Franz Schwabl QUANT EN MECHANIK. Dritte, verbesserte Auflage mit 118 Abbildungen und 16 Tabellen. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

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1 Springer-Lehrbuch

2 Franz Schwabl QUANT EN MECHANIK Dritte, verbesserte Auflage mit 118 Abbildungen und 16 Tabellen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

3 Professor Dr. Franz Schwabl Institut fur Theoretische Physik, Technische Universitiit MUnchen James-Franck-StraBe, W-8046 Garching ISBN Die Deutsche Bibliothek - CIP Einheitsaufnahme Schwabl. Franz: Quantenmechanik: mit 16 TabellenIFranz Schwabl verb. Autl. (Springer-Lehrbuch) EngJ. Ausg. u. d. T.: Schwabl. Franz: Quantum mechanics I S B N I S B N ( e B o o k ) D O I / Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiltzt. Die dadurch begrilndeten Rechte. insbesondere die der Obersetzung. des Nachdrucks. des Vortrags. der Entnahme von Abbildungen und Tabellen. der Funksendung. der Mikroverfilmung oder der VervielfAltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwenung. vorbehalten. Eille VervielfAltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 19M in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundslitzlieh vergiltungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. S p r i n g e r - V e r l a g B e r l i n H e i d e l b e r g , , U r s p r ü n g l i c h e r s c h i e n e n b e i S p r i n g e r - V e r l a g B e r l i n H e i d e l b e r g N e w Y o r k Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Wcrk bcrcchtigt auth ohnc bcsondere Kennzeiehnung nieht zu der Annahme. dab solehe Namen im Sinne der Warenzciehen- und Markenschutz-Gesetzgebung ills frei zu belrachten wllren und dilher von jedermillln bcnutzt werden dilrftcn. Hersteller: P. Burgert Einbilndgestilltung: W. Eiscnschink. Heddcshcim SNJI-MI-S",32 I II - Gcdruckt i1uf sliurefreicm Pllpicr

4 Vorwort zur dritten Auflage Die erfreulich positive Aufnahme des Buches hatte zur Folge, da.f3 die zweite Auflage innerhalb von zwei Jahren vergriffen war. In der vorliegenden Neuauflage wurden die Kapitel iiber Storungstheorie, zeitabhangige Phanomene (Quantisierung des Strahlungsfeldes) und Me13proze13 erweitert und an einigen Stellen kurze Ergii.nzungen eingefiigt. Dabei wurde darauf Bedacht genommen, den kompakten Charakter des Buches nicht zu verii.ndern. Der Zuwachs der Seitenzahl riihrt weniger von diesen Zusatzen her, als vielmehr von dem gegeniiber der zweiten Auflage reduzierten Buchformat. Das dadurch notwendige Lesen der Druckfahnen wurde von Frau M. Schiegl und den Herren N. Knoblauch, J. Krumrey und W. Rossmann-Bloeck besorgt. Ich danke ihnen sowie allen Kollegen, Mitarbeitem und Studenten, die Verbesserungsvorschlage machten. Miinchen, im Januar 1992 F. Schwabl

