43910: Differential und Integralrechnung Prüfungstermin Frühjahr 2013 Lösungsvorschlag

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1 Dr. Erwin Schörner 4390: Differential und Integralrechnung Prüfungstermin Frühjahr 03 Lösungsvorschlag I.. a) Zum einen ist die Reihe a n mit a n n n n +n) n für alle n N zu betrachten; wegen a n n n +n) n n n n n +)) n n n n n n +) n ist die Folge a n ) n N keine Nullfolge, mithin ist die Reihe Zum anderen ist die Reihe b n mit b n n zu betrachten; wegen n n ) +n) n ) n n bn n ) n n +n) n ) n n ) n +n) n ) ist die Reihe ) + n n e n a n divergent. n für alle n N n n +n) a n n n e < b n nach dem Wurzelkriterium absolut) konvergent. n b) Um das Konvergenzverhalten der gegebenen Reihe nx n n n+)x n in Abhängigkeit von x R zu untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert zu bestimmen, bieten sich die beiden folgenden Möglichkeiten an:

2 Es ist n+)x n die Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt a 0 und den Koeffizienten c n n+ für alle n N 0. Wegen c n+ c n n+ n+ n ) + n n ) + n n +0 c n n besitzt sie den Konvergenzradius, ist folglich für alle c x R mit x < absolut) konvergent sowie für alle x R mit x > divergent; für die beiden verbleibenden Fälle x ist die Folge n+)x n ) n N0 gemäß n+)x n n+) x n n+) n n+ n insbesondere keine Nullfolge, so daß hier die Potenzreihe divergiert und sich insgesamt das Konvergenzintervall ], [ ergibt. Die dadurch definierte Funktion f : ],[ R, fx) n+)x n, ist nach dem Hauptsatz über Potenzreihen auf dem offenen Konvergenzintervall ], [ stetig, besitzt also insbesondere eine Stammfunktion F : ],[ R, die sich durch gliedweise Integration ermitteln läßt; für alle x ],[ ergibt sich damit Fx) n+) xn+ n+ x n+ x x n ) ) x < x x, wobei in ) die Summenformel für geometrische Reihen eingeht. Gemäß dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung erhält man fx) F x) x) x ) x) x)+x x) x) für alle x ],[. Die Potenzreihe x n mit dem Entwicklungspunkt a 0 ist eine geometrische Reihe und konvergiert genau für alle x R mit x < ; damit besitzt sie das Konvergenzintervall ], [ und folglich den Konvergenzradius. Die dadurch definierte Funktion h : ],[ R, hx) x n, ist nach dem Hauptsatz über Potenzreihen auf dem offenen Konvergenzintervall ],[ differenzierbar, und die Ableitung h : ],[ R läßt sich durch gliedweise Differentiation ermitteln, wird demnach gemäß h x) nx n für alle x ],[ n

3 durch die gegebene Potenzreihe dargestellt; da diese im Vergleich zur Originalpotenzreihe x n denselben Konvergenzradius besitzt und keine weiteren Konvergenzpunkte am Rand haben kann, ergibt sich als Konvergenzintervall ebenfalls ], [. Für alle x ], [ erhält man zunächst mit Hilfe der geometrischen Summenformel hx) und damit durch Differentiation x n x x) nx n h x) ) x) ) n I.. a) Zu betrachten ist die Integralfunktion g : [, [ R, ga) a die gebrochen rationale Integrandenfunktion besitzt wegen x x x x 3 f : D R, fx) x x x x 3, x x 3 x x ) x x)+x) 0 x). x 0 oder x 0 oder +x 0) x {,0,} die maximale Definitionsmenge R \ {,0,}, so daß D ], [ das maximale Definitionsintervall ist, in dem die untere Integrationsgrenze liegt. Wir unterwerfen f der Partialbruchzerlegung und bestimmen Konstanten α, β, γ R mit dx; wegen fx) α x + β x + γ +x für alle x ], [; α x + β x + γ +x α x)+x)+β x+x)+γ x x) x x)+x) α x )+β x+x )+γ x x ) x x 3 α+β γ)x +β +γ)x+α x x 3 für alle x ], [ ergibt sich über den Koeffizientenvergleich α+β γ und β +γ und α,

