Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe

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1 Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe Enric Günther 1 und Ole Niekerken 2 Studierendenschaft Dept. Physik, Universität Hamburg Jungiusstr. 9-11, Hamburg Februar eguenthe@physnet.uni-hamburg.de 2 oleniek (AT) yahoo.com

2 Inhaltsverzeichnis 1 Die Poincaré-Gruppe 1 2 Einige Darstellungen der Poincaré-Gruppe Die Algebra der Poincaré-Gruppe Allgemeine Eigenschaften der Darstellungen auf physikalischen Hilberträumen Darstellung für den Fall p 2 = m 2 > Darstellung für den Fall p 2 = m 2 = 0, (p 0) Die Poincaré-Gruppe Die Poincaré-Gruppe (PG) setzt sich zusammen aus der Lorentz-Gruppe und den Translationen in der 4-dimensionalen Raumzeit. Sie bildet also eine 6 (3 Boosts, 3 Drehungen) + 4 (Translationen)-dimensionale Lie-Gruppe. Eine allgemeine Transformation auf Vierer- Vektoren schreibt sich wie folgt: x µ = L µ ν x ν + a µ (1) Mathematisch zusammengefasst bedeutet dies, dass die Poincaré-Gruppe IO(1, 3) gebildet wird aus O(1, 3) R 4 mit der Zusammensetzung zweier Transformationen: (L 1, a 1 )(L 2, a 2 ) = (L 1 L 2, L 1 a 2 + a 1 ), (2) mit L i O(1, 3), a i R 4 Die PG zerfällt nach der Lorentzgruppe in 4 Zusammenhangskomponenten P +, P +, P, P. Es existiert also eine Zerlegung der PG derart dass: P = P + P P + T P + P T P +, (3) wobei ± für das Vorzeichen der Determinante der Lorentztransformation steht und, für das Vorzeichen von L 0 0. P und T beschreiben die Raum- bzw. Zeitspiegelungen. Im Folgenden betrachten wir nur die Zusammenhangskomponente der Eins (P +). Diese bildet als einzige Zusammenhangskomponente eine Untergruppe der PG. Dies erscheint auch physikalisch sinnvoll, da Raum- und Zeitspiegelungen keine allgemein erhaltenen Symmetrien sind. Wie auch die Lorentzgruppe ist die Poincaré-Gruppe nicht kompakt, dieses liegt an der Nichtabgeschlossenheit der Boosts und der Unbeschränktheit der Translationen. Es ist also zunächst nicht möglich die Sätze der Darstellungstheorie von endlichen und kompakten Gruppen anzuwenden. Wir werden diese jedoch trotzdem anwenden und gegebenenfalls die Ergebnisse im Nachhinein überprüfen. 1

