Leitfaden. Astronomische Navigation

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1 Leitfaden Astronomische Navigation Navigation ohne GPS & Co (nach dem Leitfaden und mit Erlaubnis des Kpt. Ludwig Vellguth) für die Teilnehmer an unseren Navigationskursen 1

2 Inhaltsverzeichnis Seite Trigonometrische Funktionen 7 Die Bestimmung des ungefähren Schiffsorts, Besteckrechnung, Koppelkurs 11 Koordinatensysteme 19 Das Erdsystem Das Horizontsystem Das Himmelsäquatorsystem Die Bewegung der Gestirne am Himmelsgewölbe 29 Folgerungen aus der Erdbewegung, Zeitbegriffe, Zeitrechnungen 33 Chronometer und Uhren an Bord 38 Der Sextant 41 Die Beschickung der Höhenbeobachtung 44 Stundenwinkel und Abweichung 50 Die Mittagsbreite 55 Die Berechnung des Nautisch-sphärischen Grunddreiecks 57 Die Höhengleiche 57 Die Höhenformel 59 Die Azimutformel 60 Die Berechnung der Höhe und des Azimuts 61 Die Berechnung des Schiffsorts aus Höhenstandlinien 65 Das Mittagsbesteck 67 Fehlergleichungen 70 Die Amplitude, Zeit des wahren Sonnen - Auf- und Untergangs, 71 Die Nordsternbreite 73 Das Logarithmische Verfahren (sem-formel) nach Nautischen Tafeln 74 Verfahren nach H.O.Pub.No Das griechische Alphabet α Alpha η Eta ν Nü τ Tau β Beta θ Theta ξ Xi υ Ypsilon γ Gamma ι Jota ο Omnikron φ Phi δ Delta κ Kappa π Pi χ Chi ε Epsilon λ Lambda ρ Rho ψ Psi ζ Zeta µ Mü σ Sigma ω Omega Einige Daten von allgemeiner Bedeutung: Der Erdradius am Äquator Die halbe Erdachse Der mittlere Erdradius Der mittlere Erdumfang Die mittlere Entfernung zum Mond Die mittlere Entfernung zur Sonne Der mittlere Monddurchmesser = 6378 km = 6357 km = 6370 km = km = sm (360 * 60 = Bogenminuten a 1852 m auf dem Erdumfang) = km = km = 3476 km Die Geschwindigkeit de Lichts = km/sec 1 Lichtjahr = die in einem Jahr vom Licht zurückgelegte Strecke = 9,463 Billionen km Beispiele: Der Fixstern SIRIUS im Sternbild Großer Hund ist 9 Lichtjahre von der Erde entfernt; er ist zugleich der hellste Fixstern am nördlichen Sternhimmel. Der Stern DENEB im Sternbild des Schwan ist 1600 Lichtjahre von der Erde entfernt. Seine Leuchtkraft ist die fache unserer Sonne. 2

3 Darum geht s: auf hoher See ohne Landsicht möglichst den richtigen Kurs zu fahren, um wie gewünscht zum Ziel zu gelangen. Zu diesem Zweck wird möglichst oft eine astronomische Ortsbestimmung durchgeführt, um einen sogenannten beobachteten Ort O b zu erhalten (auch wahrer Ort O w ). Traditionellerweise macht man das für jeden Mittag. Die versegelte Distanz in 24 Stunden nennt man ein Etmal. BV Besteckversetzung (Richtung und Größe) Der Unterschied zwischen Ok und Ob ist die sog. Besteck- Versetzung BV. D.h. in der gekoppelten Zeit (hier 24 Stunden (= Etmal)) hat uns etwas vom Ok zu Ob versetzt. Das kann eine (unbekannte) Meeresströmung und/oder Windabdrift und/oder ein Kompaß- oder Loggefehler sein. In Zukunft werden wir aufgrund der beobachteten BV unseren Kurs entsprechend korrigieren (Stromdreieck). Und morgen Mittag machen wir wieder dasselbe. Wenn die BV allerdings durch einen unsystematischen Fehler zustande kommt (z.b. durch einen unkonzentrierten Steuermann), dann wird das nicht klappen. Ob 12:00 Uhr Beobachteter Ort Ok 12:00 Uhr Koppelort (heute) (wenn Kurs und Distanz stimmen, dann müssten wir hier sein) Koppelkurs (Kartenkurs und Distanz) Abfahrtsort (gestern) O 1 12:00 Uhr 3

4 Prinzip der astronomischen Ortsbestimmung Alle Gestirne haben zu jeder Zeit ihre Repräsentanz auf der Oberfläche der Erdkugel: ihren sogenannten Bildpunkt (BP = Schnittpunkt der Verbindungslinie Erdmittelpunkt Gestirn). Wenn ein Beobachter auf dem Bildpunkt eines Gestirns steht, dann hat er den Stern genau über sich (im Zenit ), d.h. in einem Höhenwinkel von 90 (gemessen z.b. mit einem Sextanten). Je weiter sich der Beobachter von dem Bildpunkt entfernt, desto kleiner wird der Höhenwinkel, unter dem das Gestirn erscheint. Aus der terrestrischen Navigation kennen wir die Abstandsbestimmung durch Höhenwinkelmessung: die gewonnene Standlinie ist ein Kreis um das Objekt (z.b. einen Leuchtturm, dessen Höhe wir kennen). Ganz entsprechend erhalten wir in der astronomischen Navigation durch die Höhenwinkelmessung als Standlinie einen Kreisbogen um den Bildpunkt des Gestirns, die sog. Höhengleiche. Den Abstand zum Bildpunkt, also den Kreisradius, können wir berechnen. Die Koordinaten des Bildpunktes entnehmen wir für die sekundengenaue Zeit dem sog. Nautischen Jahrbuch. Die Messung zweier Gestirne würde somit in der Theorie zu zwei Höhen-Standlinien und im Schnittpunkt der beiden zum beobachteten Ort führen. Es ist unmittelbar einsehbar, dass diese Auswertung in der Praxis nicht möglich ist, da wir es mit Kreisradien von vielen tausend Seemeilen zu tun haben. Deshalb wird in der Praxis das Verfahren der Höhendifferenz (Δh) - Messung angewandt: Wir berechnen für den gekoppelten Ort (Ok), in welcher Höhe (hr) wir das Gestirn messen müssten (wenn wir 4

5 wirklich auf diesem Ort wären). Wenn die gemessene Höhe am Sextanten (h b ) größer ist (Δh positiv), befindet sich der Standort näher zum Gestirn hin, ist der gemessene Winkel kleiner (Δh negativ), befindet sich der Standort weiter vom Gestirn weg. Außerdem ist direkt ersichtlich, dass die Höhengleiche (wie in der Zeichnung angedeutet) innerhalb einer gewissen Distanz nahezu eine Gerade ist (insbesondere bei großen Radien). Diese Gerade steht als Tangente senkrecht auf dem Radius = Verbindungslinie: Schiffsort - Bildpunkt des Gestirns. Dies ist die rechtweisende Peilung des Gestirns, genannt Azimut. Auch das Azimut können wir für den Koppelort Ok berechnen. Es ist wichtig zu verstehen, dass das Azimut relativ unempfindlich gegenüber Koppelfehlern ist, d.h. auch wenn wir uns etliche Seemeilen vom richtigen Ort entfernt vermuten, haben wir doch in etwa das richtige Azimut! Und damit ist die Lage unserer Standlinie (des Ausschnitts aus der errechneten bzw. beobachteten Höhengleiche = angenäherte Gerade) bestimmt, nämlich senkrecht zum (errechneten) Azimutstrahl. In der navigatorischen Praxis besteht die astronomische Standortbestimmung aus Berechnungen (bzw. Tabellenablesungen), Höhenmessungen mit dem Sextanten und zeichnerischer Lösung. Für das Verständnis der Berechnungen sind einige Kenntnisse der Winkelfunktionen (Sinus, Kosinus etc.) hilfreich. 5

