Teil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v.

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1 Teil I Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester 2011 Olga Holtz MA 378 Sprechstunde Fr und n.v. holtz@math.tu-berlin.de Sadegh Jokar MA 373 Sprechstunde, Do und n.v. jokar@math.tu-berlin.de

2 Kapitel 0 Motivation In diesem Grundkurs beschäftigen wir uns mit Linearer Algebra. Warum sollte man dieses mathematische Gebiet lernen? Warum steht diese Vorlesung im Studienplan aller mathematischen Studiengänge neben Analysis am Anfang? Man stellt die Mathematik oft als Gebäude oder als Baum dar und dann bilden die Linear Algebra und die Analysis das Fundament oder die Wurzeln. Ein anderes Bild ist das eines menschlichen Körpers in dem die Lineare Algebra und die Analysis das Blut bilden, denn diese durchdringen eigentlich die ganze Mathematik. In der Linearen Algebra lernen wir wichtige mathematische Grundstrukturen kennen und benutzen, sie bildet also einen Teil des Handwerkszeugs der Mathematik mit dem man umgehen lernen muss. Dies Handwerkszeug ist aber nicht der Hammer, sondern eher die Multifunktionsbohrmaschine, die immer wieder neu und anders eingesetzt wird. Denn die Lineare Algebra durchwirkt viele Bereiche der Mathematik und fast alle Anwendungen der Mathematik. Sie ist damit nicht nur Fundament oder Wurzel. Die Linearen Algebra ist noch ein relativ junges Gebiet der Mathematik, denn im Gegensatz zur Geometrie, die schon vor über 2000 Jahren in Griechenland eine hohe Blüte hatte, ist die Lineare Algebra in der heutigen Form erst in den letzten 200 Jahren entstanden. Auch ist die Lineare Algebra nicht fertig, sie ist ein hochaktives Forchungsgebiet in der Mathematik mit mehr als 500 Publikationen jedes Jahr. Dafür gibt es viele Gründe. Dies sind einmal die sehr gut entwickelten Strukturen der Linearen Algebra, die ein zentrales Modellierungswerkzeug und Basis der Sprache in fast allen Anwendungen sind. Aber der wohl wichtigste Grund ist, dass man lineare Strukturen viel besser verstehen und in ihnen denken kann als in nichtlinearen Strukturen. Obwohl die Welt um uns herum natürlich hauptsächlich durch nichtlineare Phänomene beschrieben wird, führen 1

3 2 die Methoden zur Modellierung oder Analyse immer wieder auf lineare Prozesse, die annäherungsweise (lokal) das nichtlineare Problem approximieren oder beschreiben. Die nichtlineare Welt wird lokal linearisiert. Beispiel 0.1 Natürlich wissen wir alle (bis auf einige wenige), dass die Erde eine Kugel ist und damit ein Auto oder Zug auf einer Kugeloberfläche herumfährt, also auf einer nichtlinearen Oberfläche, die (z.b.in Norddeutschland) sehr gut näherungsweise durch die Kugelgleichung x 2 + y 2 + z 2 = r 2 beschrieben wird. Aber das ganze Leben und die ganze Technik behandelt den Bau von Schienen und Strassen natürlich, als ob sie auf einer Platte herumfahren. Und dies ist, wenn man in Berliner Dimensionen gegenüber Weltdimensionen denkt, im Rahmen der Genauigkeit die beim Strassenbau notwendig ist, vollauf berechtigt. Aber nicht nur im großen funktioniert dieser Ansatz der Linearisierung, sondern er spielt in fast allen Bereichen von Wissenschaft, Technik und Gesellschaft eine große Rolle. Es bleiben natürlich viele Phänomene, die sich mit Linearer Algebra nicht erklären lassen, wie das Wetter oder Börsenkurse, aber in kleinen Zeitspannen nutzen auch die Klimaforscher und die Börsianer wieder lineare Approximationen zur Beschreibung des lokalen Verhaltens. Wichtig ist dabei immer ein sehr gutes Verständnis des linearen Modells. Wir müssen in der Lage sein in diesen Strukturen zu denken, sie müssen für uns selbstverständlich sein. Diese Techniken und Grundlagen müssen wir lernen bzw. trainieren und dazu ist diese Vorlesung und die zugehörigen Übungen da. Wir wollen nun einige einfache Anwendungsbeispiele betrachten, um ein Gefühl für die Vielfältigkeit der Linearen Algebra zu bekommen. Ein einfaches Beispiel aus der Wirtschaft: Beispiel 0.2 Ein Produktionsbetrieb produziert zwei Produkte P 1, P 2. Produkt P i kostet a i EURO an Rohstoffen und b i EURO an Arbeitslohn. Damit kann ein Gewinn von g i erzielt werden, für i = 1, 2. Insgesamt stehen a EURO an Kapital und b Arbeitslohneinheiten zur Verfügung. Jedes denkbare Produktionsprogramm ist von der Form x 1 Einheiten von P 1 und x 2 Einheiten von P 2. Man kann geometrisch jedes Produktionsprogramm als Zahlenpaar x 1, x 2 darstellen.

4 3 x 2 Punkt (x 1,x 2 ) x 1 Es sind natürlich nur solche Produktionsprogramme erlaubt, die man mit den vorhandenen Ressourcen auch erzielen kann, d.h., a 1 x 1 + a 2 x 2 a, b 1 x 1 + b 2 x 2 b. Ziel der Aufgabe ist die Gewinnmaximierung, d.h., man sucht ein Maximum der Funktion Φ(x 1, x 2 ) = g 1 x 1 + g 2 x 2. Wie kann man dieses Maximum finden? Beobachtung: a x + a x = a q 1 x 1 + q 2 x 2 = y 2 b x + b x = b Erlaubte Produktionsprogramme optimale Losung " q 1 x 1 + q 2 x 2 = y1 q 1 x 1 + q 2 x 2 = y 3 Wenn g 1 x 1 +g 2 x 2 = y ist, so hat man den Gewinn y. Für feste y i sind das parallele Geraden.

5 4 Verschiebt man also diese Parallelen, bis man an die Ecke mit dem maximalen y kommt, so hat man das Problem gelöst. Dies ist ein Beispiel für ein Lineares Programm. Es gibt weitere Vorlesungen und Seminare zum Thema Lineare Programmierung im späteren Verlauf des Studiums, die besondere für Wirtschaftsmathematiker sehr wichtig sind, denn die Lineare Programmierung ist heute aus den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften nicht mehr wegzudenken. Es werden täglich Probleme mit Millionen von Gleichungen und Ungleichungen gelöst. Dafür werden permanent verbesserte mathematische Methoden entwickelt und entsprechende Software. Ein weiteres wichtiges Anwendungsfeld der Linearen Algebra ist die Mechanik. Beispiel 0.3 Stabilität einer Gleichgewichtslage z y x Eine Masse m sei mit Hilfe von Federn im dreidimensionalen Raum aufgehängt. Das Gleichgewicht sei im Punkt (x, y, z) = (0, 0, 0). Wir wollen die Frage studieren ob das Gleichgewicht stabil ist, d.h. ob kleine Störungen das System in einen vollkommen anderen Zustand versetzen können. Um das zu entscheiden, betrachten wir V, die Veränderung der potentiellen

6 5 Energie, wenn m von (0, 0, 0) aus in einen anderen Punkt ( x, ỹ, z) gebracht wird. Abhängig von den Größen der Federkonstanten ergibt sich V = a 0 x 2 a 1 xy + a 2 xz + a 3 y 2 a 4 yz + a 5 z 2, z.b. V = x 2 4xy + 2xz + 3y 2 2yz + 4z 2. Durch quadratische Ergänzung bekommen wir V = (x 2y + z) 2 y 2 + 2yz + 3z 2 = (x 2y + z) 2 (y z) 2 + 4z 2. Wir erhalten lauter Quadrate, aber eines davon mit negativem Vorzeichen. Damit kann V < 0 sein, z.b. für (x, y, z) = (2, 1, 0), und das Gleichgewicht ist für diese Federkonstanten instabil. Lineare Algebra dient also dazu die Stabilität von Gleichgewichtszuständen in der Mechanik zu analysieren. Aber auch viele andere Fragen, die im Zusammenhang mit Schwingungsproblemen aller Art enstehen, werden mit Methoden der Linearen Algebra behandelt. Insbesondere die Berechnung von Resonanzfrequenzen bei Bauwerken, Maschinen, Fahr- oder Flugzeugen ist eine extrem wichtige Anwendung der Linearen Algebra. Solche Probleme werden täglich in vielen Ingenieurbüros gelöst und es kommt immer wieder zu Pannen, weil die dort verwendeten mathematischen Methoden nicht vollkommen ausgereift sind, insbesondere wenn man Extremsituationen betrachtet. Wunderbare Beispiele dafür sind die Millenium Bridge in London, die neuen Großraumflugzeuge, die im Moment konstruiert werden oder auch die mikro-elektro-mechanischen Systeme, bei denen die klassischen Verfahren nicht gut funktionieren. Hier ist ein wichtiges Arbeitsgebiet für Technomathematiker. Eine weitere Wissenschaft die voll von der Linearen Algebra durchdrungen ist, ist die Informatik, denn ein Großteil der mathematischen Strukturen, die dort verwendet werden sind Strukturen der Linearen Algebra. Das dies selbst bei der Gestaltung und Nutzung des Internets eine Rolle spielt zeigt das folgende Beispiel. Beispiel 0.4 Die Internet Suchmaschine Google verwendet einen sogenannten Page-Rank um Internetseiten zu bewerten und damit die Reihenfolge festzulegen, wie die Hitliste bei Ihnen angezeigt wird. Grob gesprochen ist die Idee die Reihenfolge danach zu bewerten, welche wichtigen Links auf diese Seite zeigen.

7 6 Das ist eigentlich unlogisch, weil die Wichtigkeit einer Seite durch die Wichtigkeit anderer Seiten und damit auch durch sich selbst definiert wird. Trotzdem kann man dies Prinzip nutzen indem man sich folgendes überlegt. Man lässt einen virtuellen Surfer im Internet suchen, der jeweils mit Wahrscheinlichkeit p einem Link der derzeitigen Seite folgt, mit Wahrscheinlichkeit 1 p, aber eine zufällige Seite im Internet aussucht. Dann betrachtet man für jede Seite die Wahrscheinlichkeit, dass er im Moment auf dieser Seite ist: und diese Wahrscheinlichkeit ist der PageRank. Dies kann man ausrechnen und Google tut genau das, indem es einen Eigenvektor einer sehr sehr großen Matrix ausrechnet, die so viele Zeilen und Spalten hat wie es Internetnutzer gibt. Diese Zahl wächst sehr rasch. Es mehrere Milliarden Internet-Adressen. Diese Berechnungen müssen auch dauernd wiederholt werden, da das Internet sich ja permanent verändert. Ausserdem wird natürlich über die Prinzipen der Wichtigkeit und auch andere Bewertungsmethoden nachgedacht. Wir sehen, dass man mit Linearer Algebra Zufallsprozesse (diese heißen auch Markov-Prozesse) analysieren kann (wie bei dem zufälligen Surfer) und deren Verhalten für die Konstruktion und den Betrieb von komplexen informatischen Konzepten, wie dem Internet nutzen kann. Dies geht aber viel weiter, es geht z.b. in viele Teile der Wirtschafts- und Finanzwissenschaften hinein. Auch dies sind weitere wichtige Berufsfelder für Mathematiker. Man kann noch viele weitere Beispiele anführen, und wir werden noch viele sehen, aber die Beispiele sind für uns als Mathematiker nur die Motivation, und vielleicht auch später das Arbeitsgebiet, aber vorerst nicht das Ziel. Wir wollen eine Theorie entwickeln, die nicht nur für ein spezielles Problem, sondern für viele Probleme gleichermaßen anwendbar ist. Dazu brauchen wir eine abstrakte Sprache, die grundlegenden mathematischen Strukturen, wie Vektorräume, Matrizen usw. und einen mathematischen Kalkül. Damit werden wir dann sofort loslegen und das wird teilweise sehr losgelöst sein von irgendwelchen konkreten Objekten. Aber wir werden immer wieder Beispiele und reale Objekte betrachten, und unsere Theorie darauf anwenden.

8 Kapitel 1 Mathematische Strukturen Wir wollen zuerst ein paar Grundlagen mathematischer Strukturen einführen und uns etwas vertraut damit machen. Wir werden uns dabei am Anfang auf ein Minimum von Strukturen beschränken, die wir für das Folgende brauchen. Typischerweise betrachtet man in der Schulmathematik und Schulphysik (wenn überhaupt) Vektoren und Matrizen, deren Einträge reelle Zahlen sind. Aber es ist gerade das Schöne an der Mathematik (und auch das was ihre Stärke ausmacht), dass wir uns nicht auf eine konkrete Menge von Zahlen (oder anderen Objekten) beziehen, sondern versuchen zu erkennen, welche Gesetzmäßigkeiten gelten, die möglichst allgemein sind, so dass sie auch auf viele andere Fälle übertragbar sind. Dazu erinnern wir uns an die Rechenregeln aus der Schule. Wir definieren uns dann neue Objekte, welche durch bestimmte dieser Rechenregeln erklärt werden und versuchen dann in einer abstrakten Weise mit diesen Objekten umzugehen. Danach können wir dann für jeden Spezialfall diese allgemeinen Prinzipien nutzen. Dies ist eine klassische Vorgehensweise der Algebra und führt zu der Theorie der Gruppen, Ringe und Körper und weiterer algebraischer Strukturen. Am Anfang der Vorlesung werden wir uns auf einige wenige Strukturen beschränken und dies dann immer weiter erweitern. Aber bevor wir dies tun, führen wir erst mal ein paar Abkürzungen und Symbole ein. Wir schreiben oft anstatt für alle und für gibt es, es existiert oder es gibt. Dies sind sogenannte Quantoren, es gibt sie auch in anderer Form. Zur Behandlung von Mengen betrachten wir die folgenden Symbole. 7

9 8 Element 1 N Teilmenge N Z Durchschnitt N N 0 = N Vereinigung N N 0 = N 0 \ Mengendifferenz N 0 \ N = {0} kartesisches Produkt R R R = R 3 = {(a, b, c) a, b, c R} Nach der Einführung dieser Symbole wollen wir nun die Begriffe Gruppe, Ring und Körper einführen. Definition 1.1 Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Operation oder Verknüpfung, die jeweils zwei Elemente von G zu einem neuen Element von G verknüpft und für die die folgenden Regeln (Axiome) erfüllt sind. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h. (a b) c = a (b c) für alle a, b, c G. Es gibt ein neutrales Element e G mit den folgenden Eigenschaften, a) e a = a für alle a G. b) für alle a G gibt es a G, so dass a a = e. Das Element a heißt inverses Element von a. Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, falls außerdem das Kommutativgesetz gilt, d.h. a b = b a für alle a, b, G. Die Verküpfung ist dabei z.b. die Addition +, dann nennen wir die Gruppe additiv oder die Multiplikation, dann nennen wir die Gruppe multiplikativ. Es kann aber auch eine andere Verknüpfung sein. Bekannte Beispiele für Gruppen sind die ganzen Zahlen Z, die eine additive kommutative Gruppe bilden (mit neutralem Element 0) und inversem Element a = a für alle a Z, oder die rationalen Zahlen Q. Diese bilden analog eine additive kommutative Gruppe. Aber Q \ {0} bildet auch eine multiplikative kommutative Gruppe mit neutralem Element 1 und das Inverse zu a Q \ {0} ist durch 1/a gegeben. Die rationalen Zahlen haben damit einen doppelte Struktur. Diese führt uns zu einer neuen Definition.

10 9 Definition 1.2 Ein kommutativer Ring mit Eins-Element (R, +, ) ist eine Menge R mit zwei Operationen + ( Addition ) und ( Multiplikation ), für die folgende Gesetze gelten: (Ass +) (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c R (Assoziativgesetz), (Komm +) a + b = b + a für alle a, b R (Kommutativgesetz), (Null) Es gibt ein e 0 R mit e 0 + a = a + e 0 = a für alle a R (Existenz eines Null-Elements), (Inv +) für alle a R gibt es a R mit a + a = e 0 (Existenz eines inversen Elements, wir schreiben a anstatt a ), (Ass ) (a b) c = a (b c) für alle a, b, c R (Assoziativgesetz), (Komm ) a b = b a für alle a, b R (Kommutativgesetz), (Eins) Es gibt ein e 1 R mit e 1 a = a e 1 = a für alle a R (Existenz eines Eins-Elements), (Distr) (a + b) c = a c + b c für alle a, b, c R (Distributivgesetz). Im allgemeinen schreiben wir 0 für e 0 und 1 für e 1. Wir können leicht überprüfen, dass die rationalen Zahlen einen solchen kommutativen Ring mit Eins-Element bilden. Dabei haben wir in Q aber noch etwas mehr, nämlich dass auch Inverse bezüglich der Multiplikation (außer für 0) existieren. Dies wird bei einem Ring ja nicht verlangt. Damit kommen wir zur dritten Struktur, dem Körper. Definition 1.3 (i) Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins-Element und r R. Dann heißt r invertierbar, falls es ein r R mit r r = 1 gibt. Wir schreiben dann r 1 oder 1 für r. r (ii) Ein kommutativer Ring mit Eins-Element heißt Körper, wenn 0 1 und zusätzlich das weitere Gesetz gilt: (Inv ) Jedes Element r R mit r 0 ist invertierbar. Die Beschäftigung mit Gruppen, Ringen und Körpern ist eine zentrale Frage der Algebra. Dies sind mit die wichtigsten Strukturbausteine der Mathematik und ein wichtiger Gegenstand der Forschung. Wir wollen diese Objekte hier erst mal nur kennenlernen und uns damit vertraut machen. Sie werden später in vieler Hinsicht verwendet aber die abstrakte Theorie der Gruppen, Ringe und Körper erfolgt dann in den Vorlesung Algebra.

11 10 Beispiel 1.4 Bekannte Mengen N = {1, 2, 3,...} die natürlichen Zahlen, N 0 = N {0}, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die ganzen Zahlen, { } a Q = b a Z, b N die rationalen Zahlen, R die reellen Zahlen. Mit der bekannten Addition und Multiplikation sind Z, Q, R kommutative Ringe mit Eins-Element und Q, R sind sogar Körper. Die Mengen N, N 0 passen nicht in diese Definitionen. Warum nicht? Welche Gesetze gelten nicht? Beispiel 1.5 Der kleinste Körper F 2. F 2 = ({0, 1}, +, ), wobei + und wie folgt definiert sind: Die Multiplikation ist die übliche. Die Addition geht modulo 2, das heißt, man nimmt die übliche Addition und verwendet immer den ganzzahligen Rest nach Division durch 2 als Ergebnis: = 0 (6 : 2 = 3 Rest 0), = 1 (3 : 2 = 1 Rest 1). Kann es Körper mit weniger als 2 Elementen geben? Beispiel 1.6 Sei V = {v = a + 2b a, b Q}, v 1 + v 2 = (a b 1 ) + (a 2 + 2b 2 ) = (a 1 + a 2 ) + 2 (b 1 + b 2 ), v 1 v 2 = (a b 1 ) (a b 2 ) = a 1 a 2 + 2a 1 b a 2 b 1 + 2b 1 b 2 = (a 1 a 2 + 2b 1 b 2 ) + 2(a 1 b 2 + a 2 b 1 ).

12 11 Ist {V, +, } ein Körper (oder nur ein Ring )? 1 v = 1 a + 2b = a 2b a 2 2b = 2 a a 2 2b 2 2 b a 2 2b 2. Da 2 Q, ist a 2 2b 2 0 für alle v V, v 0. Damit ist 1 V v V, v 0. Damit folgt, dass {V, +, } ein Körper ist! für alle v Beispiel 1.7 Komplexe Zahlen Sei C = {z = a + ib a, b R}, wobei i = 1 die imaginäre Einheit ist, mit den Operationen z 1 + z 2 = (a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) = (a 1 + a 2 ) + i(b 1 + b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + i(a 1 b 2 + b 1 a 2 ). Für z = a + ib heißt a Realteil und b Imaginärteil von z. Null-Element 0 = 0 + i0 (0, 0) Eins-Element 1 = 1 + i0 (1, 0) imaginäre Einheit i = 0 + i1 (0, 1) Imaginarteil " b (0,1) = ^ i a+ib = ^ (a,b) (0,0) (1,0) a Realteil Die konjugiert komplexe Zahl zu z = a + ib ist die Zahl z = a ib. C ist ein Körper, denn das inverse Element zu z 0 ist 1 z = 1 a + ib = da a 2 + b 2 > 0 für (a, b) (0, 0). a ib (a + ib)(a ib) = z z z = a ib a 2 + b = 2 a a 2 + b i b 2 a 2 + b C, 2

13 12 Abbildungen Ein weiteres wichtiges mathematisches Objekt, dass vor allem auch in der Analysis studiert wird, sind Abbildungen. Wir wollen hier die wichtigsten Grundbegriffe einführen. Definition 1.8 Seien X, Y zwei Mengen. Eine Abbildung f von X nach Y, f : X Y, ist eine Vorschrift, die jedem x X genau ein Element y = f(x) Y zuordnet. Für die Zuordnung einzelner Elemente schreiben wir x y. Merke! Zu einer Abbildung gehören immer die Mengen, auf denen sie operiert und die Zuordnungsvorschrift. Beispiel 1.9 Sei X = Y = R. a) f : X Y x x 3 b) f : X { Y 0, x 0 x 1, x > 0 Beispiel 1.10 Auch der bekannte Abstandsbegriff im dreidimensionalen Raum (die Euklidische Norm oder Länge) kann mittels einer Abbildung beschrieben werden. Setze X = R R R = R 3, Y = R 2 : X Y (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2. Diese Abbildung beschreibt den Abstand eines Punktes vom Nullpunkt. Definition 1.11

14 13 (x,y,z) (x,y,z) 2 =^ "Abstand des Punktes (x,y,z) vom Ursprung" (a) Sei A eine Menge. Dann ist Id A : A A a a die Identitätsabbildung. (b) Seien X, Y Mengen und A X, B Y. Sei f : X Y eine Abbildung. Dann heißt f(a) = Bild(A) := {f(x) x A} die Bildmenge von A und f 1 (B) := {x f(x) B} das Urbild von B. Bild und Urbild können wir uns relativ einfach veranschaulichen. Beispiel 1.12 Wir betrachten einmal für c R die Abbildung f : R R x x + c Siehe dazu die nebenstehende Figur. Wichtige Eigenschaften von Abbildungen sind die folgenden: Definition 1.13 Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv, wenn keine zwei Elemente von X auf dasselbe Element in Y abgebildet werden. Sie heißt surjektiv oder Abbildung auf Y, wenn jedes y Y von der Form f(x) ist. Sie heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

15 14 f(b) f(x)=x+c Bild(A) f(a) c a A b f(x)=x+c B c f -1 (B) Beispiel 1.14 a) Sei X = Y = R. Ist f(x) = x 2 injektiv, surjektiv? Ist f(x) = 2x + 3 injektiv, surjektiv? b) Sei X = Y = R + = {x R x 0}. Ist f(x) = x 2 injektiv, surjektiv? Abbildungen können auch miteinander verknüpft werden. Definition 1.15 Sind f : X Y und g : Y Z Abbildungen, so ist die zusammengesetzte Abbildung g f definiert durch g f : X Z x g(f(x)). Ist f bijektiv, so heißt die Abbildung f 1 : Y X, für die f 1 f = Id X, die Umkehrabbildung von f.

16 15 Beispiel 1.16 Betrachte X = [ 0, π ], Y = [0, 1], Z = [ 1, 0], 2 und Abbildungen f : X Y x sin x, g : Y Z y y. Dann ist g f : X Z x sin x, f 1 g 1 : Y X y arcsin y, : Z Y z z. Wie schon erwähnt gehören zu einer Abbildung immer die Mengen dazu. Damit können wir die Abbildung dann aber auch auf einer Teilmenge betrachten. Definition 1.17 Seien X, Y Mengen, A X, f : X Y. Dann heißt f A : A Y a f(a) die Einschränkung von f auf A. Beispiel 1.18 Y = X = R, A = [ 0, π ], f : X Y 2 x sin x. f ist nicht injektiv, aber f A ist injektiv. Mit den hier vorgestellten Begriffen haben wir nun ein paar Werkzeuge und Grundbausteine an der Hand mit den wir schon anfangen können etwas zu basteln. Das Erste was wir uns nun bauen wollen sind etwas größere Grundbausteine, die Matrizen.