Finde für die Aufgabe = 69 verschiedene schlaue Rechenwege und notiere die Rechenschritte.

Transkript

1 Aufgabe 1.4 Idee und Aufgabenentwurf: Rainer Meiers, Nicolaus-Voltz-Grundschule Losheim am See Klasse 2 (November 2012) Finde für die Aufgabe = 69 verschiedene schlaue Rechenwege und notiere die Rechenschritte. Begründung der Aufgabenauswahl Bereits seit dem ersten Schuljahr bevorzugen wir in unserer Klasse eine offene Vorgehensweise, wenn eine Zahlbereichserweiterung ansteht oder ein neuer Aufgabentypus erarbeitet werden soll: Wir verzichten auf die Einführung bestimmter Rechenverfahren und lassen die Kinder erst einmal eigenständig nach Lösungswegen suchen, die wir dann gemeinsam begutachten und miteinander vergleichen. Rasch ergibt sich so eine recht große Palette intelligenter Lösungen, aus der sich jedes Kind frei, entsprechend den eigenen Bedürfnissen und Vorlieben, bedienen kann, denn grundsätzlich darf jedes Kind so rechnen, wie es möchte oder wie es in seinem Fall am besten funktioniert. Auch bei der Erstbegegnung mit dem neuen Aufgabentypus, der Addition zweistelliger Zahlen im Hunderterraum ohne Zehnerüberschreitung sollen die Kinder vorab die Möglichkeit erhalten, auf der Basis ihrer individuellen Vorerfahrungen eigene Denk- und Rechenwege zu entwickeln und zu erproben. Dieser offene Ansatz hat sich bewährt. Er hilft uns zu verhindern, dass ein Kind vorzeitig auf einen oder einige wenige Rechenwege festgelegt wird. Der offene Zugang erfolgt in drei Phasen: Die Kinder sollen sich zunächst allein mit der neuen Problematik auseinandersetzen, in einer zweiten Phase stellen sie die gefundenen Lösungen einem Partner vor, abschließend folgt der Austausch innerhalb der ganzen Klasse. Als Voraussetzung dafür, dass die Kinder ihre Lösungen anderen vorstellen und erläutern können, sollen sie jeden einzelnen Denkschritt von Beginn an in geeigneter Weise notieren. Die Kinder haben bereits verschiedene Notizformen kennen gelernt. Am Ende sollen die Kinder nach Belieben Denk- und Rechenwege anderer Kinder, die sie für gut erachten, selbst nutzen dürfen. Leistungsfähige Kinder sollen so befähigt werden, verschiedene intelligente Rechenwege flexibel und situationsgerecht einzusetzen, weniger rechenstarke Kinder sollen zumindest einen passenden Lösungsweg finden und diesen sicher anwenden können. 26

