Das Henstock- Kurzweil- Integral

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1 Das Henstock- Kurzweil- Integral Seminararbeit aus Finanz- und Versicherungsmathematik Lili Xiang Juli

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 11 Geschichtlicher Hintergrund2 12 Überblick2 2 Einleitung 3 21 Einführung3 22 Grundlegende Definitionen 3 23 Beispiel 4 24 Lemma Cousin s Lemma 5 3 Henstock-Kurzweil Integral6 31 Riemann Integral6 311 Riemannsumme Abbildung Definition des Riemann'schen Integrals 7 32 Henstock-Kurzweil Integral Definition des Henstock- Kurzweil Integrals Lehrsatz Beweis Beispiel 9 4 Eigenschaften des Henstock-Kurzweil Integrals Satz Satz Satz Weitere Eigenschaften Cauchy Kriterium und Satz Cauchy Kriterium Satz Lemmata Satz Satz Saks-Henstock Lemma Definition Lemma Saks-Henstock Lemma Saks- Henstock Lemma Beweis der Saks- Henstock Lemma17 54 Lehrsatz und Cauchy'scher Erweiterungssatz Satz Cauchy scher Erweiterungssatz (Teil a) Korollar Cauchy'scher Erweiterungssatz (Teil b) Korollar Beispiel 21 6 Anmerkungen 22 Literaturverzeichnis 23 1

3 1 Vorwort 11 Geschichtlicher Hintergrund Das Riemannsche Integral ist eine nützliche Methode, mit der man die mathematischen Probleme der elementaren Analysis lösen kann Jedoch fanden die Mathematiker am Ende des 19 Jahrhunderts folgende Nachteile des Riemann'schen Integrals: (a) Ist eine Funktion Riemann- integrierbar auf einem beschränkten Intervall [a,b], so wird die Funktion dort beschränkt (b) Es gibt eine beschränkte, nicht- Riemann- integrierbare Ableitung (c) Sei stetig und monoton Dann existiert der Limes Allerdings ist nicht Riemann- integrierbar Im Jahr 1902 definierte Lebesgue einen allgemeineren Integralbegriff, um die oben genannten Nachteile (a), (b) und (c) zu beseitigen Es hat allerdings den Nachteil, dass nicht alle endlichen Ableitungen integrierbar sind Im Jahr 1912 erweiterte Denjoy das eindimensionale Lebesgue- Integral so dass das resultierende Integral alle endlichen Ableitungen integriert Zwei Jahre später beschäftigte sich Perron mit einer anderen Methode, um sein Integral zu definieren und benutzte es zum Studium von Differentialgleichungen Ein überraschendes Resultat ist, dass die obigen Integrale von Denjoy und von Perron äquivalent sind und das Integral ist heute im Allgemeinen als Denjoy- Perron- Integral bekannt Im Jahr 1957 fanden Henstock und Kurzweil eine einfache, aber effektive Abwandlung des klassischen Riemann- Integrals, das Henstock- Kurzweil Integral Seitdem wurden verschiedene Typen mehrdimensionaler Riemann- Integrale definiert und von einigen Autoren studiert Da das eindimensionale Henstock- Kurzweil Integral äquivalent zum Denjoy- Perron Integral ist, ist es nicht überraschend, dass das mehrdimensionale Henstock- Kurzweil Integral äquivalent zum klassischen mehrdimensionalen Perron Integral ist 12 Überblick Als Einleitung dieser Seminararbeit werden zuerst einige grundlegende Begriffe und Theorien des eindimensionalen Henstock- Kurzweil Integrals erklärt Die Definition des Henstock- Kurzweil Integrals ist sehr ähnlich wie die des klassische Riemann- Integral Es umfasst außerdem uneigentliche Riemann- Integrale Außerdem werden die Eigenschaften des HK- Integrals und das Saks- Henstock Lemma vorgestellt 2

