Übungen zur Quantentheorie der Viel-Teilchen-Systeme
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- Sofia Bäcker
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1 Übungen ur Quantentheorie der Viel-Teilchen-Systeme Frank ssenberger, Andreas Linscheid, Kai Schmit 5. Juni 2008 Aufgabe 2 a Wir betrachten ein System von lektronen in einem Band. Die nergie des System ist gegeben durch: ɛ (k n kσ T i a iσ a σ i k,σ und eine Wechselwirkung der lektronen mit an den Orten R i lokalisierten Spins S gegeben durch: J σ (i S i i Hier sieht man, dass dies ein gutes Modell für f Orbitale ist die stark lokalisierte lektronen am Kern haben. Bevor die endlosen Kommutator Orgien losgehen können, müssen wir Operatoren umschreiben. σ i S i S i,x σ ( + S i,y σ (2 + S i, σ (3 ( ( ( ( 0 0 i 0 S S i,x + S 0 i,y + S i 0 i, i, 0 S i,x + S i,y i S i,x S i,y i S i, ( S i S i S + i Si. Nun erseten wir diese Matrix mit den Operatoren aus Aufgabe 8: ( S σ S i S i S + i Si. Nun gehen wir in die weite Quantisierung mit der Vorschrift: α Ô β a αa β, wobei α, β, seien können und aus der σ (3 Matrix klar ist, dass die Vektoren: ( ( 0 0 sind. Somit ergibt sich: σ i S i S i (n i n i + S i a i a i + S + i a i a i b ret Nun soll die inteilen Greenfunktion G iσ ( a iσ, a σ bestimmt werden: [ ] ret G iσ ( a iσ, a σ + [a iσ, H], a σ. ɛ
2 Unser Hamiltonian ist: H iσ T i a iσ a σ J i ( Si (n i n i + S i a i a i + S + i a i a i Wir beginnen mit dem ersten Term: [ a iσ, ] T k a kσ a lσ [ ] a iσ, a kσ a lσ ( [ ] T kl a iσ, a kσ a lσ + a kσ [a iσ, a lσ ] klσ klσ klσ ] T kl [a iσ, a kσ a lσ 2a kσ a + iσ a lσ + a kσ [a iσ, a lσ ] + 2a kσ klσ 0 a lσ a iσ a iσa lσ l T il a lσ Nun die nächsten beiden des Hamiltonian der S Operator wohin in einem Gan anderen Hilbertraum, deshalb folgt: S [a iσ, n ] δ σ a iσ Si Und der nächste Term: [ ] a iσ, a a S S [a iσ, n ] δ σ a iσ Si S (a iσ a a a a a iσ S (a iσ a a + a a iσa S (a iσ a a a iσ a a + δ σ δ i a S i δ σa i S i δ σa iσ. Und der lette Term ist das gleiche wie der lette nur up und down vertauscht so ergibt sich: [ ] a iσ, a i a i S + i δ σ a i S + i δ σa iσ S Wir sammeln alles ein und schreiben die Bewegungsgleichung auf (ɛ : G iσ ( δ i + T il a lσ J (Si (δ σ δ σ a iσ J ( S i δ σ + S + i δ σ aiσ, a σ l ret rfreulich ist, dass wir einige inteilchen Greenfunktion gleich wiederfinden und so vereinfacht sich schon mal einiges. Wir haben ausgenutt, dass... d (t t e (tt Θ (t t A (t, B (t also alles linear, deshalb darf man die summe erlegen und Vorfaktoren raus iehen. G iσ ( T il G lσ ( δ i J (Si (δ σ δ σ a iσ + J ( ret S i δ σ + S + i δ σ aiσ, a σ. l Die Greenfunktion höherer Ordnung können wir nicht weiter auswerten. c Die Näherung des völlig in -Richtung magnetisierten Systems. D. h. Si + für alle Gitterpläte i und die Proektionen also S x und S y sind Null (damit auch S + und S. G iσ ( ret T il G lσ ( δ i J (δ σ δ σ a iσ, a σ. ( l 2
