RS-Flipflops. Parameterabhängige Nullstellenprobleme mit Umkehr- und Verzweigungspunkten. Proseminar Numerik, WiSe 02/03

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1 RS-Flipflops Parameterabhängige Nullstellenprobleme mit Umkehr- und Verzweigungspunkten Proseminar Numerik, WiSe /3 1

2 Grundbegriffe der Digitaltechnik Die digitale Schaltungstechnik beschäftigt sich mit der Verarbeitung digitaler (binärer, logischer, boolescher) Signale. Elektrische Signale repräsentieren dabei die booleschen Wahrheitswerte 1 (auch H, Hi, High ) und (auch L, Lo, Low ). Beliebte elektrische Repräsentationen für logisch und 1 sind die Spannungspegel V und V (MOS-Technik) oder V und 1V (DTL-Technik). Digitale Signale können mit sog. Gattern miteinander verknüpft werden. Kombinatorische Gatter arbeiten funktional (rückkopplungsfrei) und haben in der Regel mehrere Eingänge und einen Ausgang, stellen somit eine Funktion B n B, B = {, 1}, dar. Durch Bündelung lassen sich auch Funktionen B n B m realisieren.

3 Spezielle Gatter NOT AND OR NAND NOR I 1 I O I 1 I O I 1 I O I 1 I O I O Durch geschicktes Kombinieren dieser Gatter lassen sich alle kombinatorischen Schaltfunktionen B n B m realisieren. Tatsächlich kommt man mit Gattern des Typs NAND aus (alternativ NOR). Beide Typen lassen sich elektrisch leicht realisieren, weshalb sich die moderne Digitaltechnik im Wesentlichen auf die Verwendung von NAND- und NOR-Gattern beschränkt. 3

4 Flipflops Durch Rückkopplung kann man aus Schaltgattern Speicherelemente konstruieren: Aus zwei NAND-Gattern (alternativ zwei NOR-Gattern) lassen sich sog. RS-Flipflops bauen. Diese speichern einen logischen Wert (Bit), der sich mit dem S-Eingang ( Set ) setzen und dem R-Eingang ( Reset ) rücksetzen läßt. S R Q Q S R Q n+1 Q n+1 Q n+1 Q n Q n Q n Q n Q n S R Q Q RS-Flipflops lassen sich durch zwei zusätzliche Gatter leicht zu D-Flipflops ergänzen, die Grundelement digitaler Speicherchips sind.

5 Grundlagen elektrischer Bauelemente Das Verhalten elektrischer Bauelemente wird durch sog. Strom- Spannungs-Beziehungen modelliert: Widerstände: Es gilt das Ohmsche Gesetz: der durch den Widerstand der Größe R fließende Strom I R ist linear zur anliegenden Spannung U R = ϕ 1 ϕ, es gilt: I R = U R /R. ϕ 1 I R ϕ Dioden: Für den Diodenstrom gilt I D = f D (ϕ 1 ϕ ) = I S (e (ϕ 1 ϕ )/U T 1) mit den Parametern Sättigungsstrom I S A und Thermospannung U T.V (bei 7 C). ϕ 1 I D ϕ

6 Bipolartransistoren (NPN): Im verwendeten Ebersmodell werden die Ströme der drei Anschlüsse (Basis, Kollektor, Emitter) getrennt modelliert. Es gelten die Beziehungen: B I B I C I E C E I E = I DE α R I DC I C = α F I DE I DC I B = I E I C = (1 α F )I DE (α R 1)I DC Dabei ist I DE = I ES (e U BE/U T 1) und I DC = I CS (e U BC/U T 1). Die folgenden Parameter können verwendet werden: Vorwärts-Verstärkung: α F =.99 Rückwärts-Verstärkung: α R =. Emitter-Diodenstrom: I ES = A Kollektor-Diodenstrom: I CS = α F α I R ES = A 6

7 MOS-Transistoren (MOSFET): Unterschieden werden N-Kanal- und P-Kanal- Typen. Im Gegensatz zu Bipolartransistoren fließen hier keine Steuerströme. MOSFET haben die vier Anschlüsse Gate, Drain, Source, Bulk. Sie werden durch das Schichman-Hodge-Modell beschrieben: G G D B S D B S I DS I DS bzw. I DS = NMOS(U GS, U DS, U GD, U BS, U BD ) = g DS (U GS, U DS, U BS ) U DS > U DS = g DS (U GD, U DS, U BD ) U DS < I DS = PMOS(U GS, U DS, U GD, U BS, U BD ) = NMOS( U GS, U DS, U GD, U BS, U BD ) 7