4 2 Einleitung 21 Einführung Das Henstock- Kurzweil- Integral wird auch als Gauge- Integral oder Eichintegral genannt Diese Formulierung wurde erst Mitte des 20 Jahrhunderts von dem Mathematiker Jaroslv Kurzweil beschrieben Ralph Henstock widmete sich der Entwicklung dieses Integraltyps Eine zentrale Abschätzung, das sogenannte Henstock- Lemma, wurde nach ihm benannt Der "Vorläufer" ist das Dejoy- Perron- Integral, das allerdings auf einer technischen und unanschaulichen Definition beruht 22 Grundlegende Definitionen i Zwei Intervalle[u,v],[s,t] in heißen nicht überlappend wenn ihr Durchschnitt leer ist, also ii Besteht eine endliche Menge [ u 1,v 1 ],, u p,v p { } aus aller paarweise nicht überlappenden Teilintervallen von, sodass =, dann ist die Menge eine Teilung von iii Ein Punkt- Intervall- Paar beinhalt ein geschlossenes Intervall in und ein reelle Zahl t Hier ist t eine Zwischenstelle und wird Marke genannt iv Eine endliche Menge, die alle Punkt- Intervall- Paare beinhaltet, ist eine markierte Zerlegung des Intervalls[a,b], wobei eine Teilung von ist und die zugehörigen Zwischenstellen für k = 1,, p sind v Eine Funktion δ :[a,b] + heißt Eichfunktion, wenn und ein offenes Intervall ist Eine Eichfunktion ordnet also jedem Punkt aus dem Intervall offenes Intervall zu, das enthält vi Sei eine Eichfunktion auf dem Intervall Eine markierte Zerlegung {( t 1,[ u 1,v 1 ]),,( t p, u p,v p ) }dieses Intervalls heißt fine wenn [ u k,v k ] ( t k δ(t k ),t k + δ(t k )) für k = 1,, p gilt ein 3

5 Die folgende Abbildung dient zur Veranschaulichung der obigen Begriffe ist eine Eichfunktion Sie weist jedem Punkt ein offenes Intervall zu Das entspricht dem grünen Streifen D = { t i,[ x i 1, x i ] :i = 1,,n} ist eine markierte Zerlegung, sie ist δ fine wenn das Teilintervall innerhalb des offenen Intervalls liegt, also füri = 1,,n 23 Beispiel Sei eine Eichfunktion auf dem Intervall[0,1] mitδ(t) = t,falls0 < t 1 1,fallst = 0 2 Dann sind folgende Aussagen wahr: i ist eine Teilung von[0,1] ii ist eine markierte Zerlegung des Intervalls[0,1] iii ist keine markierte Zerlegung des Intervalls[0,1], da die Teilintervall nicht innerhalb des offenen Intervalls(0,1) liegt 4

6 24 Lemma 24 Sei eine Eichfunktion auf dem Intervall und sei Sind und markierte Zerlegung von bzw, dann ist eine markierte Zerlegung von 25 Cousin s Lemma Ist eine Eichfunktion auf dem Intervall, dann existiert ein markierte Zerlegung von[a,b] Beweis: Ausgehend in Richtung eines Widerspruchs nehmen wir an, besitzt keine markierte Zerlegung Teilen wir das Intervall in und, sodass die Vereinigung von zwei nicht überlappenden Intervalle in ist In Hinblick auf Lemma 24 können wir ein Intervall aus der Menge so wählen, sodass keine markierte Zerlegung besitzt Mit Induktion konstruieren wir Intervalle in, so dass die folgenden Eigenschaften für alle n erfüllt sind: i ; ii Es existiert keine markierte Zerlegung von ; iii Da Eigenschaften (i) und (iii) für jedes n gelten, ergibt sich aus dem { } Intervallschachtelungsprinzip 1, dass [a n,b n ] = t 0 für t 0 n=1 1 Ist eine Folge von verschachtelten geschlossenen Intervalle, dann gilt es n=1 [a n,b n ] 5

7 { } Anderseits, da [a n,b n ] = t 0 und, ergibt sich aus dem Eigenschaften (iii), n=1 dass es ein N gibt, sodass eine markierte Zerlegung von ist, welches aber ein Widerspruch zu Eigenschaften (ii) ist Dieser Widerspruch vervollständigt den Beweis 3 Henstock- Kurzweil Integral 31 Riemann Integral Bevor wir die Definition vom Henstock- Kurzweil Integral kennenlernen, erinnern wir uns kurz an das Riemannintegral 311 Riemannsumme Die Riemannsumme bezüglich einer Funktion und einer markierte Zerlegung { ( )} definiert man genau wie Riemannsche Zwischensumme durch P = ( t 1,[ u 1,v 1 ]),, t p, u p,v p p S( f, P) = f (t i )(v i u i ) i=1 6

8 312 Abbildung Diese Abbildung veranschaulicht die Approximation der Fläche zwischen einer Funktion und der durch Riemannsche Zwischensummen (entspricht den orangen Rechtecken) 313 Definition des Riemann'schen Integrals Eine Funktion f :[a,b] ist erst dann über Riemann- integrierbar, wenn es zu einer festen Zahl zu jedem ein gibt, so dass für jede markierte Zerlegung von gilt 32 Henstock- Kurzweil Integral 321 Definition des Henstock- Kurzweil Integrals Das Henstock- Kurzweil Integral wird nun ähnlich wie das Riemann- Integral definiert Die Riemann- Summe konvergiert gegen eine feste Zahl A, sofern die markierte Zerlegung ist 7