4 also β γ +α 0 bzw. β γ, und damit β γ. Wegen fx) x + x + +x x + x x+ für alle x ], [ ergibt sich für a damit ga) a a x x dx x x 3 x + x x+ ) dx [ ] a ln x +ln x ln x+ ) ln a +ln a ln a+ ) ln+ln ln3 a lna+lna ) lna+)+ln6 ln 6a ) aa+). b) Die Integrandenfunktion f : D R ist als gebrochen rationale Funktion stetig, und damit ist ihre Integralfunktion g : [, [ R nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung differenzierbar, und für alle x [, [ gilt g x) fx) x x x x 3 x ) x x ). Für alle x [, [ gilt x, also x > 0 und x 3 < 0, und damit für den Nenner x x ) < 0; des weiteren ergibt sich: für alle x [,+ [ gilt x < +, also x < mit x ) <, und damit für den Zähler x ) < 0, insgesamt also g x) <0 {}}{ x ) x x ) > 0, <0 so daß die stetige Funktion g auf dem Intervall [,+ ] streng monoton wächst: es ist also fx) < f+ ) für alle x [,+ [. fürallex ] +, [ giltx > +,alsox > mitx ) >, und damit für den Zähler x ) > 0, insgesamt also g x) >0 {}}{ x ) x x ) < 0, <0 so daß die stetige Funktion g auf dem Intervall [ +, [ streng monoton fällt: es ist also fx) < f+ ) für alle x ] +, [. Damit besitzt g : [, [ R in a + ein globales Maximum.

5 I.3. a) Die gegebene Funktion f : R R, fx,y) e xy +x +y, ist als Summe und Komposition der Exponentialfunktion und quadratischer Funktionenbeliebig oftstetigpartiell differenzierbar, undfürallex,y) R gilt x fx,y) e xy y +x und y fx,y) e xy x+y, also sowie gradfx,y) e xy y +x, e xy x+y), x x fx,y) e xy y + und y y fx,y) e xy x + und unter Verwendung des Satzes von Schwarz also x y fx,y) y x fx,y) e xy x) y +e xy e xy xy +), Hessfx,y) ) e xy y + e xy xy +) e xy xy +) e xy x. + Für einen kritischen Punkt x,y) R von f gilt also wegen ergibt sich x fx,y) 0 und y fx,y) 0, e xy y +x 0 und e xy x+y 0; e xy xy +x 0 und e xy xy +y 0 x e xy xy y, also x y, und damit x y oder x y. Im Falle x y folgt ) 0 e y y +y e y + y, also y 0 mit x 0, >0 und im Fall x y ist 0 {}}{ ) 0 e y y y y e y, also y 0 mit x 0, } {{ } <0 so daß lediglich 0,0) als kritischer Punkt von f in Frage kommt; wegen x f0,0) e und y fx,y) e ist 0,0) tatsächlich ein kritischer Punkt von f, und f besitzt genau einen kritischen Punkt, nämlich 0, 0).

