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1 Übersicht Analytische metrie und astik-abituraufgaben Hauptprüfung 2015 Pflicht A6 a) Gegeben sind drei Punkte A, B, C. Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist b) Berechnung eines Punktes D, so dass ABCD ein Parallelogramm ergibt. Pflicht A7 Pflicht A8. Veranschaulichung, wie viele solcher Punkte es gibt. a) Darstellung einer Ebene in einem Koordinatensystem b) Bestimmung aller Punkte der x3 -Achse, die von der Ebene den Abstand 3 haben. a) Begründung, dass eine Zufallsvariable X binomialverteilt ist. b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird. c) Entscheidung, welcher Wert von n anhand einer gegebenen Tabelle vorliegt. Wahl B 1.1 Gegeben sind die Punkte P, Q, R, S, A, B, C, D Wahl B 1.1a) 1.1 b) 1.1.c) Wahl B 1.2 Wahl B 2.1 a) 2.1 b) 2.1 c) 2.2 a). 2.2 b) 2.2 c) Berechnung der Koordinatengleichung einer Markisenebene Berechnung des Winkels zwischen Markise und Hauswand Rechnerische Prüfung, ob der Regensensor die Stablampe berühren kann. Berechnung des maximalen Abstands der Stehlampe von der Hauswand Begründung ohne Rechnung, dass Terrasse nicht vollständig beschattet wird. Bestimmung der Eckpunktkoordinaten der Markise, dass der Terrassenrand genau zur Hälfte im Schatten liegt Aufstellen einer Entscheidungsregel in einem Hypothesentest zur Keimfähigkeit von Weizensaatgut; Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird. Gegeben: Koordinatengleichung einer Ebene und eine Geradenschar Berechnung des Schnittpunktes der Ebene mit einer Geraden der Schar; Welche Gerade der Schar ist orthogonal zur Geraden g 4 Berechnung des Schnittwinkels von g 4 und E. Für welche Parameterwerte entsteht ein Schnittwinkel von 10? Begründung, dass alle Schargeraden in der Ebene F: x3 = 1 liegen. Aufstellen einer Geraden h, die durch P(5/1/1) geht und in F liegt, aber nicht zur Schar gehört. Wahrscheinlichkeit, dass Athlet stehend bei 5 Schüssen genau vier Mal trifft Wahrscheinlichkeit, dass Athlet höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit des Athleten 1

2 Hauptprüfung 2014 Pflicht A6 a) Darstellung zweier Ebenen im Koordinatensystem Angabe der Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen b) Angabe einer Ebenengleichung, die parallel zur x1 -Achse ist und eine vorgegebene Spurgerade enthält. Pflicht A7 Berechnung des Abstandes des Punktes C durch die Gerade durch A Pflicht A8. Pflicht A9 und B a) Formulierung eines Ereignisses dessen Wahrscheinlichkeitsformel angegeben ist b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass man genau zwei Mal verliert. Gegeben ist der Mittelpunkt einer Kugel und eine Ebene, die die Kugel berührt. Beschreibung, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann. Wahl B 1.1 Gegeben sind die Punkte A,B,C,D und S. Wahl B 1.1a) 1.1 b) Wahl B 1.2 Wahl B 2.1 a) Berechnung der Koordinatengleichung der Ebene durch BCS Berechnung des Winkels, den die Seitenfläche mit der Grundfläche einschließt; Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks BCS. Berechnung des Volumens eines Quaders, der vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte auf der Grunfläche besitzt. Berechung des Quadereckpunktes auf einer Pyramidenkante, wenn es sich um einen Würfel handelt Gegeben sind zwei Gefäße mit schwarzen und weißen Kugeln a) Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 schwarze Kugeln gezogen werden; Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Kugeln direkt hintereinander gezogen werden. b) Zwei gezogene Kugeln aus einem Gefäß werden in das andere Gefäß gelegt; Wahrscheinlichkeit dass die nächste gezogene Kugel schwarz ist 2.1 b) 2.1 c) 2.2 a). 2.2 b) Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen; Veranschaulichung der Ebene, des Stabes und der Lichtquelle im Koordinatensystem; Berechnung des Winkels zwischen Stab und Platte Bestimmung des Schattenpunktes des oberen Ende des Stabes Begründung, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt Berechnung der Kollisionspunkte Produktion von Bleistiften Berechnung von P(X 30) ; Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass X um weniger als 10 vom Erwartungswert von X abweicht Hypothesentest für den Ausschussanteil von produzierten Bleistiften 2