6 Es werden entweder 2 oder mehr Gestirne zur gleichen Zeit oder ein oder mehrere Gestirne mit dazwischenliegender Versegelung beobachtet. Dann werden für die sekundengenauen Beobachtungszeiten die erwarteten (berechneten) Höhen mit dazugehörigem Azimut bestimmt direkt berechnet mit Taschenrechner, nachgeschlagen und berechnet mit Hilfe der Nautischen Tafeln (Semiversus-Verfahren) oder nachgeschlagen in den Tafelwerken H.O.Pub Diese berechneten Höhen werden mit den am Sextanten beobachteten ( wahren ) Höhen verglichen und ergeben die beobachteten Δh, die an den jeweiligen Azimutstrahlen abgetragen werden und damit die beobachteten Standlinien ergeben. Zeichnerische Lösung: Die Geschwindigkeit, mit der ein Bildpunkt über die Erdoberfläche wandert, kann sehr groß sein, maximal ca km/h auf dem Äquator (die Erde - Umfang km - dreht sich in 24 Stunden einmal um sich selbst), das ist immerhin fast ein halber km in der Sekunde. Daraus ergibt sich die Forderung nach genaugehenden Chronometern und einem Verständnis der verschiedenen Zeitberechnungen. 6

7 Trigonometrische Winkelfunktionen Winkelfunktionen sind unbenannte Zahlen, die einem Winkel im rechtwinkligen Dreieck in bestimmter Weise zugeordnet sind. In Abhängigkeit von der Größe des Winkels findet man ihre Werte entweder durch direkte, mehr oder weniger genaue zeichnerische Bestimmung (Messung) oder aber üblicherweise in Zahlen ausgedrückt in Tafelwerten (Nautische Tafeln u.a.), auf bestimmten Rechenschiebern sowie auf wissenschaftlichen Taschenrechnern und anderen elektronischen Rechengeräten. Diese Werte resultieren aus den Verhältnisgleichungen: Gegenkathete a sinus (sin) α = = --- Hypotenuse d Ankathete b cosinus (cos) α = = --- Hypotenuse d Gegenkathete a tangens (tan) α = = --- Ankathete b Ankathete b cotangens (cot) α = = --- Gegenkathete a Hypotenuse d secans (sec) α = = --- Ankathete b Hypotenuse d α cosecans (cosec) α = = --- Gegenkathete a Diese aufgezeigten Beziehungen kann man am ehesten veranschaulichen und verdeutlichen an den Winkelfunktionen im Einheitskreis (Abb. 2) Der Radius dieses Kreises erhält den Wert 1. Der Kreis wird durch eine senkrechte Achse y und eine waagerechte Achse x in 4 Quadranten geteilt. Die Zählung erfolgt entgegen der sonst in der Mathematik üblichen von 0 in Punkt A im Uhrzeigersinn über B, C und D bis 360 wieder in 90 A. Das entspricht der gewohnten Zählung in der Kompassrose. Ferner enthält der obere Teil der y-achse MA und der rechte Teil der x-achse MB ein positives, MC und MD ein negatives Vorzeichen. Man entnimmt der Zeichnung (Hypotenuse = 1!): 180 xα = sin α yα = cos α tan α cot α 7

8 Es ist: Der Sinus des Winkels α das Verhältnis der Sinuslinie zum Radius des Kreises. Der Cosinus des Winkels α das Verhältnis der Cosinuslinie zum Radius. Der Tangens des Winkels α das Verhältnis der Tangenslinie zum Radius, wobei die Tangenslinie der Tangentenabschnitt zwischen A und dem Schnittpunkt der Verlängerung des freien Schenkels des Winkels α ist. Der Cotangens des Winkels α das Verhältnis der Cotangenslinie zum Radius, wobei die Cotangenslinie der Cotangentenabschnitt zwischen B und dem Schnittpunkt mit der Verlängerung des freien Schenkels des Winkels α ist. Der Secans und der Cosecans der jeweils reziproke Wert con Cosinus und Sinus des Winkels α. Zugleich gilt (wenn α ein spitzer Winkel ist): für den I. und II. Quadranten: Sin α = cos (90 - α) und cos α = sin (90 - α) Sin α = sin (180 - α) und -cos α = cos (180 - α) für den III. und IV. Quadranten: -sin α = sin (180 + α) und -cos α = cos (180 + α) -sin α = sin (360 - α) und cos α = cos (360 - α) für alle Quadranten: sin α cos α 1 1 tan α = cot α = sec α = cosec α = , cos α sin α cos α sin α wobei sich die Vorzeichen aus denen der Quotienten ergeben. 1 cos α Schließlich ist semiversus (sem) α =

9 Für das Taschenrechnerverfahren sind nachstehend die Vorzeichen der hier angewandten Funktionen sin, cos, tan in den 4 Quadranten dargestellt. Für die Eingabe gilt: Die Eingabe eines Winkels kann jeweils vollkreisig erfolgen. Der Rechner zeigt bei Anforderung der dazugehörigen Winkelfunktionen das Vorzeichen des Quadranten an. Bei der Wiedergabe von der Funktion zum dazugehörigen Winkel wird vom Rechner angezeigt: ± sin α in arc ± spitzer Winkel cos α in arc spitzer Winkel - cos α in arc stumpfer Winkel < 180 tan α in arc spitzer Winkel - tan α in arc spitzer Winkel weiterführend: siehe auch: siehe auch: Taylor-Reihe Die trigonometrischen Funktionen im schiefwinkligen Dreieck Man betrachtet neben dem Dreieck, das durch die Seiten a, b, c gebildet und schiefwinklig ist, das Dreieck, welches durch die Seiten h, c 1 und b, und das, welches durch die Seiten h, c 2 und a gebildet wird. Durch Fällen der Höhe h auf die Hypotenuse wurde das schiefwinklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Auf diese beiden rechtwinkligen Dreiecke können alle bisher aufgeführten Funktionen angewendet werden. Jedoch wirkt hierbei störend, das c in zwei Teile zerlegt wurde und die zusätzliche Größe h eingeführt wurde. Dies gilt es zu beseitigen. Man bemüht sich also h, c 1 und c 2 durch Umschreiben herauszumanipulieren. Nach Pythagoras gilt: a 2 = h 2 + c 2 1, wobei h 2 durch b 2 2 c 2 ersetzt werden kann und c 2 1 durch (c c 2 ) 2 (minus, wenn α spitz, plus wenn α stumpf) γ Durch Einsetzen dieser Ersatzwerte erhält man nun: a 2 = b 2 c (c 2 2cc 2 + c 2 2 ) = b 2 + c 2 2cc 2 b a nun ist aber c 2 = b * cos α daher gilt der Cosinussatz: a 2 = b 2 + c 2 2bc * cos α b 2 = c 2 + a 2 2ca * cos β c 2 = a 2 + b 2 2ab * cos γ α β h Ähnlich läßt sich der Sinussatz nachweisen: a : b : c = sin α : sin β : sin γ c 2 C c 1 Letzlich gibt es eine ganze Folge von Sätzen und Regeln, die jedoch hier nicht benötigt werden. 9