3 2 Einige Darstellungen der Poincaré-Gruppe Die Aufgabe sollte es sein, alle Darstellungen (bis auf Äquivalenz) der PG zu nden. Dies kann im Allgemeinen sehr kompliziert sein, da man allein durch Bildungsvorschriften wie Adjungieren, komplex Konjungieren sowie durch Bildung der direkten Summen oder durch Tensorieren von Darstellungen neue, nichtäquivalente Darstellungen bekommen kann. Deswegen ist es das Ziel, die irreduziblen Darstellungen zu nden, da sich die Tensorprodukte und die direkten Summen in diese zerlegen lassen. Damit ist die Aufgabe jedoch noch nicht vollbracht, da wir uns für Darstellungen auf beliebigen Räumen interessieren könnten. Wir werden im Folgenden aus physikalischen Gründen Darstellungen auf abstrakten Hilberträumen suchen, welche zur Beschreibung von Teilchen dienen (Darstellungen im Orts- und Impulsraum sind auch konstruierbar, jedoch verweisen wir an dieser Stelle auf die Literatur im Anhang). Dazu werden wir zunächst die Algebra der PG durch innitisimale Transformationen bestimmen und diese zum besseren Verständnis mit der Algebra der Lorentz-Gruppe vergleichen. Dann werden wir einen möglichen vollständigen Satz von Observablen konstruieren, dessen Eigenwerte dann zur Charakterisierung des Darstellungsraumes dienen. Auf diesem Raum werden wir dann Darstellungen der PG für Teilchen mit Spin s, bzw. Helizität λ und m 0 diskutieren. 2.1 Die Algebra der Poincaré-Gruppe Aus der Wirkung der Lorentztransformationen auf den Vierer-Vektoren (letzter Vortrag) wissen wir, dass die Erzeugenden der Lorentztransformationen auf allen Räumen in den beiden Indizees antisymmetrisch sein müssen. Um die Antisymmetrie zu sehen, betrachten wir noch einmal die innitisimale Version einer Lorentztransformation in der folgenden Form (eindeutig bis auf Vorzeichen-Konvention): L µν = η µν ω µν (4) Aus der (Pseudo-)Orthogonalitätsrelation für die Lorentztransformationen ist bekannt: Einsetzen von (4) liefert: η ρν! = (η µρ ω µρ ) η µσ (η σν ω σν ) η ρν = L µρ η µσ L σν (5) = η µρ η µσ η σν η µρ η µσ ω σν ω µρ η µσ η σν + ω µρ η µσ ω σν = η ρν ω ρν ω νρ + O(ω 2 ) ω ρν = ω νρ Um nun die Algebra der PG zu gewinnen, reicht es aus, die Zusammensetzungsfunktionen innitisimal zu betrachten. Sei U(a, L) eine Darstellung der PG auf einem beliebigen Hilbertraum. Dann lässt sich diese mit innitisimalen Parametern ω µν und a σ schreiben als: U(a, L) 1 i 2 ω µνm µν + ia σ P σ (6) 2

4 Wir sehen sofort, dass wir M µν antisymmetrisch wählen können, da nur der antisymmetrische Anteil zur Summe beitragen kann. Betrachten wir nun, unter Berücksichtigung der Gruppenmultiplikation (2), den folgenden Ausdruck: U 1 (L)U(a, L )U(L) = U(L 1 a, L 1 L L), (7) U 1 (a)u(a, L )U(a) = U(L a + a a, L ), (8) mit U(a) = U(a, 1) und U(L) = U(0, L). Man beachte die Darstellungseigenschaft: U 1 (L) = U(L 1 ) U 1 (a) = U( a) Wenn wir nun die rechten Seiten von (7) und (8) in den gestrichenen Transformationen unter Benutzung von (6) innitisimal schreiben, erhalten wir: U(L 1 a, L 1 L L) 1 i ( L 1 ω L ) 2 M µν + i ( L 1 a ) σ Pσ µν = 1 i ( ηl T ηω L ) 2 M µν + i ( L 1 a ) σ Pσ µν = 1 i 2 η µµ Lσ µ η σ σω σ ρl ρ νm µν + ia σ L σ ρ P ρ = 1 i 2 ω σρl σ µl ρ νm µν + ia σ L σ ρ P ρ U(L a + a a, L ) 1 i 2 ω µνm µν + i (ω σ ρa ρ + a σ ) P σ Schreiben wir auch noch die linke Seite nach (6) in den gestrichenen Transformationen innitisimal und vergleichen die Ausdrücke, folgt: U 1 (L) (1 i2 ) ω µνm µν + ia σ P σ U(L) = 1 i 2 ω σρl σ µl ρ νm µν + ia σ L ρ σ P ρ (9) U 1 (a) (1 i2 ) ω µνm µν + ia σ P σ U(a) = 1 i 2 ω µνm µν + i (ω σ ρa ρ + a σ ) P σ (10) Durch Vergleichen in den Entwicklungskoezienten erhalten wir: U 1 (L)M µν U(L) = L µ ρl ν σm ρσ (11) U 1 (L)P µ U(L) = L µ ν P ν (12) U 1 (a)p µ U(a) = P µ (13) U 1 (a)m µν U(a) = M µν + 2 (a µ P ν a ν P µ ) (14) Dies ist ja schon eine Darstellung! Und zwar die auf der Erzeugenden-Algebra selber. Diese haben wir bereits als Adjungierte Darstellung kennen gelernt. Wenn wir nun auch 3