9 Die Definition von Henstock- Kurzweil Integral lautet: Eine Funktion f :[a,b] ist Henstock- Kurzweil- integrierbar über, wenn es zu einer festen Zahl A zu jedem eine Eichfunktion auf gibt, so dass für jede markierte Zerlegung P gilt heißt das Henstock- Kurzweil Integral von über, in Zeichen: Die Definition erinnert uns stark an die ursprüngliche Definition des Riemann- Integrals Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass das grobe riemannsche Feinheitsmaß (Betrachtung des längsten Teilintervalls der Zerlegung ) durch ein neues, verbesserte Maß ersetzt wurde Henstock spricht in seinem Werk Theories of Integration daher auch von einem Integral of Riemann- Type 322 Lehrsatz Sei f :[a,b] eine Funktion und Falls differenzierbar auf ist und seine Ableitung für alle, dann ist die Funktion Henstock- Kurzweil integrierbar, in Zeichen: und es gilt 323 Beweis Sei gegeben Da stetig auf ist, existiert es für jedes ein sodass gilt, wobei Da differenzierbar auf ist, existiert es für jedes ein sodass gilt, wobei Definiere eine Eichfunktion auf mit 8

10 Sei eine markierte Zerlegung von, dann gilt folgendes: Da beliebig ist, können wir festlegen, dass und 324 Beispiel Sei ist differenzierbar auf und seine Ableitung ist HK- integrierbar Sei Dann ist und 9

11 4 Eigenschaften des Henstock- Kurzweil Integrals Das Ziel dieses Abschnitts ist es, einige grundlegende Eigenschaften des Henstock- Kurzweil Integrals vorzustellen und zu beweisen 41 Satz 41 Sind beide Funktionen und g Henstock- Kurzweil integrierbar, also, dann ist auch Henstock- Kurzweil integrierbar und es gilt: Beweis: Sei gegeben Da, existiert eine Eichfunktion auf sodass für jede markierte Zerlegung von gilt Analog existiert es eine Eichfunktion auf sodass für jede markierte Zerlegung von gilt Definiere eine Eichfunktion auf mit, (412) und sei eine markierte Zerlegung von (412) impliziert, dass die markierte Zerlegung sowohl als auch ist, also und es gilt die Dreiecksungleichung Da beliebig ist, können wir festlegen dass und 10

12 42 Satz 42 Ist und c, dann ist auch Henstock- Kurzweil integrierbar, in Zeichen und es gilt: Beweis: Sei gegeben Da, existiert es eine Eichfunktion auf, sodass für jede markierte Zerlegung von gilt Ist eine markierte Zerlegung von, dann gilt Da beliebig ist, ergibt sich und es gilt 43 Satz 43 Sind zwei Funktionen Henstock- Kurzweil integrierbar, in Zeichen und für alle, dann gilt Beweis: Sei gegeben Da, existiert eine Eichfunktion auf sodass für jede markierte Zerlegung von gilt Analog existiert eine Eichfunktion auf, sodass für jede markierte Zerlegung von gilt 11

13 Definiere eine Eichfunktion auf mit, (432) und verwende Cousin s Lemma, um ein verbesserte markierte Zerlegung von zu erhalten Wegen (432) ergibt sich daraus, dass die markierte Zerlegung sowohl als auch ist Aus der Ungleichung folgt es, dass Die gewünschte Ungleichung folgt aus der Unbestimmtheit von 44 Weitere Eigenschaften Wie für jeden anderen Integraltyp gilt es dasselbe für Henstock- Kurzweil Integral: Der Wert des Henstock- Kurzweil Integrals ist eindeutig bestimmt Insbesondere ist(hk) f 0, falls die Funktion Weiterhin ist die Integralfunktion linear: Sind zwei Funktionen über Henstock- Kurzweil integrierbar und α,β, dann ist auch Henstock- Kurzweil integrierbar über und es gilt: Jede Riemann- integrierbare Funktion ist auch Henstock- Kurzweil integrierbar und die beiden Integrale stimmen überein Beweis: Sei dazu das Riemann- Integral von f über und so gewählt, dass für jede Zerlegung mit und beliebige Zwischenstellen Wählt man die Eichfunktion zu, so gilt für jede markierte Zerlegung per Definition:,also 12