10 Die trigonometrischen Funktionen im sphärischen Dreieck Ein sphärisches Dreieck ist eine Figur auf einer Kugeloberfläche von beliebigem Radius, bei der die 3 Punkte durch Großkreise verbunden sind. Großkreise sind Kreise auf einer Kugeloberfläche, deren Mittelpunkt mit dem Kugelmittelpunkt zusammenfällt oder anders ausgedrückt deren Ebene durch den Kugelmittelpunkt geht. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche ist der durch sie hindurchgelegte Großkreis. Zur Berechnung der Seiten und Winkel eines sphärischen Dreiecks aus drei bereits bekannten Größen dienen für unsere Zwecke folgende aus der Trigonometrie besonders auf das Bogenmaß umgestellte Sätze und Regeln: Der Sinussatz: sin α : sin β : sin γ = sin a : sin b : sin c oder anders formuliert: sin α sin β sin γ = = sin a sin b sin c Der Cosinussatz: cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos α oder cos b = cos c * cos a + sin c * sin a * cos β oder cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ Grenzwerte im sphärischen Dreieck: Winkelgröße 180 Winkelsumme α + β + γ 540 Seitensumme a + b + c

11 Die Bestimmung des ungefähren Schiffsorts Man kann einen ungefähren Schiffsort erkoppeln. Dieser Koppelort ist die Grundlage für vorzunehmende astronomische Beobachtungen und Berechnungen, durch letztere wird der Koppelort auf einen wahren Ort verbessert. Die astronomische Navigation läuft also auf eine Art Vergleichsrechnung mit dem Koppelort hinaus. Er darf daher nicht allzu sehr vom wahren Ort abweichen, da sonst leicht Verfälschungen in den Resultaten auftreten können. Größte Sorgfalt ist also geboten, um den Unterschied zwischen Koppelort und wahrem Ort (man nennt das die Besteckversetzung ) möglichst gering zu halten. Erreicht wird dies auf hoher See, wo die Möglichkeiten der terrestrischen Navigation nicht gegeben sind, indem man den fortlaufend zurückgelegten Weg, bestimmt durch den Kartenkurs (KK oder auch KüG (Kurs über Grund)) und die Distanz unter Berücksichtigung verfälschender Einflüsse rechnerisch, zeichnerisch oder beides kombiniert, ermittelt. Kurs und Distanz, in den Berechnungen als Polarkoordinaten bezeichnet: Der vollkreisige KK (Kartenkurs), in unseren Berechnungen α genannt, wird als bekannt und so richtig wie möglich berechnet vorausgesetzt. Die Distanz d ist das Produkt aus Fahrt F und Zeit. Sie kann mit dem Taschenrechner leicht berechnet werden. Beispiel: Ein Schiff läuft 3 h 28 m lang 9 kn, welche Distanz ist durchlaufen? Für die Berechnung müssen die Minuten in (Dezimal-) Stunden umgewandelt werden: 28 Minuten = 28/60 Stunden = 0, Stunden Die durchlaufene Distanz ist also 3,4666 * 9 = 31,2 sm Diese etwas umständliche Berechnung ist mit der Hexagesimal-Umwandlungstaste des Taschenrechners ein Leichtes. Übung im Detail Eingabe: 3 28 * 9 = Anzeige: , ,2 Anderes Beispiel für die Umwandlungstaste: 54 h 41 m 34 s (Stunden, Minuten, Sekunden) sind 54, Stunden (dezimal) Eingabe: Anzeige: , , Umgekehrt ist es genauso leicht möglich, Dezimalstunden oder Grad (z.b.) zurückzuwandeln (INV-Taste) Beispiel: + 54,6744 >> Wie lautet die geographische Breite in Grad, Minuten und Sekunden? Eingabe: 54,6744 INV Anzeige: 54, , ,84 Lies: bzw.: ,8 wegen des positiven Vorzeichens ist es eine Nordbreite: ,8 N Üblicherweise werden die Sekunden in Dezimalminuten umgewandelt, das ist leicht im Kopf zu machen, also: 54 Grad 40 Minuten 27,84 Sekunden 54 40,5 N ========= Kurs und Distanz erzeugen gegenüber dem Abfahrtsort Unterschiede in Nord- oder Süd- bzw. Ost- oder West- Richtung. Wir sprechen vom Breiten- und Längenunterschied: Bewegt man sich - z.b. mit einem Schiff auf der Erdoberfläche, so verändert man seine geographische Breite (φ) oder Länge (λ) oder meist beides. Die Breitenänderung nennt man den Breitenunterschied b in Richtung N oder S, die Längenänderung nennt man den Längenunterschied l in Richtung E oder W. Beide werden in Graden und Bogenminuten angegeben; addiert man unter Berücksichtigung der Richtungszeichen zu φ und λ des Abfahrtsortes (φ 1 und λ 1 ) b und l, erhält man φ und λ des erreichten Ortes (φ 2 und λ 2). 11

12 Zwei Beispiele: φ 1 = N λ 1 = W φ 1 = N λ 1 = W b = 1 32 N l = 56 E b = S l = W φ 2 = N λ 2 = W φ 2 = S λ 2 = W ======================== ======================== Wenn man sich darüber klar ist, daß Nord und Ost positive, Süd und West negative Vorzeichen haben, und kurz darüber nachdenkt, was beim Queren des Äquators bzw. des Null-Meridians oder der Datumsgrenze mit den Vorzeichen passiert, dürfte das Rechnen mit Breiten- und Längeunterschied kein Problem sein. Für Formalisten: Sind φ 1 und b bzw. λ 1 und l gleichnamig, d.h. haben sie das gleiche Nachzeichen (N/N oder W/W), so werden sie miteinander addiert, sind sie ungleichnamig, d.h. haben sie unterschiedliche Nachzeichen (N/S bzw. S/N oder E/W bzw. W/E), wird b und l von φ 1 und λ 1 subtrahiert. Nur beim Überschreiten des Äquators, wie im rechten Beispiel, wird der kleinere Wert vom größeren subtrahiert und erhält das Nachzeichen des größeren Wertes; und beim Überschreiten des 180. Längengrades (Datumsgrenze) wird wie gewohnt addiert bei gleichnamigen Werten und das 180 überschreitende Ergebnis von 360 subtrahiert unter gleichzeitiger Änderung des Nachzeichens. Beispiel: φ 1 = S λ 1 = W b = 24 S l = 23 W φ 2 = S W (das gibt es ja nicht) ========== also λ 2 = E ============= In den Beispielen wird davon ausgegangen, daß b und l bekannt sind. Sie ergeben sich aus Kurs und Distanz. Bewegen wir uns z.b. mit 5 kn Fahrt 2 Stunden lang genau nach Norden (Süden), so haben wir die Distanz 10 sm auf einem Meridian, d.h. auf einem (halben) Großkreis (1 = 1 sm) zurückgelegt; der Breitenunterschied b ist also 10 N (S). So weit, so einfach. Bewegen wir uns mit 5 kn Fahrt 2 Stunden lang genau nach Osten (Westen), so haben wir die Distanz 10 sm auf einem Breitenparallel, d.h. auf einem Kleinkreis (1 < 1 sm) zurückgelegt; der Längenunterschied l ist also??? Zunächst einmal nennen wir die 10 sm in östliche/westliche Richtung Abweitung. Danach fragen wir uns, wie wir aus einer bekannten Abweitung a auf einem gegebenen Breitenparallel den dazugehörigen Längenunterschied l berechnen können. 12

