Landau-Theorie Seminar zur statistischen Physik Martin Kiemes

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1 Landau-Theorie Seminar zur statistischen Physik Martin Kiemes 5. Dezember Phasenübergänge: Definition: Unter einem Phasenübergang versteht man eine sprunghafte (unstetige) Änderung einer oder mehrer thermodynamischer Größen bei Änderung der Rahmenbedingungen. Da man die physikalischen Größen als partielle Ableitung eines thermodynamischen Potentials erhält, muß dieses dort eine Singularität aufweisen. Klassifikation: Phasenübergänge 1.Ordnung: Mindestens eine der physikalischen Größ en, die einer ersten Ableitungen des thermodynamischen Potentials entsprechen, ist unstetig an dieser Stelle (innere Energie, Entropie, Druck/Magnetisierung (für Wasser/Magnet)) Phasenübergängen 2.Ordung (kontinuierliche Phasenübergänge): Hier sind die ersten Ableitungen stetig und eine der 2. Ableitungen unstetig oder sogar singulär. Symmetrieänderungen bei Phasenübergängen, Ordnungsparameter: Oft tritt bei Phasenübergängen eine Änderung der Symmetrie des Systems auf, z.b. Übergang fest-flüssig: Die feste Phase besitzt nur eine diskrete Translationssymmetrie, die flüssige dagegen eine kontinuierliche. Bei Phasenübergängen 2.Ordung tritt immer eine Änderung der Symmetrie auf, bei Phasenübergängen 1.Ordnung kann, aber muß das nicht der Fall sein (z.b. Wasser flüssig-gasförmig). 1

2 Definition: Der Ordnungsparameter beschreibt die Symmetriedifferenz zwischen symmetrischer und unsymmetrischer Phase. Je nach Art des Systems kann der Ordnungsparameter ganz verschiedene Formen annehmen (Skalar, Vektor,...) 2 Kritische Exponenten: Um die Divergenzen näher zu charakterisieren, die bei kontinuierlichen Phasenbergängen auftauchen, definiert man die sogenannte kritischen Exponenten: Sei f eine physikalische Größe, ɛ = T Tc T die reduzierte Temperatur Dann ist der kritische Exponent λ definiert durch ln(f(ɛ)) λ = lim ɛ 0 ln(ɛ) Beispiele: kritischer Exponent phys. Größe Formel α Wärmekapazität C ɛ α β Magnetisierung/ M ( ɛ) β Dichtedifferenz Gas-Flüssigkeit ρ ( ɛ) β γ Suszeptibilität/ χ ɛ γ Kompressibilität κ ɛ γ δ kritische Isotherme H ( M) δ sgn(m) ν Korrelationslänge ξ ɛ ν η Paarkorrelationsfunktion G( r) 1 r d 2+η Zwischen den einzelnen kritischen Exponenten bestehen folgende thermodynamische Relationen, die auch Skalenrelationen genannt werden: α +2β + γ 2 α + β(1 + δ) 2 γ(δ +1) (2 α)(δ 1) (2 η)ν γ d δ 1 δ +1 2 η dν 2 α Sie lassen sich problemlos aus den gängigen thermodynamischen Relationen ableiten. Z.B. erhält man die erste dieser Ungleichungen aus einer Relation, die sich aus der Jakobi-Determinante ableitet: ( ) 2 M χ T (C H C M )=T T H

3 Da C M 0 gilt, folgt also C H T ( ) 2 M /χ T T H Wenn nun ɛ 0 gilt, dann( verhalten sich die Größen wie C ɛ α, χ ɛ γ, M ) T H ( ɛ)β 1 und das ist nur möglich, wenn obige Ungleichung gilt. In der Nähe des kritischen Punktes sind obige Relationen sogar als Gleichungen zu lesen (Skalengesetze). Die Ursache dafür ist, daß dort die Korrelationslänge divergiert und deshalb das System invariant unter Änderungen der Längenskala ist. Die kritischen Exponenten sind also nicht unabhängig voneinander, aus der Vorgabe von zweien ergibt sich der Rest(als Gleichunge gelesen, sind zwei der Ungleichungen entbehrlich). Im folgenden wollen wir die Skalengesetze anhand der Landau-Theorie verifizieren. Im Rahmen der Landau-Theorie sind sie sehr leicht zu berechnen,aber leider auch nicht ganz richtig. Allerdings gelten obige Skalengesetze, da auch in der Landau-Theorie die Korrelationslänge am kritischen Punkt divergiert. 3 Die Landau-Theorie: Ansatz: Die freie Energie F ist in der Nähe des kritischen Punktes eine analytische Funktion des Ordnungsparameters η. Man bricht die Entwicklung nach dem 4. Glied ab und schreibt: F (T,Y ; η) =F 0 (T,Y )+A(T,Y )η 2 + C(T,Y )η 3 + B(T,Y )η fη (η ist keine mit T und Y gleichberechtigte Variable, sondern ist so zu wählen, daß die Energie minimal wird) Man kann diesen Ansatz als eine Verallgemeinerung der klassischen Mean-Field- Theorien, dem Van-der-Waals-Gas und der Weißschen Molekularfeldnäherung, sehen. Schreibt man für beide Theorien die resultierende freie Energie F auf, so sieht man, daß sie analoge Form haben: Weiß : F = F 0 + V {HM + W 2 ɛm 2 + k BT M 4 12µ 4 B n +...} 3 Van-der-Waals: F = F 0 +V {µ c (n n c )+aɛ(n n c ) kb Tb 3 (n n c ) } Bei der Weißschen Molekularfeldnäherung ist der Ordnungsparameter die Magnetisierung M, beim Van-der-Waals-Gas die Dichtedifferenz n n c.

