Demographie III ROLAND RAU. 06. Januar Universität Rostock, Wintersemester 2013/2014. c Roland Rau Demographie III 1 / 20

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1 Demographie III ROLAND RAU Universität Rostock, Wintersemester 2013/ Januar 2014 c Roland Rau Demographie III 1 / 20

2 Vergangene Vorlesung Langfristige Dynamik im stabilen Modell dominanter Eigenwert = der dem Betrage nach größte Eigenwert; Langfristige Wachstumsrate einer Bevölkerung (rechten) Eigenvektoren; zum dominanten Eigenwert gehörender rechter Eigenvektor langfristig stabile Altersstruktur, wenn alle Summe der Vektorelemente gleich eins ist. Weitere Einsatzmöglichkeiten von Eigenwerten und Eigenvektoren (soziale Mobilität, Google,... ) Perron-Frobenius Theorem starkes ergodisches Theorem schwaches ergodisches Theorem c Roland Rau Demographie III 2 / 20

3 (kurzfristige) Übergangsdynamik Wir haben drei Größen zur Charakterisierung der kurzfristigen Übergangsdynamik kennengelernt: Period of Oscillation : P i = 2π φ i = 2π tan 1 I(λ i) R(λ i ) (Caswell (2001, S. 101), Keyfitz and Caswell (2005, S. 169)) The Damping Ratio ρ Das Dämpfungsverhältnis ρ ρ = λ 1 λ 2 Die Distanz der augenblicklichen zur stabilen Altersstruktur (bei altersklassifizierten Matrizen): Keyfitz s (siehe Caswell (2001, S. 101), basierend auf Keyfitz (1968, S. 47)): Wertebereich: 0: identische Vektoren 1: maximale Differenz (x, w) = 1 x i w i 2 i c Roland Rau Demographie III 3 / 20

4 Maße, die sich aus der Projektionsmatrix ableiten lassen: c Roland Rau Demographie III 4 / 20

5 Die Nettoreproduktionsrate Literatur: Caswell (2001, S. 126ff), (als einziger diskrete Darstellung) Coale (1972, S ) Dinkel (1989, S. 83ff) Keyfitz and Flieger (1971, S. 128) Die Nettoreproduktionsrate (engl: net reproductive rate), R 0 oder auch NRR, ist die durchschnittliche Anzahl an Nachkommen, durch die ein heutiges neugeborenes Individuum am Ende seines Lebens ersetzt sein wird. Oder anders ausgedrückt: die Rate, um die eine Bevölkerung von einer Generation zur nächsten wächst. c Roland Rau Demographie III 5 / 20

6 Die Nettoreproduktionsrate Gegeben sei folgende Matrix: F 1 F 2 F 3... F n 1 F n P P P P n 1 0 Wir erinnern uns, dass in den F x -Werten bereits die Sterblichkeit in der jüngesten Altersstufe sowie die Sterblichkeit der Mütter in der Altersstufe x einkalkuliert wurde: ( ) nl 0 nl x+n nf x + n f x+n 2l 0 nl x c Roland Rau Demographie III 6 / 20

7 Die Nettoreproduktionsrate Die Nettoreproduktionsrate ist daher: falls es nur eine Altersgruppe geben würde: F 1 falls es nur zwei Altersgruppen geben würde: F 1 + P 1 F 2 falls es nur drei Altersgruppen geben würde: F 1 + P 1 F 2 + P 1 P 2 F 3 oder falls es n Altersgruppen geben würde: F 1 + P 1 F 2 + P 1 P 2 F 3 + P 1 P 2 P 3 F n 1 P j F n Oder allgemein: R 0 = NRR = n j=1 i 1 F i P j i=1 j=1 c Roland Rau Demographie III 7 / 20

8 Die Nettoreproduktionsrate Ein numerisches Beispiel wieder einmal die weibliche US-Bevölkerung im Jahre 1966, wie sie in Caswell (2001, S. 78) gegeben ist und auf Keyfitz and Flieger (1971) basiert. i F i P i R 0 = = c Roland Rau Demographie III 8 / 20

9 Die Nettoreproduktionsrate Es gilt (in altersklassifizierten Modellen, Caswell (2001, S. 126)): R 0 < 1 λ 1 < 1 R 0 = 1 λ 1 = 1 R 0 > 1 λ 1 > 1 In unserem vorhergehenden Beispiel: R 0 = > 1; λ 1 = > 1 c Roland Rau Demographie III 9 / 20

