Musteraufgaben zur Klausurvorbereitung für Messdatenauswertung und Messunsicherheit (MDA)

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1 Musteraufgaben zur Klausurvorbereitung für Messdatenauswertung und Messunsicherheit (MDA) Modulverantwortlicher: Prof. Dr.-Ing. R. Tutsch iprom, TU Braunschweig WS 207/8 Der Vorlesungsstoff lässt sich in folgende Themenbereiche gliedern Klausurrelevanter Stoff, den man auswendig können muss. Die beiden Formeln für die Testgrößen der beiden Hypothesentestes t-test und Chi2- Test, sowie den En-Wert für Ringvergleiche, der der Prüfgröße des t-test ähnlich ist mit dem Unterschied, dass hier nicht die Standardabweichung des Mittelwertes, sondern die erweiterte Messunsicherheit verwendet wird: t-test: H 0 : µ = µ 2 T = x x 2 2 s + s 2 2 T? < t α/2,ν () En-Wert für Vergleich eines des Ergebnisses eines an einem Ringvergleich teilnehmenden Labors mit einem Pilotlabor E n = x Lab x Ref U 2 Lab +URef 2 E n? < (2) En-Wert für Vergleich eines des Ergebnisses eines an einem Ringvergleich teilnehmenden Labors mit dem gewichteten Mittel der Ergebnisse (x i ±U i ) aller teilneh-

2 mender Labore, wobei u(x i ) = U i k u 2 ( x) = n u 2 (x i ) (3) i= d i = x i x mit x = n w i x i i= und w i = u2 ( x) u 2 (x i ) (4) u 2 (d i ) = u 2 (x i ) u 2 ( x) (5) E n (x i ) = d i 2 u 2 (d i ) E n? < (6) χ 2 -Test: H 0 : σ 2 = σ 2 2 ( s T = ν σ 0 ) 2 χ 2 α/2,ν? < T oder T? < χ 2 α/2,ν (7) 2. Die Formeln für die lineare Regression und der dazugehörigen Varianz der Residuen und Kovarianz der Regressionsmodellparameter: a) Regressormatrix X aufstellen können b) lineares Gleichungssystem hinschreiben, dessen Lösung die Schätzer der Modellparameter liefert ( X T X ) θ = X T Y (8) c) Varianz der Residuen Var(ε) = ( Y X ˆθ ) T ( Y X ˆθ ) (9) d) Kovarianz der Regressionsmodellparameter Cov(θ) = ( X T X ) Var(ε) (0) 3. Die Formeln für die gewichtete Summe von à-priori Schätzer y 0,s 0 und Schätzer y a,s a aus aktueller Messung mit der Formel für die gemeinsame Varianz, die sich aus der bayesischen Statistik unter der Voraussetzung das die Größe Y normalverteilt streut ergibt w 0 = s 2 0 w a = s 2 a s Posterior = w0 + w a () Musterklausuraufgaben, iprom 2 d.hueser@tu-bs.de

3 y Posterior = w 0 +w a (w 0 y 0 +w a y a ) (2) 4. Die Formeln für die Kovarianz, Korrelation und die Messunsicherheitsfortpflanzung a) Kovarianz u(x i,x k ) = J J (X i,j x i )(X k,j x k ) (3) j= mit u(x i ) u(x i,x i ) b) Korrelation r ρ i,k = u(x i,x k ) u(x i )u(x k ) (4) c) Sensitivität(skoeffizient)en, Empfindlichkeitskoeffizienten c i = f(x,...,x N ) X i c k = f(x,...,x N ) x,..., x N X k x,..., x N (5) u 2 (y) = N N c i c k u(x i,x k ) (6) i= k= d) Varianz einer Größe X, die gemäß Rechteckverteilung streut, δx = Spanne u 2 (X) = δx 2 δx 2 δx (X ) 2 dx = δx2 2 (7) 5. Die Satterthwaite sche Gleichung ( N ) ν eff = u 4 (y) (c i u(x i )) 4 i= (8) 6. Die erweiterte Messunsicherheit und das vollständige Messergebnis erweiterte Messunsicherheit U = ku (9) vollständiges Messergebnis y = ŷ ±U (20) Musterklausuraufgaben, iprom 3 d.hueser@tu-bs.de