2 Reflexion zur Aufgabendurchführung Die Aufgabe wird vorgegeben, am besten komplett unter Angabe der Ergebniszahl. Im Hinblick auf die Lösungswege der Kinder gibt es nur eine einzige einschränkende Vorgabe: Die Lösungen sollen keine unnötigen Umwege beinhalten, sondern auf eine intelligente, vorteilhafte Weise zum Ziel führen. Diese Vorgabe ist wichtig, denn im Bestreben, doch noch einen weiteren Lösungsweg zu finden, verlieren manche Kinder das eigentliche Ziel aus den Augen und zerlegen bei einer gefundenen Lösung einen Rechenschritt willkürlich in weitere Teilschritte, ohne dass sich daraus irgendwelche Vorteile ergeben. Sie erhöhen so lediglich den Rechenaufwand, was nicht unser Ziel sein kann. Bei der Aufgabendurchführung hatten einzelne Kinder auch das Problem, den Unterschied zwischen verschiedenen gedanklichen Lösungen und unterschiedlichen Notizformen zu beachten. Statt eines neuen Rechenweges variierten sie bei einer gefundenen Lösung anschließend lediglich die Notizform. Ein Kind hatte mit den drei gegebenen Zahlen alle Aufgaben aus der Aufgabenfamilie notiert, aber dabei immer den gleichen Lösungsweg benutzt. Mit Blick auf die eigentliche Aufgabenstellung hat es später im Plenum aber doch noch neue Lösungswege beigesteuert. Die Anzahl unterschiedlicher Lösungen war diesmal in der Einzelarbeit relativ gering und auch die Partner-Phase brachte diesbezüglich keine erkennbaren Fortschritte. Als umso fruchtbarer erwies sich dann aber der Austausch im Plenum, wo die Kinder nach kurzer Zeit geradezu darum wetteiferten, noch eine weitere intelligente Lösung zu finden. Es hat sich als sinnvoll erwiesen, in einem solchen Fall, wo es tatsächlich nur darum geht, eigene bzw. verschiedene Lösungswege zu finden, die Aufgabe von Anfang an komplett mit Ergebniszahl vorzugeben. Das ist ein zusätzlicher Hinweis darauf, dass es hier nicht um die einmalige Berechnung des Ergebnisses einer bestimmten Aufgabe geht, sondern darum, wie man auf unterschiedliche Weise zum richtigen Ergebnis gelangen kann. Einsatz der Schülerlösungen im Unterricht Die Schülerlösungen werden gesammelt an der Tafel dargestellt und von allen Kindern kritisch bewertet. Insbesondere wird dabei nochmals überprüft: Handelt es sich tatsächlich um einen neuen Lösungsweg oder ist diese Idee schon in einem anderen Beispiel praktiziert worden? Und entspricht die Vorgehensweise den Vorgaben, handelt es sich wirklich um eine sinnvolle, vorteilhafte Lösung? In der Folge dürfen die Kinder auch bei der Bearbeitung der Aufgaben im Lehrwerk oder auf Arbeitsblättern so rechnen, wie sie wollen, d. h. im Einzelfall selbst frei darüber entscheiden, welche Lösungswege sie für sinnvoll oder besonders vorteilhaft erachten und deshalb praktizieren möchten. 27

3 Einzelne Kinder etablieren sich in der Klasse als Experten für bestimmte Lösungswege, so z.b. der Entdecker des gegensinnigen Veränderns zweier Summanden mit dem Ziel, einen vollen Zehner zu erhalten und dann statt der vorgegebenen Aufgabe eine leichtere Aufgabe mit gleichem Ergebnis zu rechnen. Der Junge hat diesen Weg erstaunlicherweise bereits beim Zehnerübergang über den ersten Zehner praktiziert und, statt erst bis zum Zehner und dann darüber hinaus zu rechnen, aus durch gegensinniges Verändern der Summanden (+/- 2) die leichtere Aufgabe gebildet. Er hatte bereits seit dem Schuleintritt Aufgaben über den Zehner so gelöst und konnte auch zunächst gar nicht anders über den Zehner rechnen und er wäre schier verzweifelt, wenn er nicht erst mal seinen erfolgreichen und überaus intelligenten, aber leider im Rechenbuch nicht vorgesehenen Weg hätte gehen dürfen. Dadurch dass er im Rahmen unseres offenen Ansatzes erst einmal so rechnen durfte, wie er konnte und wollte, wurde sein Selbstvertrauen gestärkt und nicht schon frühzeitig untergraben oder gar zerstört und er konnte sich in einer späteren Phase durchaus für normierte Lösungsverfahren erwärmen und schließlich auch diese anwenden. Es war sogar so, dass er den Trick, den die Klasse nach ihm benannt hatte, irgendwann selbst kaum noch praktiziert hat. Aber andere Kinder konnten sich im aktuellen Fall bei der Frage, welche Lösungen noch möglich sein könnten, an seinen Trick erinnern: Uns fehlt ja noch der Jannis-Trick! Das zeigt nochmals ganz deutlich, welche Lernkultur durch offene Aufgaben zu erreichen ist und dass alle in der Klasse davon profitieren. Voraussetzung dafür ist, dass alles erlaubt ist, aber keinesfalls alles verlangt wird. Kein Kind muss eine Aufgabe auf zehn verschiedene Arten lösen können. Es reicht nach wie vor aus, wenn ein Kind in der täglichen Praxis einen Weg sicher beherrscht. 28

4 Dokumentation der Schülerarbeiten Finde für die Aufgabe = 69 verschiedene schlaue Rechenwege und notiere die Rechenschritte. 29

