Bildgebende NMR. an Flüssigkeiten und Mikrokapseln

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1 Bildgebende NMR an Flüssigkeiten und Mikrokapseln Diplomarbeit an der Fakultät Physik der Technischen Universität Dortmund von Christoph Wilms Erstprüfer: Zweitprüfer: Professor Dr. Dieter Suter Professor Dr. Heinz Rehage 15. Oktober 2010

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Theoretische Grundlagen der bildgebenden NMR Longitudinale Relaxation Transversale Relaxation Signaldetektion Bildgebende NMR Signalaufnahme Frequenzkodierung Phasenkodierung Schichtselektion Spin-Warp Sequenz Design einer Microimaging-Einheit Vorstellung des Schwingkreises der Microimaging-Einheit Design der RF-Spule Bestimmung der Güte des Schwingkreises Simulation der Gradientenfelder Gradientspule in transversaler Richtung Gradientspule in longitudinaler Richtung Zukünftige Arbeitsschritte in der Entwicklung der Microimaging-Einheit Diffusion an Grenzflächen Theoretische Grundlagen der Diffusion Magnetische Suszeptibilität in der NMR-Bildgebung Diffusion an Grenzflächen Vorbereitung der Messungen Verarbeitung der Messwerte Einfluss der Suszeptibilität Diffusionstensorbildgebung Vergleich mit 1D-PGSE-Experiment Messung der Magnetfeldinhomogenitäten

3 4.7 Messung der Selbstdiffusion an einem Suszeptibilitätsplug Interpretation der x 0 -Verschiebung Untersuchung von Mikrokapseln Mikrokapseln aus Alginat und Pektin Bestimmung der Membrandicke von Hohlkapseln aus Pektin Diffusionseigenschaften einer Alginat-Vollkapsel Diffusionseigenschaften einer beschichteten Pektin-Hohlkapsel Zusammenfassung und Ausblick 69 Literaturverzeichnis 71

4 1 Einleitung Die bildgebende NMR (auch NMR-Mikroskopie oder µmri) zeichnet sich bei der Anwendung dadurch aus, dass sie eine nichtinvasive ortsaufgelöste Bestimmung physikalisch-chemischer Eigenschaften erlaubt. Dieses Merkmal hat dazu geführt, dass die bildgebende NMR zu einem populären Werkzeug in der medizinischen Diagnostik geworden ist. Durch die Wahl der experimentellen Parameter ermöglicht sie, verschiedene Kontraste in den NMR-Bildern zu erzeugen. Dabei stellt die Diffusionsgewichtung eine besonders interessante Möglichkeit dar, bei der ein Kontrast zwischen Bereichen mit unterschiedlich schneller bzw. unterschiedlich gerichteter Diffusion erzeugt werden kann. Die Diffusion ist ein dreidimensionaler Prozess, der durch die lokale Struktur der Probe auf einer Längenskala beeinflusst wird, die normalerweise unterhalb der Bildauflösung liegt. Dabei wird die Diffusion durch die bildgebenden NMR-Experimente nicht gestört. In der medizinischen Anwendung wird auf diese Weise die Diffusion von Wasser entlang von Nervenfasern untersucht. Die Ergebnisse geben Aufklärung über die Struktur des Gewebes [1, 2] und ermöglichen die Diagnose von krankhaften Veränderungen. An der Grenzfläche zwischen zwei nicht mischbaren Stoffen wird die Diffusion im Allgemeinen einschränkt [3]. In dieser Arbeit wird der Einfluss von Grenzflächen auf die Selbstdiffusion an einfachen Systemen untersucht. Das Ziel dabei ist, herauszufinden, auf welcher Längenskala die Diffusion durch die Grenzfläche beeinflusst wird. Ein weiteres Thema der Arbeit ist die Charakterisierung von Mikrokapseln aus den Hydrogelen Alginat und Pektin bezüglich der Membrandicke und der Diffusionskonstanten des in den Hydrogelen enthaltenen Wassers. Mikrokapseln können unter anderem für die Verkapselung und gezielte Freisetzung von Wirkstoffen genutzt werden. Dabei ist es von großer Bedeutung, die Eigenschaften der Membran zu kennen, da diese die Funktionalität der Kapseln bestimmen. Ein weiterer Aspekt dieser Arbeit besteht darin, eine Microimaging-Einheit bestehend aus einem Probenkopf mit RF-Schwingkreis und Gradientenspulen zu entwickeln. Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut: In Kapitel 2 wird zunächst ein Überblick über die theoretischen Grundlagen der bildgebenden NMR gegeben. Das Design des Probenkopf-Prototypen wird in Kapitel 3 vorgestellt. Nach einer Einführung in die Theorie der Diffusion folgen in Kapitel 4 die Ergebnisse der Diffusionsuntersuchungen an Grenzflächen. Die Charakterisierung der Membrandicke von Mikrokapseln sowie die Untersuchungen der Diffusionseigenschaften des Wassers in Mikrokapsel-Membranen wird in Kapitel 5 vorgestellt. In Kapitel 6 werden die Ergebnisse der Arbeit kurz zusammengefasst. 1