5 noch in den ungestrichenen Transformationen Innitisimalisieren, erhalten wir die Kommutatoren der Erzeugenden-Algebra. Dazu schreiben wir L µ ν δ µ ν + iw µ ν, U(L) 1 i ω 2 µνm µν, U(a) 1 + ia σ P σ. Setzen wir dies zum Beispiel in (13) ein, erhalten wir: Analog erhält man: (1 ia σ P σ ) P µ (1 + ia σ P σ ) = P µ P µ ia σ P σ P µ + ia σ P µ P σ + O(a 2 ) = P µ [P µ, P σ ] = 0 [M µν, M ρσ ] = η µρ M νσ η νρ M µσ + η µσ M ρν η νσ M ρµ (15) [M µν, P ρ ] = η ρµ P ν η ρν P µ (16) [P µ, P σ ] = 0 (17) Die gesamte Algebra der PG lässt sich auch schreiben als: [P µ, P ν ] = 0 [P 0, J i ] = 0 [P i, J j ] = iɛ ijk P k [P 0, K i ] = ip i [P i, K j ] = ip 0 δ ij [K i, K j ] = iɛ ijk J k [J i, J j ] = iɛ ijk J k [J i, K j ] = iɛ ijk K k mit J i := 1 2 ɛ ijkm jk und K i := M 0i. Dies ist die Algebra, die direkt aus den Lorentztransformationen gewonnen werden kann. Wir können also die J i mit den Generatoren der Drehungen und die K i mit den Generatoren der Boosts identizieren. 2.2 Allgemeine Eigenschaften der Darstellungen auf physikalischen Hilberträumen Aus der Quantenmechanik ist bekannt, dass wir zur Beschreibung eines Systems von Teilchen einen Hilbertraum benötigen, welcher abstrakt durch die Eigenwerte eines Satzes von untereinander kommutierenden Observablen charakterisiert wird. Unsere Aufgabe wird es nun sein, einen solchen Satz zu nden. Zusätzliche innere Symmetrien wie Isospin könnte man durch einen weiteren Index mitschleifen, diesen werden wir jedoch einfach unterdrücken. Wir werden uns also auf die Beschreibung von Teilchen mit Masse und Spin beschränken. Für kompakte halbeinfache Lie-Gruppen existiert eine Konstruktionsvorschrift für Casimir-Operatoren. Diese Operatoren sind Gröÿen, welche mit allen Darstellungen der Symmetriegruppe vertauschen und immer aus Produkten der Erzeugenden bestehen. Nach 4

6 dem Lemma von Schur sind sie also in irreduziblen Darstellungen Vielfache der Einheit. Da wir das Transformationsverhalten der Erzeugenden schon kennen (Adjungierte Darstellung (13)) wissen wir bereits, dass diese sich wie Tensoren verhalten, also deren Quadrate Skalare bezüglich L + sind. Wir müssen also nur noch auf die Translationsinvarianz achten. Als erstes bietet sich P µ P µ = P 2 an, von dieser Gröÿe wissen wir auch schon, dass sie Translationsinvariant ist (siehe Adjungierte Darstellung (13)). Ein weiterer Vektor-Operator, dessen Quadrat also mit allen Lorentztransformationen vertauscht, ist der Pauli-Ljubanski-Vektor: W σ = 1 2 ɛ µνρσm µν P ρ (18) Seine Translationsinvarianz lässt sich sofort prüfen, da W σ P σ verschwindet: W σ P σ = 1 2 ɛ µνρσm µν P ρ P σ = Antisymmetrisch Symmetrisch = 0 Es lassen sich keine weiteren P +-invarianten Operatoren bilden (ohne Beweis). Wir werden also zur Charakterisierung unseres abstrakten Hilbertraums die beiden Casimir-Operatoren benutzen. Darüber hinaus wissen wir bereits aus der Algebra der PG, dass die Erzeugenden der Translationen und somit auch die unitären Darstellungen der Translationen kommutieren und die Operatoren also gemeinsame Eigenvektoren haben. Diese werden wir als Basis unseres physikalischen Hilbertraums nehmen und mit p, α > bezeichen, wobei α für alle anderen Freiheitsgrade steht. Aus der Darstellungsrelation folgt sofort für die Eigenwerte u(a) der Translationsoperatoren U(a): u(a + a ) = u(a)u(a ) u(a) = e wµaµ Da wir an unitären Darstellungen interessiert sind, müssen die w µ rein imaginär sein. Wir wählen sie als w µ = ip µ mit reellen Konstanten p µ. Es gilt also: und innitisimal U(a) p, α >= e ipµaµ p, α > (19) P µ p, α >= p µ p, α >. (20) Betrachten wir nun die Eigenwertgleichung eines transformierten Zustandes, folgt, mal wieder mit der Adjungierten Darstellung, eine Relation, welche uns die nächsten Eigenschaften der irreduziblen unitären Darstellungen liefert: P µ U(L) p, α > = U(L)L µ ν P ν p, α > = U(L)L µ ν p ν p, α > = L µ ν p ν U(L) p, α > 5