5 Dokumentation der Schülerarbeiten Finde für die Aufgabe = 69 verschiedene schlaue Rechenwege und notiere die Rechenschritte. 30

6 Darstellung der Schülerergebnisse Die Kinder nutzten im Heft verschiedene Darstellungsweisen. Bei der Darstellung der einzelnen Lösungen an der Tafel wurde der Lösungsweg in unserer Zickzack- Schreibweise, parallel dazu aber auch in Operatorschreibweise dargestellt. 1) = erst E = 69 dann Z 2) = Tauschaufgabe + 1 erst E = 69 dann Z 3) = Tauschaufgabe +20 erst Z = 69 dann E 4) = +40 erst Z = 69 dann E 5) = 40 in versch. Varianten: +20 erst nur Z (40+20 o ) = 68 erste E dazu (8 oder 1) + 1 weitere E dazu 69 6) = Trick +/- +50 plus NZ (also zuviel) 71-2 = 69 anschl. Korrektur 7) = + 9 zum vollen Z = 70 dann Z, aber zuviel - 1 anschl. Korrektur 69 (altern ) 8) als Tauschaufgabe =69, praktiziert in der Kurzform: = Tauschaufgabe, Z und E bis zum vollen Z +22 aber eins zuviel 70-1 = 69 anschl. Korrektur 9) = reines Sortenrechnen: = 60 erst nur Z (alternativ 20+40) = 9 dann nur E (alternativ 1+8) 69 abschl. Gesamtsumme 31

7 10) = gegensinniges Verändern bis zum vollen Z, hier bei der 1.Zahl bis zum vollen Z = 69 11) = gegensinniges Verändern, bei der 2.Zahl bis zu einem vollen Z = 69 besser als Tauschaufgabe = 69: Tauschaufgabe T: = Tauschaufgabe und gegensinniges Verändern bis zu einem vollen Z = 69 Grundsätzlich bietet der Wechsel zur Tauschaufgabe im vorliegenden Fall erkennbare Vorteile. Da alle gefundenen elf Lösungswege auch bei der Tauschaufgabe funktionieren, verdoppelt sich so auf einen Schlag die Anzahl intelligenter Lösungen.- Veränderung der Ausgangsaufgabe mit anderen Zahlenwerten VA: = = die Bildung einer Aufgabe mit gleichem Ergebnis aus +20 größtem und kleinstem Z/E = 67 Diese Idee einer Schülerin - nach ihr wurde dieser Trick in der Klasse spontan benannt - verdreifacht am Ende die Anzahl intelligenter Lösungen bei der Addition, denn nach der Umformung der Aufgabe können wiederum alle möglichen Rechenvarianten gewählt werden. Fazit Abgesehen von dieser Verdreifachung der Lösungsmöglichkeiten durch die zuletzt genannte Variante, die zuvor noch in keiner meiner Klassen entdeckt wurde, überrascht schon allein die Anzahl intelligenter Lösungen, die von den Kindern als Lösungsprinzip für die Addition ohne Zehnerüberschreitung gefunden wurden. Es waren immerhin elf verschiedene Lösungswege, in der Summe also 33 Lösungsvarianten. Bei der Subtraktion gibt es weniger Lösungen, weil nicht alle Tricks, die bei der Addition funktionieren, bei der Subtraktion praktikabel bzw. zulässig sind. Vor allem darf man Minuend und Subtrahend nicht tauschen und auch eine Umformung, wie sie hier vorgestellt wurde, verbietet sich bei der Subtraktion. Jedoch werden für Additionsaufgaben mit Zehnerüberschreitung noch weitaus mehr geeignete Lösungen als im vorgestellten Fall zu finden sein, denn je komplexer eine Aufgabe ist, um so mehr sinnvolle Lösungsmöglichkeiten ergeben sich. 32