5 Vorwort zur erst en A uftage Das vorliegende Lehrbuch behandelt die Quantenmechanik. In einem einleitenden Kapitel werden, ausgehend von der historischen Entwicklung, an Hand eines Interferenzexperiments die Grundpostulate erschiossen, von da ab ist der Aufbau rein deduktiv. Neben den Grundlagen und vielen Anwendungen werden auch neue Aspekte der Quantentheorie und deren experimentelle Uberpriifungen dargestellt. 1m Text wird Wert auf eine gestraffte Darstellung gelegt, die dennoch keine weiteren Hilfsmittel erfordert. Die Verstandlichkeit wird gewahrleistet durch Angabe aller mathematischen Schritte und ausfiihrliche und vollstandige Durchfiihrung der Zwischenrechnungen. Das Buch behandelt die nichtrelativistische Quantenmechanik ohne zweite Quantisierung, abgesehen von einem Abschnitt "Optische Ubergange", der eine element are Darstellung der Quantisierung des Strahlungsfeldes enthalt. Neben dem unabdingbaren Stoff der Quantenmechanik, innerhalb dessen die Streutheorie, zeitabhangige Phanomene und die Dichtematrix ausfiihrlich diskutiert werden, enthiilt das Buch eine Darstellung der Theorie des MeBprozesses und der Bellschen Ungleichung. Ein Kapitel, das bisher noch nicht Eingang in die Lehrbuchliteratur gefunden hat, ist die supersymmetrische Quantenmechanik. Aus didaktischen Griinden wird zunachst die Wellenmechanik entwickelt und ab Kapitel 8 zur Dirac-Notation iibergegangen. Nebenrechnungen und Bemerkungen, die fiir das Verstandnis nicht entscheidend sind, werden in Kleindruck dargestellt. Nur in den etwas fortgeschritteneren Abschnitten sind Zitate angegeben, die auch dort keineswegs vollstandig sind, aber zur weiteren Lektiire anregen sollen. Das Buch wird Studenten der Physik und verwandter Fachgebiete ab dem 4. oder 5. Semester empfohlen, und Teile daraus konnen moglicherweise auch von Lehrenden nutzbringend verwendet werden. Dieses Buch ist aus Vorlesungen iiber Quantenmechanik, die der Autor seit 1973 an der Universitat Linz und der Technischen Universitat Miinchen gehalten hat, entstanden. Bei Teilen der Rohfassung des Skriptums und von Zeichnungen und Tabellen haben die Herren R. Alkover, E. Frey und H. T. Janka mitgewirkt. Die Korrekturen der Druckfahnen wurden von den Herren Th. Fischer, W. Prusseit, H. Schinz, A. Schorgg, S. Thoma und

6 VIII Vorwort zur ersten Auftage U. Taubner gelesen. Herr W. Gasser hat das gesamte Manuskript gelesen und zu vielen Kapiteln des Buches wert volle Anregungen gegeben. Ihnen und allen anderen Mitarbeitem, deren Hilfe fur die Entstehung wichtig war, sowie dem Verlag sei an dieser Stelle herzlichst gedankt. Miinchen, September 1988 F. Sckwabl

7 1. Historische und e x p ~ r i mgrundjagen e n t e U e Einleitung und Uberblick Historisch grundlegende Experimente und Erkenntnisse Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen Welleneigenschaften von Teilchen, Beugung von Materiestrahlen Diskrete Zustiinde WeUenfunktion und Schrodinger-Gleichung Die Wellenfunktion und ihre Wahrscheinlichkeitsinterpretation SchrOdinger-Gleichung fiir freie Teilchen Superposition von ebenen Wellen Wahrscheinlichkeitsverteilung fiir eine Impulsmessung Veranschaulichung der Unschii.rferelation Impuls im Ortsraum Operatoren und Skalarprodukt Korrespondenzprinzip und Schrodinger-Gleichung Korrespondenzprinzip Postulate der Quantentheorie Mehrteilchensysteme Das Ehrenfestsche Theorem Die Kontinuitatsgleichung fiir die Wahrscheinlichkeitsdichte Stationare LOsungen der Schrodinger-Gleichung, Eigenwertgleichungen Stationare Zustiinde Eigenwertgleichungen Entwicklung nach stationiiren Zustiinden Physikalische Bedeutung der Eigenwerte eines Operators Einige wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffe Anwendung auf Operatoren mit diskreten Eigenwerten... 37