7 Wir wissen also, dass der transformierte Vektor Eigenvektor zu dem transformierten Eigenwert ist. Im Allgemeinen muss der transformierte Vektor also eine Linearkombination aus allen Basiselementen, welche den transformierten Eigenwert Lp als Eigenwert haben, sein: U(L) p, α >= β Q(L, p) βα Lp, β > (21) Die Gleichung (21) setzt voraus, dass p = Lp, also p ein Vektor ist und somit p 2 = p 2. Deswegen bilden die Vektoren p, α > mit festem Eigenwert-Quadrat p 2 = m 2 einen invarianten Unterraum und da wir an irreduziblen Darstellungen interessiert sind, muss dieser bereits der ganze Darstellungsraum sein. Man unterteilt die Darstellungsräume deswegen wie folgt: Abbildung 1: Unterteilung der Darstellungsräume [Sex82] 6

8 Wenden wir nun eine weitere Lorentztransformation auf (21) an, sehen wir eine Möglichkeit, alle unitären irreduziblen Darstellungen auf dem Hilbertraum zu nden: U(L )U(L) p, α > = U(L ) β Q(L, p) βα Lp, β > = β Q(L, p) βα U(L ) Lp, β > = β U(L )U(L) p, α > = U(L L) p, α > Q(L, p) βα Q(L, Lp) βγ L Lp, γ > γ γ = γ Q(L L, p) γα L Lp, γ > = β Q(L L, p) γα L Lp, γ > Q(L, p) βα Q(L, Lp) βγ L Lp, γ > γ Da wir über eine Orthogonalbasis summieren, muss die Gleichung koezientenweise gelten. Es folgt: Q(L L, p) γα = β Q(L, Lp) βγ Q(L, p) βα (22) Dies sieht schon fast wie eine Darstellungsrelation aus, jedoch müsste dafür Lp = p sein. Wir haben also eine Darstellung der Untergruppen K q der L + gefunden, deren Elemente einen festen Impuls q konstant lassen. Die Relation (22) würde dann wie folgt lauten: Q(K K, q) γα = β Q(K, q) βγ Q(K, q) βα (23) K K q L + Die Untergruppe K q zu einem festen Impuls q nennt man die kleine Gruppe von L + bezüglich des Impulses q. Im Folgenden werden wir zeigen, dass durch die Bestimmung der unitären irreduziblen Darstellungen von K q die unitären irreduziblen Darstellung der L + induziert werden. Die so konstruierten Darstellungen nennt man dann Induzierte Darstellungen. Dazu wählen wir uns zunächst eine Lorentztransformation L p auf den Vierer- Impulsen, welche den Impuls p nach q überführt. L p L + : L p p = q, L q = 1 (24) Wählen wir eine Basis in dem Raum der Vierer-Impulse, ist L p eindeutig bestimmt. Sei nun L eine beliebige Lorentztransformation, dann können wir L schreiben als: L = L 1 Lp K(L, p)l p (25) 7