4 Diskussion: Der lineare Term taucht in der Entwicklung deshalb nicht auf, weil sonst η bei verschwindendem Feld f auch in der symmetrischen Phase ungleich Null wäre. Allerdings kann man ihn dazu benutzen, den Beitrag eines äußeren Feldes, das linear an den Ordnungsparameter koppelt, zu beschreiben. Damit ist dann offensichtlich der kontinuierliche Phasenübergang zerstört und wir haben statt dessen einen Übergang 1. Ordnung (vgl. Magnet). Als nächstes kann man Symmetrieeigenschaften des zu beschreibenden Systems dazu benutzen, Terme in der Entwicklung von vornherein außzuschließen, die nicht mit ihnen verträglich sind. Im Folgenden betrachten wir die freie Energie eines Ferromagneten. Der Ordnungsparameter ist die totale Magnetisierung des Systems. kein äußeres Feld: Terme ungerader Ordnung können deshalb nicht auftauchen, da einerseits die freie Energie unter Zeitumkehr invariant sein sollte, die Magnetisierung es aber nicht ist(vorzeichenänderung bei Zeitumkehr). Da sich η aus der Minimierungsbedingung der freien Energie ergibt, muß der höchste gerade noch in der Entwicklung berücksichtigte Term einen positiven Koeffizienten besitzen, da sonst η keinen stabilen endlichen Wert hätte. B>0 Wie muß sich nun A verhalten? A<0 : zwei Minima, eines positiv, das andere negativ ( positive und negative Magnetisierung). A 0:η =0 Es liegt nahe A wie folgt anzusetzen: A = A 0 (T,Y )(T T c (Y )) wobei A 0 nur langsam mit T und Y variiert. Berechnet man nun die Werte von η oberhalb und unterhalb von T c und setzt diese in die Formel für die freie Energie ein, so erhält man: A0 η =0oder η = ± 2B (T c T ) d.h. β =0.5 F (T,Y ; η) =F 0 (T,Y )für T T c F (T,Y ; η) =F 0 (T,Y ) A2 0(T c T ) 2 für T<T c 4B Betrachtet man nun die Wärmekapazität c Y = T ( 2 F T 2 ), so sieht man, daß sie bei T c einen Sprung macht (α =0)

5 c Y (T c ) c Y (T + c )= T ca 0 2B mit äußerem Feld: Wie oben schon erwähnt, zerstört das äußere Feld den kontinuierliches Phasenübergang, da beide Mglichen Werte von η ungleich Null sind. ( ) Jetzt können wir die Suszeptibilität χ(t )= 2 F f und den zugehörigen 2 Exponenten γ berechenen: Durch differenzieren der freien Energie erhalten wir: ( ) F =2Aη +4Bη 3 f =0 η für H 0: η =0für T>T c A η = 2B für T<T c nochmaliges Ableiten nach f und auflösen liefert: χ(f) = 1 2A +12Bη 2 Die Suszeptibilität verhält sich also ober- und unterhalb von T c verschieden (für H 0): χ(f) = 1 2A = 1 2A 0 (T T c ) für T>T c χ(f) = 1 4A = 1 4A 0 (T c T ) für T<T c Die Suszeptibilität divergiert bei T c γ = 1. mit dem kritischen Exponenten Den Exponenten der kritischen Isothermen, δ, liest man sofort an ( ) F =2Aη +4Bη 3 f =0 η ab als δ =3. Diskussion: Vergleicht man die erhaltenen kritischen Exponenten mit den experimentellen

