Nichtabelsche Eichtheorien

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1 Universität Würzburg 21. Juli 2006

2 Motivation bisher behandelte abelsche Quantenfeldtheorien reichen nicht aus um alle bekannten Wechselwirkungen zu beschreiben finden einer Lagrangedichte die neue Wechselwirkungen beschreibt Eichprinzip: Forderung einer eichinvarianten Lagrangedichte Wechselwirkungen

3 Übersicht Geometrie von lokal eichinvarianten Quantenfeldtheorien Feynman-Regeln der SU(N)-Eichtheorie Ward-Takahashi Identität Berechnung des Streuquerschnitts für f f gg in niedrigster Ordnung Störungstheorie Betragsquadrat der Summe der Feynman-Amplituden Diskussion der Ergebnisse

4 Geometrie von lokal eichinvarianten Quantenfeldtheorien durch Forderung der Invarianz der Lagrangedichte unter einer lokalen Phasentransformation (Symmetriegruppe U(1)) kann die Maxwellsche Elektrodynamik bzw. die QED abgeleitet werden Idee: komplexere Symmetriegruppen Eichprinzip Konstruktion einer invarianten Lagrangedichte unter dieser Symmetriegruppe Bausteine: [U(1),] SU(N), SO(N), Sp(N), G 2, F 4, E 6,7,8 (nicht alle haben gut zu behandelnde Gruppenstruktur) Ist Theorie in der Natur realisiert? SU(3) (starke Wechselwirkung) SU(2)xU(1) (elektroschwache Wechselwirkung)

5 Geometrie von lokal eichinvarianten Quantenfeldtheorien Fundamentale Darstellung von Dirac-Feldern im Gruppenraum: ψ 1 (x) ψ 2 (x) ψ(x) =... ψ N (x) N: Dim. der fund. Darstellung der Gruppe adjungierte Darstellung: Eichboson-Multiplett Lokale Eichtransformation im Gruppenraum: ψ(x) V(x)ψ(x) mit V(x) = exp (iα a (x)t a ) (2) (1)

6 Geometrie von lokal eichinvarianten Quantenfeldtheorien Defintion Feldtheorien, die unter einer Symmetriegruppe mit nichtkommutierenden Generatoren lokal invariant sind, heißen nichtabelsche Eichtheorien Problem: Definition einer Ableitung des Felds ψ(x) in Richtung n µ n µ µ ψ(x) = lim ɛ 0 1 [ψ(x + ɛn) ψ(x)] (3) ɛ Lösung: Einführen eines Operators, der die Differenz zwischen den unterschiedlichen Transformationsverhalten kompensiert Dieser Operator stellt somit eine Verbindung zwischen zwei Raum-Zeit-Punkten her

7 Geometrie von lokal eichinvarianten Quantefeldtheorien Hierzu definieren wir den Komperator U(y, x), der sich wie folgt transformiert: mit V(y)U(y, x)v (x) = e iαa (y)t a U(y, x) e iαa (x)t a (4) U(y, y) = 1 und UU = 1 (5) ψ(y) und U(y, x)ψ(x) haben das gleiche Transformationsverhalten. Dann definieren wir die sog. kovariante Ableitung : n µ D µ ψ(x) = lim ɛ 0 1 Entwicklung von U(y, x): [ψ(x + ɛn) U(x + ɛn, x)ψ(x)] (6) ɛ U(x + ɛn, x) = 1 + igɛn µ A a µ(x)t a + O(ɛ 2 ) (7)

8 Geometrie von lokal eichinvarianten Quantenfeldtheorien Durch Einsetzen von Gleichung (7) in Gleichung (4) und (6) erhalten wir: D µ = µ iga a µ ta (8) A a µ A a µ + 1 g µα a + f abc A b µα c (9) Nun können wir den Feldstärketensor wie folgt definieren: [D µ, D ν ] = igf a µν ta F a µν = µ A a ν µ A a ν + gf abc A b µ Ac ν (10) und die komplette Lagrangedichte für die Yang-Mills SU(N)-Theorie aufstellen: L YM = i ψ α /ψ α m ψ α ψ α + ga a µ ψ α γ µ t a αβ ψβ 1 4 F a µν F a µν = ψ(id/ m)ψ 1 2 trf µνf µν (11)