6 b) Die Hessematrix von f im kritischen Punkt 0,0) ist ) H Hessf0,0) R ; wegen deth) 3 > 0 und SpurH) 4 > 0 ist H positiv definit, und damit besitzt f in 0, 0) ein isoliertes) lokales Minimum. I.4. Die homogene lineare Differentialgleichung D 0 ) y +y 0 zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzt das charakteristische Polynom χλ) λ +λ λλ+) mit den beiden einfachen reellen Nullstellen λ 0 und λ ; damit bilden die beiden Funktionen ϕ, ϕ : R R mit ϕ x) e λ x e 0 und ϕ x) e λ x e x ein Fundamentalsystem von D 0 ). Die rechte Seite b : R R, bx) x, ist von der Form bx) px)e ax mit der Polynomfunktion px) x vom Grade m und a 0. Da a eine Nullstelle von χ der Vielfachheit α ist, wählen wir für die partikuläre Lösung ϕ p von D) y +y x den Ansatz ϕ p x) qx) rx +sx+t mit einer Polynomfunktion qx) rx + sx + t vom Grade m + α ; da ϕ x) bereits eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung D 0 ) ist, können wir t 0 setzen und erhalten ϕ p x) rx +sx mit ϕ px) rx+s und ϕ px) r. Damit ist ϕ p genau dann Lösung von D), wenn also r+rx+s) x, rx+r+s) x, für alle x R gilt; durch Koeffizientenvergleich ergibt sich r und r +s 0 also r und s, und folglich ϕ p : R R, ϕ p x) x x.

7 Damit ist die Gesamtheit der Funktionen ϕ c ϕ +c ϕ +ϕ p : R R, ϕx) c +c e x + x x, mit c, c R die allgemeine Lösung von D); dabei ist ϕ x) c e x +x für alle x R, und wir bestimmen die noch freien Konstanten c, c R, so daß ϕ die gestellten Anfangsbedingungen erfüllt. Wegen und ϕ0) 3 c +c e c +c 3 ϕ 0) c e 0 +0 c c 0 ergibt sich auch c 3, und wir erhalten die Funktion ϕ : R R, ϕx) 3+ x x, als eindeutig bestimmte Lösung des gestellten Anfangswertproblems. I.5. a) Gegeben ist die Funktion f : R R, fx) exp x ). Die Exponentialreihe konvergiert für alle z R mit so daß sich k0 fx) exp x ) zx z k k! expz), x ) k k! k0 k0 k! xk für alle x R ergibt; dies ist eine Potenzreihendarstellung von f mit dem Entwicklungspunkt a 0 und stimmt damit mit der Taylorreihe von f zum Entwicklungspunkt a 0 überein. b) Gemäß Teilaufgabe a) wird die Funktion f durch die Potenzreihe { fx) c n x n k! mit c n n )!, für n k gerade, 0, für n k+ ungerade, gegeben; nach dem Hauptsatz über Potenzreihen ergibt sich damit f n) 0) n! c n { n! n )!, für n gerade, 0, für n ungerade.

8 II.. Für jedes x R handelt es sich bei der Reihe a k mit a k e xk e x ) k für alle k N 0 k0 um die geometrische Reihe wenn q < ist, wegen q k mit q e x ; diese konvergiert genau dann, k0 e x < e x < x < ln 0 also genau für alle x ],0[. Für jedes x R handelt es sich bei der Reihe b k mit b k e k x k ex) k für alle k N 0 k0 um die geometrische Reihe wenn q < ist, wegen q k mit q ex; diese konvergiert genau dann, k0 ex < e x < x < e e < x < e also genau für alle x ] e, e[. Für jedes x R gibt es nach dem Archimedischen Axiom ein k 0 N mit e x k 0 ; für alle k N mit k k 0 gilt demnach e x +k k 0 +k k, Damit besitzt die Reihe e x +k kk 0 Minorante k kk 0 also e x +k k. die als harmonische Reihe) divergente und ist folglich nach dem Minorantenkriterium selbst divergent; somit divergiert aber auch die gegebene Reihe II.. a) Die gegebene Funktion k0 e x +k. f : ]0, [ R, fx) x +lnx, ist als Summe einer gebrochen rationalen Funktion und des Logarithmus stetig und differenzierbar, und für alle x > 0 gilt damit ergibt sich: f x) x + x x x ; für alle x ]0,[ ist x < 0 und damit f x) < 0, so daß die stetige Funktion f auf dem Intervall ]0, ] streng monoton fällt;

