Vorlesung 13a. Übergangswahrscheinlichkeiten und Gleichgewichtsverteilungen. Teil 2
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- Detlef Raske
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1 Vorlesung 13a Übergangswahrscheinlichkeiten und Gleichgewichtsverteilungen Teil 2 1
2 Die Erneuerungskette: 2
3 Die Erneuerungskette: Auf S = N betrachten wir folgende stochastische Dynamik:
4 Die Erneuerungskette: Auf S = N betrachten wir folgende stochastische Dynamik: P(i, i 1) = 1 für i > 1, P(1, i) = λ i, i = 1,2,...
5 Die Erneuerungskette: Auf S = N betrachten wir folgende stochastische Dynamik: P(i, i 1) = 1 für i > 1, P(1, i) = λ i, i = 1,2,... mit vorgegebenen W-Gewichten λ i.
6 Die Erneuerungskette: Auf S = N betrachten wir folgende stochastische Dynamik: P(i, i 1) = 1 für i > 1, P(1, i) = λ i, i = 1,2,... mit vorgegebenen W-Gewichten λ i. Interpretation: i ist die Restlebenszeit eines Gerätes.
7 Die Erneuerungskette: Auf S = N betrachten wir folgende stochastische Dynamik: P(i, i 1) = 1 für i > 1, P(1, i) = λ i, i = 1,2,... mit vorgegebenen W-Gewichten λ i. Interpretation: i ist die Restlebenszeit eines Gerätes. Wenn das Gerät die Restlebenszeit 1 erreicht hat, geht es im nächsten Schritt kaputt und wird sofort durch ein neues Gerät ersetzt, dessen anfängliche Restlebenszeit L die Verteilunsgewichte (λ i ) hat.
8 Wir suchen nach der Gleichgewichtsverteilung π von P : 3
9 Wir suchen nach der Gleichgewichtsverteilung π von P : (G) π i π 1 λ i = π i, i = 1,2,...
10 Wir suchen nach der Gleichgewichtsverteilung π von P : (G) π i π 1 λ i = π i, i = 1,2,... π i π i+1 = π 1 λ i, i = 1,2,...
11 Wir suchen nach der Gleichgewichtsverteilung π von P : (G) π i π 1 λ i = π i, i = 1,2,... π i π i+1 = π 1 λ i, i = 1,2,... Summiert über i von 1 bis k 1 ergibt das:
12 Wir suchen nach der Gleichgewichtsverteilung π von P : (G) π i π 1 λ i = π i, i = 1,2,... π i π i+1 = π 1 λ i, i = 1,2,... Summiert über i von 1 bis k 1 ergibt das: π 1 π k = π 1 P{L < k},
13 Wir suchen nach der Gleichgewichtsverteilung π von P : (G) π i π 1 λ i = π i, i = 1,2,... π i π i+1 = π 1 λ i, i = 1,2,... Summiert über i von 1 bis k 1 ergibt das: π 1 π k = π 1 P{L < k}, oder (dazu äquivalent) π k = π 1 P{L k}.
14 π k = π 1 P{L k} 4
15 π k = π 1 P{L k} Treffen wir jetzt die Annahme EL <. Durch Summation über alle k bekommen wir:
16 π k = π 1 P{L k} Treffen wir jetzt die Annahme EL <. Durch Summation über alle k bekommen wir: 1 = π 1 EL, und das eingesetzt in obige Gleichung liefert:
17 π k = π 1 P{L k} Treffen wir jetzt die Annahme EL <. Durch Summation über alle k bekommen wir: 1 = π 1 EL, und das eingesetzt in obige Gleichung liefert: P{L k} π k = EL
18 π k = π 1 P{L k} Treffen wir jetzt die Annahme EL <. Durch Summation über alle k bekommen wir: 1 = π 1 EL, und das eingesetzt in obige Gleichung liefert: P{L k} π k = EL Dies erfüllt in der Tat die Bedingung (G):
19 π k = π 1 P{L k} Treffen wir jetzt die Annahme EL <. Durch Summation über alle k bekommen wir: 1 = π 1 EL, und das eingesetzt in obige Gleichung liefert: P{L k} π k = EL Dies erfüllt in der Tat die Bedingung (G): π k π k+1 = π 1 P{L = k}.
20 Sei R 1 := R 1 (X) := inf{n 1 ; X n = 1} die Rückkehrzeit des Pfades X zum Zustand 1. 5
21 Sei R 1 := R 1 (X) := inf{n 1 ; X n = 1} die Rückkehrzeit des Pfades X zum Zustand 1. Wir haben gezeigt: π 1 = 1, m.a. W. EL
22 Sei R 1 := R 1 (X) := inf{n 1 ; X n = 1} die Rückkehrzeit des Pfades X zum Zustand 1. Wir haben gezeigt: π 1 = 1, m.a. W. EL π 1 = 1 E 1 (R 1 ).