4 Stoff, der wichtig wird für den, der in Zukunft weiterhin mit Statistik zu tun haben wird in sehr unterschiedlichen Fachgebieten, nicht nur in der Metrologie, auch in der Finanzmathematik, den Naturwissenschaften, etc. Mit Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen und bedingten Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen arbeiten für die Verfahren der bayesischen Statistik (sehr verbreitet in der Finanzmathematik und den Naturwissenschaften) mit scharfem Model-Prior (wird nur in der Messtechnik eingesetzt) Numerische Integrationsverfahren regelmäßige Samples (Trapez, Romberg) stochastische Samples, Monte-Carlo-Methoden Aufgabe Bei der Prozesskontrolle zur Herstellung von Bauteilen mit einem Bohrungsdurchmesser d 0 = 30.0mm soll überprüft werden, ob der Prozess stabil läuft. Am Vortag wurde bei einer entnommen Stichprobe von J = Bauteilen ein Mittelwert von d = 28.0mm bestimmt und eine Standardabweichung von s = 4.5mm. Am nächsten Tag wurde eine etwas größere Stichprobe entnommen mit J 2 = 2 Bauteilen. Der Mittelwert war dieses Mal d 2 = 26.5mm und die Standardabweichung s 2 = 2.mm. a) Bestimmen Sie zu beiden Ergebnissen jeweils die Standardabweichung des Mittelwertes. b) Prüfen Sie zu jedem der beiden Ergebnisse die Nullhypothese, dass der Mittelwert zu dem Mittelwert d 0 passt. Dabei wurde der Richtwert mit ν 0 = 50 Freiheitsgraden gewonnen und die Standardabweichung des Mittelwertes betrug s 0 =.2mm. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 5% für die Entscheidung.. Schreiben Sie die Formel für die Testgröße auf. 2. Schreiben Sie für das Quantil den gerundeten Wert der Anzahl der Freiheitsgrade auf. 3. Schreiben Sie die Zahlenwerte der beiden Testgrößen und der beiden Quantile auf. Musterklausuraufgaben, iprom 4 d.hueser@tu-bs.de

5 Hinweis: Verwenden Sie für das Quantil bei dem Hypothesentest für die gemeinsame Anzahl der Freiheitsgrade folgende Formel ν = s2 0 +(s/j) 2 s 2 0 ν 0 + (s/j)2 J geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 2-5 Minuten Musterklausuraufgaben, iprom 5 d.hueser@tu-bs.de

6 Aufgabe 2 Es wurde eine Kennlinie aufgenommen, die durch eine analytische Funktion beschrieben werden soll. Diese Funktion ist ein kubisches Polynom, d.h. ein Polynom dritten Grades. Zur Aufnahme der Kennlinie wurden J unterschiedliche Werte x j mit j =,...,J als Eingangsgröße eingestellt (Regressor). Zu jedem eingestellten Wert der Eingangsgröße hat das Messsystem einen Wert y j ausgegeben (Regressand). a) Schreiben Sie die Modellgleichung für ein kubisches Polynom auf. b) Schreiben Sie die Regressormatrix X auf. c) Wie lautet der allgemeine Lösungsansatz für die Regressionsrechnung? d) Wie sieht die Gleichung für die Varianz der Residuen als Funktion von Regressormatrix X, dem Regressandenvektor y und den Schätzwerten der Regressionsparametern ˆθ? e) Wie lautet die Kovarianzmatrix der Polynomkoeffizienten θ? geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 9-0 Minuten. Aufgabe 3 Bei einer Landvermessung wurde ein Grundstück mit dreieckiger Fläche vermessen, indem die Seitenlängen L und L 2 von zwei der drei Seiten und der Winkel γ zwischen diesen beiden Seiten gemessen wurde. Die Fläche A = 2 L L 2 sin(γ) soll aus den Ergebnissen der Messungen bestimmt werden. Die Vermessungstechniker haben zu den beiden Längen jeweils J = 5 Messungen durchgeführt und daraus die beiden Mittelwerte unddiestandardabweichungens L unds L2 berechnet.diewinkelmessungistaufwendigerund wurde ein Mal vorgenommen. Das Messverfahren ist den Technikern bekannt und sie wissen, dass die gesamte Spanne von δγ = 3 überdeckt wird. Es wird also bei der Winkelmessung eine Rechteckverteilung für die Streuung zugrunde gelegt. Größe Mittelwert Streuung L 40.6m s L = 0.3m L m s L2 = 0.2m γ 6 δγ = 3 Musterklausuraufgaben, iprom 6 d.hueser@tu-bs.de

