Mean-Field-Theorie für den Ferromagneten

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1 Mean-Field-heorie für den Ferromagneten Sebastian Lüker. Dezember 009 Inhaltsverzeichnis Paramagnetismus Ferromagnetismus 4 3 Berechnung der kritischen Exponenten 6 3. Kritischer Exponent des Ordnungsparameters Kritischer Exponent der kritischen Isotherme Kritische Exponenten der Suszeptibilität Kritische Exponenten der Wärmekapazität Zusammenfassung der kritischen Exponenten

2 Paramagnetismus Als Paramagnetismus bezeichnet man die Reaktion von magnetischen Momenten auf ein äuÿeres Magnetfeld B. Das magnetische Moment einer Ladung z. B.: eines Elektrons hängt von seinem Drehimpuls ab. Aus diesem Grund wird im folgenden ein Modell angenommen, in dem sich die Spins bzw. Drehimpulse auf den Gitterplätzen eines Festkörpers benden. Für die Herkunft der Drehimpulse sind z. B. ungefüllte Elektronenschalen verantwortlich, wie etwa die 3d-Schale der Übergangsmetalle, die 4f-Schale der Seltene Erden oder die 5f-Schale der Actinide. Als Ausgangspunkt für alle weiteren Berechnungen wird das Heisenberg-Modell benutzt: H i,j J ijji Jj gµ B J ib Hier bezeichnet J ij die Austauschintegrale mit J ij J ji und J ii 0, J i einen Drehimpuls J am Gitterplatz i, B das äuÿere Magnetfeld, µb das Bohrsche Magneton und g den gyromagnetischen Faktor. Für den Paramagnet wird angenommen, dass die Spins nicht miteinander Wechselwirken, sodass sich der Hamiltonoperator vereinfacht zu: i H 0 gµ B J ib B B ez Da für einen Spin im Magnetfeld J i B m i B mit m i vereinfacht sich dieser Hamitonoperator zu: die kanonische Zustandssumme berech- Daraus lässt sich mit x gµ B βb und β nen Z: i J, J +,..., J gilt, H 0 gµ B m i B 3 i k Z J m J [ e J+ x e x J m N J expx [ N J ] N m i e xm [ e Jx + e J x e Jx] N i m J [ e Jx + e x e Jx ] N ] N [ e J+x e x Insbesondere gilt für J : Z J e x e x N e x e x N ] N [ e J+ x e J+ x sinh[j + x] e x e x sinh[ x] [ sinh[j + Z x] ] N sinh[ x] [ ] N [ sinhx sinh sinh x x cosh x sinh x ] N ] N N cosh N x 4

3 Aus der kanonischen Zustandssumme lässt sich die freie Energie F berechnen: [ sinh[j + F k lnz Nk ln x] ] sinh[ x] Über die freie Energie lässt sich die Magnetisierung M F B berechnen: 5 M M 0 [ J + J Hier bezeichnet Brillouin-Funktion: J + coth J Jx ] J coth J Jx M 0 B J Jβµ B gb 6 M 0 NJgµ B die Sättigungsmagnetisierung und B J Jβµ B gb die B J x J + J Die Brillouin-Funktion ist in Abb. dargestellt : J + coth J x J coth J x 7 Abbildung : Die Brillouin-Funktion für verschiedene Werte von J Für x 0 gilt B J x 0 und somit M 0, der Paramagnet besitzt somit keine spontane Magnetisierung. Für J gilt B x cothx, dies ist die Langevin-Funktion, die schon in der x klassischen hermodynamik zur Beschreibung von magnetischen Phänomenen benutzt wird. Die Brillouin-Funktion ist ungerade, das heiÿt es gilt B J x B J x. Dies bedeutet, dass das Umpolen des äuÿeren Magnetfeldes auch die Magnetisierung umpolt. Es gilt B J x x. Dies bedeutet, dass die Magnetisierung für groÿe Magnetfelder gegen die Sättigungsmagnetisierung konvergiert. Für kleine Argumente lässt sich die Brillouin-Funktion als Reihe entwickeln: B J y J + 3J y J + 3J J + J + 30J y 3 + Oy 5 8 Somit gilt für die Magnetiseirung M bei hohen emperaturen βµ B gb µ BgB k << : M, B C B Curie-Gesetz 9 Dies ist das Curie-Gesetz mit der Curie-Konstante C JJ+ 3k Ngµ B. Quelle: Nolting, Grundkurs theoretische Physik 6, 6. Au., p