9 Feynman-Regeln für SU(N)-Eichtheorie Quantisierung von nichtabelschen Eichtheorien kann über die Pfadintegralmethode nach Faddeev-Popov vorgenommen werden Divergentes Pfadintegral aufgrund der Eichfreiheit Eichfixierungsterm in der Lagrangedichte Lagrangedichte nicht mehr eichinvariant (nur messbare Vorhersagen müssen eichinvariant sein) Bei der Quantisierung tritt außerdem noch ein zusätzlicher Term in der Lagrangedichte auf Ghost-Feld Ghost-Feld entspräche Spin 0-Teilchen erfüllt aber Antikommutatorrelation mit seinem konjugierten Feld Verletzung des Spin-Statistik Theorems Ghost-Feld kein physikalisches Teilchen L = ψ(id/ m)ψ 1 4 F a µν F a µν + 1 2ξ ( µ A µ ) 2 + c a ( µ D ac µ )c c

10 Feynman-Regeln für SU(N)-Eichtheorie a, µ = igγ µ t a a, µ k p q b, ν c, ρ = gf abc [g µν (k p) ρ + g νρ (p q) µ + g ρµ (q k) ν ]

11 Feynman-Regeln für SU(N)-Eichtheorie a, µ c, ρ b, ν d, σ = ig 2 [ f abe f cde (g µρ g νσ g µσ g νρ ) +f ace f bde (g µν g ρσ g µσ g νρ ) +f ade f bce (g µν g ρσ g µρ g νσ ) ]

12 Feynman-Regeln für SU(N)-Eichtheorie b, µ p = gf abc p µ a c p a b = iδab p 2 + iɛ

13 Streuprozess f f gg Amplituden auf Baumgraphenniveau p +, i, A k 1, r, a p +, i, A k 1, r, a + p, j, B k 2, s, b p, j, B k 2, s, b p +, i, A k 1, r, a + k 3 p, j, B k 2, s, c

14 Streuprozess f f gg Amplituden auf Baumgraphenniveau p +, i, A k 2, c p, j, B k 1, a

15 Die Ward-Takahashi Identität Die Ward-Identität ist ein Ausdruck für die Stromerhaltung auf Amplitudenniveau Die Ward-Identität dient hier als Rechnungscheck Ward-Identität: M = M µ ɛ µ (k) k µ M µ = 0 (12) Ergebnis der Rechnung für die ersten drei Graphen: im µν 1,2 ɛ µ(k 1 )k 2ν = g 2 v(p + )γ µ u(p)ɛ µ(k 1 )f abc t c (13) im µν 3 ɛ µ(k 1 )k 2ν = g 2 v(p + )γ µ u(p)ɛ µ(k 1 )f abc t c (14)

16 Berechnung des Streuquerschnitts Betragsquadrat der Feynman-Amplituden Ghost-Amplitude muss einzeln quadriert werden keine Interferenzterme mit Ghost-Amplitude auf Baumgraphenniveau p +, i, A k 1, r, a k 3 p, j, B k 2, s, c ( im µν 3 ɛr µ (k 1 )ɛ s ν (k 2 ) = i (ig 2 )v i A(p + )γ ρ tab c uj B (p) 1 ) k3 2 f abc [g µν (k 2 k 1 ) ρ g νρ (k 3 k 2 ) µ + g ρµ (k 1 k 3 ) ν ]ɛ r µ (k 1 )ɛ s ν (k 2 )

17 Berechnung des Streuquerschnitts Betragsquadrat der Feynman-Amplituden M 1,2,3 2 = 1 4N 2 (M 1 + M 2 + M 3 ) (M 1 + M 2 + M 3 ) mit a,b A,B i,j r,s M 1,2,3 = M µν 1,2,3 ɛ µ(k 1 )ɛ ν(k 2 ) a,b A,B (15) M 1,2,3 2 = 1 ( M N 2 M M 3 2) + 1 2N 2 (Re(M 1 M 2 ) + Re(M 1M 3 ) + Re(M 2M 3 ) ) i,j (16) r,s

18 Berechnung des Streuquerschnitts Betragsquadrat der Feynman-Amplituden Vollständigkeitsrelation für Polarisationen: 4 r=1 ɛ r µ (k)ɛ r ν(k) = g µν + (1 ξ) k µk ν k 2 (17) Ghost-Beitrag entfernt die unphysikalischen Polarisationen kovariante Vollständigkeitsrelation darf benutzt werden Benutze im folgenden Feynman- t Hooft-Eichung: ξ = 1 Im folgenden werden hochenergetische Prozesse angenommen m fermion = 0

19 Berechnung des Streuquerschnitts Betragsquadrat der Feynman-Amplituden Rezept zum Aufstellen der Spuren man nehme zwei Amplituden M a und M b und kontrahiere folgendermaßen: M aµν M µν b mit a,b=1,2,3 nun adjungiert man M µν b explizit jetzt schreibt man alle Generatoren der Eichgruppe in der Reihenfolge, wie sie in M aµν M µν b tr SU(N) (t i...) auftreten in die Eichspur die Diracspur setzt sich wie folgt zusammen: tr Dirac (p/ + Πp/ Π), wobei Π bzw. Π die Strukur der γ-matrizen der Vertices bzw. der Propagatorimpulse von M aµν bzw. von M µν b besitzen Impulskomponenten (als Skalare) und auftretende Strukturkonstanten werden vor Spuren geschrieben Summieren über Eichbosonindizes