9 Mit der sog. Wigner-Rotation (diese Bezeichnung benutzt man insbesondere im massiven Fall) K(L, p) = L Lp LL 1 p. Die Wigner-Rotation ist Element der kleinen Gruppe. Durch die Wahl der Lorentztransformation L p ist die sog. Wigner-Basis gegeben: p, α >= U 1 (L p ) q, α > (26) Betrachten wir nun den Ausdruck U(K(L, p)) q, α > erhalten wir eine Relation für die Darstellungsmatrix von L, welche nur von den Darstellungen der kleinen Gruppe abhängt: Einerseits ist U(K(L, p)) q, α > (21) = β Q βα (K(L, p), q) q, β > (27) und andererseits gilt: U(K(L, p)) q, α > (26) = U(K(L, p))u(l p ) p, α > = U(L Lp LL 1 p )U(L p ) p, α > = U(L Lp LL 1 p L p ) p, α > = U(L Lp L) p, α > = U(L Lp )U(L) p, α > (21) = U(L Lp ) β Q βα (L, p) Lp, β > (26) = β Q βα (L, p) q, β > Setzen wir nun beides gleich erhalten wir: Q βα (L, p) = Q βα (K(L, p), q) (28) und damit, durch Einsetzen in (21), die Darstellung der Lorentztransformation L auf unserem Hilbertraum: U(L) p, α >= β Q βα (K(L, p), q) Lp, β > (29) Bevor wir nun auf die Darstellungen für Teilchen mit positiven Impulsquadrat und denen für masselose Teilchen eingehen, wollen wir die Algebra der kleinen Gruppe genauer bestimmen. Betrachten wir dafür eine innitisimale Lorentztransformation K µ ν, welche einen Impuls q nicht ändert: letztere Beziehung wird durch K µν = δ µν + ω µν mit ω µν q ν = 0, ω µν = ɛ µνρσ k ρ q σ (30) 8

10 mit innitisimalen k ρ gelöst. Die Darstellung lautet dann: U(K) = 1 i 2 ω µνm µν = 1 i 2 ɛ µνρσk ρ q σ M µν = 1 ik µ W µ (31) Im letzten Schritt haben wir benutzt, dass der Operator 1 2 ɛ µνρσq σ M µν die gleiche Wirkung wie der Pauli-Ljubanski-Operator, auf die Zustände zum festen Impuls q, hat. Der Casimir- Operator W µ ist also der Erzeuger der kleinen Gruppen. Die kleine Gruppe ist also eine 4-Parameter-Gruppe, da wir jedoch durch W ν q ν = 0 einen Freiheitsgrad verlieren, ist die kleine Gruppe in Wirklichkeit eine 3-Parameter-Gruppe. Der Kommutator berechnet sich zu: 2.3 Darstellung für den Fall p 2 = m 2 > 0 [W µ, W ν ] = iɛ µνρσ W ρ P σ (32) Wir setzen für unseren Impulsvektor die Form q = (m, 0) an, für diesen Vektor wird sich die Darstellung der kleinen Gruppe am einfachsten ergeben. Der Kommutator (32) wird dann: [W µ, W ν ] = iɛ µνρσ W ρ P σ (18) = i 2 mɛ µνρ0e αβγρ M αβ P γ = i 2 m2 ɛ µνρ0 ɛ αβ0ρ M αβ = i 2 m2 ɛ µνρ0 ɛ αβ0ρ M αβ = im 2 M µν (18) = imɛ µνρ W ρ Dies ist die Algebra der Drehgruppe SO(3). Nun suchen wir eine Bedeutung der restlichen Freiheitsgrade unseres physikalischen Hilbertraums. Betrachten wir zunächst: Die Algebra wird also zu: W ν q ν = 0 W 0 q, α >= 0 (33) [W i, W j ] = imɛ ijk W k (34) Da wir uns im Ruhesystem des Teilchens benden, können wir den Drehimpuls nur als Spin (Intrinsische Eigenschaft) des Teilchens interpretieren. Denieren wir nun den Operator (naheliegend wenn man (34) betrachtet): S i = W i /m (35) 9