3 Hauptprüfung 2013 Pflicht A6 Aufstellen einer Gerade und einer Ebene Schnittpunkt S der Gerade und Ebene Pflicht A7 Pflicht A8. Wahl B Untersuchung, ob S zwischen zwei Punkten liegt Nachweis, dass zwei Ebenen parallel zueinander sind Aufstellen einer Ebenengleichung, die parallel zu beiden Ebenen ist und den gleichen Abstand besitzt a) Spielkarten Berechnung von P(kein Ass wird aufgedeckt) Berechnung von P(eine Dame und ein Ass wird aufgedeckt) b) Zufallsvariable X = Anzahl der aufgedeckten Karten 1.1a) 1.1 b) Wahl B 1.2 Wahl B 2.1 a) 2.1 b) 2.2 a). 2.2 b) Welche Werte kann X annehmen? Berechnung von P(X 2) Darstellung eines Würfels und einer Ebene im Koordinatensystem Berechnung des Winkels der Ebene mit der x1x2 -Ebene Berechnung des Abstands der Ebene zur x1 -Achse Ebenenschar 3x2 + x3 = a Lage der Scharebenen zueinander? Berechnung von a, so dass ein Punkt zur Schar einen gegebenen Abstand hat Berechnung von a, so dass eine Scharebene gemeinsame Punkte mit dem Würfel hat Lotterie mit Gewinnlosen Berechnung von P(mindestens zwei Gewinnlose) Berechnung der Mindestanzahl von zu kaufenden Losen, so dass P(mindestens zwei Gewinnlose) > 50% Koordinatengleichung einer Ebene, in der ein Segeltuch liegt Nachweis, dass das Segeltuch gleichschenklig ist Berechnung der Fläche des Segeltuches Berechnung des Abstandes des Segeltuches von einem Punkt Minimaler Abstand einer Lampe von den Wänden Berechnung des Punktes einer 6 Meter hohen Stange Zwei Glücksräder Nachweis, dass das Spiel fair ist Berechnung eines Auszahlungsbetrags, dass der Veranstalter auf lange Sicht 5 Cent pro Spiel gewinnt Hypothesentest für die Wahrscheinlichkeit "Stern - Stern" Angabe der Entscheidungsregel 3

4 Hauptprüfung 2012 Pflicht A6 Berechnung der Schnittgeraden zweier gegebenen Ebenen Pflicht A7 a) Beschreibung der Lage einer Ebene im Koordinatensystem b) Spiegelung eines Punktes an der Ebene Pflicht A8 Beschreibung eines Verfahrens zum Aufstellen einer Gerade, die orthogonal zu einer Gerade ist und in einer Ebene liegt Wahl II,1 a) Aufstellen einer Koordinatengleichung einer Ebene Darstellung der Ebene im Koordinatensystem Berechnung des Winkels zwischen der Ebene und der x1 -Achse b) Nachweis, dass das Dreieck ABP gleichschenklig ist Berechnung zweier Eckpunkte eines Vierecks Berechnung der Spitzen zweier Pyramiden mit gegebener Höhe c) Berechnung eines Punktes auf der x1 -Achse, der mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck bildet d) Untersuchung, ob ein Punkt innerhalb eines Kegels liegt Wahl II, 2 a) Berechnung der Wegstrecke des U-Boots in einer Minute Begründung, weshalb sich das Boot von der Meeresoberfläche weg bewegt Berechnung des Winkels der Route des U-Bootes mit der Meeresoberfläche b) Berechnung der U-Boot-Geschwindigkeit Nachweis der Position eines U-Bootes zum Zeitpunkt t Berechnung des Zeitpunktes, zu dem sich beide U-Boote in gleicher Tiefe befinden c) Abstand der U-Boote zu Beobachtungsbeginn Berechnung des minimalen Abstandes der beiden U-Boote d) Berechnung des Höhenunterschieds der U-Boote 4

