Einführung in die formale Demographie

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1 Einführung in die formale Demographie ROLAND RAU Universität Rostock, Wintersemester 2014/ Dezember 2014 c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 1 / 19

2 Vergangene Vorlesung Annahmen des stabile Bevölkerungsmodells: konstante, altersspezifische Fertilität (F(x, t) = F(x)). konstante, altersspezifische Mortalität (m(x, t) = m(x)). keine Migration, bzw. altersspezifische Nettomigrationsraten=0. Betrachtung nur eines Geschlechts c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 2 / 19

3 Vergangene Vorlesung Wie füllen wir die Projektionsmatrix? 1) Die Subdiagonale 2) Die erste Zeile 0 0 F 3 F 4 F 5 0 L 2 L L 0 3 L A = L L L L L F x = n L 0 2l 0 ( L 5 0 nf x + n f x+n nl x+n nl x ) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 3 / 19

4 Vergangene Woche: Was passiert langfristig mit einer solchen stabilen Bevölkerung? speziell: wie verhält sich langfristig das Wachstum der Altersgruppen und der Gesamtbevölkerung? Bei gegebener Projektionsmatrix A: Lösung via dominantem Eigenvektor λ und dazugehörigem rechten Eigenvektor x charakteristische Gleichung des stabilen Bevölkerungsmodells (in diskreter Betrachtungsweise) det(a λi) = 0 c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 4 / 19

5 Weiteres Beispiel A = ( 0.5 ) det det(a λi) = 0 (( ) ( )) ( ) λ λ 0.9 = det = λ λ = (0.5 λ)(0.1 λ) = λ 0.1λ + λ 2 = = λ 2 0.6λ 0.58 λ 1 = λ 1,2 = 0.6 ± ( 0.58) = ; λ 2 = Damit ist λ 1 = der dominante Eigenwert. = 0.6 ± = c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 5 / 19

6 Weiteres Beispiel Damit ist λ 1 = der dominante Eigenwert. Ein möglicher dazugehöriger Eigenvektor wäre: (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( x x1 0 = = x x 2 0) Wie bereits erwähnt lässt sich ein Element eine Eigenvektors frei festlegen (mit der Einschränkung x 0). Wir müssen bei der späteren Interpretation nur darauf achten, dass der Vektor richtig skaliert ist. Um es uns möglichst einfach zu machen, legen wir fest: x 2 = x x 2 = x = = x x 1 = = ( ) Damit wäre ein möglicher Eigenvektor 1 Skaliert, so dass n x i = 1: i=1 ( ) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 6 / 19

7 Weiteres Beispiel Am Computer: > A <- matrix(c(0.5, 0.9, 0.7, 0.1), byrow=true, ncol=2) > A [,1] [,2] [1,] [2,] > eigen(a) $values [1] $vectors [,1] [,2] [1,] [2,] > rechter.eigenvektor1 <- eigen(a)$vectors[,1] > rechter.eigenvektor1 / sum(rechter.eigenvektor1) [1] > > Graphischer Check: c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 7 / 19

8 Exkurs: Eigenvektoren in den Sozialwissenschaften Beispiel: Soziale Mobilität von Vater zu Sohn Adaptiert von Bartholomew (1967, S. 17), basierend auf Kemeny and Snell (1960) Non-Manual Manual Farm Non-Manual Manual Farm w w c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 8 / 19

9 Exkurs: Eigenvektoren im Alltag Brin and Page (1998) Quelle: Wikimedia c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 9 / 19

10 Langfristige Entwicklung: 3 Theoreme: Perron-Frobenius Theorem das starke ergodische Theorem ( strong ergodic theorem ) das schwache ergodische Theorem ( weak ergodic theorem ) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 10 / 19

11 Langfristige Entwicklung: Unterscheidung von Matrizen nicht-negativ reduzierbar nicht-reduzierbar Nicht-reduzierbar: In einem Life-Cycle-Graph existiert ein Pfad von jeder Stufe ( jedem Alter) zu jeder anderen Stufe (Caswell, 2001, S. 81). primitiv imprimitiv Frage: Gehören Übergangsmatrizen von menschlichen Bevölkerungen zu den nicht-reduzierbaren Matrizen? Quelle: Caswell (2001, S. 80), Keyfitz and Caswell (2005, S. 156) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 11 / 19

12 Langfristige Entwicklung: Unterscheidung von Matrizen nicht-negativ Nicht-reduzierbar: In einem Life-Cycle-Graph existiert ein Pfad von jeder Stufe ( jedem Alter) zu jeder anderen Stufe (Caswell, 2001, S. 81). reduzierbar nicht-reduzierbar primitiv imprimitiv Quelle: Caswell (2001, S. 80), Keyfitz and Caswell (2005, S. 156) Primitiv: A sufficient condition for primitivity of an irreducible age-classified matrix is the existence of any two adjacent age classes with positive fertility. (Caswell, 2001, S. 81) Reproduktion muß von mindestens zwei unterschiedlichen Altersstufen aus möglich sein, wobei diese beiden Altersstufen keinen gemeinsamen Nenner grösser als Eins haben dürfen. (Dinkel, 1989, S. 108, Hervorhebung im Original). c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 12 / 19

13 Langfristige Entwicklung: Perron-Frobenius Theorem Das Perron-Frobenius Theorem beschreibt die Eigenschaften von nicht-negativen Matrizen, d.h. in einer Matrix A sind alle Elemente a ij 0. Wir beschränken uns jedoch auf reduzierbare Matrizen, d.h. auf Projektionsmatrizen mit post-reproduktiven Altersstufen (typischerweise menschliche Bevölkerungen). (Das Perron-Frobenius Theorem beschreibt auch die Eigenschaften von nicht-reduzierbaren Matrizen, aber das ist nicht unser Thema.) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 13 / 19

14 Langfristige Entwicklung: Perron-Frobenius Theorem Das Perron-Frobenius Theorem für reduzierbare Matrizen besagt: Es gibt einen reellen Eigenwert λ 1 (mit den entsprechenden rechten und linken Eigenvektoren w 1 0 und v 1 0). Für diesen Eigenwert gilt: (Siehe Caswell, 2001, S. 84) λ 1 λ i, fuer i > 1 Unser bisher kennengelernten Eigenvektoren sind rechte Eigenvektoren. Zu den sogenannten linken Eigenvektoren kommen wir noch. c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 14 / 19

15 Langfristige Entwicklung: Perron-Frobenius Theorem Beispiel (kein Beweis): > A [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] > eigen(a)$values [1] i i [3] i i c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 15 / 19

16 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 16 / 19

17 Literatur Bartholomew, D. J. (1967). Stochastic Models for Social Processes. London, UK: John Wiley & Sons. Brin, S. and L. Page (1998). The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine. Computer networks and ISDN systems 30(1), Caswell, H. (2001). Matrix Population Models. Construction, Analysis, and Interpretation. Second Edition. Sunderland, MA: Sinauer. Dinkel, R. H. (1989). Demographie. Band 1: Bevölkerungsdynamik. München, D: Vahlen. Kemeny, J. G. and J. L. Snell (1960). Finite Markov Chains. Princeton, NJ: D. Van Nostrad. Keyfitz, N. and H. Caswell (2005). Applied Mathematical Demography. Third Edition. New York, NY: Springer. c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 17 / 19

18 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 18 / 19

19 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel.: Fax.: Sprechstunde im WS 2014/2015: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 19 / 19