23 Sei R 1 := R 1 (X) := inf{n 1 ; X n = 1} die Rückkehrzeit des Pfades X zum Zustand 1. Wir haben gezeigt: π 1 = 1, m.a. W. EL π 1 = 1 E 1 (R 1 ). Das Gewicht des Zustands 1 im Gleichgewicht ist die erwartete Rückkehrzeit bei Start in 1.
24 Die eben formulierte Beziehung gilt in einem ganz allgemeinen Rahmen. 6
25 Die eben formulierte Beziehung gilt in einem ganz allgemeinen Rahmen. Dazu definieren wir erst:
26 Die eben formulierte Beziehung gilt in einem ganz allgemeinen Rahmen. Dazu definieren wir erst: Eine Übergangswahrscheinlichkeit P auf S heißt irreduzibel, wenn es für alle a, b S ein n N gibt mit P n (a, b) > 0.
27 Die eben formulierte Beziehung gilt in einem ganz allgemeinen Rahmen. Dazu definieren wir erst: Eine Übergangswahrscheinlichkeit P auf S heißt irreduzibel, wenn es für alle a, b S ein n N gibt mit P n (a, b) > 0. Beispiele dafür: Irrfahrten auf zusammenhängenden Graphen, Ehrenfest-Modell,...
28 Satz Ist π eine Gleichgewichtsverteiltung zu einer irreduziblen Übergangswahrscheinlichkeit P, dann gilt für alle a S: vgl. Skript Kersting, Korollar 5.7 7
29 Satz Ist π eine Gleichgewichtsverteiltung zu einer irreduziblen Übergangswahrscheinlichkeit P, dann gilt für alle a S: π(a) = 1 E a (R a ). vgl. Skript Kersting, Korollar 5.7
30 Zum Abschluss des Kapitels überlegen wir noch, wie man erwartete Treffzeiten mit der Zerlegung nach dem ersten Schritt in den Griff bekommt. 8
31 Zum Abschluss des Kapitels überlegen wir noch, wie man erwartete Treffzeiten mit der Zerlegung nach dem ersten Schritt in den Griff bekommt. Sei dazu X = (X 0, X 1,...) ein zufälliger Pfad auf S, der der stochastischen Dynamik P folgt.
32 Zum Abschluss des Kapitels überlegen wir noch, wie man erwartete Treffzeiten mit der Zerlegung nach dem ersten Schritt in den Griff bekommt. Sei dazu X = (X 0, X 1,...) ein zufälliger Pfad auf S, der der stochastischen Dynamik P folgt. Man sagt dafür auch: X ist eine Markovkette mit Übergangswahrscheinlichkeit P.
33 Satz: 9
34 Satz: Sei B eine Teilmenge von S, und T B := inf{n 0 : X n B}.
35 Satz: Sei B eine Teilmenge von S, und T B := inf{n 0 : X n B}. Dann gilt für die erwarteten Treffzeiten bei Start in a, e(a) := E a [T B ], das Gleichungssystem:
36 Satz: Sei B eine Teilmenge von S, und T B := inf{n 0 : X n B}. Dann gilt für die erwarteten Treffzeiten bei Start in a, e(a) := E a [T B ], das Gleichungssystem: e(a) = 1 + b S P(a, b) e(b) für a / B, e(a) = 0 für a B.
37 Der Beweis des Satzes beruht auf der Zerlegung nach dem ersten Schritt: 10
38 Der Beweis des Satzes beruht auf der Zerlegung nach dem ersten Schritt: Ist a / B, dann muss man jedenfalls einen Schritt machen.
39 Der Beweis des Satzes beruht auf der Zerlegung nach dem ersten Schritt: Ist a / B, dann muss man jedenfalls einen Schritt machen. Für die um 1 verminderte Treffzeit von B folgt mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
40 Der Beweis des Satzes beruht auf der Zerlegung nach dem ersten Schritt: Ist a / B, dann muss man jedenfalls einen Schritt machen. Für die um 1 verminderte Treffzeit von B folgt mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: E a [T 1] = b S P a {X 1 = b}e b [T].
41 Der Beweis des Satzes beruht auf der Zerlegung nach dem ersten Schritt: Ist a / B, dann muss man jedenfalls einen Schritt machen. Für die um 1 verminderte Treffzeit von B folgt mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: E a [T 1] = b S P a {X 1 = b}e b [T]. (Vergleiche dazu auch: Skript Kersting S. 125)
42 Mini-Beispiel: 11
43 S := {a, b}, Mini-Beispiel: P(a, b) := p
44 S := {a, b}, Mini-Beispiel: P(a, b) := p E a [T b ] =?
45 S := {a, b}, Mini-Beispiel: P(a, b) := p E a [T b ] =? E a [T b ] = 1 + (1 p)e a [T b ]
46 S := {a, b}, Mini-Beispiel: P(a, b) := p E a [T b ] =? E a [T b ] = 1 + (1 p)e a [T b ] = E a [T b ] = 1 p.
47 S := {a, b}, Mini-Beispiel: P(a, b) := p E a [T b ] =? E a [T b ] = 1 + (1 p)e a [T b ] = E a [T b ] = 1 p. Das wussten wir auch so, denn unter P a ist hier T b geometrisch verteilt zum Parameter p.