13 Abweitung: In den Berechnungen werden Breitenunterschied b und Abweitung a rechtwinklige Koordinaten genannt. Weiter oben wurde die Seemeile schon definiert als eine Bogenminute auf einem Großkreis auf der Erdkugel. Da alle Meridiane (halbe) Großkreise sind, ergibt sich, daß beim Breitenunterschied Bogenminuten = Seemeilen sind. Das heißt: bei einem Breitenunterschied (z.b.) b = 1 12 N ist sofort klar, dass die Zielbreite 72 sm nördlich der Startbreite liegt. Während auf dem Äquator, der annähernd auch ein Großkreis ist, ein Längenunterschied von z.b W (= 132 W) identisch mit der Abweitung (132 sm W) ist, werden die parallel zum Äquator gelegenen Kleinkreise zu den Polen hin immer kleiner, das heißt die Abweitung a in sm ist zahlenmäßig immer kleiner als der Längenunterschied l in Minuten. In der Zeichnung rechts blicken wir von oben auf die Erdkugel und betrachten die Strecken, die bei ein und demselben Längenunterschied (hier l = 30 ) auf dem Äquator bzw. auf einem Breitenparallel (hier 50 N, könnte auch Süd sein) liegen. Es ist unmittelbar ersichtlich, daß die zurückgelegte Strecke a (in West- Ost-Richtung) auf dem Äquator erheblich größer ist als auf dem Breitenparallel. Beispiel: Wenn ein Schiff in Äquatornähe vom 40. bis zum 70. Längengrad fährt, dann hat es 30 * 60 = 1800 sm in Ost-West-Richtung zurückgelegt. Wenn ein Schiff auf der Breite 50 N vom 40. bis zum 70. Längengrad fährt, dann hat es nur 1157 sm in Ost- West-Richtung zurückgelegt. Frage: Wie hängen Längenunterschied und Abweitung in Abhängigkeit von der geographischen Breite zusammen? Es geht darum, herauszufinden, um wie viel kleiner eine Bogenminute auf einem Breitenparallel gegenüber einer Bogenminute auf dem Äquator ( Großkreis) ist. Definition: Breitenkreise oder Breitenparallele sind Nebenkreise, deren Ebenen senkrecht zur Erdachse stehen. Der längste von ihnen der Äquator wird zum Ausgang der Zählung gemacht, indem jedem Breitenkreis eine Gradzahl zugeordnet wird, die dem Winkel (φ) am Erdmittelpunkt zwischen dem Äquator und dem betreffenden Breitenkreis entspricht. Diese Gradzahlen erhalten auf der Nordhalbkugel das Nachzeichen Nord, auf der Südhalbkugel das Nachzeichen Süd. Betrachtet man die nebenstehende Zeichnung unter Berücksichtigung des unter Trigonometrische Winkelfunktionen gelernten, so ergibt sich anschaulich, daß der Radius des Breitenparallels um den Faktor cos φ kleiner als der Erdradius ist. Alle Merkmale eines Kreises werden durch seinen Radius als die einzige Veränderliche bestimmt. Also ist eine Bogenminute auf dem Breitenparallel 40 um den Faktor cos 40 kleiner als eine Bogenminute auf dem Äquator (Großkreis). Cos 40 = 0,766 d.h. eine Bogenminute auf dem Breitenparallel 40 ist also 0,766 sm lang. Allgemein: a = l * cos φ l = a / cos φ 13

14 Wir greifen das Beispiel von der letzten Seite Mitte noch einmal auf: Wenn ein Schiff auf der Breite 50 N vom 40. bis zum 70. Längengrad fährt, dann hat es l = 30 = 1800 a = 1800 * cos 50 = 1800 * 0, = 1157 sm nur 1157 sm in Ost-West-Richtung zurückgelegt. Merke: Vor der Umwandlung von l in a muß l in Minuten umgerechnet werden Nach der Umwandlung von a in l liegt l in Minuten vor (ggf. in Grad und Minuten umwandeln) Übrigens ist die Längenumwandlung zumindest bei kleineren Distanzen auch zeichnerisch möglich (wenn der Taschenrechner nicht mehr will ): Beispiel für die Abweitung a = 83 sm auf der geogr. Breite φ = N: In einem Eckpunkt der Strecke a trägt man den Winkel an, im anderen Eckpunkt errichtet man eine Senkrechte auf a. Diese Senkrechte begrenzt den freien Schenkel des Winkels φ. Seine Länge, im gleichen Maßstab wie a gemessen, ergibt den Zahlenwert für l = 101 = 1 41 Mittelbreite: Bei den Formeln zur Umwandlung von Abweitung in Längenunterschied und umgekehrt spielt die Breite (φ), wie erkennbar war, eine entscheidende Rolle. Sobald nämlich ein Schiff Fahrt macht, entsteht logischerweise zwischen dem Abfahrtsort O 1 und dem Ankunftsort O 2 sowohl ein Breitenunterschied b wie auch ein Längenunterschied l, es sei denn, das Schiff steuert einen reinen Nord-, Ost-, Süd- oder Westkurs, auf dem lediglich eine der Koordinaten sich ändert. Die Frage ist nun, welche Breite der Längenumwandlung zugrunde gelegt werden soll. Es kann weder φ 1 noch φ 2 sein; man wählt wie beim Herausgreifen der Distanz aus der Seekarte die Mittelbreite φ m, die man durch Addition des halben Breitenunterschiedes zu dem kleineren Wert der beiden Breitenangaben erhält. Dieses φ m ist der Wert für die nun endgültigen Formeln der Längenumwandlung: a = l * cos φ m l = a / cos φ m In Äquatornähe, d.h. bis zu 5 N bzw. 5 S, ist in der seemännischen Praxis eine Umwandlung von a und l wegen zu geringer Größenunterschiede nicht üblich, da man a (1 sm) gleich l (1 Äquatorminute) setzen kann. 14

15 Koordinatentransformation, rechnerisches Koppeln: Nun sind alle Teile für die Koppelnavigation zusammen: Kenne ich Distanz und Kurs, also die Polarkoordinaten d und α, so kann ich b und a, die rechtwinkligen Koordinaten, berechnen und (nach der Längenumwandlung) damit den Zielort bestimmen. Kenne ich andererseits a und b, so kann ich d und α berechnen Rechnerisch bestehen zwischen den o.a. Größen folgende Beziehungen: b = d * cos α a = d * sin α d = b 2 + a 2 a tan α = --- b Glücklicherweise erspart uns der Rechner diese umständliche Formelrechnerei (macht sie automatisch im Hintergrund) und präsentiert uns ein einfaches Verfahren zur Lösung der Aufgaben: Koordinatentransformation mit Taschenrechner CASIO 3600 P und 180 P (Bedienung bei anderen Rechnern anders): Sind d und α gegeben, so bedienen wir uns der Taste P R (Polar- in rechtwinklige Koordinaten), um b und a zu erhalten (1. Aufgabe) Sind b und a gegeben, so bedienen wir uns der Taste R P (rechtwinklige- in Polarkoordinaten), um d und α zu erhalten (2. Aufgabe) Bei der Eingabe ist sorgfältig zu bedenken: d ist immer positiv α ist vollkreisig von 0 bis einzugeben b und a sind immer in dieser Reihenfolge einzugeben (andernfalls wird statt α der Komplementärwinkel angezeigt). Größte Aufmerksamkeit ist der Bedienung der Vorzeichenumkehrtaste +/- bei negativen Werten zu widmen. Positiv sind alle Werte auf der y-achse im Nordhalbraum und alle Werte auf der x-achse im Osthalbraum Negativ sind alle Werte auf der y-achse im Südhalbraum und alle Werte auf der x-achse im Westhalbraum unseres Koordinatensystems Die Anzeige im Rechner: Der Kurswinkel als Ergebnis wird halbkreisig angezeigt, im Osthalbraum halbkreisig und positiv von 0 bis 180, im Westhalbraum von 360 bis 180 links herum halbkreisig und negativ, hierbei ist zu der negativen Anzeige 360 zu addieren, um den gewohnten, vollkreisigen Kurs zu bekommen. Technische Durchführung: 1. Aufgabe: Gegeben: d = 74 sm, α = 305 gesucht sind b und a (Registeraustausch) Eingabe: 74 INV P R 305 = INV X Y Anzeige: ,4-60,6 Erläuterung: d α (KK) b (N) a (W) Ergebnis: Breitenunterschied b = 42,4 Nord Abweitung a = 60,6 sm West 2. Aufgabe: Gegeben: b = 108 sm Nord, a = 251 sm West gesucht sind d und α (Registeraustausch) Eingabe: 108 INV R P 251 +/- = INV X Y Anzeige: ,2-66,7 Erläuterung b (N) a (W) d α (halbkreisig) Ergebnis: Distanz d = 273,2 sm Kurs α = 293,3 (360-66,7 ) 15

