Didaktik der Analysis in der Sek II- Reelle Zahlen. Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik

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1 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Abgeordnete Lehrer: G. Neumann, H. Rodner Sommersemester 2011 Rodner/Neumann 1

2 Die reellen Zahlen Historische Bemerkungen Zugänge zu den reellen Zahlen in der Sek I Mathematische Hintergründe Ohne reelle Zahlen keine Analysis Rodner/Neumann 2

3 Historische Bemerkungen zur Entdeckung irrationaler Zahlen Mittelalter: numeri irrationales- Zahlen wider der Vernunft Der erste Beweis für irrationale Größenverhältnisse gab es in der griechischen Antike im 5. Jh. v. Chr. bei den Pythagoräern (Pythagoras ) Hippasos von Metapont (um 470 vor Ch.), Schüler von Pythagoras Entdeckung der Irrationalität erfolgte vermutlich am regelmäßigen Fünfeck bei der Wechselwegnahme von Seite und Diagonale Grundlagenkrise des pythagoreischen Weltbildes (man kann alles durch natürliche Zahlen und Verhältnisse natürlicher Zahlen beschreiben) oder Geheimverrat? ( Strafe der Götter : Hippasos ertrank im Meer.) Rodner/Neumann 3

4 Wie sieht es in der Schule aus? Die Vollständigkeit der Zahlengeraden wird eigentlich stets stillschweigend vorausgesetzt! Aus dem Berliner Rahmenlehrplan (Leitlinie Zahl, Kl.9/10) Schülertätigkeiten: Rodner/Neumann 4

5 1 Schlüssel unterscheiden rationale und irrationale Zahlen beschreiben die Menge der reellen Zahlen bestimmen Quadratwurzeln näherungsweise mit dem Taschenrechner und runden situationsangemessen bestimmen Wurzeln von Quadratzahlen im Kopf und nutzen sie zum Schätzen lösen Sachprobleme, die das Bestimmen der Quadratwurzel erfordern Rodner/Neumann 5

6 2 Schlüssel begründen die Notwendigkeit, den Zahlenbereich um die irrationalen Zahlen zu erweitern, stellen abbrechende und einfache periodische Dezimalzahlen als Brüche dar, konstruieren einige Quadratwurzeln geometrisch auf der Zahlengeraden, beschreiben Quadratwurzeln an Beispielen durch ein Näherungsverfahren (Intervallschachtelung) Rechnen mit Quadratwurzeln (Produkt, Quotient, Summe, Differenz) Rodner/Neumann 6

7 3 Schlüssel beweisen die Irrationalität einer Quadratwurzel (indirekter Beweis), beschreiben die Zahl Pi durch ein Näherungsverfahren Rodner/Neumann 7

8 Zugänge zu den reellen Zahlen in der Sek I Hätte man nur die rationalen Zahlen zur Verfügung, so könnte man u.a. gewissen Strecken keine Maßzahl für ihre Länge zuordnen. Rodner/Neumann 8

9 Das Bild zeigt ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck AEB, dessen Katheten die Länge 1 haben. Der Flächeninhalt des Quadrates ABCD mit der Seitenlänge AB hat damit die Maßzahl 2. Rodner/Neumann 9

10 Ein erster möglicher Einstieg für die Schüler Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 1cm. Zeichne mit dessen Hilfe ein Quadrat mit einem doppelt so großem Flächeninhalt. Welche Seitenlänge hat das neue Quadrat? Vorgabe von 4 Puzzle-Dreiecken Welchen Flächeninhalt hat das aus diesen Dreiecken gebildete Quadrat? Wie lang ist dessen Seite? Aus einem vorgefertigtem Quadrat mit der Seitenlänge 2 dm soll durch Falten ein Quadrat mit dem halben Flächeninhalt entstehen. Wie lang ist die Seite dieses Quadrates? Rodner/Neumann 10

11 Kann man für die Quadratseite AB = x eine rationale Zahl als Maßzahl finden? Wenn ja, so müsste gelten x²= 2. Rodner/Neumann 11

12 Folgende Überlegungen wären möglich: x muss eine Zahl zwischen 1 und 2 sein jede rationale Zahl zwischen 1 und 2 kann man als soweit wie möglich gekürzten Bruch p/q schreiben (q ungleich 1) multipliziert man einen solchen Bruch mit sich selbst, so ist dieser ebenfalls nicht kürzbar Das Quadrat ist also keine ganze Zahl, insbesondere nicht 2! Rodner/Neumann 12