5 Hauptprüfung 2011 Pflicht A6 Lösung eines linearen Gleichungssystems metrische Interpretation der Lösungsmenge Pflicht A7 a) Nachweis, dass ein eine Ebene und Gerade parallel zueinander sind Pflicht A7 b) Berechnung des Abstandes der Ebene und der Gerade Pflicht A8 Beschreibung eines Verfahrens, mit dem man den Punkt einer Geraden ermitteln kann, der von einem anderen Punkt den kleinsten Abstand hat Wahl II,1 a) Darstellung einer Truhe im Koordinatensystem Berechnung des Volumens der Truhe Aufstellen der Koordinatengleichung einer Ebene b) Ebenenschar x2 ax3 = 8 6a Nachweis, dass zwei Ebenen der Truhe zur Schar gehören Nachweis, dass eine gemeinsame Gerade in allen Ebenen der Schar liegt Berechnung des Schnittwinkels zweier Scharebenen Berechnung einer Scharebene, die mit einer Scharebene einen bestimmten Schnittwinkel bildet c) Berechnung der Scharebene, in der der Truhendeckel liegt Berechnung des Punktes P*, der sich aus Punkt P durch Drehung des Deckels ergibt. Wahl II,2 a) Darstellung eines Gebäudes im Koordinatensystem Aufstellen der Koordinatengleichung einer Ebene Berechnung des Neigungswinkels der Dachfläche Nachweis, dass Dachfläche ein Parallelogramm ist Berechnung des Inhalts der Dachfläche b) Berechnung des Lampenpunktes, der von der Boden- und Dachfläche gleichen Abstand besitzt c) Berechnung, wie weit eines Person mindestens gehen muss, damit sie einen Eckpunkt des Gebäudes sehen kann 5

6 Hauptprüfung 2010 Pflicht A6 Prüfung, ob vier gegebene Punkte in einer Ebene liegen Pflicht A7 a) Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene b) Berechnung eines Punktes auf der Gerade, der von der Ebene genau so weit entfernt ist wie ein anderer Punkt Pflicht A8 Beschreibung eines Verfahrens, um die Gleichung einer Geraden g* aufzustellen, die sich aus der Spiegelung einer Geraden g an der Ebene E ergibt Wahl II,1 a) Nachweis, dass ein Dreieck ABC gleichschenklig ist Berechnung des Punktes D, so dass ABCD eine Raute ist Berechnung der Innenwinkel der Raute Nachweis, dass die Raute in einer gegebenen Ebene liegt b) Zeichnung einer Pyramide in ein Koordinatensystem Aufstellen einer Koordinatengleichung einer Ebene Nachweis, dass eine Ebene Symmetrieebene der Pyramide ist c) Berechnung von t, so dass die Höhe der Pyramide durch den Mittelpunkt der Grundfläche geht Drehung des gleichschenkligen Dreiecks um eine Achse; in welchem Punkt durchstößt die Spitze die x1x2 -Ebene Wahl II,2 2.1a) Berechnung des Schnittpunktes einer Geraden mit der x1x2 -Ebene Zeichnung der Gerade in ein Koordinatensystem Berechnung des Winkels von g mit der x1x2 -Ebene Berechnung des Geradenpunktes, der von einem gegebenen Punkt den kleinsten Abstand hat Berechnung einer Geraden, die durch Spiegelung einer gegebenen Geraden an einem Punkt entsteht. 2.1b) Begründung, dass bei Rotation der Geraden g um eine andere Gerade eine Ebene E entsteht Nachweis, dass eine gegebene Gleichung der Ebene E entspricht Untersuchung, ob zwei Punkte auf verschiedenen Seiten der Ebene E liegen. 2.2 Nicht mehr abirelevant 6