8 X Anwendung auf Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum Axiome der Quantentheorie Ergiinzungen Das allgemeine Wellenpaket Bemerkung zur Normierbarkeit der Kontinuumszustiinde Eindimensionale Probleme Der harmonische Oszillator Algebraische Methode Die Hermite-Polynome Die Nullpunktsenergie Koharente Zustiinde Potentialstufen Stetigkeit von tjj( x) und tjj' (x) fur stiickweise stetiges Potential Die Potentialstufe Tunneleffekt, Potentialschwelle Die Potentialschwelle Kontinuierliche Potentialberge Anwendungsbeispiel: Der a-zerfall Potentialtopf Gerade Symmetrie Ungerade Symmetrie Symmetrieeigenschaften Paritat Konjugation Allgemeine Diskussion der eindimensionalen Schrodinger-Gleichung Potentialtopf, Resonanzen Analytische Eigenschaften des Transmissionskoeffizienten Bewegung eines Wellenpaketes in der Nahe einer Resonanz U nscharferelation Heisenbergsche Unscharferelation Schwarzsche Ungleichung Allgemeine Unscharferelationen Energie-Zeit-Unscharfe Durchgangsdauer und Energieunscharfe Dauer einer Energiemessung und Energieunscharfe... 94

9 XI Lebensdauer und Energieunschii.rfe Gemeinsame Eigenfunktionen von kommutierenden Operatoren Der Drehimpuls Vertauschungsrelationen, Drehungen Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren Bahndrehimpuls in Polarkoordinaten Zentralpotential I Kugelkoordinaten Bindungszustande in drei Dimensionen Coulomb-Potential Das Zweikorperproblem Bewegung im elektromagnetischen Feid Der Hamilton-Operator Konstantes Magnetfeid B Normaler Zeeman-Effekt Kanonischer und kinetischer Impuls, Eichtransformation Kanonischer und kinetischer Impuls Anderung der Wellenfunktion bei einer Eichtransformation Aharonov-Bohm-Effekt Wellenfunktion im magnetfeldfreien Gebiet Aharonov-Bohm-Interferenzexperiment FluBquantisierung in Supraleitern Freie Elektronen im Magnetfeld Operatoren, Matrizen, Zustandsvektoren Matrizen, Vektoren und unit are Transformationen Zustandsvektoren und Dirac-Notation Axiome der Quantenmechanik Ortsdarstellung Impulsdarstellung Darstellung beziiglich eines diskreten Basissystems Mehrdimensionale Systeme und Vielteilchensysteme Schrodinger- und Heisenberg-Darstellung Schrodinger-Darstellung Heisenberg-Darstellung Wechselwirkungsdarstellung (Dirac-Darstellung) Bewegung eines freien Elektrons im Magnetfeld

10 XII 9. Spin Experimentelle Entdeckung des inneren Drehimpulses "Normaler" Zeeman-Effekt Stern-Gerlach-Experiment.... Mathematische Formulierung fur Spin 1/2.... Eigenscha.ften der Pauli-Matrizen.... Zustiinde, Spinoren.... Magnetisches Moment.... Riiumliche Freiheitsgrade und Spin Addition von Drehimpulsen Problemstellung Addition von Spin 1/2-0pera.toren Bahndrehimpuls und Spin 1/ Allgemeiner Fall Niherungsmethoden fiir stationire Zustinde Zeitunabhiingige Storungstheorie (Rayleigh-Schrooinger) Nicht entartete Storungstheorie Storungstheorie fur entartete Zustiinde Variationsprinzip WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)-Methode Brillouin-Wigner-Storungstheorie Relativistische Korrekturen Relativistische kinetische Energie Spin-Bahn-Kopplung Darwin-Term Weitere Korrekturen Lamb-Verschiebung Hyperfeinstruktur Atome mit mehreren Elektronen Identische Teilchen Bosonen und Fermionen Nicht wechselwirkende Teilchen Helium Verna.chliissigung der Elektron-Elektron- Wechselwirkung... " Energieverschiebung durch die abstof3ende Elektron-Elektron-Wechselwirkung Variationsmethode Hartree- und Hartree-Fock-Niherung (Selbstkonsistente Felder)