48 Beispiel: 12
49 Beispiel: S := {0,1,2,..., r}, mit r N.
50 Beispiel: S := {0,1,2,..., r}, mit r N. P(a, x) := 1 für x = a + 1,..., r. r a
51 Beispiel: S := {0,1,2,..., r}, mit r N. P(a, x) := 1 für x = a + 1,..., r. r a E 0 [T r ] =?
52 Beispiel: S := {0,1,2,..., r}, mit r N. P(a, x) := 1 für x = a + 1,..., r. r a E 0 [T r ] =? Sei e(x) := E x [T r ], x = 0,..., r.
53 Beispiel: S := {0,1,2,..., r}, mit r N. P(a, x) := 1 für x = a + 1,..., r. r a E 0 [T r ] =? Sei e(x) := E x [T r ], x = 0,..., r. Zerlegung nach dem ersten Schritt ergibt
54 Beispiel: S := {0,1,2,..., r}, mit r N. P(a, x) := 1 für x = a + 1,..., r. r a E 0 [T r ] =? Sei e(x) := E x [T r ], x = 0,..., r. Zerlegung nach dem ersten Schritt ergibt e(x) = (e(x + 1) e(r)) r x
55 Beispiel: S := {0,1,2,..., r}, mit r N. P(a, x) := 1 für x = a + 1,..., r. r a E 0 [T r ] =? Sei e(x) := E x [T r ], x = 0,..., r. Zerlegung nach dem ersten Schritt ergibt e(x) = (e(x + 1) e(r)) r x (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r).
56 Der Rest ist Rechnung: 13
57 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r)
58 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x:
59 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x: (r (x+1))e(x+1) = r (x+1)+e(x+2)+...+e(r)
60 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x: (r (x+1))e(x+1) = r (x+1)+e(x+2)+...+e(r) Subtraktion ergibt:
61 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x: (r (x+1))e(x+1) = r (x+1)+e(x+2)+...+e(r) Subtraktion ergibt: (r x)e(x) (r x 1)e(x + 1) = 1 + e(x + 1)
62 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x: (r (x+1))e(x+1) = r (x+1)+e(x+2)+...+e(r) Subtraktion ergibt: (r x)e(x) (r x 1)e(x + 1) = 1 + e(x + 1) e(x) e(x + 1) = r x 1, x = 1,..., r 1.
63 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x: (r (x+1))e(x+1) = r (x+1)+e(x+2)+...+e(r) Subtraktion ergibt: (r x)e(x) (r x 1)e(x + 1) = 1 + e(x + 1) e(x) e(x + 1) = 1 r x, x = 1,..., r 1. Insbesondere ist e(r 1) = 1. Summation ergibt:
64 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x: (r (x+1))e(x+1) = r (x+1)+e(x+2)+...+e(r) Subtraktion ergibt: (r x)e(x) (r x 1)e(x + 1) = 1 + e(x + 1) e(x) e(x + 1) = r x 1, x = 1,..., r 1. Insbesondere ist e(r 1) = 1. Summation ergibt: e(x) = 1 r x + 1 r x
65 Der Rest ist Rechnung: (r x)e(x) = r x + e(x + 1) e(r) Für x + 1 statt x: (r (x+1))e(x+1) = r (x+1)+e(x+2)+...+e(r) Subtraktion ergibt: (r x)e(x) (r x 1)e(x + 1) = 1 + e(x + 1) e(x) e(x + 1) = r x 1, x = 1,..., r 1. Insbesondere ist e(r 1) = 1. Summation ergibt: e(x) = r x 1 + r x E 0 [T r ] = e(0) = r ( ln r für r ).
66 Das eben diskutierte Beispiel tritt auf bei der Analyse eines Algorithmus zum Auffinden des Maximums von r verschiedenen Zahlen in einer rein zufälligen Anordnung a(1),..., a(r). Man begint mit dem Eintrag a(1) und vergleicht ihn mit a(2), a(3),..., bis man zu einem a(i) > a(1) kommt. Man trägt a(i) anstelle von a(1) ein, und vergleicht die verbleibenden a(i + 1), a(i + 2),... mit a(i), bis man zu einem a(j) > a(i) kommt, usw. Die zufällige Folge der Ränge von a(1), a(i), a(j),... folgt dann der im Beispiel beschriebenen Dynamik, und die Treffzeit von r entspricht der Anzahl der Einträge. Vgl. dazu Skript Kersting Seite
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