4 Ferromagnetismus Im folgenden wird die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Spins berücksichtigt. Deshalb muss der gesamte Hamitonoperator betrachtet werden: H i,j J ijji Jj gµ B J ib H + H 0 0 Zur Auswertung des Hamiltonoperators folgen wir der Weiss'schen heorie des Ferromagnetismus. In dieser heorie wird die Mean-Field-Näherung bzw. die Molekularfeld- Näherung durchgeführt. Die Idee hinter dieser Näherung ist, dass die Spin-Spin-Wechselwirkung durch ein mittleres Magnetfeld ersetzt werden soll. Die Spins werden somit voneinander entkoppelt und wechselwirken nur noch mit dem mittleren Feld. Zunächst wird der Wechselwirkungsterm umgeformt: i H i,j J ij Ji Jj i,j J ij J x i J x j + J y i J y j + J z i J z j i,j J ij J + i J j + J z i J z j Hier wurden die Auf- und Absteigeoperatoren J ± J x ± ij y benutzt. Für die Mean-Field-Näherung erweist sich folgende Operator-Identität als Zweckmäÿig: A B A < A >B < B > +A < B > +B < A > < }{{}} A >< {{ B > } F luktuationen Konstante: c Damit ergibt sich für den Wechselwirkungsanteil des Hamiltonoperators: H i,j J ij Ji Jj i,j J ij J + i J j +J z i J z j i,j J ij J z i < J z j > + < J z i > J z j 3 Im letzten Schritt wurde die Mean-Field-Näherung durchgeführt:. Die Fluktuationen werden vernachlässigt. Wegen der Drehimpulserhaltung: < J + i >< J i > 0 folgt J + i J j 0 3. Die Konstante c wird vernachlässigt, da sie nur einen konstanten Beitrag zur Energie liefert Bei genauerer Betrachtung des Wechselwirkungsanteils zeigt sich, dass die Spin-Spin- Wechselwirkung durch ein mittleres Feld B MF ersetzt wurde: H MF J 0 < J z > gµ B B N N Ji z gµ B B MF Ji z 4 Hier wurde J 0 i J ij j J ij benutzt. B MF B + J 0<J z > gµ B B + B ex bezeichnet das mittlere Feld, und B ex das Austauschfeld, das die Wechselwirkung der Spins untereinander ersetzt. Das Austauschfeld ist proportional zur Magnetisierung, es gilt: B ex J 0 gµ B < J z > Damit ergibt sich das mittlere Feld zu: i i J 0 M λm 5 Ngµ B B MF B + λ 6 4

5 Mit diesem Feld ist die Berechnung der Magnetisierung analog zum Paramagneten, wenn man B B MF ersetzt. Damit ergibt sich für die Magnetisierung: Im Nullfeld B0 gilt: M M 0 B J [βgµ B JB + λm] 7 M M 0 B J βgµ B JλM 8 Dies ist eine implizite Gleichung zur Bestimmung der spontanen Magnetisierung M S. Oensichtlich existiert immer eine Lösung für M 0, was bedeutet, dass keine spontane Magnetisierung vorliegt. Um weitere Lösungen zu nden, wurde die linke Seite von 8 gegen die rechte Seite aufgetragen : Man erkennt, dass zwei weitere Lösungen der Gleichung existieren, wenn die Steigung der Brillouin-Funktion im Ursprung gröÿer als die Steigung der Geraden ist. Zur Berechnung der Steigung der Brillouin-Funktion bietet sich somit die Reihenentwicklung an: d dm S [M 0 B J βgµ B JλM S ] d dm S [ M 0 J + 3J ] gµ B Jλ k M S C λ Hier bezeichnet C JJ+ Ngµ 3k B die Curie-Konstante. Für Cλ > existieren zwei weitere Lösungen. Über diese Ungleichung deniert sich die Curie-emperatur zu C Cλ. Bei C ndet ein Phasenübergang statt. Unterhalb der Curie-emperatur besitzt das System eine spontane Magnetisierung M S, oberhalb von C verschwindet diese Magnetisierung. Die spontane Magnetisierung eignet sich daher als Ordnungsparameter. Für eine verschwindene Spin-Spin-Wechselwirkung λ 0 geht C 0, das System verhält sich in diesem Grenzfall erwartungsgemäÿ paramagnetisch. Es fällt auf, dass die Curie-emperatur nicht von der Gitterdimension abhängt. Dies ist ein Widerspruch zum Experiment, wo eine solche Abhängigkeit gemessen wird. 9 Quelle: Nolting, Grundkurs theoretische Physik 6, 6. Au., p