7 Die Messungen der beiden Seitenlängen und des Winkels sind unkorreliert. a) Schreiben Sie die Gleichungen und Zahlenwerte für die Sensitivitäten auf. b) Schreiben Sie die Standardunsicherheit u(γ) als Funktion von der Spanne δγ auf, die Sie für die Unsicherheitsfortpflanzung verwenden werden. Hinweis: Beachten Sie dass für die Fortpflanzung die Dimension passen muss, also der Winkel (u(γ)) in Radian und nicht in Grad zu verwenden ist. c) Schreiben Sie die Formel für die Unsicherheitsfortpflanzung auf, indem Sie die Terme der drei Summanden einzeln mit allen Faktoren aufführen. d) Bestimmen Sie den Schätzwert und die Unsicherheit der Grundstücksfläche A. e) Schätzen Sie die effektive Anzahl der Freiheitsgrade für den Erweiterungsfaktor für die Unsicherheit der Grundstücksfläche. Hinweis: Verwenden Sie dazu die folgende Näherung für die relative Unsicherheit des Winkels γ: u u = α = 0.25 und schätzen Sie daraus die Anzahl der Freiheitsgrade für die Winkelmessung mit ν γ = 8 ab. 2α 2 f) Geben Sie den Erweiterungsfaktor und die erweiterte Unsicherheit für ein Vertrauensniveau von 95% der Grundstücksfläche A an. geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 5-8 Minuten. Aufgabe 4 Firma VLSI hat ein Stufenhöhennormal mit Kalibrierschein der amerikanischen obersten Kalibrierbehörde NIST geliefert. Die Angabe zur Stufenhöhe im Kalibrierschein ist d = (02.5±9.0)nm k = 2. Sie sind Laboringenieur an der PTB und haben mit Hilfe Ihres Interferenzmikroskops durch Regressionsrechnung folgende mittlere Stufenhöhe ermittelt ˆd PTB = 998.3nm. Musterklausuraufgaben, iprom 7 d.hueser@tu-bs.de

8 Ihre Auswertesoftware liefert Ihnen als Ergebnis der Regressionsrechnung folgende Standardabweichung: s d,ptb = 6.5nm. a) Der Kalibrierschein vom NIST gibt die erweiterte Unsicherheit U an, bestimmen Sie die Unsicherheit u. b) Die Angaben des Kalibrierscheins liefern eine à-priori Information. Es wird angenommen, dass die beobachtbaren Werte der Stufenhöhen d normalverteilt sind, dieser Prior also eine Normalverteilung ist. Auch für die mit dem Interferenzmikroskop an der PTB beobachtbaren Werte der Stufenhöhen d PTB wird angenommen, dass sie normalverteilt sind. Bestimmen Sie die Stufenhöhe und Standardabweichung des Posterior aus den Messergebnissen beider Kalibrierbehörden. Hinweis: Bayesische Statistik, Vorlesung 6 c) Geben Sie das vollständige Messergebnis aus der Kombination der Daten von NIST und PTB an unter Verwendung von k = 2. geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 5-7 Minuten Aufgabe 5 Bei der Produktion von Bolzen wird eine Stichprobe von J B = 7 Bolzen entnommen. Es wird die Länge b der Bolzen geprüft. Dabei wurden folgende Werte gemessen: b/mm a) Bestimmen Sie Mittelwert b und Standardabweichung s b der Stichprobe. b) Prüfen Sie die Hypothese s b σ 0 für ein Signifikanzniveau von α = 0.05 für σ 0 = 0.05 für σ 0 = Schreiben Sie die Formel und die beiden Zahlenwerte für die Testgröße auf, den Wert des Quantils und die Schlussfolgerungen aus den beiden Tests. Hinweis: Bedenken Sie, dass es sich hier um ein einseitigen Test handelt! Musterklausuraufgaben, iprom 8 d.hueser@tu-bs.de