13 Satz: Es gibt keine rationale Zahl x, für die x² = 2 gilt. Indirekte Beweisführung: Annahme: Es gibt eine rationale Zahl x =p/q, die die Gleichung erfüllt Für diese Zahl p/q müsste dann gelten: p²/q² = 2 bzw. p² = 2q² Man denke sich p und q in Primfaktoren zerlegt: der Primfaktor 2 möge m-mal in p und n-mal in q vorkommen, dann kommt der Primfaktor 2 (2m)-mal in p² und (2n)-mal in q² vor, also auf der linken Seite der Gleichung (2m)-mal und auf der rechten Seite (2n+1)-mal Da aber 2m eine gerade Zahl und 2n+1 eine ungerade Zahl ist, würden p² und 2q² in der Primfaktorenzerlegung eine unterschiedliche Anzahl von Primfaktoren 2 aufweisen Das ist ein Widerspruch zur Annahme! Rodner/Neumann 13

14 Beweis von Euklid Angenommen: x = p/q mit teilerfremden Zahlen p und q 2=p²/q² bzw. 2q²=p² p² ist durch 2 teilbar, dann gilt auch 2/p Setze p=2r. Also ist q²=2r² q² ist durch 2 teilbar, also gilt 2/q Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremde Zahlen sind! Rodner/Neumann 14

15 Existenz eines irrationalen Punktes auf der Zahlengeraden Auf der Zahlengeraden liegen unendlich viele irrationale Punkte. Rodner/Neumann 15

16 Beschreibung der Lage des Punktes P durch eine Zahl x: Intervallschachtelung x liegt zwischen 1 und 2, weil 1² < 2 < 2² 1,4 und 1,5 1,4² < 2 < 1,5² 1,41 und 1,42 1,41² < 2 < 1,42² 1,414 und 1,415 1,414² < 2 < 1,415² Rodner/Neumann 16

17 Rodner/Neumann 17

18 Anschauliche Darstellung einer Intervallschachtelung als Klopapierrolle Rodner/Neumann 18

19 Man erhält auf der Zahlengeraden eine Folge von unendlich vielen Strecken A1B1, A2B2, A3B3 mit den Längen 1 LE, 0,1 LE, 0,01 LE,. Die zu den Strecken gehörenden (unendlich vielen) Intervalle *1;2+, *1,4;1,5+, *1,41;1,412+, rationaler Zahlen bilden eine Intervallschachtelung Rodner/Neumann 19

20 Jedes Intervall ist im vorangegangenen enthalten. Die Intervalllängen nehmen ab und werden beliebig klein (d.h. sie unterschreiten jede noch so kleine positive Zahl). Der Punkt P gehört zu allen Strecken. Jeder andere Punkt Q gehört nicht zu allen Strecken, weil diese schließlich gewiss kürzer werden als PQ. Die Intervallschachtelung bestimmt auf der Zahlengeraden den Punkt P eindeutig. Rodner/Neumann 20

21 Aufgabe: Erläutern Sie Möglichkeiten, wie man die zu den Zahlen 5, 6 und 3 5 gehörenden Strecken dieser Längen konstruieren kann. Rodner/Neumann 21

22 Wurzelspirale Rodner/Neumann 22

23 Wechselwegnahme Gesucht ein gemeinsames Maß zweier Strecken a, b, also eine Strecke e, die sowohl a als auch b ganzzahlig misst (d.h. es gibt natürliche Zahlen m, n mit a=me, b=ne) Nimm die kürzere der beiden Strecken (z.b. b) so lange von der längeren (z.b. a) weg, bis das verbleibende Stück r1 kürzer ist als b. Nimm r1 so oft von b weg, bis usw. Bricht der Prozess ab, gibt es ein gemeinsames Maß, die Strecken heißen dann kommensurabel; sonst inkommensurabel. Rodner/Neumann 23

25 Annahme: a und d haben gemeinsames Maß e. Dann gilt für geeignete m und n: a = ne und d = me a1 = d - a = me ne = (m n)e d1 = a a1 = ne (m n)e = (2n m)e Die Fortsetzung des Verfahrens liefert eine Folge von immer kleiner werdenden Quadraten mit beliebig kleinen ai und di, die alle das gemeinsame Maß e haben. Dieses e wird stets kleiner als ein beliebig gewähltes e. Rodner/Neumann 25

26 Das reguläre Fünfeck- Pentagon Wie lautet die Verhältnisgleichung für eine stetige Teilung, d.h. die Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt? Zeigen Sie: Die Diagonalen in einem Pentagramm schneiden sich im Verhältnis nach dem Goldenen Schnitt. Rodner/Neumann 26