6 3 Berechnung der kritischen Exponenten Im folgenden werden die kritischen Exponenten des Ferromagneten in der Mean-Field- Näherung berechnet. Zur Vereinfachung der Rechnung wird im folgenden J angenommen, die kritischen Exponenten sind aber für alle J dieselben. Für die Magnetisierung ergibt sich für J : [ ] M M 0 tanh βgµ BB + λm 0 Um die folgenden Berechnungen übersichtlicher zu gestalten werden die reduzierten Variablen σ M M 0 und C deniert. Damit wird 0 zu: [ gµ B B σ tanh k + σ ] Für die Berechnung der kritischen Exponenten ist es zweckmäÿig, die Hilfsfunktion h einzuführen: h tanh gµb B σ tanh σ k σ tanh σ Man überzeugt sich leicht von der Gültigkeit dieser Funktion mit folgender trigonometrischen Identität: tanhx + y tanhx + tanhy + tanhx tanhy In der Nähe des kritischen Punktes B0, M0, C lässt sich die Hilfsfunktion entwickeln: h σ [ + σ ] + Oσ Hier wurde die Entwicklung des angens-hyperbolicus benutzt: 3 mit tanhx x 3 x3 + 5 x5 + Ox Kritischer Exponent des Ordnungsparameters Der kritische Exponent der Ordnungsparameters ist deniert durch: M S ɛ β für B 0, C < C, ɛ C C 6 Für B0 ergibt sich für die Hilfsfunktion: gµb B h tanh 0 7 k Damit folgt aus 4: C σ C C C Mit σ M ergibt sich somit M ɛ. Der kritische Exponent des Ordnungsparameters beträgt somit: C C C 8 β 9 6

7 3. Kritischer Exponent der kritischen Isotherme Der kritische Exponent der kritischen Isotherme ist deniert durch: Für gilt h tanh gµb B k B M δ für C, 30 σ +σ }{{} 0 } {{ } Damit ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem Magnetfeld B und der Magnetisierung M zu: gµ B k B + OB3 σ3 3 + Oσ5 mit σ M 3 Hieraus folgt der kritische Exponent der kritischen Isotherme zu: 3.3 Kritische Exponenten der Suszeptibilität δ 3 33 Die kritischen Exponenten der Suszeptibilität sind deniert durch: χ ɛ γ für C, < C, B 0, ɛ C C 34 χ ɛ γ für C, > C, B 0, ɛ C C 35 Für die Suszeptibilität gilt: M χ B Ngµ B Die Ableitung σ h h σ σ h M σ Dierentiation auf beiden Seiten ergibt: σ h [ Damit ergibt sich für die Suszeptibilität: βgµ B σ h h B C σ h lässt sich mit der Hilsfunktion berechnen: [ + σ ] + Oσ σ ] Oσ χ C [ ] ɛ + σ + 3 Oσ4 39 Für < C gilt σ 3ɛ. Damit ergibt sich: χ C ɛ γ 40 7

8 Für > C und B0 gilt σ 0. Damit ergibt sich das Curie-Weiss-Gesetz: χ C [ ] C C C C ɛ 4 C C C Damit ergeben sich die kritischen Exponenten der Suszeptibilität zu: γ für < C 4 γ für > C Kritische Exponenten der Wärmekapazität Die kritischen Exponenten der Wärmekapazität sind deniert durch: C H ɛ α für C, < C, B 0, ɛ C C 44 C H ɛ α für C, > C, B 0, ɛ C C 45 Für die Wärmekapazität C H gilt: [ ] M C H χ 46 H Da für > C die spontane Magnetisierung M S 0 ist, folgt sofort C H 0 und damit α 0. Für < C ergibt sich mit C H Rechnung: C H 3 Nk [ O F H ] C C durch eine elementare aber lange Damit ergeben sich die kritischen Exponenten der Wärmekapazität zu: 47 α 0 für < C 48 α 0 für > C 49 Oensichtlich ist die Wärmekapazität unstetig beim Phasenübergang, sie macht einen Sprung um C H 3 Nk für J. 3.5 Zusammenfassung der kritischen Exponenten Die kritischen Exponenten des Ferromagneten in der Mean-Field-Näherung: Kritischer Exponent Wärmekapazität C H α α 0 Ordnungsparameter M S β Suszeptibilität χ γ γ Kritische Isotherme B δ 3 Die kritischen Exponenten sind identisch mit den kritischen Exponenten des Van der Waals-Gases und der Landau-heorie. Diese drei heorien werden auch als klassische heorien bezeichnet, sie sind äquivalent. Wie beim Van der Waals-Gas lässt sich auch für den Ferromagneten zeigen, dass die Mean-Field-heorie eine Wechselwirkung mit unendlicher Reichweite darstellt. Dies führt zur Äquivalenz beider heorien. Allerdings sollte ein realistischeres Modell von kurzreichweitigen Wechselwirkungen ausgehen. Da die Wechselwirkung in der Regel keine unendliche Reichweite besitzt, werden die klassischen heorien von Experimenten nicht exakt bestätigt. 8