16 Besteckrechnung: Erste Aufgabe: Gegeben: Abfahrtsort φ 1 = 39 32,0 N, λ 1 = W, α = 309, Fahrt 13 kn, Zeit 7 h 23 min Gesucht: zunächst Distanz d, dann b und a, daraus l, schließlich erreichter Ort Lösung: φ 1 = 39 32,0 N λ 1 = 23 14,0 W φ 1 = 39 32,0 N Nebenrechnung: a = 74,6 sm W b = 1 00,4 N l = 1 37,4 W b/2 = 30,2 N l = 97,4 West φ 2 = 40 32,4 N λ 2 = 24 51,4 W φ m = 40 02,2 N ( l = a / cos φ m ) ============ ============ Schritt für Schritt auf dem Rechner: Eingabe: 7 23 * 13 = INV P R 309 = INV X Y Anzeige: , , ,4-74,6 Erläuterung: Stunden Minuten Dez.Stunden Knoten Distanz Kurs b (N) a (W) Wenn ich die Mittelbreite φm = ,2 schon kenne (im Kopf oder vorher ausgerechnet), kann ich mit dem letzten Wert im Rechner (a = -74,6) ohne abzusetzen weiterrechnen: Eingabe:./. 40 2,2 cos =./. 60 = INV Anzeige: - 74,6 40 2,2 40,03.. 0, , , ,4 Erläuterung: a durch cos φ m teilen l in Minuten l in Dez.Grad. in Grad Die Systematik der Rechnerbedienung bleibt dem einzelnen überlassen. Sinnvoll ist es natürlich, möglichst doppelte Eingaben zu vermeiden, d.h. am besten mit den Ergebnissen jeweils immer weiter rechnen. Zweite Aufgabe: Gegeben: Abfahrtsort (55 17,0 N λ 1 = 10 22,0 W) Zielort (51 53,0 N λ 2 = 18 12,0 ) Gesucht: b, l, φ m, a, Distanz d, Kartenkurs α Lösung: φ 2 = 51 53,0 N λ 2 = 18 12,0 W Nebenrechnung: φ 1 = 55 17,0 N l = (W) -φ 1 = 55 17,0 N -λ 1 = 10 22,0 W + b/2 = ,0 S a = sm (W) b = ,0 S ============= l = ,0 W ============ φ m = 53 35,0 N ( a = l * cos φ m ) oder b = - 204,0 S und l = (W) Mit der Koordinatentransformation R P finden wir aus b (in Minuten = sm!) und a nun d und α: Eingabe: 204 +/- INV R P 279 +/- = INV X Y = Anzeige: ,6-126, ,826 Erläuterung: b (S) a (W) d α (halbkreisig) α (KK) Ergebnis: Distanz = 345,6 sm, Kartenkurs =

17 Koppeln in der Praxis An Bord wird im Logbuch jede Änderung des Kurses und/oder der Geschwindigkeit eingetragen. Auf die Umwandlung des Kompasskurses mit den Beschickungen für Ablenkung, Missweisung, Wind und Strom wollen wir hier verzichten und davon ausgehen, dass wir den KüG (Kurs über Grund = Kartenkurs = KK) und die FüG (Fahrt über Grund) möglichst exakt ermittelt haben. Dann könnte das vereinfachte Schema für ein Logbuch etwa so aussehen: Datum Uhrzeit KüG FüG Distanz d Aufgabe: Eine Motoryacht steht am um MGZ auf ϕ 1 = N, λ 1 = E. Im Logbuch (das noch zwei weitere Spalten für die zu ermittelnden Teilergebnisse für b und a enthält) werden folgende Eintragungen gemacht: Datum Uhrzeit KüG FüG d b a kn kn kn kn kn kn kn Aus diesen Daten werden die Distanzen und die Breitenunterschiede und Abweitungen für die Teilstrecken berechnet. Datum Uhrzeit KüG FüG d b a kn 30,0 sm -24,5-17, kn 35,0 sm -28,7-20, kn 47,5 sm -23,8-41, kn 52,5 sm 0-52, kn 60,0 sm + 20,5-56, kn 54,0 sm + 18,5-50, kn 48,0 sm + 33,9-33, Gesamt: - 4,1-271,9 Alle Teilstrecken zusammen haben also dazu geführt, dass wir jetzt 4,1 sm südlich und 271,9 sm westlich vom Abfahrtsort stehen. Wir verfahren in der Schlussrechnung so, als hätten wir nur diesen Gesamtkurs und diese Gesamtdistanz gesteuert: Aus b und a ergibt sich mit der Koordinatentransformation (P > R): Gesamtdistanz = 272 sm Gesamtkurs = 269 Schlussrechnung: ϕ m = ϕ 1 + b/2 ϕ 1 = 58 46,0 N l = a / cos ϕ m b/2 = - 2,0 (S) ϕ m = 58 44,0 N l = - 271,9 / cos 58 44,0 = - 523,9 (W) ϕ 1 = 58 46,0 N λ 1 = 10 32,0 E b = - 4,1 S l = ,9 W ϕ 2 = 58 41,9 N λ 2 = 1 48,1 E =============================== Am Mittag des steht die Motoryacht also auf O ,9 N, 1 48,1 E 17

18 Zeichnerische Lösungen Es liegt auf der Hand, dass man in Küstennähe auf das Rechnen des Koppelkurses verzichtet und dass man die gesteuerten Kurse und Distanzen unmittelbar in die Seekarte einträgt und sie mit den gemachten terrestrischen Beobachtungen vergleicht, womit man zugleich ein gutes Bild von der Situation erhält. Die rechnerische Schiffsortbestimmung wird nur dann angewandt, wenn man im freien Ozean nur Seekarten kleinen Maßstabes zur Verfügung hat. Zeichnerisches Koppeln ist auch möglich auf jeglichem Gitterpapier, womit gleichzeitig die zeichnerische Umwandlung von Längenunterschied in Abweitung erfolgen kann. Weit verbreitet ist seit Jahren aber auch das zeichnerische Koppeln auf sog. Plottingsheets im Zusammenhang mit den H.O.Tafeln 249. Plottingsheets sind nichts weiter als Mercatorkarten-Leerdrucke, die jeweils von 4 zu 4 Breite hergestellt werden. Während die Breite festliegt und bezeichnet ist, werden bei den Längengraden die Bezeichnungen weggelassen, so dass es dem Nautiker selbst überlassen bleibt, die für ihn relevanten Bezeichnungen einzutragen. 18