6 Werten, so sieht man, daß sie deutlich voneinander abweichen. Man muß sich also überlegen, in welchen Hinsichten der Landau-Ansatz falsche Annahmen zugrunde legt: Die Potenzreihen-Entwicklung der freien Energie ist sehr fragwürdig, da zwar jede stetige Funktion durch eine Potenzreihe approximiert werden kann, aber über die Güte der Näherung bei nur endlich vielen Potenzen nicht allzu viel ausgesagt werden kann. Wir haben nur mit den Mittelwerten des Ordnungsparameters gearbeitet. Schwankungen, die gerade in der Nähe des kritischen Temperatur T c groß werden, und damit einen bedeutenden Einfluß auf die Mittelwerte der thermodynamischen Größen haben, werden ignoriert. Dieser zweite Punkt ist der Hauptkritikpunkt. Um den Fehler, den wir mit der Vernachlässigung der Fluktuationen gemacht haben, abschätzen zu können wir uns zusätzlich für das Verhalten der Korrelationsfunktion im kritischen Bereich interessieren, wollen wir von diskreten Spins zu einer Kontinuumsbeschreibung übergehen. Anstelle des globalen Ordnungsparameters M wollen wir nun eine Spin-Dichte σ(x) betrachten. Wir schreiben nun für die freie Energie F: F (T,H; σ(x)) = ( ) d d r f 0 + aσ(x) 2 + bσ(x) 4 + c ( σ(x)) 2 Hσ(x) Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Spin-Verteilungs σ(x) ist proportional zu e βf(σ). Deshalb erhalten wir den wahrscheinlichsten Zustand σ einfach als Nullstelle von F σ(x) und es gilt: M = σv d.h. für die Magnetisierung erhalten wir dasselbe Ergebnis wie eben. Dann haben wir aber wieder unsere alte Gleichung für die freie Energie F (T,H; σ) =V d d r ( f 0 + a σ 2 + b σ 4 H σ ) und das heißt, daß man mit diesem Ansatz wieder dieselben kritischen Exponenten erhält.allerdings können wir jetzt auch die Korrelationsfunktion betrachten. Wir wollen nun unsere Gleichung Fourier-transformieren. Es gilt: σ( r) =L d 2 Φ k e i k r k<λ

7 Die Wellenvektoren k sind nach oben begrenzt, da wir trotz Kontinuumsbeschreibung immer noch eine periodische Gitteranordnung von Spins voraussetzen. Feinheiten kleiner als die Gitterkonstante sind also irrelevant und diese obere Grenze für k ist Λ. Transformiert schreibt sich die freie Energie,wenn wir den Term 4. Ordnung weglassen( in der sogenannten Gauß sche Näherung), wie folgt: F (T,H; σ) =f 0 L d + k< Λ Φ k Φ k (a + ck 2 )+L d 2 Φ0 H Wir wollen nun die Korrelationsfunktion K( r) berechenen und an ihr die kritischen Exponenten ν und η ablesen. Als erstes berechnen wir die Fourier-Transformierte der Korrelationsfunktion, die man als Strukturfaktor S( k) bezeichnet: S( k) = d d rk( r) e ikr = 1 L d d d r d d r K( r r ) e ik(r r ) Für den Magneten ist K( r r )=<σ( r)σ( r ) > und es ergibt sich S( k)=< Φ k Φ k > Diesen Erwartungswert kann man nun ausrechnen und erhält letztendlich: S( n k)= 2(a + bk 2 n : Anzahl der Spin-Komponenten ) Transformiert man wieder zurückin den Ortsraum, so ergibt sich die Korrelationsfunktion zu K( r) = e r ξ r d 2 wobei ξ = b/a Andererseits haben wir für a schon gefunden: a = a 0 (T,Y )(T T c (Y )). Daraus folgt, daß ξ für ɛ 0 divergiert und daß ν =0.5 gilt. Insbesondere gilt für ɛ =0: K( r) = 1 r d 2 Aus dieser Formel liest man ab, daß η = 0 gilt. Man verifiziert leicht, daß die kritischen Exponenten der Landau-Theorie die ersten vier Skalengesetze erfüllen. Damit die beiden anderen Relationen auch gelten, muß allerdings d=4 sein. Man kann zeigen, daß die Landau-Theorie in Gauß scher Näherung für Dimension 4 exakt ist und bei geringerer Dimension ungenau wird.

8 4 Bedeutung der Landau-Theorie Wenn die Landau-Theorie also für drei oder weniger Raumdimensionen nur fehlerbehaftete Aussagen liefert, dann stellt sich natürlich die Frage, welchen Sinn solch eine Theorie überhaupt macht. Immerhin bietet sie einen einfachen Zugang zu einem neuen Problem und macht qualtitativ in den meisten Fällen richtige Vorhersagen zu dem Phasendiagramm. Man erhält also ohne großen Aufwand erste Hinweise zur Natur des betrachteten Systems und kann dann genauere, aber kompliziertere, Methoden nutzen, um zu quantitativen Aussagen zu kommen. Es sei noch angemerkt, das Landau diesen Ansatz mit Erfolg dazu nutze, die Supraleitung zu erklären.