Zum Kurs. präziser zu Kursteil 6: Stochastik des Kurses 'Mathematik für Ingenieure'. Stochastik ist eine vergleichsweise

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1 i präziser zu Kursteil 6: Stochastik des Kurses 'Mathematik für Ingenieure'. Stochastik ist eine vergleichsweise junge Disziplin. Gemeint ist damit die Wahrscheinlichkeitstheorie im Hinblick auf ihre vielfältigen Anwendungen, zu denen beispielsweise neben der Bedienungs (Warteschlangen) theorie, die Zuverlässigkeitstheorie, die (risikotheoretische) Finanzmathematik, natürlich die (mathematische) Statistik, aber auch eine stochastisch betriebene Physik oder Biologie gehören. Die Wahrscheinlichkeitstheorie geht in der heutigen

2 ii Form auf den Russen A.N. Kolmogorov, 1933, zurück, obwohl es bereits frühe Beiträge, z.b. von Johann Jakob Bernoulli aus Basel (Bernoullisches Gesetz der groÿen Zahlen) gegeben hat. Die weltweite Standesorganisation der Stochastiker trägt eben diesen Namen: Bernoulli Society. Wir sprechen bewusst von der Wahrscheinlichkeitstheorie im Gegensatz zur 'Wahrscheinlichkeitsrechnung', die einen mit Mitteln der Dierential und Integralrechnung stark am Ziele der Berechnung orientierten Abschnitt in der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie meint. Objekte unseres Denkens sind einzuführende Begrisbildungen wie die des WMaÿes, der Zufallsvariablen, des Erwartungswertes, deren Existenz frei von logischen Widersprüchen zu sein hat, die Handhabung dieser Begrisbildungen, d.h. die Entwicklung von Rechenregeln sowie geeigneten Transformationen, seltener eigentlich die konkrete Berechnung. Zur Erläuterung an einem Faktum jenseits dieses Kurses halten wir fest, dass ein Erwartungswert ein Integral ist, was uns aber nicht veranlasst, nun syste-

3 iii matisch die Berechnung von Integralen zu betreiben. Bedeutsamer ist die Frage, ob die Folge der Durchschnitte einer aufsteigenden Anzahl von Realisationen gegen dieses Integral konvergiert, in der Fachsprache würde man sagen, ob ein entsprechendes Gesetz der groÿen Zahlen gilt, und wenn ja, unter welchen Bedingungen. Die Kenntnis des numerischen Wertes des Integrals ist nicht erforderlich, das theoretische Wissen um die Existenz des Erwartungswertes, das Wissen, dass es eine solche Zahl gibt, reicht bei Entwicklung und Anwendung eines Gesetzes der groÿen Zahlen völlig aus. Bei aller Akzeptanz der Wahrscheinlichkeitstheorie die zu entwickelnden Modellvorstellungen sind gewöhnungsbedürftig. Dies gilt bereits bei einer Theorie über einem diskreten Grundraum mit endlich oder abzählbar vielen Elementen des Grundraumes; als ein Beispiel für Probleme mit diskretem Grundraum, denke man etwa an die Behandlung von Würfelexperimenten. Ersetzt man den diskreten Grundraum, z.b. N, in naheliegender Weise doch ein Kontinuum, z.b. R, so ist man mit der Maÿtheorie konfrontiert.

4 iv Im Sinne eines didaktisch vernünftigen Weges entwickeln wir in Kapitel 1 (Kapitel 1A, Kapitel 1B; zwei Lernperioden zu zwei Wochen) zunächst die Begrie des WRaumes bis hin zum ProduktWRaum ('W' steht hier in Wortverbindungen stets für Wahrscheinlichkeit) bzw. der Zufallsvariablen und der stochastischen Unabhängigkeit. Danach folgt mit Kapitel 2 (1 Lernperiode zu zwei Wochen) ein Abschnitt, der erläutert, wie die diskrete Theorie zu einer allgemeinen erweitert werden kann. Ziel ist hier das Modellverständnis, nicht die Beweisführung. Ein wirkliches Arbeitswissen kann hier vom Studenten nicht erwartet werden. Kapitel 3 (eine Lernperiode zu zwei Wochen) gilt den Momenten (und liefert fakultativ für Ingenieure nicht unwichtig einen Abriss über Zufallsgeneratoren). Der Erwartungswert, der ein solches Moment darstellt, wird im Rahmen der diskreten Theorie motiviert. Die Verallgemeinerung auf die allgemeine Theorie treten hier weitgehend in den Hintergrund. Die Grundlagen haben sowohl die Funktion kursspezi- scher Verabredungen, bieten aber dem Studenten die

5 v Möglichkeit, sich punktuell einen ihm nicht bekannten Sachverhalt anzueignen. An gewissen Stellen sind naheliegende, wichtige Ergänzungen in den Kurs aufgenommen worden, die fakultative Bedeutung haben, was jeweils durch das Wort 'fakultativ' kenntlich gemacht wird. Der nur via Internet präsentierte Kurs ist durch eine Anzahl thematisch geeigneter Experimente und Animationen begleitet. Dabei geben wir bei der Ausbildung von Nichtmathematikern dem (durch Visualisierung nahegebrachten) Verstehns eines Sachverhaltes den Vorzug vor dem Fakt diesen bewiesen zu haben. In den Kurs sind Aufgaben eingestreut; dabei verweist das Zeichen 'L' auf eine Lösung im Anhang an den jeweiligen Kapitel. Einsendeaufgaben werden nach Kapitel 1 sowie nach Kapitel 2 und Kapitel 3 gestellt. Die von Ihnen schriftlich eingereichten Lösungen werden Ihnen nach Korrektur wieder zugeleitet.

6 vi Hagen, im Herbst 2002 O. Moeschlin