9 für alle x ], [ ist x > 0 und damit f x) > 0, so daß die stetige Funktion f auf dem Intervall [, [ streng monoton wächst. Damit besitzt f genau ein Extremum, nämlich ein globales Minimum bei x ; wegen f) +ln +0 ist W f [, [, insbesondere also W f R, so daß f nicht surjektiv ist. Wir zeigen im folgenden, daß y zwei verschiedene Urbilder besitzt: für a e < gilt fa) e +lne e > 4 > f), also fa) > > f), so daß es für die stetige Funktion f nach dem Zwischenwertsatz ein ξ ]a,[ mit fξ ) gibt; für b e > gilt fb) e +lne e + > 0+ > f), also f) < < fb), so daß es für die stetige Funktion f nach dem Zwischenwertsatz ein ξ ],b[ mit fξ ) gibt. Damitistξ,ξ ]0, [mitξ < < ξ,alsoξ ξ,undfξ ) fξ ), so daß f nicht injektiv ist. b) Die gegebene Funktion g : ]0, [ R, gx) e x lnx, ist als Produkt der Exponentialfunktion und des Logarithmus stetig und differenzierbar, und für alle x > 0 gilt g x) e x lnx+e x x ex lnx+ ) e x x >0 fx) > 0; >0 damit ist g auf dem Intervall ]0, [ streng monoton wachsend, insbesondere alsoinjektiv. ZumNachweis dersurjektivität vongsei y Rbeliebig: wegen ) lim gx) lim x 0+ x 0+ e x e 0 lnx existiert ein c ]0,[ mit gc) < y, und wegen ) lim gx) lim e x lnx x x existiert ein d ], [ mit gd) > y; damit gibt es für die stetige Funktion g nach dem Zwischenwertsatz ein ξ ]c,d[ mit gξ) y. Folglich ist g auch surjektiv, insgesamt also bijektiv. II.3. Zu betrachten ist die Funktion f : R + R, fx) x x ;

10 gemäß der Definition der allgemeinen Potenz ergibt sich damit a b expb lna) für alle a R + und b R fx) expx lnx) für alle x R +. Als Komposition der Exponentialfunktion mit dem Produkt einer linearen Funktion und des Logarithmus ist f stetig und beliebig oft) differenzierbar mit f x) expx lnx) lnx+x ) fx) lnx+) x für alle x R +. a) Für alle x ] e,[ gilt e < x <, mit der Monotonie des Logarithmus ln e < lnx < ln 0, und wegen x > 0 folgt mit dem Monotoniegesetz der Multiplikation < x x ) < x lnx < x 0 0, mit der Monotonie der Exponentialfunktion e exp ) < expx lnx) < exp0), also < fx) <, und insbesondere damit 0 < fx) < ; des weiteren gilt e wegen < lnx < 0 schon 0 < lnx+ <, zusammen mit 0 < fx) < demnach b) Für die durch 0 < fx) lnx+) <, also 0 < f x) <. x 0 ] e,[ sowie x n+ fx n ) für alle n N 0 rekursiv definierte Folge x n ) n N0 zeigen wir die Beziehung mit Hilfe vollständiger Induktion: e < x n < x n+ < für alle n N 0 Für n 0 gilt zunächst für den Startwert e < x 0 <. Die auf R + differenzierbare Funktion f genügt insbesondere den Voraussetzungen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf dem Intervall [x 0 ;]; es gibt also ein ξ ]x 0 ;[ mit f ξ) f) fx 0) x 0 x x 0, wobei wegen ξ ] e ;[ gemäß a) schon 0 < f ξ) < und damit wegen x 0 > 0 dann 0 < x x 0 <, 0 < x < x 0 bzw. > x > x 0, folgt, so daß insgesamt also e < x 0 < x < gilt.