7 Hauptprüfung 2009 Pflicht A6 Nicht mehr abirelevant Pflicht A7 a) Veranschaulichung einer Ebene im Koordinatensystem b) Untersuchung der gegenseitigen Lage einer Gerade und einer Ebene c) Berechnung des Abstands des Ursprungs von der Ebene Pflicht A8 Beschreibung eines Verfahrens, um den Spiegelpunkt A* eines Punktes A an der Geraden g zu bestimmen Wahl II,1 a) Berechnung des Flugzeugpunktes um 7.01 Uhr Begründung, weshalb das Flugzeug sinkt Berechnung der Geschwindigkeit des Flugzeugs Berechnung des Winkels der Flugbahn zum Boden Berechnung der Uhrzeit und des Punktes der Landung b) Prüfung, ob der Anflug eines Testflugzeugs optimal ist Berechnung der Uhrzeit, zu der eine Radarstation die Überwachung übernimmt c) Berechnung des Abstandes zweier Flugzeuge zu einem bestimmten Zeitpunkt Berechnung des minimalen Abstandes zweier Flugzeuge c) Minimaler Abstand eines Punktes von f(x) 1.2 Nicht mehr abirelevant Wahl II,2 2.1 a) Darstellung des Pyramidenstumpfes im Koordinatensystem Begründung, dass Deck- und Grundfläche des Stumpfes nicht parallel sind Berechnung des Winkels, den die Pyramidenkante mit der x1 - Achse bildet Nachweis, dass der Punkt S die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist 2.1 b) Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden Nachweis, dass eine Seitenfläche des Stumpfes ein Trapez ist Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes 2.2 Nicht mehr abirelevant 7

8 Hauptprüfung 2008 Pflicht A6 Berechnung des Abstandes zweier gegebener Geraden Pflicht A7 Aufstellen einer Ebene durch drei Punkte Untersuchung, ob eine gegebene Gerade parallel zur Ebene ist Pflicht A8 Beschreiben eines Verfahrens, mit dem man die Lage zweier Ebenen, die als Normalenform gegeben sind, prüfen kann Wahl II,1 a) Aufstellen der Koordinatengleichung einer Ebene Berechnung des Winkels zwischen den Grundflächen des Würfels und der Pyramide Untersuchung, ob die Höhe der Pyramide auf der Würfeldiagonalen liegt b) Berechnung des prozentualen Anteils des Pyramidenvolumens am Würfelvolumen c) Berechnung des Volumens des Quaders mit gegebener Breite Berechnung des Volumens des Quaders mit allgemeiner Breite Wahl II, a) Darstellung eines Prismas im Koordinatensystem Aufstellen einer Koordinatengleichung einer Ebene Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden 2.1 b) Abstände eines Punktes von den Seitenflächen des Prismas Prüfung, ob der Zylinder alle Seitenfläche des Prismas berührt Berechnung des Radius des Zylinders 2.2 Nicht mehr abirelevant Hauptprüfung 2007 Pflicht A6 Lösung eines Gleichungssystems metrische Interpretation der Lösung Pflicht A7 Nachweis, dass zwei gegebene Ebenen parallel sind Berechnung des Abstandes der beiden Ebenen Pflicht A8 Beschreiben eines Verfahrens, um den Mittelpunkt und den Radius des Grundkreises eines Kegels zu bestimmen Wahl II, a) Darstellung des Hangs und Sendemastes in einem Koordinatensystem Berechnung der Koordinaten des Verankerungspunktes am Hang Berechnung der Länge des Stahlseils b) Berechnung der Gesamtlänge des Schattens c) Berechnung der Höhe, in welcher der Sendemast abgeknickt ist Wahl II, Nicht mehr abirelevant 8