27 Für das Verhältnis von Diagonale und Seite eines Pentagons gilt: d s Diagonale und Seite eines regulären Fünfecks sind inkommensurabel Rodner/Neumann 27

29 Die Zahl x = ist also irrational. Damit gilt: x² - x - 1 = 0, also x² = x + 1 oder s d... x x x 1 1 x 29 Rodner/Neumann

30 Damit ergibt sich die Darstellung als unendlicher Kettenbruch Es ergibt sich folgender Approximationsalgorithmus, der für Schüler mit dem Taschenrechner anwendbar ist: 1 1/x + 1 = Rodner/Neumann 30

31 Ein möglicher Weg zur Entdeckung der Irrationalität über das Pentagon im Mathematikunterricht in Klasse 9 Kennenlernen der Wechselwegnahme Begegnung mit dem Pentagon, z.b. Verknotung eines Papierstreifens Konstruktion eines Pentagons Einzeichnen der Diagonalen und Erkennen des Pentagramms und des inneren Pentagons Experimentieren mit der Wechselwegnahme von Seite und Diagonale und Entdecken der unendlichen Figurenfolge Interpretation: d und s können kein gemeinsames Maß besitzen Die rationalen Zahlen reichen zur Beschreibung der Welt nicht aus! Rodner/Neumann 31

32 Heronverfahren Aufgabe Erläutern Sie das Heronverfahren zur Berechnung von a Quadratwurzeln. Führen Sie den Algorithmus für eine beliebige Zahl a aus und variieren Sie dabei die Güte der ersten Näherung durch die Wahl der Startzahl (sinnvoll Tabellenkalkulation). Gehen Sie auf eine geometrische Veranschaulichung dieses Verfahrens ein. (GeoGebra) Rodner/Neumann 32

33 Möglichkeiten der Konstruktion der reellen Zahlen R als Menge aller rationalen Dedekind-Schnitte R als die Menge von Klassen aller rationalen Intervallschachtelungen. Zwei Intervallschachtelungen [an, bn] und [An, Bn] gehören derselben Klasse an, wenn an B m und An bn für alle n, m N gilt. Konstruktion der reellen Zahlen als Äquvalenzklassen von Cauchy-Folgen. Zwei Cauchy-Folgen gehören derselben Klasse an, wenn ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist. (Siehe KRAMER, J.: Zahlen für Einsteiger. Vieweg, 2008, S. 152ff, sowie HENN,H.-W.: Elementare Geometrie und Algebra, Vieweg, 2003,S.182ff) Rodner/Neumann 33

34 Für den Unterricht kommt vor allem der Weg über Intervallschachtelungen in Betracht. Auch der Weg über Cauchyfolgen ist von Bedeutung, da sich Dezimalzahlen als Cauchy- Folgen interpretieren lassen. Rodner/Neumann 34

35 Darstellung von Dezimalzahlen bzw. 1 d (n q1 10 q2 10 q ) d n k1 q k 10 k 2 3 mit n,qk, 0 qk 9 für k 1,2,... Einer Dezimalzahl lässt sich stets eine Zahlenfolge zuordnen. d i n qk 10 k1 k (di) ist eine Cauchy-Folge Rodner/Neumann 35

36 Besonderheit ist die Neunerperiode! Aufgabe: Beweisen Sie, dass 0,9 1 gilt. Einteilung der Dezimalzahlen endlich unendlich periodisch unendlich nichtperiodisch rationale irrationale reelle Zahlen Rodner/Neumann 36

37 Ohne reelle Zahlen keine Analysis! Vollständigkeit der reellen Zahlen: unverzichtbare Voraussetzung für fundamentale Sätze der Analysis und damit für die Rechtfertigung nahezu aller in der Schulanalysis (u.a. bei Kurvenuntersuchungen) auftretenden Schlüsse Nullstellensatz von Bolzano (Spezialfall des Zwischenwertsatzes): Wechselt eine in einem abgeschlossenen Intervall I stetige Funktion dort ihr Vorzeichen, so hat sie in I wenigstens eine Nullstelle. In Q gilt dieser Satz nicht. Bsp: I = [1;2], f(x) = x² - 2 Rodner/Neumann 37

38 Monotoniekriterium: Eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion mit überall auf I positiver Ableitung ist dort überall streng monoton wachsend. In Q gilt auch dieser Satz nicht. Bsp.: I =[1;2], f(x) = 1 2 x² Rodner/Neumann 38

39 In den Rahmenplänen der Sek II werden die reellen Zahlen nicht explizit erwähnt; gleichwohl ist die Vollständigkeit der reellen Zahlen eine unverzichtbare Grundlage der Analysis! Rodner/Neumann 39