5 2 Theoretische Grundlagen der bildgebenden NMR Die Kernmagnetische Resonanz (abgekürzt NMR von engl. nuclear magnetic resonance ) basiert auf der Zeeman-Aufspaltung der Energieniveaus von Atomkernen mit einem Kernspin I>0in Anwesenheit eines Magnetfeldes B 0. Im Allgemeinen ergeben sich 2I +1 Energieniveaus. Da sich die Experimente in der vorliegenden Arbeit ausschließlich mit Protonen (Kernspin I =1/2) befassen, existieren zwei Energieniveaus. Die Energiedifferenz dieser beiden Niveaus ist durch das gyromagnetische Verhältnis γ und das Plancksche Wirkungsquantum gegeben E = γb 0. (2.1) Der Kernspin eines Atoms ist proportional zu seinem magnetischen Moment µ = γ I. In Anwesenheit eines externen Magnetfeldes B 0 bildet sich eine Gesamtmagnetisierung M 0 aus. Diese Gesamtmagnetisierung ergibt sich durch die Summation der magnetischen Momente: M 0 = i µ 0 µ i V. Dabei bezeichnet V das Volumen, in dem die magnetischen Momente verteilt sind. Auf das magnetische Moment wirkt im Magnetfeld ein Drehmoment und es kommt zu einer Präzessionsbewegung um die Magnetfeldachse mit der Larmorfrequenz ω 0 = γb 0. (2.2) Unter der Annahme, dass das externe Magnetfeld parallel zur z-achse ist, d.h. B 0 =(0, 0,B z ), ergibt sich ein Magnetisierungsvektor, der nur eine z-komponente besitzt. Strahlt man gepulste RF-Strahlung mit einem magnetischen Feldvektor senkrecht zu dem statischen Magnetfeld B 0 ein, so werden Übergänge zwischen den Energieniveaus induziert. Der Magnetfeldvektor wird dabei in die xy-ebene gedreht. Der Drehwinkel ϕ im Bezug zur z-achse hängt von der Pulsdauer t Puls und von der Pulsleistung, bzw. der magnetischen Feldstärke B 1 des RF-Feldes, ab: ϕ = γb 1 t Puls. (2.3) 3

