Praktikum Wissenschaftliches Rechnen 7. Aufgabenblatt

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1 Institut für Wissenschaftliches Rechnen Technische Universität Braunschweig Prof. Hermann G. Matthies, Ph. D. Dipl.-inform. Oliver Kayser-Herold Praktikum Wissenschaftliches Rechnen 7. Aufgabenblatt Die Lösung der Druckgleichung ist der zeitaufwigste Teil bei der Strömungssimulation. Daher wollen wir im folgen ein sehr effizientes Verfahren zur Lösung der auftreten linearen Gleichungssysteme betrachten und implementieren: das Mehrgitterverfahren (MG). 1 Mehrgitterverfahren Die Idee der Mehrgitterverfahren besteht darin, das Problem auf verschiedenen Ebenen zu betrachten. Dabei müssen Werte von einem feinen Gitter auf das nächst gröbere Gitter hinübergetragen werden, diesen Vorgang bezeichnet man als Restriktion. Andererseits müssen wir auf dem groben Gitter gewonnene Näherungen auf das feinere Gitter übertragen, wir sprechen dann von Prolongation. Auf einem festen Gitter werden außerdem Glättungsschritte durchgeführt, mit denen wir die hochfrequenten Anteile des Fehlers eliminieren wollen, d.h., wir wollen den Fehler glätten. Zur Übersicht listen wir noch einmal die Operatoren und Räume, auf denen sie definiert sind, auf: Restriktionsoperator: Rh 2h : Ω h Ω 2h, Glättungsoperator: G h : Ω h Ω h, Prolongationsoperator: P h 2h : Ω 2h Ω h. 1

2 Abbildung 1: Gitter Ω h und Ω 2h Da wir es in unserem Fall mit einem Zellschema und keinem Gitter zu tun haben, verwen wir folge Restriktion und Prolongation (vgl. Abbildung 2): Abbildung 2: Restriktion und Prolongation für die Druckzellen Für die Restriktion werden die Werte von je vier Zellen gemittelt und als Wert für die gröbere Zelle verwet. Analog werden bei der Prolongation die Werte einer großen Zelle auf die vier Tochterzellen übergeben. Die Grundform eines Mehrgitterschrittes zur Lösung von A h u h = f h sieht damit folgermaßen aus: Algorithmus MG: u h MG(u h, f h ) löse A 2h u 2h = f 2h In dem obigen Algorithmus bleibt unklar, wie die Näherung auf dem gröberen Gitter gewonnen werden soll. Eine Möglichkeit besteht darin, das lineare Gleichungssystem A 2h u 2h = f 2h direkt zu lösen. Das ist aber nur dann ratsam, wenn man schon auf einem 2

3 sehr groben Gitter angelangt ist, d.h., die Dimension des zu betrachten Gleichungssystems relativ klein ist. Ruft man stattdessen das Programm rekursiv auf, so erhält man schon eine erste Variante des Mehrgitterverfahrens, den V-Multigrid Zyklus: Algorithmus MV: u h MV (u h, f h ) u 2h = MV (0, f 2h ) Den V-Zyklus kann man sich folgermaßen veranschaulichen: Abbildung 3: V-Multigrid Zyklus Führt man den rekursiven Aufruf zweimal hintereinander aus, so wird dieses Verfahren auch als W-Multigrid Zyklus bezeichnet: 3

4 Algorithmus MW: u h MW (u h, f h ) u 2h = MW (0, f 2h ) u 2h = MW (u 2h, f 2h ) Zu dem W-Zyklus gehört die folge graphische Darstellung: Abbildung 4: W-Multigrid Zyklus Fangen wir schließlich statt auf dem feinsten gleich auf dem gröbsten Gitter an und führen dann V-Multigrid Zyklen durch, so spricht man auch von Full Multigrid bzw. Full Multigrid V-Zyklus. Der Algorithmus sieht dann so aus: Algorithmus FMV: u h F MV (u h, f h ) u 2h = F MV (0, f 2h ) u h = P h 2hu 2h u h = MV (u h, f h ) 4

5 Die Vorgehensweise beim Full Multigrid Zyklus läßt sich dann durch die folge Graphik veranschaulichen: Abbildung 5: Full Multigrid Zyklus Es gibt noch zahlreiche andere Varianten des Mehrgitterverfahrens, auf die wir hier im einzelnen nicht näher eingehen wollen (genauere Details in der Literatur). In allen Algorithmen können wir auf das Aufstellen der Iterationsmatrizen durchweg verzichten, wir benötigen nur die Wirkung der Operatoren auf die Gitterfunktionen, in unserem Fall den Druck. Auch die Restriktion und die Prolongation können wir ausführen, ohne die Matrizen explizit aufzustellen, die im zweidimensionalen Fall entscheid von der Numerierung der Unbekannten abhängen. Aufgabe 1 Ersetzen Sie die Funktionen SOR und PCG durch Multigrid mit V-Zyklus, Multigrid mit W-Zyklus, Full Multigrid. Dabei soll als Glätter wieder SOR verwet werden. Führen Sie bei den einzelnen Verfahren folge Untersuchungen durch: Konvergenzverhalten des Verfahrens (vgl. mit SOR und PCG), Zeitmessung zur Lösung des Gleichungssystems, Variation der Parameter: Relaxationsparameter, Anzahl der Glättungsschritte, etc. Wen Sie dann die Multigrid-Verfahren auf einige Strömungsprobleme an und vergleichen Sie die Ergebnisse mit den anderen eingesetzten Iterationsverfahren! Abgabe der Aufgaben: