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1 Stiftung Rheinland-Pfalz für Innovation: Umsetzung moderner Methoden der Portfolio-Optimierung in der Praxis (Förderkennzeichen: /792) Abschlussbericht: Teil A Abteilung Finanzmathematik 25. Februar 2010 Fraunhofer-Platz Kaiserslautern

2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Angaben 2 2 Projektverlauf 2 3 Ergebnisbericht Theoretische Ergebnisse Praxistauglichkeit und Softwareprototyp Verwertungsstrategie Literatur 5 A Abbildungen 7 1

3 Allgemeine Angaben 1 Allgemeine Angaben Antragsteller Asführende Stelle Thema Fraunhofer-Gesellschaft zur Förderung der angewandten Forschung e.v. Hansastraße 27c München Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik Fraunhofer-Platz Kaiserslautern Umsetzung moderner Methoden der Portfolio-Optimierung in der Praxis Förderkennzeichen /792 Laufzeit Schlagwörter Das Projekt lief inklusive einer zwischenzeitlichen, kostenneutralen Verlängerung vom 1. Oktober 2006 bis zum 31. Dezember Portfolio-Optimierung Risikomanagement Altersvorsorge Java-Programmiersprache Risikoaversion Transaktionskosten interaktive Software 2 Projektverlauf Die Ziele des Projekts bestanden darin: Moderne Portfolio-Optimierungsmethoden auf Praxistauglichkeit zu untersuchen, 2

4 Ergebnisbericht zeitstetige Portfolio-Optimierungsansätze in der Theorie weiter zu entwickeln, moderne Portfolio-Optimierungsmethoden im Rahmen eines Prototypen zu implementieren und einen Industriepartner aus der Region zu finden, mit dem aus dem Prototyp heraus ein echtes Softwareprodukt entwickelt werden kann. Während der Laufzeit des Projekts wurde auf allen dieser vier Themenbereiche erfolgreich gearbeitet 1. 3 Ergebnisbericht 3.1 Theoretische Ergebnisse Während der Laufzeit des Projekts wurde zum einen auf mehreren Gebieten erfolgreich geforscht sowie einige Promotionen mit direktem Bezug zum Thema abgeschlossen. Dies sind unter anderem: Portfolio-Optimierung mit Transaktionskosten (Promotion T.K. Man [Man, 2007]) Worst-Case Portfolio-Optimierung (Promotion F. Seifried [Seifried, 2009], [Korn/Seifried, 2010], [Korn/Steffensen, 2007]) Portfolio-Optimierung für Pensionsfonds (Promotion A. Zhang [Zhang, 2008], [Ewald/Korn/Zhang, 2007]) Risikomanagement ([Korn/Wiese, 2008]) Nicht alle diese Resultate fanden Eingang in den erstellten Software-Prototyp, doch stellt eine entsprechende Erweiterung kein wesentliches Problem dar. 3.2 Praxistauglichkeit und Softwareprototyp Ein wesentliches Ziel des Projekts war die Entwicklung eines interaktiven, leicht erweiterbaren und voll funktionsfähigen Softwareprototypen. Um die Erweiterbarkeit zu sichern, wurde der objektorientierte Programmierungsansatz 1 Aufgrund hoher Auslastung und gleichzeitiger Elternzeit mehrerer Mitarbeiterinnen der Abteilung Finanzmathematik wurde das Projekt, das ursprünglich vom 1. Oktober 2006 bis zum 30. September 2008 laufen sollte, kostenneutral verlängert und lief damit bis zum 31. Dezember

5 Ergebnisbericht und aus Gründen der Plattformunabhängigkeit Java als Programmiersprache ausgewählt. Java hat den weiteren Vorteil, dass Java-Programme leicht als Applets in Webseiten eingebunden werden können. Damit der Prototyp interaktiv ist, kann der Benutzer alle relevanten Parameter durch Eingabemasken eingeben. Bei größeren Datenmengen oder wiederholter Verwendung derselben Daten besteht jedoch auch die Möglichkeit, die Daten aus einer Datei einzulesen. Zur Umsetzung moderner Portfolio-Optimierungsmethoden ist es wichtig, die sogenannte Risikoaversion als Charakteristikum eines Anlegers zu ermitteln. Da der Anleger diese evtl. selbst nicht explizit kennt 2, wurde eine pragmatische Herangehensweise ihrer Ermittlung gewählt 3 : Der Anleger hat die Wahl zwischen einem risikobehafteten Fonds und einer risikofreien Geldanlage (samt den entsprechenden Ertrags- und Varianzparametern) und soll den Prozentsatz seines Vermögens angeben, den er in den Fonds investieren möchte. Die zugehörige Vermögensentwicklung (siehe [de Kock, 2010a]) wird hinreichend oft simuliert. Die Ergebnisse der Simulationen werden dem Anleger gezeigt 4. Er kann sich dann entscheiden, ob er mit den Resultaten zufrieden ist, mehr oder weniger in den Fonds investiert. Dieses Vorgehen wird solange wiederholt, bis der Anleger mit den gezeigten Resultaten zufrieden ist. Aus dieser Wahl lässt sich dann der benötigte Risikoaversionsparameter bei Verwendung einer parametrischen Familie von Nutzenfunktionen bestimmen. Im Prototyp wurden verschiedene Portfolio-Optimierungsverfahren implementiert: Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz von Markowitz (siehe [Markowitz, 1952]) wurde in 8 Varianten implementiert, wobei auch ein eigener Algorithmus zur Lösung quadratischer Optimierungsproblemen implementiert wurde (siehe [de Kock, 2010b]), das zeitstetige Merton-Modell (siehe [Merton, 1969]) in seiner mehrdimensionalen Variante (siehe [de Kock, 2010a]), eine zeitdiskrete Variante des Merton-Modells (siehe [de Kock, 2010a]), bei dem Anleger seinen Portfoliovektor nur zu vorgegebenen Zeitpunkten, die vom Benutzer gewählt werden können, gemäß dem Mertonportfolio ändert (hierbei werden auch Transaktionskosten berücksichtigt), eine raffiniertere zeitdiskrete Variante des Merton schen Modells, das Verfahren von Rogers [Rogers, 2001], der Ansatz von [Korn, 2004], der in der Doktorarbeit [Man, 2007] verallgemeinert wurde. Weitere gewünschte Portfolio-Optimierungsmethoden können leicht als Java-Paket implementiert und nahtlos in den bestehenden Prototypen integriert werden. 2 Dies schließt an das Projektziel an, dass der Prototyp ohne Kenntnis der zugrunde liegenden mathematischen Modelle und Methoden eingesetzt werden kann. 3 Die Ermittlung der Risikoaversion durch explizites Befragen erfordert psyhologische Auswertungen, die wir nicht durchführen. Für theoretische Untersuchungen in eine solche Richtung verweisen wir auf [Kahneman/Tversky, 1979] und [Kahneman/Tversky, 1991]. 4 Abbildung 1 zeigt das erwartete Endvermögen in einem bestimmten Fall. 4

6 LITERATUR Abbildung 2 zeigt die Implementierung. Ebenfalls im Bild zu erkennen, ist die typische interaktive Menüstruktur des Prototypen. Außer den Verfahren, die hier besprochen wurden, wurde eine große Auswahl an Portfolio-Optimierungsmethoden und -Modellen auf ihre Eignung hin untersucht. Dazu zählen verschiedene Ansätze zur Berücksichtigung von Transaktionskosten (siehe [Korn, 2004]) und Worst-Case-Portfolio-Optimierung bei Crash-Gefahr (siehe [Korn, 2005], [Korn/Menkens, 2005a] und [Korn/Menkens, 2005b]). Insbesondere letztes Modell könnte auch Anwendung in Problemen der Altersvorsorge finden. 3.3 Verwertungsstrategie Der Softwareprototyp soll mit Hilfe der Firma Teckpro (Kaiserslautern) zu einem Vollprodukt als Beratungssoftware weiterentwickelt werden. Hierzu wurden bereits erste Gespräche aufgenommen. Dies soll als Startpunkt einer dauerhaften Partnerschaft genutzt werden. Literatur [Ewald, C-O./Zhang, A./Korn, R. 2007] EWALD, C-O./ZHANG, A./KORN, R.: Optimal management and inflation protection for defined contribution pension plans. In: Blätter der DGVFM 29 (2007), Nr. 2, S [Kahneman, D./Tversky, A. 1979] KAHNEMAN, D./TVERSKY, A.: Prospect theory: an analysis of decision under risk. In: Econometrica 47 (1979), Nr. 2, S [Kahneman, D./Tversky, A. 1991] KAHNEMAN, D./TVERSKY, A.: Loss aversion in riskless choice: a reference-dependent model. In: The Quarterly Journal of Economics 106 (1991), Nr. 4, S [de Kock 2010a] KOCK, J.M. de: Stiftung Innovation: Moderne Methoden der Portfolio-Optimierung Mathematical Description / Fraunhofer-ITWM Forschungsbericht [de Kock 2010b] KOCK, J.M. de: Stiftung Innovation: Moderne Methoden der Portfolio-Optimierung Software Implementation / Fraunhofer-ITWM Forschungsbericht [Korn 2004] KORN, R.: Realism and practicality of transaction cost approaches in continuous-time portfolio optimisation: the scope of the 5

7 Abbildungen Morton-Pliska approach. In: Mathematical Methods of Operations Research (ZOR) 60 (2004), Nr. 2, S [Korn 2005] KORN, R.: Worst-case scenario investment for insurers. In: Insurance Mathematics and Economics 36 (2005), Nr. 1, S [Korn, R./Menkens, O. 2005a] KORN, R./MENKENS, O.: On worst-case investment with applications in finance and insurance mathematics. In: Interacting Stochastic Systems (2005) [Korn, R./Menkens, O. 2005b] KORN, R./MENKENS, O.: Worst-Case scenario portfolio optimization: a new stochastic control approach. In: Mathematical Methods of Operations Research (ZOR) 62 (2005), Nr. 1, S [Korn, R./Seifried, F.T. 2010] KORN, R./SEIFRIED, F.T.: A worst-case approach to continuous-time portfolio optimization. In: Radon Series for Computational and Applied Mathematics (2010). eingereicht [Korn, R./Steffensen, M. 2007] KORN, R./STEFFENSEN, M.: On worst-case portfolio optimization. In: SIAM Journal on Control and Optimization 46 (2007), S [Korn, R./Wiese, A. 2008] KORN, R./WIESE, A.: Optimal investment and bounded ruin probability: constant portfolio strategies and mean-variance analysis. In: ASTIN Bulletin 38 (2008), Nr. 2, S [Man 2007] MAN, Tin-Kwai: Neue Aspekte der Portfolio-Optimierung und der Modellierung von Bondindizes, Technische Universität Kaiserslautern, Dissertation, 2007 [Markowitz 1952] MARKOWITZ, H.: Portfolio selection. In: Journal of Finance 7 (1952), Nr. 1, S [Merton 1969] MERTON, R.C.: Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous-time case. In: Review of Economics and Statistics 51 (1969), Nr. 3, S [Rogers 2001] ROGERS, L.C.G.: The relaxed investor and parameter uncertainty. In: Finance and Stochastics 5 (2001), Nr. 2, S [Seifried 2009] SEIFRIED, F.T.: Optimal investment in the face of adversity: taxes, crashes, and illiquidity, Technische Universität Kaiserslautern, Dissertation, 2009 [Zhang 2008] ZHANG, A.: Stochastic optimization in finance and life insurance: application of the martingale method, Technische Universität Kaiserslautern, Dissertation,

8 Abbildungen π = 100% π = 50% e π = 0% 150 e 200 e 250 e Endvermögen Abbildung 1 Histogramm des Endvermögens A Abbildungen Abbildung 1 zeigt das erwartete Endvermögen (für ein Beispiel) wenn nur in die Aktie (π = 100%), 50% in die Aktie und 50% in das Bankkonto (π = 50%) oder nur in das Bankkonto (π = 0%) investiert wird. Die Zahl auf der y-achse ist die Häufigkeit (aus einer halben Millionen) mit der ein bestimmtes Endvermögen erziehlt wurde. Wenn ausschließlich in das Bankkonto investiert wird, wird immer dasselbe Envermögen erreicht. Daher wird in diesem Fall nur einen senkrechten Strich (π = 0%) angezeigt. 7

9 Abbildungen Abbildung 2 Menü des Prototypen 8

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