11 Damit haben wir die unitären irreduziblen Darstellungen der kleinen Gruppe gefunden, sie entsprechen den unitären irreduziblen Darstellungen der SO(3). Wir haben also zu dem Gewicht s: S 2 q, s z > = s(s + 1) q, s z > (36) S z q, s z > = s z q, s z > (37) (S x ± is y ) q, s z > = s(s + 1) s z s 2 z q, s z ± 1 > (38) Wir wollen nun als vollständigen Satz von Operatoren P 2, W 2, P µ benutzen. Dazu müssen wir noch die Eigenwerte von W 2 bestimmen. W 2 m, q, s, s z >= W i W i m, q, s, s z >= m 2 S i S i m, q, s, s z >= m 2 s(s + 1) m, q, s, s z > (39) Zusammengefasst erhalten wir also: P 2 m, p, s, s z > = m 2 m, p, s, s z > (40) W 2 m, p, s, s z > = m 2 s(s + 1) m, p, s, s z > (41) P µ m, p, s, s z > = p µ m, p, s, s z > (42) U(a) m, p, s, s z > = e ipa m, p, s, s z > (43) U(L) m, p, s, s z > = s z =s s z = s D (s) s zs z (K(L, p)) m, Lp, s, s z > (44) Wobei die D (s) s zs z (K(L, p)) die unitären irreduziblen Matrixdarstellungen der SO(3) zum Gewicht s der Wigner-Roation K(L, p) = L Lp LL 1 p sind. 2.4 Darstellung für den Fall p 2 = m 2 = 0, (p 0) In diesem Fall stellt sich heraus, dass die kleine Gruppe die Algebra der zweidimensionalen euklidischen Gruppe E(2) erfüllt. Dies ist die Bewegungsgruppe in 2 Dimensionen. Sie enthält also die Drehungen um die 3-Achse und die Translationen in einer Ebene. Um die unitären irreduziblen Darstellungen dieser Gruppe zu nden, kann man ähnlich vorgehen wie bei der PG selber. Wir suchen wieder eine Teilmenge der Lorentztransformation, deren Elemente einen Vektor konstant lassen und untersuchen dann die Darstellungen dieser Teilmenge. Die Darstellungen der kleinen Gruppe lassen sich auf die eindimensionalen unitären Darstellungen der U(1) zurückführen, welche wir mit einem Laufparameter λ durchnummerieren. Dieser ist notwendigerweise halb- bzw. ganzzahlig, damit die Darstellungen stetig sind. Der Phasenfaktor entspricht dem Drehwinkel der Wigner-Rotationen. Der Pauli-Ljubanski-Operator ergibt sich zu: W µ = λp µ (45) 10

12 Unseren Hilbertraum charakterisieren wir wieder durch die Impulseigenwerte und die Gewichte der Darstellungen der kleinen Gruppe. Insgesamt erhalten wir: P 2 p, λ > = 0 (46) W 2 p, λ > = 0 (47) W µ p, λ > = λp µ p, λ >= λp µ p, λ > (48) U(a) p, λ > = e ipa p, λ > (49) U(L) p, λ > = e iλα(k(l,p)) Lp, λ > (50) λ nennt man die Helizität. Sie entspricht der Projektion des Gesamtdrehimpulses auf die Bewegungsrichtung. Da bei masselosen Teilchen der Begri Spin (Drehimpuls im Ruhesystem) keinen Sinn macht, dient die Helizität als Ersatz für diesen. Der Betrag der Helizität bei masselosen Teilchen ist lorentzinvariant, aus diesem Grunde ist es sinnvoll, ihn als Charakterisierung (wie oben) von Teilchen zu benutzen. Eine vollständige Herleitung der obigen Formeln ndet man beispielsweise in [Wei05] ab Seite 69. Literatur [Sex82] Roman U.Sexl, Relativität, Gruppen, Teilchen, 2. Auage, Springer-Verlag 1982, Wien New York [Wei05] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields I, paperback 2005, Cambridge University Press, New York 11