9 geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 7-9 Minuten Aufgabe 6 Für Prüfaufgaben in einer Fertigungshalle wird ein Endmaß aus Edelstahl eingesetzt. Auf dem mitgelieferten Kalibrierschein ist das vollständige Messergebnis für die Dicke d angegeben und die Temperatur T, bei der d ermittelt wurde, mit d = (00.805±0.020)mm k = 2 T = C. Zur erweiterten Unsicherheit U(d) = mm der Dicke d wird vorausgesetzt, dass die Größe d normalverteilt streut. Für die Temperturmessung wurde die Spanne δt = 0.00 mm gleichverteilter Temperaturwerte angegeben. Der thermische Ausdehnungskoeffizient des Edelstahls wird angegeben mit α = ( ± ) K Hier ist die angegebene Unsicherheit die erweiterte mit k = 2 und vorausgesetzt, dass α normalverteilt ist. Die Umgebung, in der das Endmaß verwendet wird, ist deutlich wärmer als das Labor, in dem es kalibriert wurde. Dort beträgt die Temperatur T W = 25.5 C. Auch hier wurde die Spanne δt W =.5 C gleichverteilter Beobachtungswerte der Temperatur angegeben. a) Bestimmen Sie die Dicke des Endmaßes bei der T W aus d W = ( + α(t W T))d b) Schreiben Sie die Sensitivitäten für die Unsicherheitsfortpflanzung zur Berechnung der Unsicherheit von d W auf, sowohl die Formeln als auch die Zahlenwerte. c) Bestimmen Sie die erweiterte Unsicherheit unter Verwendung des Wertes 2 für den Erweiterungsfaktor. Schreiben Sie zunächst zu jeder der Größen die Unsicherheit u auf. Schreiben Sie die Formel für die Unsicherheitsfortpflanzung auf. Musterklausuraufgaben, iprom 9 d.hueser@tu-bs.de

10 d) Schreiben Sie das vollständige Messergebnis auf. geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 9- Minuten Aufgabe 7 Zur Charakterisierung eines Lineartisches wurden zwei Signale erfasst, zum einen eine Winkelabweichung θ und zum anderen die Verfahrgeschwindigkeit v des Tisches. Es wurden J = 5 gemeinsam getriggerte Wertepaare aufgezeichnet. v/ µm s θ/mrad a) Bestimmen Sie Mittelwert und Standardabweichung zu jeder der beiden Größen v und θ. b) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten. Schreiben Sie dazu die Formel auf, sowie den Zahlenwert der Kovarianz und schließlich das Endergebnis. c) Geben Sie das Bestimmtheitsmaß an. geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 8-0 Minuten Aufgabe 8 Es wurde ein Ringvergleich durchgeführt, bei dem 6 DAkks-Laboratorien teilgenommen haben. Dazu wurde ein Prüfobjekt rumgehen lassen, auf dem jeder der Teilmehmer eine Rauheitskenngröße in Mikrometern gemessen hat. Die Werte der Kenngröße sind in der folgenden Tabelle in der zweiten Spalte x i /µm gelistet, die jeweilige Standardunsicherheit u(x i )/µm in der dritten Spalte. EswurdediegemittelteVarianzu 2 ( x),darausdiegewichtsfaktorenunddarausdasgewichtete Mittel x berechnet. Für die mittlere Standardunsicherheit, d.h. die Wurzel aus der gemittelten Varianz, wurde folgender Wert bestimmt: u( x) = µm x = n w i x i = µm i= In der folgenden Tabelle sind sind in Spalten 4 die aus den Varianzen berechneten Gewichtsfaktoren aufgeführt, in Spalte 5 die Differenzen d i = x i x, in Spalte 6 die jeweilige Varianz Musterklausuraufgaben, iprom 0 d.hueser@tu-bs.de

11 zu den Differenzen und in Spalte 7 die Werte der Prüfgröße E n. Labor x i / µm u(x i ) / µm w i / ( µm ) d i / µm u 2 (d i )/µm 2 E n (x i ) a) Schreiben Sie die Definitionsgleichung zur Varianz u 2 (d i ) der Differenz d i auf. b) Schreiben Sie die Definitionsgleichung zur Prüfgröße E n, die sich auf die Differenz zwischen dem Ergebnis eines einzelnem Teilnehmers und dem Mittelwert aller Teilnehmer bezeiht auf. c) Berechnen Sie die Werte, die in der Tabelle fehlen und tragen Sie diese dort ein. d) Welche Labore stimmen nicht mit dem Mittelwert überein? e) Schreiben Sie die Definitionsgleichung zur Prüfgröße E n für den Fall auf, dass es einen Referenzwert x ref mit dazugehöriger erweiterter Unsicherheit zur Messgröße von einem unabhängigen Pilotlabor gibt. Die Einzelteilnehmer haben die Werte der erweiterten Unsicherheit U i bzw. die Erweiterungsfaktoren k i zu den u(x i ) mitgeleifert. geschätzte Bearbeitungsdauer ca. 7-0 Minuten Musterklausuraufgaben, iprom d.hueser@tu-bs.de