11 Für n n+ gilt nach Induktionsvoraussetzung < x e n < x n+ < ; gemäß a) gilt f x) > 0 für alle x ] ;[, so daß die stetige Funktion e f auf [ ;] streng monoton wächst, aus x e n < x n+ < folgt also fx n ) < fx n+ ) < f), also x n+ < x n+ <, mit e < x n+ damit die Induktionsbehauptung e < x n+ < x n+ <. c) Die Folge x n ) n N0 ist gemäß b) zum einen wegen x n < x n+ für alle n N 0 streng) monoton wachsend und zum anderen wegen x n < für alle n N 0 nach oben beschränkt, mithin konvergent. Für den Grenzwert a lim x n n gilt a, und mit Hilfe der Rekursionsvorschrift erhält man e woraus a lim n x n+ lim n fx n ) f stetig f lim n x n ) fa) a a, lna lna a ) a lna, also 0 a lna lna a ) lna, und damit a 0 oder lna 0, also auf jeden Fall a folgt. II.4. a) Die homogene lineare Differentialgleichung D 0 ) y 3y +y 3y 0 dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzt das charakteristische Polynom χλ) λ 3 3λ +λ 3 λ 3) λ +λ 3) λ 3) λ + ) λ 3)λ i)λ+i) mit der einfachen reellen Nullstelle λ 3 sowie den beiden einfachen konjugiert komplexen Nullstellen λ,3 ±i mit dem Realteil 0 und dem Imaginärteil ±σ mit σ ; damit bilden die drei Funktionen ϕ : R R, ϕ x) e λ x e 3x, ϕ : R R, ϕ 3 : R R, ϕ x) e x cosσx) cosx, ϕ 3 x) e x sinσx) sinx, ein Fundamentalsystem von D 0 ), und die Gesamtheit der Funktionen ϕ c ϕ +c ϕ +c 3 ϕ 3 : R R, ϕx) c e 3x +c cosx+c 3 sinx, mit c, c, c 3 R die allgemeine Lösung von D 0 ). Dabei sind beispielsweise ϕ und ϕ 3 periodische Lösungen von D 0 ), während etwa die Lösung ϕ nicht periodisch ist. b) Die inhomogene lineare Differentialgleichung D) y 3y +y 3y 7e 4x dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzt die rechte Seite b : R R, bx) 7e 4x,

12 von der Form bx) px)e ax mit der konstanten Funktion px) 7 sowie a 4. Da nun a keine Nullstelle von χ ist, wählen wir für die partikuläre Lösung ϕ p von D) den Ansatz ϕ p x) qx)e 4x re 4x mit der ebenfalls konstanten Funktion qx) r. Wegen ϕ px) 4re 4x, ϕ px) 6re 4x und ϕ p x) 64re 4x ist ϕ p genau dann Lösung von D), wenn 64re 4x ) 3 6re 4x) + 4re 4x) 3 re 4x) 7e 4x, also 7re 4x 7e 4x, für alle x R gilt; damit ergibt sich 7r 7 und damit r. Damit ist ϕ p : R R, ϕ p x) e 4x, eine spezielle Lösung sowie die Gesamtheit der Funktionen ϕ c ϕ +c ϕ +c 3 ϕ 3 +ϕ p : R R, ϕx) c e 3x +c cosx+c 3 sinx+e 4x, mit c, c, c 3 R die allgemeine Lösung von D). Wegen für alle x R ergibt sich und ϕ x) 3c e 3x c sinx+c 3 cosx+4e 4x ϕ0) 0 c e 0 +c cos0+c 3 sin0+e 0 0 c +c + 0 c c +) ϕ 0) 0 3c e 0 c sin0+c 3 cos0+4e 0 0 stellt die Gesamtheit der Funktionen 3c +c c 3 3c +4) ϕ : R R, ϕx) c e 3x c +) cosx 3c +4) sinx+e 4x, mit c R die allgemeine Lösung des gestellten Anfangswertproblems dar. II.5. Zu betrachten ist die Menge D { x,y) R 0 x π und cosx y sinx } ; wegen cosx sinx tanx x { π, } 5π 4 4 für alle x [0;π] besitzen die beiden Graphen G cos und G sin in diesem Bereich genau die beiden Schnittpunkte S π, ) 4 und S ) 5π 4 ;, und wegen cosx sinx x [ π 4, 5π 4 ist D R genau der abgeschlossene Bereich, der von den Graphen G cos und G sin zwischen ihren Schnittpunkten S und S begrenzt wird: ]