14 Definiert man die Zerlegung durch, so ist und somit 45 Cauchy Kriterium und Satz 451 Cauchy Kriterium Eine Funktion f :[a,b] ist erst dann Henstock- Kurzweil integrierbar über Intervalls, wenn es für alle eine Eichfunktion gibt, sodass für jede markierte Zerlegung und des gilt 452 Satz 452: Ist, dann ist Beweis: Sei gegeben Da stetig auf ist, existiert es für jedes ein, sodass, wobei Es ist klar, dass die Funktion x δ(x) eine Eichfunktion auf ist Seien P = ( t 1,[ u 1,v 1 ]),,( t p, u p,v p ) ( [ ]),,( w p, x p, y p ) { } undq = { w 1, x 1, y 1 } zwei markierte Zerlegungen von Falls nichtleer für und ist, wählt man einen festen Punkt Anderseits, falls leer für und ist, setzt man Sei und sei für jede α, β, 13

15 Weiters gilt es die Dreiecksungleichung: Anwendung des Cauchy Kriteriums vervollständigt den Beweis 46 Lemmata Der folgende Satz ist eine Folgerung aus dem Cauchy Kriterium 461 Satz 461 Ist Henstock- Kurzweil integrierbar über, und Teilintervall von, dann ist auch Henstock- Kurzweil integrierbar über Beweis: Sei ein echtes Teilintervall von Für jedes verwenden wir das Cauchy Kriterium, um eine Eichfunktion auf [a, b] zu wählen, so dass für jede markierte Zerlegung und von gilt Da ein echtes Teilintervall von ist, existiert es eine endliche Menge von paarweise nicht überlappenden Teilintervalle von, so dass und Für jedes wählen wir eine feste markierte Zerlegung von Sind und markierte Zerlegung von, dann sind und markierte Zerlegungen von 14

16 Somit gilt Wegen dem Cauchy Kriterium gilt dann 462 Satz Sei f :[a,b] und Ist,dann ist und es gilt Beweis: Für existiert es eine Eichfunktion auf sodass, wobei eine markierte Zerlegung von ist Eine ähnliche Argumentation zeigt, dass es eine Eichfunktion auf gibt, sodass für jede markierte Zerlegung von gilt Definiere eine Eichfunktion auf mit und sei eine markierte Zerlegung von Da unsere Auswahl an impliziert für, schließen wir, dass für markierte Zerlegungen von bzw von 15

17 Daraus folgt: Da beliebig ist, folgt Satz Saks- Henstock Lemma Das Ziel dieses Abschnitts ist es, das wichtige Saks- Henstock Lemma für das Henstock- Kurzweil Integral zu beweisen Aus ihm folgt der Cauchy sche Erweiterungssatz (Satz 56 und Satz 58) Wir beginnen mit den folgenden Definitionen 51 Definition i Eine endliche Menge von Punkt- Intervall Paaren heißt markierte Subzerlegung von, wenn für und eine endliche Menge von nicht überlappenden Teilintervall von ist ii Sei eine markierte Subzerlegung von und eine Eichfunktion auf t 1,,t p { } Die markierte Subzerlegung heißtδ fine, wenn jedes Teilintervall innerhalb des offenen Intervalls liegt, in Zeichen für 52 Lemma Sei und Ist eine Eichfunktion auf sodass für jede markierte Zerlegung von gilt, dann gilt für jede markierte Zerlegung von 16

18 53 Saks- Henstock Lemma 531 Saks- Henstock Lemma Ist, dann gibt es zu jedem eine Eichfunktion auf, sodass für jede markierte Subzerlegung des Intervalls gilt 532 Beweis der Saks- Henstock Lemma Da Henstock- Kurzweil integrierbar über ist, und wegen Lemma 52 eine Eichfunktion auf [a,b] existiert sodass für jede markierte Subzerlegung von gilt Sei eine markierte Subzerlegung von, Und sei Dann ist auch eine markierte Subzerlegung des Intervalls Damit ergibt sich das gewünschte Resultat aus dem Lemma 52: 17

19 54 Lehrsatz und Cauchy'scher Erweiterungssatz 541 Satz 541 Sei und sei für alle, dann ist stetig auf Beweis: Für jedes verwenden wir das Saks- Henstock Lemma, um eine Eichfunktion auf zu wählen, sodass für jede markierte Subzerlegung von Indem man verkleinert, können wir davon ausgehen, dass für alle gilt Ist, dann gilt, wobei Da beliebig ist, schließen wir, dass stetig auf ist 542 Cauchy scher Erweiterungssatz (Teil a) Eine Funktion f :[a,b] ist erst dann Henstock- Kurzweil integrierbar über, wenn für jedes die Funktion über Henstock- Kurzweil integrierbar ist und existiert Beweis: In diesen Fall gilt Folgt aus Satz 541 Sei und sei eine streng monoton wachsende Folge reeller Zahlen, so dass und Wegen Satz 531 (Saks- Henstock Lemma) existiert eine positive ganze Zahl, sodass, wobei 18