11 XIII Hartree-N8.herung Hartree-Fock-N8.herung Thomas-Fermi-Methode Atomaufbau und Hundsche Regeln Zeeman-Effekt und Stark-Effekt Wasserstoffatom im Magnetfeld Schwaches Feld Starkes Feld, Paschen-Back-Effekt Zeeman-Effekt fiir beliebiges Magnetfeld Mehrelektronenatome Schwaches Magnetfeld Starkes Magnetfeld, Paschen-Back-Effekt Stark-Effekt Energieverschiebung des Grundzustandes Angeregte Zustiinde Molekiile Qualitative Uberlegungen Born-Oppenheimer-N8.herung Das Ht -Molekiil Das Wasserstoffmolekiil H Energieniveaus eines zweiatomigen Molekiils: Schwingungs- und Rotationsniveaus Van-der-Waals-Kraft Zeitabhangige Phinomene... _ Heisenberg-Darstellung fiir einen zeitabhiingigen Hamilton-Operator Sudden Approximation (Plotzliche Parameteriinderung) Zeitabhiingige Storungstheorie Storungsentwicklung Ubergiinge 1. Ordnung Ubergiinge in ein kontinuierliches Spektrum, Goldene Regel Periodische Storung Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld Hamilton-Operator Quantisierung des Strahlungsfeldes Spontane Emission Elektrische Dipoliibergiinge (E1) Auswahlregeln fur Elektrische Dipol-(E1)- Ubergiinge

12 XIV Elektrische Quadrupol- und magnetische Dipoliibergange Absorption und stimulierte Emission Zentralpotential II Schrodinger-Gleichung fur sph8.risch symmetrisches Kastenpotential Spharische Bessel-Funktionen Bindungszustande des sph8.rischen Potentialtopfes Grenzfall eines tiefen Potentialtopfes Kontinuumslosungen fiir den Potentialtopf Entwicklung von ebenen Wellen nach Kugelfunktionen Streutheorie Streuung eines Wellenpaketes und stationare Zustande Wellenpaket Formale Losung der zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung Asymptotisches Verhalten des Wellenpakets Streuquerschnitt (Wirkungsquerschnitt) Partialwellen Optisches Theorem Bornsche Niiherung Inelastische Streuung Streupha.sen Resonanz-Streuung am Potentialtopf Niederenergie-s-Wellen-Streuung, Streulange Streuung fiir hohe Energien Erganzende Bemerkungen Transformation in das Laborsystem Coulomb-Potential Supersymmetrische Quantentheorie Verallgemeinerte Leiteroperatoren Beispiele Reflexionsfreie Potentiale Funktion Harmonischer Oszillator Coulomb-Potential Erganzungen

13 XV 20. Zustand und Me6proze6 in der Quantenmechanik Der quantenmechanische Zustand, Kausalitat und Determinismus Die Dichtematrix Dichtematrix fiir reine und gemischte Gesamtheiten Von-Neumann-Gleichung Spin 1/2-Systeme Der MeBvorgang Der Stern-Gerlach-Versuch Quasiklassische Losung Stern-Gerlach-Versuch als idealisierter MeBvorgang Allgemeines Experiment und Kopplung an die Umgebung Der EinfluB einer Beobachtung auf die Zeitentwicklung Phasenrelationen beim Stern-Gerlach-Experiment EPR-Argument, Versteckte Parameter, Bellsche U ngleichung EPR-(Einstein, Podolsky, Rosen)-Argument Bellsche Ungleichung Anhang A. B. C. D. 375 Mathematische Hilfsmittel zur Losung linearer Differentialgleichungen A.l Fourier-Transformation A.2 Delta-Funktion und Distributionen A.3 Greensche Funktionen Kanonischer und kinetischer Impuls Algebraische Bestimmung der Bahndrehimpulseigenfunktionen Tabellen und Periodensystem Sachverzeichnis