8 Dabei sei g DS (U GS, U DS, U BS ) = U GS U T E β(u GS U T E ) (1 + δu DS ) U GS U T E U DS βu DS ((U GS U T E ) U DS )(1 + δu DS ) U DS U GS U T E und U T E = U T + γ( φ U BS φ) Die folgenden Parameter können verwendet werden: Null-Schwellenspannung: U T =.8 V Substrat-Schwellenspannung: γ =.1 V 1/ Kanalmodulation: δ =.1 V 1 Oberflächenpotential: φ =.8 V Leitfähigkeitskonstante: β = β 1 A/V 8

9 Inverterschaltungen (NOT-Gatter) NMOS-Inverter haben einen sehr einfachen Aufbau (siehe Schaltbild). Der Drain-Source-Strom I DS läßt sich nach dem Schichman-Hodge-Modell wie folgt berechnen: I DS = NMOS(I, x, I x,, x). I V 1K x Für verschiedene Parameter I erhält man so eine Kurvenschar I DS,I (x). Ebenfalls abhängig vom Potential beim Knoten x ist der Strom I R = ( x)/1 durch den Lastwiderstand. Die 1. Kirchhoffsche Regel ( Die Strombilanz in jedem Knoten muß ausgeglichen sein ) führt auf ein Nullstellenproblem: wird eine Eingangsspannung I an den Inverter angelegt, so nimmt der Ausgangsknoten ein Potential x an, für das I R = I DS gilt, also ( x)/1 NMOS(I, x, I x,, x) =. 9

10 Mit dem Newton-Verfahren lassen sich diese Nullstellen leicht finden. Es ergibt sich ein für Inverter typischer Nullstellenverlauf: 3 Drain-Source-Strom und Lastgerade Ugs = Ugs =. Ugs = 3 Ugs = 3. Ugs = Ugs =. Ugs = Lastgerade NMOS - Inverter Ausgangsspannung Stromfluss 3 Ids 1 Q Uds 1 3 I Beachte, daß bei NMOS-Invertern bei gesetztem Eingang (V) ein Ruhestrom fließt. Das wird bei CMOS-Invertern durch eine 1

11 komplementäre Bauweise vermieden. Man erhält ebenfalls ein Nullstellenproblem, das wieder vom Newton-Verfahren einfach gelöst werden kann: PMOS(I, x, I x,, x)+nmos(i, x, I x,, x) = V CMOS - Inverter Ausgangsspannung Stromfluss I x 3 Q I 11

12 NAND-Gatter in DTL-Technik Ein NAND-Gatter in DTL-Technik kann wie nebenstehend realisiert werden. Wir werden R = R C = 1Ω, R 1 = 18Ω, R = Ω, α F I ES = I S = 1 1 A annehmen. Für die drei Knotenpotentiale x 1, x, x 3 liefert die 1. Kirchhoffsche Regel je eine Gleichung: e 1 e 1V R 1V R 1 x 1 x 3 R x R C (1 x 1 )/R + (x x 1 )/R 1 f D (x 1 e 1 ) f D (x 1 e ) = (x 1 x )/R 1 + ( 1 x )/R 1 99 f D(x ) f D (x x 3 ) = (1 x 3 )/R C f D (x ) + f D (x x 3 ) = Einige spezielle Nullstellen dieser Funktion R 3 R 3 findet (bei exakter Funktionalmatrix!) wieder das Newton-Verfahren: 1

13 x3(e1,e) e 1 e x 1 x x e Durch (kleinschrittiges) Verfolgen der Nullstellen über die e 1 e - Ebene kann obiger Plot erstellt werden, der das Potential des NAND-Ausgangs x 3 als Funktion der Eingänge e 1 und e darstellt. Die Abbildung bestätigt die erhoffte NAND-Funktionalität der Schaltung. Um die vier Startlösungen zu finden, wurde eine 3-schrittige Einbettung bzgl. der (physikalischen) Parameter U T (Thermospannung 1 1 ) und I S (Sättigungsstrom ) durchgeführt. Beim Verfolgen der Nullstellen über e 1 e war keine Einbettung nötig, wenn die Schrittweite klein genug gewählt war x e1

14 RS-Flipflops aus DTL-NANDs Natürlich können aus zwei der beschriebenen DTL-NAND-Gatter RS-Flipflops gebaut werden. Dabei müssen sechs Potentialknoten betrachtet werden: 1V R x R 1 y R C z R u R 1 R R C v w (1 x)/r + (y x)/r 1 F D (x w) F D (x S) = (y x)/r 1 + ( 1 y)/r 1 99 F D(y) F D (y z) = (1 z)/r C + F D (u z) F D (y) + F D (y z) = (1 u)/r + (v u)/r 1 F D (u z) F D (u R) = (v u)/r 1 + ( 1 v)/r 1 99 F D(v) F D (v w) = (1 w)/r C + F D (x w) F D (v) + F D (v w) = S R R 1V 1