9 Hauptprüfung 2006 Pflicht A6 a) Nachweis, dass eine gegebene Gerade zu einer gegebenen Ebene parallel ist b) Berechnung des Abstandes der Gerade und der Ebene Pflicht A7 Darstellung zweier gegebener Ebenen in einem Pflicht A8 Koordinatensystem und einzeichnen der Schnittgerade Beschreiben eines Verfahrens zur Bestimmung der Gleichung einer Spiegelebene bei bekannten Punkten Wahl II,1 1.1 a) Aufstellen der Koordinatengleichung einer Ebene Nachweis, dass ein Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist Berechnung eines Punktes, dass das Viereck eine Raute ist Berechnung des Diagonalenschnittpunktes der Raute 1.1 b) Berechnung eines Pyramidenvolumens Berechnung eines Kegelvolumens 1.2 Nicht mehr abirelevant Wahl II, a) Nachweis, dass S die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist Bestimmung eines Eckpunktes des Pyramidenstumpfes Darstellung des Pyramidenstumpfes im Koordinatensystem b) Berechnung der Fläche eines Vierecks Untersuchung, ob das Viereck nach außen überhängt 2.2 Berechnung des Richtungsvektors einer Geraden, so dass diese mit einer anderen Geraden eine bestimmte Lage besitzt 9

10 Hauptprüfung 2005 Pflicht A6 Lösung eines Gleichungssystems metrische Interpretation der Lösung Pflicht A7 Aufstellen einer Koordinatengleichung einer Ebene, die einen gegebenen Punkt und eine gegebene Gerade enthält Pflicht A8 Beschreiben eines Verfahrens, um einen Punkt P an einer Ebene E zu spiegeln Wahl II, 1 a) Darstellung einer Pyramide im Koordinatensystem Berechnung zweier Punkte Fund G Zeichnen eines Vierecks im Koordinatensystem Nachweis, dass das Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist Berechnung der Innenwinkel des Trapezes b) Berechnung von r*, so dass die Pyramidenspitze S von einer Scharebene den Abstand 4 besitzt Berechnung des Punktes der Scharebene, der von S den Abstand 4 besitzt c) Nachweis, dass eine Gerade in jeder Scharebene liegt Ermittlung möglicher Schnittfiguren beim Schnitt der Pyramide mit der Ebenenschar Wahl II,2 a) Aufstellen einer Ebenengleichung und Beschreibung der Lage der Ebene Berechnung des Abstandes einer Gerade von der Ebene b) Berechnung eines Punktes, der mit zwei anderen Punkten ein rechtwinkliges Dreieck bildet Berechnung eines Punktes, der von drei Punkten den gleichen Abstand besitzt c) Berechnung es Volumens eines Doppelkegels Hauptprüfung 2004 Pflicht A6 Prüfung, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt Nachweis, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene verläuft Berechnung eines Punktes der Ebene mit kleinstem Abstand zu einem anderen Punkt Pflicht A7 Aufstellen der Koordinatengleichung einer Ebene, die als Zeichnung vorgegeben ist Pflicht A8 Beschreibung eines Verfahrens zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden Wahl II,1 a) Berechnung des Winkels zweier benachbarter Pyramidenseitenflächen b) Berechnung des prozentualen Anteils der Einstiegsöffnung von der Vorderfläche c) Berechnung der Länge der Strecke C'D' des Lichtteppichs Wahl II,2 2.1 a) Ebenenschar: ax1 x3 = 0 Beschreibung der Lage einer Scharebene Berechnung eines Scharpunktes 2.1 b) Nachweis, dass ein Schardreieck rechtwinklig ist 2.2 Nicht mehr abirelevant 10