10 Die Nettoreproduktionsrate Weit verbreitete Anwendung von R 0 : Epidemiologie. Dort wird ebenfalls die Notation R 0 verwendet, aber die Kennzahl wird als Basic Reproduction Number bezeichnet. Kommt auf eine Person mit einer Infektionskrankheit weniger als eine Folgeinfektion ( R 0 < 1), so wird der Krankheitserreger langfristig aussterben. Umgekehrt gilt auch: Je höher R 0 über eins liegt, umso mehr Personen werden infiziert ( Gefahr von Epidemien/Pandemien). Krankheit R 0 Masern Keuchhusten Diphterie 6 7 Pocken 5 7 Polio 5 7 Röteln 5 7 Mumps 4 7 HIV/AIDS 2 5 SARS 2 5 Influenza 2 3 Quelle: c Roland Rau Demographie III 10 / 20

11 NRR in Deutschland NRR Deutschland Ost Deutschland West Quelle: Eigene Darstellung Jahr mittels Daten der Human Fertility Database und der Human Mortality Database c Roland Rau Demographie III 11 / 20

12 NRR in Deutschland & Schweden NRR Jahr c Roland Rau Demographie III 12 / 20

13 Der Generationenabstand T Nun wissen wir zwar, wie eine Generation durch die nächste ersetzt wird. Aber wie lange dauert dies? Dies berechnet der Generationabstand T. Die Formel hierfür können wir selbst relativ leicht herleiten. Wir erinnern uns an die diskrete Wachstumsformel: N t = N 0 (1 + w) t. Die Wachstumsrate in unserem stabilen Modell ist λ 1, die Ausgangsgenerationengröße N 0 = 1 und N t = R 0. Damit gilt: N t = N 0 (1 + w) T R 0 = 1 λ T 1 R 0 = λ T 1 log R 0 = T log λ 1 T = log R 0 log λ 1 c Roland Rau Demographie III 13 / 20

14 Der Generationenabstand T T = log R 0 log λ 1 In unserem bisherigen Beispiel (USA, Frauen, 1966) war R 0 = und λ 1 = Damit ist der Generationenabstand: T = log R 0 log = log λ 1 log = = Da es sich um 5-jährige Altersgruppen handelt, ist der tatsächliche Generationabstand: = Jahre c Roland Rau Demographie III 14 / 20

15 Durchschnittliches Mütteralter Der Generationenabstand T ist jedoch nicht zu verwechseln mit dem durchschnittlichen Alter von Müttern. Hierfür gibt es drei hauptsächliche Konzepte (siehe Coale (1972, p.18 19), jedoch in kontinuierlicher Form): 1 m: Mit m wird durchschnittliche Alter der Fertilitätsraten bezeichnet. Dies ist gleichbedeutend mit dem Durchschnittsalter einer Kohorte von Müttern, in der keine Sterblichkeit vorherrscht. m = n i F i i=1 n F i i=1 Beispiel USA: = = Dies entspricht = Jahren. = c Roland Rau Demographie III 15 / 20

16 Durchschnittliches Mütteralter 2 µ 1 : Mit µ 1 wird das durchschnittliche Gebäralter in einer Kohorte unter Einbeziehung der Sterblichkeit bezeichnet. ( ) n i F i i 1 P J Beispiel USA: µ 1 = i=1 j=1 ( ) n F i i 1 P J i= ( ) ( ) +... = = Dies entspricht = Jahren. j=1 = c Roland Rau Demographie III 16 / 20

17 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! c Roland Rau Demographie III 17 / 20

18 Literatur I Caswell, H. (2001). Matrix Population Models. Construction, Analysis, and Interpretation. Second Edition. Sunderland, MA: Sinauer. Coale, A. J. (1972). The Growth and Structure of Human Populations. A Mathematical Investigation. Princeton, NJ: Princeton University Press. Dinkel, R. H. (1989). Demographie. Band 1: Bevölkerungsdynamik. München, D: Vahlen. Keyfitz, N. (1968). Introduction to the Mathematics of Population. Reading, MA: Addison-Wesley. Keyfitz, N. and H. Caswell (2005). Applied Mathematical Demography. Third Edition. New York, NY: Springer. Keyfitz, N. and W. Flieger (1971). Population. Facts and Methods of Demography. San Francisco, CA: W.H. Freeman. c Roland Rau Demographie III 18 / 20

19 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) c Roland Rau Demographie III 19 / 20

20 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel.: Fax.: Sprechstunde im WS 2013/2014: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Demographie III 20 / 20