8 Zuordnung der Aufgabe zu den Bildungsstandards und zum Saarländischen Kernlehrplan (Klassenstufe 2) Inhaltsbezogene Kompetenzen Zahlen und Operationen: 1. Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen - Zahlen bis 100 darstellen, lesen, schreiben, ordnen und vergleichen - bei einstelligen Zahlen die Zahlbeziehungen zu 5 und 10 auswendig kennen - Zahlzerlegungen bis 10 auswendig beherrschen - bei zweistelligen Zahlen das Prinzip der Zehnerbündelung und die Stellenschreibweise kennen 2. Rechenoperationen verstehen und beherrschen - Grundvorstellungen zur Addition, Subtraktion entwickeln - Zusammenhänge von Rechenoperationen darstellen - Zusammenhänge von Rechenoperationen zum Lösen von Aufgaben nutzen - Zahlensätze des Kleinen Einspluseins auswendig beherrschen und automatisiert wiedergeben - Assoziativität als Rechenvorteil nutzen - das Analogieprinzip als Rechenvorteil nutzen - Aufgaben in 2 oder 3 Teilschritten (halb-) schriftlich und im Kopf lösen, eigene Rechenwege erklären Allgemeine mathematische Kompetenzen 1. Problemlösen: - mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden - Lösungsstrategien entwickeln und nutzen - Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen 2. Kommunizieren: - eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren - mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden 3. Argumentieren: - mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen - mathematische Zusammenhänge erkennen, Vermutungen entwickeln - Begründungen suchen und nachvollziehen 33

9 4. Darstellen: - für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen - eine Darstellung in eine andere übertragen - Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten Schüleraktivitäten: Die Schülerinnen und Schüler beschreiben ihren eigenen Lösungsweg, vollziehen die Rechenwege anderer Kinder nach und überprüfen auf Sinnhaftigkeit und Korrektheit. Sie bewerten nach den vorgegebenen Kriterien, z. B. vorteilhafte oder umständliche Vorgehensweise und übernehmen teilweise Rechenwege. Diagnose - Beschreibung der erbrachten Schülerkompetenzen Beschreibung der Schülerkompetenzen - Die Grundaufgaben des kleinen Einspluseins werden beherrscht. - Der Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion wird bei einfachen Rechnungen genutzt. - Die Struktur des Dezimalsystems wird beim Umgang mit Zahlen in verschiedenen Darstellungen genutzt. - Aufgaben zur Addition werden halbschriftlich durchgeführt. - Zahlen werden in unterschiedlichen Darstellungen sicher gelesen und geschrieben. - Grundaufgaben des mündlichen Rechnens werden auch in nicht vertrautem Kontext angewendet. - Die Beziehungen zwischen Addition und Subtraktion werden erkannt. - Rechenverfahren werden flexibel kombiniert, wobei Rechnungen auch mehrere Schritte umfassen können. Verschiedene Lösungsstrategien werden genutzt. - Rechenregeln sind explizit bekannt und können sinnvoll angewendet werden. - Das begriffliche Wissen umfasst auch speziellere Fachbegriffe und kann sicher verwendet und kommuniziert werden. - Aufgaben werden geeignet modelliert, rechnerisch korrekt bearbeitet und ihre Lösungen angemessen dargestellt. - Schwierigere mathematische Aufgaben können auf unterschiedlichen Wegen korrekt gelöst werden. - Mathematische Eigenschaften wie etwa die Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen in Summanden oder Faktoren werden für Problemlösungen genutzt. 34

10 Aufgabenvariationen Folgende Elemente können in der ursprünglichen Aufgabe variiert werden Spiegelaufgabe: größter E nicht beim größten Z (wie in der Zahl 48), sondern ungleich verteilt (Dadurch gibt es eine neue Anfangsvariante und damit eine weitere Serie intelligenter Lösungen.) Suche nach optimalen Denkwegen für das schnelle Rechnen im Kopf Wie rechnest du, wie notierst du das Ergebnis? Vergleich: Kopfrechnen - halbschriftliches Rechnen Subtraktion statt Addition: ZE - ZE (ohne ZÜ) = 35 Vergleich: Welcher Weg funktioniert auch beim Minusrechnen? Addition und Subtraktion mit Zehnerüberschreitung: ZE +/- E Addition und Subtraktion mit Zehnerüberschreitung: ZE +/- ZE (Ausweitung auf das gesamte Aufgabenspektrum im ZR 100) Ergänzende Hinweise und weitere Anregungen siehe Anhang 35