15 Ist (S, x, y, z, R, u, v, w) eine Nullstelle dieser R 6 R 6 -Funktion, dann ist natürlich (R, u, v, w, S, x, y, z) ebenfalls eine. Der Fall (x, y, z) = (u, v, w) kann nur bei R = S eintreten (und wird symmetrische Lösung genannt). Für den Fall R = S = 1 findet man mit dem Newton-Verfahren drei (!) Lösungen: R S x y z u v w Die folgenden Diagramme zeigen die Resultate von Pfadverfolgungen der symmetrischen und unsymmetrischen Lösungen von R = S = 1 bis R = S = und in den Ebenen R = 1 und S = 1. Dargestellt ist jeweils nur die Ausgangskomponente w. 1

16 Q S = R Ebene Symmetrischer Zweig Unsymmetrischer Zweig Die Pfadverfolgung des symmetrischen Zweigs geht einher mit einem Vorzeichenwechsel der Determinante der Funktionalmatrix an der Stelle der Verzweigung. Q S = R 1 S = R Achse Wie erwartet existieren für R = S = 1 zwei Nullstellen, für R = bzw. S = jedoch nur einzelne. DTL - Flipflop Q 1 1 R = 1 S = S R 16

17 NAND-Gatter in CMOS-Technik Der Schaltplan eines CMOS-NAND-Gatters ist rechts gegeben. Es sind nur zwei Potentialknoten zu betrachten. Beachte, daß sich der Parameter β 1 des Schichman-Hodge-Modells kürzen läßt! e x V y e 1 NMOS(e 1, x, e 1 x,, x) NMOS(e x, y x, e y, x, y) = NMOS(e x, y x, e y, x, y) + PMOS(e 1, y, e 1 y,, y) + PMOS(e, y, e y,, y) = 17

18 Recht einfach lassen sich mit dem Newton-Verfahren rechtsstehende Nullstellen finden. e 1 e x y e 1 1.6e 1 Die folgenden Abbildungen zeigen das Schaltverhalten des Gatters bei e = bzw. in der e 1 e -Ebene: e = y(e1,e) y 3 y e e1 e1 18

19 RS-Flipflop in CMOS-Technik Das aus zwei CMOS-NAND-Gattern konstruierte RS-Flipflop ist rechts abgebildet. Es existieren vier Potentialknoten: S y x v u V R NMOS(S, x, S x,, x) NMOS(v x, y x, v y, x, y) = NMOS(v x, y x, v y, x, y) + PMOS(S, y, S y,, y) + PMOS(v, y, v y,, y) = 19

20 NMOS(R, u, R u,, u) NMOS(y u, v u, y v, u, v) = NMOS(y u, v u, y v, u, v) + PMOS(R, v, R v,, v) + PMOS(y, v, y v,, v) = Natürlich existiert auch hier ein symmetrischer und ein unsymmetrischer Lösungszweig. Lösungen für R = S = können wieder einfach gefunden werden: S R x y u v

21 Q 3 1 S = R Ebene Symmetrischer Zweig Unsymmetrischer Zweig Ergebnis 1 3 S = R einer Pfadverfolgung von S = R = bis S = R =. Im symmetrischen Zweig kommt es wieder zu einem Vorzeichenwechsel der Determinante der Funktionalmatrix. Q 3 R = und S = Ebenen S = R Achse Wie erwartet existieren für R = S = zwei Nullstellen, für R = bzw. S = jedoch nur einzelne. CMOS - Flipflop R = S = Q S 3 3 R

22 Q S = R Ebene S = R Werden die PMOS-Transistoren des CMOS RS-Flipflops durch selbstleitende Modelle ersetzt (z.b. U T =.8V und γ =.1V 1/ ), so ergibt sich ein qualitativ ausgeprägteres Diagramm für die R = S-Ebene. Der Versuch, gefundene Nullstellen bei R = S = in Richtung R = S = zu verfolgen, wird scheitern. Hier wurden die Nullstellen rund um den Verzweigungspunkt durch Ausprobieren zufällig gewählter Startpunkte für das Newton-Verfahren gefunden.

23 Ressourcen Diese Folien und die Quellprogramme der während des Vortrags verwendeten Octave-Skripten lassen sich hier finden: Octave ist eine freie, Matlab-ähnliche (weitgehend codekompatible) Programmiersprache zum effizienten numerischen Rechnen: 3

24 Literaturhinweise K. Taubert: Flip-Flops: Parameterabhängige Nullstellenprobleme mit Umkehr- und Verzweigungspunkten, Institut für Angewandte Mathematik der Universität Hamburg, Juli 199. K. Taubert, W. Wiedl: Einführung in die Numerik und Simulation höchstintegrierter Schaltungen, Institut für Angewandte Mathematik der Universität Hamburg, WiSe 9/93. Schiffmann/Schmitz: Technische Informatik 1, Springer-Verlag, 199.

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