19 Koordinatensysteme Das Erdsystem Wir lagen südlich von Grönland, was keiner so richtig schön fand Die geographische Breite ϕ eines Ortes ist der Winkel - gemessen am Erdmittelpunkt - zwischen der Äquatorebene und der Ebene des Breitenparallels des Ortes. Die geographische Länge λ eines Ortes ist der sphärische Winkel gemessen am Nordpol zwischen dem Meridian von Greenwich und dem Ortsmeridian Versuch einer Entwicklung der Koordinatensysteme in einfachen Worten: Die Erde dreht sich wie ein Kreisel um ihre Achse. Das führt dazu, dass die Erdachse (mehr oder weniger) stabil in immer die gleiche Richtung zeigt. Der eigentlich recht beträchtliche Durchmesser ihrer Umlaufbahn um die Sonne (ca. 150 Mio km, s.o.) schrumpft im kosmischen Maßstab gegen Null. Und so ergibt sich das für unsere astronomischen Zwecke so überaus praktische geozentrische Weltbild mit der Erde im Zentrum, inmitten einer riesigen Himmelskugel (an der die unzähligen Sterne fixiert sind). Die Erdachse wird unendlich verlängert zur Weltachse (mit den Himmelspolen P N und P S ), der Äquator wird wie beim Pizza-Bäcker - unendlich vergrößert zum Himmelsäquator. 19

20 Stellen wir uns im folgenden vor, die Erde wäre eine Kugel aus Glas und im Erdmittelpunkt wäre eine sehr starke Glühbirne; dann könnten wir nachdem wir die Drehung der Himmelskugel für einen Moment angehalten haben - die Meridiane und Breitenparallele an die Himmelskugel projizieren und hätten nun am Himmelsgewölbe ein ganz und gar dem Erdsystem entsprechendes Koordinatensystem zur Ortsbestimmung der Sterne (danach dreht sich die Himmelskugel wieder weiter ). Die Himmels-Breitenparallele nennen wir Abweichungsparallele, gekennzeichnet durch die Abweichung oder Deklination δ. Die Himmels-Meridiane nennen wir Stundenkreise (hierin kommt die Bewegung der Himmelskugel zum Ausdruck), gekennzeichnet durch den Sternwinkel β. Der Sternwinkel eines Gestirns ist der Winkel zwischen dem Null-Stundenkreis (= Stundenkreis des Frühlingspunktes oder Widderpunktes, Erklärung später) und dem Stundenkreis des Gestirns. Das Himmelsäquatorsystem Der Bildpunkt (BP) eines Gestirns ist der Punkt, an dem die Verbindungslinie vom Gestirn zum Erdmittelpunkt die Erdoberfläche durchstößt. Die Himmelskoordinaten des Gestirns entsprechen den Erdkoordinaten seines Bildpunktes. Wer einen Stern in seinem Zenit sieht, steht auf dem Bildpunkt des Gestirns. Das Erdsystem und das Himmelsäquatorsystem existieren unabhängig von einem Beobachter. 20

21 Zum Beobachter gehört das Horizontsystem: Ein Spezialfall: Befindet sich ein Beobachter auf dem Nordpol, so hat er genau über sich ( im Zenit ) den Himmelspol Nord. Die Achse, die von seinen Füßen durch die Schädeldecke nach oben zum Himmelspol Nord (und nach unten durch den Erdmittelpunkt und den Südpol zum Himmelspol Süd) geht, heißt das Lot. In diesem Spezialfall ist das Lot identisch mit der Weltachse. Der Punkt, wo das Lot das Himmelsgewölbe oben über dem Beobachter durchbricht, heißt Zenit (in diesem Fall identisch mit dem Himmelspol Nord), das Gegenstück unter ihm am Himmelsgewölbe (natürlich prinzipiell nie sichtbar!) heißt Nadir (in diesem Fall identisch mit dem Himmelspol Süd). Senkrecht zum Lot (also horizontal) verläuft die Ebene des wahren Horizonts durch den Erdmittelpunkt. In diesem Spezialfall sind wahrer Horizont und der Himmelsäquator identisch. Auch das Horizontsystem hat ganz entsprechend den bisher besprochenen Systemen seine Horizont- Breitenparallele und seine Horizont-Meridiane, hier heißen sie Höhenparallele (gekennzeichnet durch die Höhe h) und Vertikalkreise (gekennzeichnet durch das Azimut Az). Auch durch diese Koordinaten ist der Ort eines Gestirns bestimmt. Steht der Beobachter weiterhin auf dem Nordpol (oder Südpol), dann fallen die Höhenparallele und die Vertikalkreise mit den Abweichungsparallelen und den Stundenkreisen des Himmelsäquatorsystems zusammen. Das Horizontsystem Die Höhe h ist der Winkel zwischen dem wahren Horizont und der Höhenparallele des beobachteten Gestirns, gemessen am Erdmittelpunkt (natürlich messen wir die Gestirns-Höhen von der Erdoberfläche aus, der Unterschied zum richtigen Winkel ist gering und wird bei erdnahen Himmelskörpern entsprechend korrigiert > Horizontalparallaxe). Das Azimut Az ist die rechtweisende Peilung des Gestirns bzw. seines Bildpunktes (also der Winkel zwischen dem Ortsmeridian des Beobachters und dem Peilstrahl zum Bildpunkt bzw. der Winkel, gemessen am Zenit, zwischen dem Himmelsmeridian (= Projektion des Ortsmeridians an die Himmelskugel) und dem Vertikalkreis des Gestirns). Für den Beobachter auf dem Nordpol ist die Höhe aller Gestirne (über dem wahren Horizont) identisch mit ihrer Deklination / Abweichung. Hilfreich ist folgende Überlegung: Wir stellen uns vor, dass der Beobachter einen Regenschirm über sich aufgespannt hat: dann zielt die Spitze zum Zenit, der Stiel ist das Lot und die Regenschirmrippen sind die Vertikalkreise. Auf dem Pol ist noch volle Übereinstimmung mit dem Himmelsäquatorsystem, doch sobald der Beobachter den Pol verlässt, nimmt er seinen Regenschirm mit, und wenig später laufen die (gedachten) Kreise an der Himmelskugel auseinander und es wird das nautisch-sphärische Dreieck aufgespannt (Himmelspol Zenit Stern, s. nächste Seite). 21

22 Die 3 Koordinatensysteme im Zusammenhang: Die drei Seiten des nautisch-sphärischen Dreiecks sind: Pol-Zenit-Distanz: 90 - Breite Pol-Distanz: 90 ± Deklination Zenit-Distanz: 90 - Höhe 22