3 Des weiteren betrachten wir als erstes σ und ein Band in dem nur ein lektron mit diesem Spin ist. Somit ist T il T 0 δ ik wobei kder Ort des einen lektrons ist. ret G i ( T 0 G k ( δ i Ja i, a ( + J G i ( T 0 G k δ i Die Wahl des i war völlig beliebig, also nehmen wir mal k und finden so: Wir transformieren in den Impulsraum: ( + J T 0 G i ( δ i G k G i ( e ik (RiR N N es gibt genau N Terme bei denen i ist. und so erhalten wir: i G k N ( + J T 0. für down wäre es das gleiche nur mit einem Minus für J durch Gl. (. Aufgabe 22 i δ i e ik (RiR ( + J T 0 Wir bestimmen die Zeitentwicklung des :Grundustandes, des ww freien lektronengases. k > k f und k < k f. ψ(t a kσ (ta k σ(t 0 e i H0t a kσ a k σe i Hot 0 e i H0t a kσ a k σe i ot 0. Wir iehen die c Zahl e i ot gan nach rechts und erhalten: ψ(t e i ot e i H0t a kσ a k σ 0. (2 Wir berechnen nun um u erkennen u welchen nergieeigenwert der ket a kσ a k σ 0 folgendes aus: [ ] H 0 (a kσ a k σ 0 a kσ a k σh H 0, a kσ a k σ 0. Also den Kommutator: [ ] k H 0, a kσ a f k σ ( n σ, a kσ a k σ σ k f σ k f σ k f σ ( [ ] ( n σ, a kσ a k σ + a kσ [n σ, a k σ] ( δ k δ σσ n σ, a 0 da k>k f ( [ ] ( n, σ a kσ a k σ + a kσ [n σ, a k σ] kσa k σ a kσ a k σδ k δ σσ (k a kσ a k σ Damit haben wir: ( H 0 (a kσ a k σ 0 ( 0 + (k a kσ a k σ 0, und finden mit Gl. (2 sofort: ψ(t e i ot e i 0+(k t a kσ a k σ 0 e i (k t ψ(t 0 3
4 Für den Zustand t gilt analog: ψ(t ψ(t 0 e i (k t und das Betragsquadrat: ψ(t ψ(t 2 ψ(t 0 e i (k t e i (k t ψ(t 0 2 ψ(0 ψ(0 Also ein stationärer Zustand. Aufgabe 23 Die retardierte Greenfunktion ist: G kσ ( ret + µ 2ɛ (k + (+µ2 ɛ(k + iγ + µ. (3 mit den reellen Größen µ, und γ > 0. Für diese Funktion gilt auch: G kσ ( ret Wir stellen nach der Selbstenergie um: und seten Gl. (3 einfach ein und erhalten: + µ ɛ (k + Σ kσ (. Σ kσ ( ret µ + ɛ (k G kσ ( Σ kσ ( + µ 2ɛ (k + ɛ (k + ( + µ2 ɛ (k ( + µ2 ɛ (k + iγ + µ µ + ɛ (k 2. + iγ + µ. (4 Die Quasiteilchen nergien (auch negative möglich sind gegeben über die Nullstellen der Funktion: 0 ɛ (k + R (Σ kσ ( ɛ (k ɛ (k + 0 ( + µ2 ɛ (k (2µ + ɛ (k +µ 2 ( + κ 2 κ 2 + µ 2 2κ ± κ ± κ 2 µ 2 Für die Lebensdauern benötigt man die Spektralen Gewichte: α ±σk R (Σ kσ (. ± Wir erhalten durch ableiten von Gl. (4: α ±σk Und schließlich die Quasiteilchenlebensdauern: τ ±σk ɛ (k ɛ (k 2 ( ± + µ. ( + µ2 ɛ (k α ±σk I (Σ kσ ( α ±σk γ ± + µ γ α ±σk ± + µ. ± 4
5 Aufgabe 24 Die Anahl der lektronen ist: N e kσ n kσ kσ ds kσ ( µ f (, wobei f ( die Fermifunktion ist. Andererseits ist die Anahl auch gegeben durch: N e dρ σ f (, σ mit der Zustandsdichte ρ σ. Durch den Vergleich der beiden Gleichungen ist sofort klar: S kσ ( µ ρ σ. k Aus den periodischen Randbedingung T N R T N2 R 2 T N3 R 3 φ (r φ (rfolgt, dass es N N 2 N 3 : N mögliche k Vektoren gibt, also ist die Anahl aller Zustände (kann man mit k labeln: dρ σ N Dies wir normieren noch mit N und erhalten so die relevante Gleichung. N S kσ ( µ ρ σ( k In unserem Fall ist die Selbstenergie rein reell und wir finden mit der bekannten Formel: ( S kσ ( µ δ ( ɛ (k R (Σ σ ( δ ɛ (k a σ ( b σ, c σ und erhalten Vergleich mit der wechselwirkungsfreinen Zustandsdichte: das gilt: Nun soll für ρ 0 des weiteren gelten: ρ 0 ( δ ( ɛ (k, ρ σ( ρ 0 ( R (Σ σ ( ρ 0 (Ē. ρ 0 ( für [0, w] w 0 sonst. Damit ergibt sich für die Quasiteilchenustandsdichte: ρ σ ( für Ē [0, w] w 0 sonst. Nun macht man sich einfach ein kleines Bildchen um die Bereiche u erkennen in denen bw. Ē außerhalb des Intervalls [0, w] liegen und die eweilige Zustandsdichte dementsprechend verschwindet. 5
6 Abbildung : Durch die Singularität in der Selbstenergie entsteht eine Bandlücke. a σ c σ 2b σ und w 2 gewählt. 6
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