$#W)EX'#E) Angenoen es gelte Martingal wachsend, F A< -adaptiert = +> +? = +Y +Z > Y = Z? F A< -b.! > Y Martingal! = (> Y F A< ) = > A< Y A< = = > Y = 0 P fs. > = Y Z =? P fs.

4 .3a Martingale in diskreter Zeit (3) Beobachtung adaptiert, integrierbar und wachsend ( 6<,P-fs. ) Erhalt der eigenschaft, P-fs ( F ) F = Proposition \:R R konvex, b., \(> )intbar \ > Adaptierheit und Integrierbarkeit folgen unittelbar aus Voraussetzungen an \ eigenschaft: (\(> ) F ) \((> F )) Jensen scheungleichung für bedingte Erwartungen : > Martingal = > = \(> ) Proposition 2 \ \:R R konvex, on. wachsend, b., \(> )intbar Jensen a on. wachsend! eigenschaft: (\( ) F ) \(( F )) \( ) Beispiele Prop. Beob. > > >, it sup > S it > L U (F ) > U \ D D U konvexe Abbildung Prop. wachsend!.3a Martingale in diskreter Zeit (4) Erhalt der eigenschaft Beobachtung adaptiert, integrierbar und wachsend Proposition \:R R konvex, b., \(> )intbar \ > Proposition 2 \:R R konvex, on. wachsend, b., \(> )intbar \ Proposition 3 b Stoppzeit + gestopptes wieder eigenschaft: ( (6<) + F ) = ( + +e6< + 6< {+f 6<} F ) iterieren: ( + F ) + Korollar F -b. auf * j * k beschränkte Stoppzeiten = * F = {* > } = * i F = + +` + {+h} ( 6< F ) J I b = b = b l ( + ) Charakterisierung von en : + l = ( l + ) = (: l ) (: ) = ( + ) = ( + )

5 .3b Martingal-Ungleichungen (). Doob sche Martingal-Ungleichung oder positives. Schritt: Sei! gegeben. S S adaptiert Markov Ungleichung P >!! ( > ) P sup > S!! >! Prop. oder positives > j in ' N S! N { } F -Stoppzeit! denn: j ={ = n S <! o S! für ein ' } F 4. Schritt: F S F * j 3. Schritt: siehe Charakterisierung: Erwartungswert wachsend i starken Sinne ( > + ) = ( + ) ( ) = ( > ) P sup > S! = P j ( l` > l! ) = ( l` > b! ) H I b = auf I b uvw I beschränkte Stoppzeit! 3.z!{E))! ( > b )! ( > I ).3b Martingal-Ungleichungen (2) H I H. Doob sche Martingal-Ungleichung `I! P >! oder positives! P sup > S!! >. Schritt: Sei I Nfix. und!. 2. Doob sche Martingal-Ungleichung oder positives > > "Wƒ > S L für ein < ƒ < > Prop. oder positives > : > f U L < (F ) S () S (: F S ) für ein geeignetes > 0, z.b. Martingal fix. A< > "Wƒ > S sup () S +! 2 eigenschaft denn: ' > S > F S = `I : +> e U F S +! S 2 3. Schritt: P >! 2! :

6 2. Doob sche Martingal-Ungleichung oder positives > > > "Wƒ > S L für ein < ƒ < für ein geeignetes > 0, z.b. Prop.. Schritt: oder positives > Sei I Nfix. : > f () L < (F ) S F S ) Martingal fix. U S A< 3. Schritt: > "Wƒ > S sup () S +! 2 P > ()!! P sup S ˆ. Doob sche Martingal-Ungleichung! P H Š Q `I Š H I 2! () I = 2! ( : ) = : F I = : 4. Schritt: > = ƒ Œ A< P > Œ $Œ Fubini ˆ H I 2 Œ ( Ž I ) = 2ƒ > Œ AU `U $Œ = Q Q ˆ H I 2ƒ Œ Aˆ H I Q HI fˆ AQ ƒ ƒ 2 > $Œ.3b Martingal-Ungleichungen (4) H I H. Doob sche Martingal-Ungleichung `I! P >! oder positives! P sup > S!! > 2. Doob sche Martingal-Ungleichung oder positives > > > "Wƒ Doob sches Upcrossing-Lea R > S L <, (4) für ein < ƒ < k N 6 * 0 für ein geeignetes > 0, z.b. š { b } = # Upcrossings bis Zeit j < in{' > * S } * < in{' > j < S } A< * j < Upcrossing * < j U N j 6< in{' > * S } * 6< in{' > j 6< S }

7 .3b Martingal-Ungleichungen (5) R <, k N 6 š { b } = # Upcrossings bis Zeit * j < Upcrossing * <. Schritt: = b š j U = \ D D 6 Konvex & onoton wachsend š 6Q * U = Prop.2 b š 6Q N * 0 j 6< in{' > * S } * 6< in{' > j 6< S } : 6 definiert & : +œ, : lœ = 0 : +œ : lœ R(: +œ : lœ ) ' j S * S k ' > k < * S š = R(: +œ š : lœ ) = Y +œ Y lœ + R (: +œ STš 6< R(: +œ : lœ ) ( ) : lœ ) = Y {0,: }.3b Martingal-Ungleichungen (6) R(: +œ <, k N. Schritt: : 6 definiert klar: j 6< > k 3. Schritt: : : lž = : lÿ ž : lž : lœ ) Teleskop = R(: lœ ž = R(: lœ ž Ž b ) + R(Ž b 6 š { b } : lœ ) : lœ ) = = : : lž R(: lœ ž : +œ ) : R(: lœ ž = # Upcrossings bis Zeit : +œ ) 0 4. Schritt: 2.) ( ) 3.) (: ) R(: l œ ž : +œ ) (: ) L Ž I I * * S k j S6< k j : l : + Def. von :

8 .3b Martingal-Ungleichungen (7) H I H. Doob sche Martingal-Ungleichung `I! P >! oder positives! P sup > S!! > 2. Doob sche Martingal-Ungleichung oder positives > > > "Wƒ Doob sches Upcrossing-Lea R > S L <, k N für ein < ƒ < 6 * 0 für ein geeignetes > 0, z.b. ( 6 + ) š { b } = # Upcrossings bis Zeit j 6< in{' > * S } * 6< in{' > j 6< S } A< * j < Upcrossing * < j U N.3c Martingal-Konvergenzsätze () Satz it sup 6 <, für ein L < F für Konvergenz nur z.z.: lisup liinf, (" " gilt ier!) für < Λ -, {lisup & liinf Doob sches Upcrossing-Lea ( 6 + ). Schritt: Λ {lisup > liinf } = n Λ -, -e -, Q } z.z.: P Λ -, = 0 < ;, Q Pfade it unendlich vielen Upcrossings! = {4 Ω, = }, li (, ) Anzahl der, -Upcrossingsfür den gesatenpfad aufsteigende Folge! Seien, Q, < beliebig. Beppo-Levi, = li ( ) (lisup 6 + ) < +, < P f.s. P Λ -, = 0 <

9 .3c Martingal-Konvergenzsätze (2) Satz it sup 6 <, für ein L < F. Schritt 2. Schritt, für eine ZV d.h.: für P-f.a. Pfade existiert der Grenzwert! 3. Schritt noch z.z.: li L < (F) Fatou = (li ) = (liinf ) liinf( ) 2 ( ) < liinf = 6 A 6 A + = 2 6 (2 6 ) ( )!