23 Nach diesem Überblick jetzt das Ganze noch einmal im Detail: Das Erdsystem: Für nautische Zwecke ist es ausreichend, die Erde entgegen ihrer wirklichen Gestalt als vollkommene Kugel anzusehen. Für alle folgenden Betrachtungen gilt deshalb diese Annahme, falls nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist. Um jeden Punkt auf der Erdoberfläche eindeutig bezeichnen zu können, legt man auf ihr ein Koordinatensystem fest. Ausgangspunkte sind die geographischen Pole, also der Nord- und der Südpol. Der Äquator ist dann definiert als jene Kreislinie, die in jedem Punkt gleich weit von beiden Polen entfernt ist. Er ist ein Großkreis, weil seine Ebene durch den Erdmittelpunkt geht. Gedachte, parallel zum Äquator laufende Kreise, deren Umfang mit zunehmenden Abstand von ihm natürlich immer geringer wird, bezeichnet man als Breitenkreise oder parallele. Diese Breitenkreise bilden eine Koordinate. Der längste von ihnen, nämlich der Äquator, wird zum Ausgang einer Zählung gemacht, indem jedem Breitenkreis eine Gradzahl zugeordnet wird, die dem Winkel am Erdmittelpunkt zwischen dem Äquator und dem betreffenden Breitenkreis entspricht. Zur Vermeidung einer Zweideutigkeit erhält dieser Zahlwert das Nachzeichen Nord (N), wenn der Breitenkreis vom Äquator aus auf der durch den Nordpol charakterisierten Halbkugel liegt; im entgegengesetzten Fall erhält er das Nachzeichen Süd (S). Ein solcher Breitenwert wird gekennzeichnet durch den griechischen Buchstaben ϕ (Abb. 1). Nun denke man sich weitere Großkreise durch die beiden Pole gelegt; sie sind alle gleich lang und schneiden die Breitenkreise immer senkrecht. Längskreise oder Meridiane sind deren Halbkreise von Pol zu Pol; sie sind die zweite Koordinate. Willkürlich hat man den durch die Greenwicher Sternwarte verlaufenden Längenkreis zum Ausgang ihrer Zählung gemacht, indem man jedem Längenkreis eine Gradzahl zuordnet, die dem Winkel an einem der beiden Pole zwischen dem Greenwicher Meridian und dem betreffenden Längenkreis entspricht. Man nimmt den kleineren von zwei Winkeln, der damit 180 nicht überschreiten kann. Auch hier erhält er zur Vermeidung einer Zweideutigkeit das Nachzeichen Ost (E von engl. East, weil O mit Null verwechselt werden könnte!) oder das Vorzeichen +, wenn der Längenkreis auf der östlichen Halbkugel liegt; im anderen Falle erhält er die Zeichen West (W oder -). Der Längenwert wird gekennzeichnet durch den griechischen Buchstaben λ (Abb. 1). Die Meridiane, also Halbkreise, sind sämtlich gleich lang, nämlich rund km. Der Äquator, ein Vollkreis, ist etwa doppelt so lang (infolge der Abplattung der Erde etwa 70 km länger). Alle Breitenkreise sind kürzer als der Äquator; der 60 -Breitenkreis ist z.b. nur noch halb so lang, während der 90 -Breitenkreis keine Längenausdehnung mehr hat. Es gilt: der Erdumfang auf der Breite ϕ ist gleich Äquatorumfang mal cosinus ϕ. Der Erdumfang in der Ebene eines Meridians ist demnach rund km lang. Dieser Umfang ist wie jeder Kreisumfang in 360 eingeteilt, jedes Grad wieder in 60 Bogenminuten ( ). In der Praxis ist die Länge einer Bogenminute auf einem Meridian das Maß einer Seemeile (sm); sie ist 1852 m lang. Nach dem Gesagten ist klar, dass die Länge einer Bogenminute auf einem Breitenkreis im allgemeinen kürzer als eine Seemeile sein muß, bei gleicher Anzahl von Bogenminuten. Lediglich auf dem Äquator und auf Breiten bis etwa 4 ist die Länge einer Bogenminute auch nahezu gleich einer Seemeile. Das Horizontsystem Für die Fragen der astronomischen Navigation ist es zweckmäßig, sich entgegen der Wirklichkeit alle Gestirne gleich weit (sehr weit) entfernt vorzustellen. Diese Vorstellung beeinträchtigt im allgemeinen nicht die Richtigkeit der zu beschreibenden Überlegungen und Rechnungen. In dieser gedachten, großen Entfernung stellt man sich deshalb konzentrisch um die Erde ein kugelförmiges Himmelsgewölbe vor. Es ist zweckmäßig, sich an diesem Himmelsgewölbe ebenfalls Koordinatensysteme zu schaffen, um die Lage der Gestirne angeben zu können. Ein solches System ist das Horizontsystem (Abb. 2). Im augenblicklichen Standort des Beobachters bestimmt das Lot über ihm den Zenit, unter ihm den Nadir. Durch seinen Standort verläuft senkrecht zum Lot (also horizontal) in Augeshöhe die Ebene des scheinbaren Horizontes und parallel zu diesem durch den Erdmittelpunkt die Ebene des wahren Horizontes. Diese Ebenen scheiden das Himmelsgewölbe im scheinbaren bzw. wahren Horizont. Auf dem Horizont liegen, durch die Himmelsrichtungen auf der Erde festgelegt, z.b. der Nord-, der Ost- der Süd- und der Westpunkt. Am Himmelsgewölbe verlaufen parallel zu ihm die Höhenparallele, so genannt, weil alle auf dem gleichen Höhenparallel stehenden Sterne für unseren Beobachter unter der gleichen Höhe h erscheinen. Diese Höhe h ist genau genommen der Winkel zwischen dem wahren Horizont und dem Höhenparallel im Erdmittelpunkt (Abb. 2). Damit ist ein Höhenparallel bezeichnet. Höhen unter dem Horizont interessieren nicht, weil Gestirne unter dem Horizont nicht sichtbar und damit für unsere Aufgaben nicht brauchbar sind. Senkrecht zu den Höhenparallelen verlaufen als Großhalbkreise durch Zenit und Nadir die Vertikalkreise. Der auf dem Horizont durch den Nord- und Südpunkt gehende Vollkreis wird der Himmelsmeridian genannt, der 23

24 durch den Ost- und Westpunkt hindurchgehende der 1. Vertikal. Der Winkel am Zenit zwischen dem Himmelsmeridian und dem Vertikalkreis eines Gestirns wird dessen Azimut (Az) genannt; damit ist der betreffende Vertikalkreis gekennzeichnet. Das Azimut zählt in Graden von 0 (Nordrichtung) über 90 (Ostrichtung), 180 (Südrichtung), 270 (Westrichtung) bis 360 (wieder Nordrichtung); es ist nichts anderes als die rechtweisende Richtung (Peilung) des betreffenden Gestirns. Im Horizontsystem, das abhängig vom jeweiligen Standort des Beobachters ist, ist demnach die Lage eines Gestirns am Himmelsgewölbe bestimmt durch sein Höhenparallel, gekennzeichnet durch die Höhe h, und durch seinen Vertikalkreis, gekennzeichnet durch das Azimut. Höhe und Azimut ermöglichen eine eindeutige Bestimmung der Lage eines Gestirns am Himmelsgewölbe. Diese Koordinaten ändern sich, sobald der Beobachter seinen Standort ändert. Man benutzt aus Gründen der Zweckmäßigkeit neben dem Begriff der Höhe h noch den der Zenitdistanz z. Beide hängen nach folgender Definition zusammen: h + z = 90 oder 90 - h = z oder 90 - z = h Das Himmelsäquatorsystem Während das Horizontsystem ein vom jeweiligen Standort des Beobachters abhängiges ist, ist das Himmelsäquatorsystem (Abb. 3) am Himmelsgewölbe fixiert und nimmt an dessen scheinbarer täglichen Bewegung teil. Es ist also nicht bestimmt vom Beobachter bzw. dessen jeweiligen Standort. Man denke sich die Erdpole und den Erdäquator vom Erdmittelpunkt aus an das Himmelsgewölbe projiziert; deren Abbild sind dann die Himmelspole und der Himmelsäquator. Man spricht vom nördlichen und vom südlichen Himmelspol P N und P S oder nennt den für den Beobachter über dem Horizont liegenden den oberen Pol, den unter dem Horizont liegenden den unteren Pol P. Parallel zum Himmelsäquator verlaufen die Abweichungsoder Deklinationsparallelen bzw. kreise. Ihre Zählung entspricht der Breite im Erdsystem vollkommen. Die Abweichung oder Deklination wird durch den griechischen Buchstaben δ (Delta für Deklination) gekennzeichenet. Senkrecht zu den Abweichungsparallelen verlaufen von Himmelspol zu Himmelspol die Stundenkreise. Einen von ihnen, der durch den Frühlingspunkt oder Widderpunkt hindurchgeht über die Lage dieses Punktes am Himmelsgewölbe wird noch zu sprechen sein -, hat man zum Ausgang ihrer Zählung genommen, entsprechend etwa dem Meridian von Greenwich im Erdsystem. Diese Zählung erfolgt im Sinne der täglichen scheinbaren Bewegung des Himmelsgewölbes, d.h. vom nördlichen Himmelspol aus gesehen im Uhrzeigersinn, indem man den Winkel am Pol zwischen dem Stundenkreis des Frühlingspunktes und dem des Gestirns in Graden von 0 bis 360 angibt (also etwas anders als die Längenzählung im Erdsystem!). Diesen Winkel nennt man den Sternwinkel und kennzeichnet ihn durch den griechischen Buchstaben β. (Daneben gibt es eine andere, seit alters her gebrauchte Zählung nach der Beziehung α = β. Man nennt α die Gerade Aufsteigung oder Rektaszension ). In dem Äquatorsystem kann also jeder Punkt am Himmelsgewölbe eindeutig bezeichnet werden durch die Abweichung oder Deklination δ und durch den Sternwinkel β. Diese Koordinaten ändern sich im Gegensatz zu denen im Horizontsystem nicht, wenn der Standort des Beobachters sich ändert. Sie nehmen teil an der täglichen Drehung des Himmelsgewölbes. Zusammenfassende Betrachtung der Koordinatensysteme: Für einen beliebigen Standort auf der Erde zeigen sich bestimmte Zusammenhänge zwischen dem Horizont- und dem Äquatorsystem: Beide Systeme sind gegeneinander um den Winkel 90 -ϕ, dem Breitenkomplement, geneigt. Außerdem verläuft der im Horizontsystem definierte Himmelsmeridian durch beide Himmelspole; er fällt demnach mit irgendeinem Stundenkreis zusammen und gehört also auch dem Äquatorsystem an! In beiden Systemen wird der Himmelsmeridian gemäß ihren Koordinaten in jeweils zwei Halbmeridiane unterteilt. Im Horizontsystem in den Nordmeridian (derjenige Halbmeridian, der vom Zenit durch den nördlichen Himmelspol zum Nadir geht) und in den Südmeridian (der vom Zenit durch den südlichen Himmelspol zum Nadir geht). Im Himmelsäquatorsystem unterteilt sich der Himmelsmeridian in die beiden Halbmeridiane: Oberer Meridian (verläuft vom nördlichen Himmelspol durch den Zenit zum südlichem Himmelspol) und Unterer Meridian (verläuft vom nördlichen Himmelspol durch den Nadir zum südlichen Himmelspol). 24