20 Für jedes k wählen wir eine Eichfunktion auf so, dass die Ungleichung für jede markierte Subzerlegung von gilt Definiere eine Eichfunktion auf mit 1 2 (c 1 c 0 )fallsx = c 0, min δ k (c k ),δ k +1 (c k ), 1 2 (c c ), 1 k k 1 2 (c c ) k +1 k fallsx = c k, fürk, δ(x) = min δ k (c k ), 1 2 (x c k 1), 1 2 (c k x) fallsx (c k 1,c k ), fürk, ε min b c N, fallsx = b, 4( f (b) + 1) und sei eine markierte Zerlegung von Nach einer geeigneten Neuanordnung, können wir davon ausgehen, dass Da, impliziert unsere Wahl von, dass und für einige eindeutige positive ganze Zahlen Wir sehen auch, mit, und unserer Wahl von, dass eine markierte Zerlegung von Daher gilt: ist 19

21 543 Korollar 543 Sei f :[a,b] und nehme an, dass auf für jedes Riemann integrierbar ist Falls existiert, dann ist und 544 Cauchy'scher Erweiterungssatz (Teil b) Eine Funktion f :[a,b] ist erst dann Henstock- Kurzweil integrierbar über, wenn für jedes die Funktion über Henstock- Kurzweil integrierbar ist und existiert In diesem Fall erhalten wir: Das folgende Korollar ist eine unmittelbare Folgerung von Satz Korollar 545 Sei f :[a,b] und nehme an, dass auf für jedes Riemann integrierbar ist Falls existiert, dann ist und 20

22 55 Beispiel Schließlich stellen wir noch zwei Beispiele vor, die Anwendungen des Saks- Henstock Lemma sind Gegeben ist Hier ist Henstock- Kurzweil integrierbar über das Intervall für alle, da undefiniert ist Wir berechnen: und aus Satz 542 folgt: und Das zweite Beispiel zeigt einen anderen Fall Hier ist es klar, dass Henstock- Kurzweil integrierbar über für alle ist Anderseits, weil der Limes nicht existiert, ist nicht Henstock- Kurzweil integrierbar über Das ist genau eine Anwendung von Satz 544 Cauchy- Erweiterungssatz (Teil b) 21

23 6 Anmerkungen Cousin s Lemma wurde von Gordon 1 benutzt worden, um einige klassische Ergebnisse in der Analysis zu beweisen Im Jahr 1957 gab Kurzweil 2 eine einfache, doch effektive Abwandlung des klassischen Riemann- Integrals und benutzte es in seiner Arbeit über Differentialgleichungen Später formulierte Henstock 3 seinen Integralbegriff und entwickelte die Theorie weiter Dieses Integral, heute allgemein als Henstock- Kurzweil Integral bekannt, wird auch als Henstock Integral, Kurzweil- Henstock Integral oder verallgemeinertes Riemann- Integral genannt Im Eindimensionalen ist dieses Integral äquivalent zum Perron Integral in folgendem Sinne: Eine Funktion, die im Sinne von Perron integrierbar ist, ist auch integrierbar im Henstock- Kurzweil- Sinn und umgekehrt In diesem Fall stimmen beide Integrale überein Einen guten Überblick über die Theorie ist in Bongiorno 4 und Lee 5 zu finden 1 RA Gordon, The use of tagged partitions in elementary real analysis Amer Math Monthly 105(1998), no 2, J Kurzweil, Gerneralized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter Czechoslovak Math J 7(82)(1957), RHenstock, Definition of Riemann type of the variational integrals Proc London Math Soc (3) 11 (1961), B Bongiorno, The Henstock- Kurzweil integral Handbook of measure theory, Vol I, II, , North- Holland, Amsterdam, Lee Peng Yee, The integral la Henstock Sci Math Jpn 67 (2008), no 1,

24 Literaturverzeichnis [1] YEONG, L T :Henstock- Kurzweil Integration on Euclidean Spaces Serie in Real Analysis, Vol12,2011, World Scientific, ISBN , number I [2] Wikipedia Freie Enzyklopädie: Integral [3] Kurzweil_integral [4] Michael Kaltenbäck : Analysis 2 Februar 2010 E101- Institut für Analysis und Scientific Computing [5] bonnde/lehre/analysis1/analysis1pdf 23