20 Berechnung des Streuquerschnitts Betragsquadrat der Feynman-Amplituden M 1 2 g 4 = 4N 2 ( p) 4 = a,b A,B C,D (u j B (p)γ0 ( γ ν tb BD (γσ p σ )γ µ ta DA g 4 4N 2 ( p) 4 a,b tr SU(N) ( t a t b t b t a) i,j v i A(p + ) ( γ µ tac a (γρ p ρ )γ ν ) tcb b j u B (p) ) ) γ 0 va(p i + ) p +α p ρ p β p σ tr Dirac ( γ α γ µ γ ρ γ ν γ β γ ν γ σ γ µ ) = g4 (N 2 1) 2 N 3 ( p) 4 p +α p ρ p β p σ (g ασ g βρ g αβ g σρ + g αρ g σβ ) = g4 (N 2 1) 2 N 3 ( p) 4 ( 2(p, p)(p+, p) p 2 (p, p + ) ) (18)

21 Berechnung des Streuquerschnitts Betragsquadrat der Feynman-Amplituden p +, i, A c p, j, B a M ghost 2 g 4 = 4N 2 (k 3 ) 4 v i A(p + ) ( ) γ µ t b j AB u B (p)f abc k µ 1 a,c b,e A,B i,j ( ) ) (u j B (p) γ ν te BA v i A(p + )f aec k ν 1 = g4 (N 2 1) 2N(k 3 ) 4 (p +, k 1 )(p, k 1 )

22 Berechnung des Streuquerschnitts Quadrieren der Feynman-Amplitude M 2 = M 1,2,3 2 + M ghost 2 = g 4 [ (N 2 1) 2 N 3 ( p) 4 ( 2(p, p)(p+, p) p 2 (p, p +) ) + (N2 1) 2 N 3 ( p) 4 ( ) 2(p, p)(p +, p) p 2 (p, p +) + (N2 1) N(k 3) 4 ((p +, l)(p, q) (p +, p)(l, q) + (p +, q)(p, l)) + ((p +, p)(k, l) (p +, k)(p, l) + (p +, l)(p, k)) + ((p +, k)(p, q) (p +, p)(q, k) + (p +, q)(p, k)) + ((p +, l)(p, q) 12 ) (p+, p)l2 (p +, p) ( q 2 + k 2) + 2((N2 1) 2 1) ( (p +, p)( p, p) (p +, p)( p, p) + (p +, p)(p, p) ) N( p) 2 ( p) ( [(p+, p)(p, l) (p+, p)( p, l) + (p+, l)( p, p)] + [(p+, q)( p, p) (p+, p)(p, q) + (p+, p)( p, q)] ( p) 2 (k 3) 2 + [(p +, p)( p, k) (p +, k)( p, p) + (p +, p)(p, k)] ) 1 + ( p) ( [(p+, p)(p, l) (p +, p)( p, l) + (p +, l)( p, p)] + [(p +, q)( p, p) (p +, p)(p, q) + (p +, p)( p, q)] 2 (k 3) 2 + [(p +, p)( p, k) (p +, k)( p, p) + (p +, p)(p, k)] ) ] (N2 1) (p+, k1)(p, k1) 2N(k 3) 4

23 Berechnung des Streuquerschnitts Diskussion der Ergebnisse Für eine elastischen 2 2-Prozess kann man den differentiellen Streuquerschnitt wie folgt angeben: Differentieller Streuquerschnitt dσ = 1 64(π) 2 s M 2 dω mit s = (p + p + ) 2

24 Berechnung des Streuquerschnitts Diskussion der Ergebnisse Berechnung im Schwerpunktsystem p p 01 θ p p p = (p, p, 0, 0) p + = (p, p, 0, 0) k 1 = (p, CosΘ p, SinΘ p, 0) k 2 = (p, CosΘ p, SinΘ p, 0)

25 Berechnung des Streuquerschnitts Diskussion der Ergebnisse SU(2) SU(3) SU(5) 30 dσ/dω π/4 π/2 θ 3π/4 π dσ dω = 16 + N 2 (36(7 12N)N) + N 2 ((N 5)N 1)CosΘ + N 2 (N 2 1)Cos2Θ + 16(N 2 1) 2 Csc 2 Θ N 3 π 2 s

26 Danke für eure Aufmerksamkeit!