25 Zusammenstellung der sich entsprechenden Größen im Erdsystem Himmelsäquatorsystem Horizontsystem Erdachse Nord- und Südpol Äquator Breitenparallele Breite ϕ Längenkreise / Meridiane Meridian von Greenwich Länge λ Weltachse nördl.und südl. Himmelspol Himmelsäquator Abweichungsparallele Abweichung / Deklination δ Stundenkreise Stundenkreis des Frühlingspunktes Sternwinkel β Das Lot Zenit und Nadir wahrer Horizont Höhenparallele Höhe h Vertikalkreise Himmelsmeridian Azimut Az Abb. 1: Das Erdsystem Grundkreise: Erdäquator, Meridian von Greenwich Koordinaten: Breite ϕ, Länge λ Abb. 2: Das Horizontsystem Grundkreise: Wahrer Horizont, Himmelsmeridian Koordinaten: Höhe h, Azimut Az Abb. 3 Das Himmelsäquatorsystem Grundkreise: Himmelsäquator, Stundenkreis des Frühlingspunktes Koordinaten: Abweichung δ, Sternwinkel β 25

26 Grundbegriffe der Koordinatensysteme (zum Nachschlagen gedacht, spez. für die Prüfung!) Horizontsystem: Wahrer Horizont ist der größte Kreis auf der Himmelskugel, dessen Ebene senkrecht zum Lot steht. Zenit und Nadir sind die Schnittpunkte mit der Himmelskugel. Nord-, Ost-, Süd- und Westpunkt sind die auf dem Horizont liegenden Punkte, die durch die Himmelsrichtungen auf der Erde festgelegt sind. Himmelsmeridian ist derjenige senkrecht auf dem Horizont stehende Großkreis, dessen Ebene sowohl durch den Zenit als auch durch den Nord- und Südpunkt geht, zwangsläufig daher auch durch die Himmelspole. Somit gehört er auch dem Äquatorsystem an und fällt dort mit irgendeinem Stundenkreis zusammen. Nordmeridian ist der halbe Himmelsmeridian vom Zenit zum Nadir durch den Nordpunkt. Südmeridian ist der halbe Himmelsmeridian von Zenit zum Nadir durch den Südpunkt. Vertikalkreise sind größte Kreise, die durch Zenit und Nadir gehen; also ist auch der Himmelsmeridian ein Vertikalkreis. I. Vertikalkreis ist der Vertikalkreis, dessen Ebene senkrecht zur Ebene des Himmelsmeridians steht; er schneidet den Horizont also im Ostpunkt. Höhenparallele sind Nebenkreise, deren Ebenen senkrecht zum Lot stehen. Scheinbarer Horizont ist ein Nebenkreis, der die durch das Auge des Beobachters senkrecht zum Lot begrenzte Ebene begrenzt. Kimm ist die Grenzlinie zwischen Wasser und Luft, die der Beobachter sieht. Kimmtiefe ist der Winkel zwischen den Linien: [Auge Kimm] und [Auge - scheinbarer Horizont]. Ihre Größe ist abhängig von der Augeshöhe (Ah) und vom Temperaturunterschied zwischen Luft und Wasser. Wahre Höhe (h) eines Gestirns ist der Bogen eines Vertikals vom wahren Horizont bis zum Höhenparallel des Gestirns. Scheinbare Höhe eines Gestirns ist der Winkel zwischen den Linien: [Auge - scheinbarer Ort des Gestirns] und [Auge - scheinbarer Horizont]. Kimmabstand ist der Winkel zwischen den Linien: [Auge Kimm] und [Auge scheinbarer Ort des Gestirns]. Höhe über dem scheinbaren Horizont ist der Bogen eines Vertikals vom scheinbaren Horizont bis zum Höhenparallel des Gestirns. Zenitdistanz (z) ist der Bogen eines Vertikals von Zenit bis zum wahren Ort des Gestirns. Azimut ist der sphärische Winkel am Zenit zwischen dem Himmelsmeridian und dem Vertikalkreis des Gestirns. Dieser Winkel entspricht der rechtweisenden Peilung zum Gestirn. Amplitude ist der Bogen des wahren Horizonts zwischen Ostpunkt und dem Gestirnsmittelpunkt beim wahren Aufgang (Morgenweite) oder zwischen dem Westpunkt und dem Gestirnsmittelpunkt beim wahren Untergang (Abendweite). In der nautischen Praxis versteht man unter Amplitude auch das Azimut beim wahren Auf- und Untergang. Wahrer Halbmesser eines Gestirns ist der Winkel zwischen den Linien: [Erdmittelpunkt Gestirnsmittelpunkt] und [Erdmittelpunkt wahrer Gestirnsrand]. Horizontalparallaxe ist der Winkel, unter dem vom Gestirn aus der Äquatorhalbmesser der Erde erscheint. Ihre Größe ist abhängig von der Entfernung des Gestirns. Höhenparallaxe ist der Winkel zwischen den Linien: [Gestirn Auge] und [Gestirn Erdmittelpunkt]. Strahlenbrechung oder Refraktion ist der Winkel zwischen den Linien: [Auge scheinbarer Ort des Gestirns] und [Auge wahrer Ort des Gestirns]. Ihre Größe ist abhängig von der Höhe des Gestirns und von der Beschaffenheit der Atmosphäre (Luftdruck/Temperatur) 26