13 y S G cos D G sin π 3π 0 π x D π S Für alle x,y) D gilt fx,y) y sinx)y cosx) mit also y sinx+cosx)y +sinx cosx y sinx+cosx ) ) sinx+cosx y + + ) sinx+cosx +sinx cosx y sinx+cosx ) +sinx cosx sin x+ sinx cosx+cos x 4 y sinx+cosx ) sinx cosx + sin x+cos x 4 4 y sinx+cosx ) + sinx) f 3 π,0) 0 sin 3π ) cos 3 π ) 4, fx,y) f 3 4 π,0), so daß 3 4 π,0) eine globale Minimalstelle der Funktion f : D R ist.

14 III.. a) In Abhängigkeit vom Parameter α R ist die Potenzreihe cosα+nπ)) n x n mit dem Entwicklungspunkt a 0 und den Koeffizienten c n cosα+nπ)) n für alle n N 0 zu betrachten; für alle n N 0 gilt mit dem Additionstheorem des Cosinus und damit cosα+nπ) cosα cosnπ) sinα sinnπ) ) n 0 ) n cosα n cn cosα+nπ)) n n n cosα+nπ) n cosα+nπ) ) n cosα ) n cosα cosα n cosα c, wodurch die folgende Fallunterscheidung motiviert wird: Im Falle cosα 0, also für α { π +kπ k Z}, ist c 0, so daß die gegebene Potenzreihe den Konvergenzradius besitzt. Im Falle cosα 0, also für α R\ { π +kπ k Z}, ist c 0, so daß die gegebene Potenzreihe den Konvergenzradius besitzt. c cosα b) Für den Parameter α π 4 gilt cosα cos π 4, und gemäß a) ergibt sich für den Konvergenzradius c, so daß durch die gegebene Potenzreihe die Funktion ] fπ :, [ R, fπ x) π )) nx cos nπ n, definiert wird. Für den Wert x ergibt sich damit fπ ) π )) n cos 4 4 +nπ n wegen ) n für alle n N 0 also fπ 4 ) } {{ } ) n cos π 4 {, falls n und damit n ungerade,, falls n und damit n gerade, ) n cos π 4 ) n ) n ) n ) n ) n ) n cos π 4) n, cos π 4) n ) n ) n } ) n ) n,

15 so daß sich mit der Summenformel für geometrische Reihen wegen < schließlich fπ ) ) n 4 + ergibt. III.. a) Für die gegebene Funktion sind die Niveaumengen < f : R R, fx,y) ln x +y ) + ), N f c) { x,y) R fx,y) c } für c 0, c und c ln4 zu betrachten: Für c 0 ergibt sich fx,y) 0 ln x +y ) + ) 0 + x +y ) + x +y ) 0 x 0 und y 0 ) x,y) 0,) für alle x,y) R, so daß N f 0) nur aus dem Punkt 0,) besteht. Für c ergibt sich fx,y) ln x +y ) + ) x +y ) + e x +y ) e für alle x,y) R, so daß N f ) die Kreislinie mit dem Mittelpunkt 0,) und dem Radius e darstellt. Für c ln4 ergibt sich fx,y) ln4 ln x +y ) + ) ln4 x +y ) + 4 x +y ) 3 für alle x,y) R, so daß N f ) die Kreislinie mit dem Mittelpunkt 0,) und dem Radius 3 darstellt. Damit ergibt sich für die drei Niveaumengen die folgende Skizze:

16 y 3 c c ln4 c 0 0 x b) Die auf ganz R definierte Funktion f ist als Komposition des natürlichen Logarithmus und einer quadratischen Funktion partiell differenzierbar, so daß als lokale Extremstellen lediglich die kritischen Punkte von f in Frage kommen; für alle x,y) R gilt dabei mit sowie mit x fx,y) x +y ) + x) x fx,y) 0 x 0 x 0 y fx,y) y )) x +y ) + y fx,y) 0 y ) 0 y, so daß 0,) der einzige kritische Punkt und damit der einzige Kandidat für eine Extremstelle von f ist. Für alle x,y) R gilt x +y ) +, 0 0 woraus mit dem Montonieverhalten des natürlichen Logarithmus fx,y) ln x +y ) + ) ln 0 a) f0,) folgt; damit besitzt f in 0,) ein globales Minimum.

17 III.3. In Abhängigkeit von den Parametern a, b R + ist die Kurve a cost c : [0,] R 3, ct) a sint, bt mit der Bildmenge B {ct) t [0,]} R 3 zu betrachten. Damit besitzt c die drei stetig differenzierbaren Koordinatenfunktionen c, c, c 3 : [0,] R mit und somit c t) a cost, c t) a sint, c 3 t) bt c t) a sint, c t) a cost, c 3t) t für alle t [0,]; folglich ist die Kurve c stetig differenzierbar, und für t [0,] erhält man den Tangentialvektor a sint c t) a cost b der Länge c t) a sint) +a cost) +b a sin t+a cos t+b a sin t+cos t ) +b a +b a +b. a) Die Kurve c : [0,] R 3 ist stetig differenzierbar, mithin rektifizierbar, und für ihre Bogenlänge gilt [ ] L c t) dt a +b dt a +b a +b. 0 0 Für alle 0 t < t gilt wegen b > 0 schon c 3 t ) bt < bt c 3 t ), insbesondere also ct ) ct ); damit ist c ohne Doppelpunkt, und die Bogenlänge der Bildmenge B stimmt sicher mit der Bogenlänge der Kurve c überein. b) Für alle t [0,] gilt für den Winkel αt) zwischen dem Tangentialvektor c t) und dem Einheitsvektor e 3 gemäß Definition cosαt) c t) e 3 c t) e 3 mit a sint 0 c t) e 3 a cost 0 a sint) 0+a cost) 0+b b, b also folglich ist cosαt) c t) e 3 c t) e 3 αt) arccos von t unabhängig, also konstant. b a +b b a +b 0 b a +b ;

18 III.4. Die gegebene Differentialgleichung besitzt wegen yy e x 0 yy e x bereits getrennte Variablen, so daß sich durch Integration yy dx e x dx bzw. ydy e x dx und damit y ex +c für eine geeignete Konstante c R ergibt. Wegen y0) e0 +c +c c erhält man für die Lösung des gestellten Anfangswertproblems y ex bzw. y e x. DieAnnahme, eine Lösungsfunktion von yy e x 0 besitze eine Nullstelle, führt in 0 y e x 0, also e x 0, zu einem Widerspruch, so daß die gesuchte Lösung des Anfangswertproblems wegen y0) komplett oberhalb der x Achse verläuft; wegen y > 0 gilt also mit Damit ist y e x, e x > 0 e x > e x > x > ln ln. ϕ : ] ln, [ R, ϕx) e x, die maximale Lösung des gestellten Anfangswertproblems. III.5. a) Die gegebene Funktion f : ], [ R, fx) xlnx x lnx), ist als Komposition einer Potenzfunktion und dem Produkt einer linearen Funktion und des natürlichen Logarithmus differenzierbar, und für alle x > gilt f x) )x lnx) lnx+x ) x lnx + ) < 0; xlnx) }{{ } <0 >ln 0 >>0 damit ist die Funktion f auf dem Intervall ], [ streng monoton fallend.

19 b) Es ist ln : ], [ R stetig differenzierbar mit ln x für alle x >, und x gemäß der Substitutionsregel ) ergibt sich damit e e fx)dx e e e e x lnx dx e lnx ln xdx ) e lnx ) dx x lne lne u du u du [ ln u ] ln ln ln.