6 2.1. LONGITUDINALE RELAXATION Die x- und y-komponenten des Magnetisierungsvektors werden als transversale Magnetisierung bezeichnet. Die transversale Magnetisierung wird maximal, wenn der Magnetisierungsvektor in der xy-ebene präzediert. Im Gleichgewicht kann dies durch einen Flipwinkel ϕ = 90 erreicht werden, weshalb Pulse mit solch einem Flipwinkel im Allgemeinen auch als π 2 -Pulse bezeichnet werden. Für den Fall, dass der Magnetisierungsvektor entlang der z-achse orientiert ist, handelt es sich um longitudinale Magnetisierung. Pulse, die die Magnetisierung invertieren, werden dementsprechend auch als π-pulse bezeichnet. 2.1 Longitudinale Relaxation Im thermischen Gleichgewicht ist der Magnetisierungsvektor entlang der z-achse bzw. dem statischen Magnetfeld B 0 ausgerichtet. Der Betrag des Magnetisierungsvektors M 0 ist proportional zu dem Boltzmann-Faktor N + =exp γb 0 N k B T, (2.4) wobei k B die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur ist. N + und N sind die Besetzungszahlen des energetisch höheren bzw. niedrigeren Energieniveaus im Gleichgewicht. Die longitudinale Relaxation wird durch die Zeitkonstante T 1 charakterisiert, weshalb diese auch als T 1 Relaxation bekannt ist. Für den zeitlichen Verlauf gilt: M z (t) =M 0 (1 ae t/t 1 ). (2.5) Der Koeffizient a hängt von der verwendeten Pulssequenz zur Messung der Relaxationszeit ab. Für eine Inversion-Recovery-Pulssequenz ist a = 1, für die Saturation-Recovery-Pulssequenz ist a =2. Die Longitudinale Relaxation bezeichnet den exponentiellen Aufbau der Gleichgewichtsmagnetisierung. Bei diesem Relaxationsprozess findet ein Energieaustausch zwischen dem Spinsystem und der Umgebung statt, weshalb dieser Prozess auch als Spin-Gitter-Relaxationszeit bezeichnet wird. 2.2 Transversale Relaxation Anders als die longitudinalen Komponenten der Magnetisierung unterliegen die transversalen Komponenten der Larmorpräzession. Dabei präzedieren die einzelnen Komponenten um die z- Achse. Ohne eine Relaxationserscheinung würde dieser Prozess uneingeschränkt weiterlaufen. Experimentell stellt sich heraus, dass die transversalen Komponenten mit der Zeit exponentiell zerfallen: M x,y (t) =M x,y (0)e t/t 2. (2.6) 4

7 2.3. SIGNALDETEKTION Die dabei auftretende Zeitkonstante T 2 wird als transversale Relaxationszeit bezeichnet. Mit der transversalen Relaxation ist keine Änderung der longitudinalen Magnetisierung verbunden. Üblicherweise wird die transversale Relaxationszeit durch die Zeitkonstante T2 beschrieben. Diese setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen: 1 T 2 = 1 T T. (2.7) Dabei stellt T 2 den homogenen Beitrag dar, der sich u.a. aus der Dipol-Dipol-Wechselwirkung benachbarter Kerne ergibt. Die Zeitkonstante T repräsentiert die inhomogenen Beiträge, die sich aus der chemischen Verschiebung und den Magnetfeldinhomogenitäten zusammensetzen. Nach der Auslenkung haben zunächst alle Spins die gleiche Phase. Allerdings führen Magnetfeldinhomogenitäten zu einer räumlichen Verteilung der Larmorfrequenzen, so dass die Spins mit der Zeit dephasieren. Dies führt zu einem Zerfall der Transversalkomponenten der Magnetisierung. Die inhomogenen Beiträge T der T 2 Relaxation können durch einen 180 Puls refokussiert werden. Daher ist es möglich, das natürliche T 2 mit einem Spin-Echo-Experiment zu bestimmen [4]. Der transversale und longitudinale Relaxationsprozess sind miteinander gekoppelt. So führt ein Wiederaufbau der longitudinalen Magnetisierung zu einem Abbau der transversalen Magnetisierung. Ausschlaggebend dafür ist, dass der Betrag des Gesamtmagnetisierungsvektors nicht größer als die Gleichgewichtsmagnetisierung M 0 sein kann. Für die Relaxationszeiten ergibt sich daher folgende Relation[5]: 2T 1 T 2 T 2. (2.8) 2.3 Signaldetektion Im thermischen Gleichgewicht ist die longitudinale Magnetisierung ein statischer Vektor und es existiert keine Phasenkohärenz in der transversalen Ebene. Die Magnetisierung wird messbar, sobald die longitudinale Magnetisierung durch einen RF-Puls in die transversale Ebene gedreht wurde. Das Besetzungszahl-Verhältnis der beiden Energieniveaus ergibt sich über den Boltzmann-Faktor aus Gleichung 2.4. Bei Raumtemperatur und einem Magnetfeld von 8, 46 T ergibt sich ein Besetzungszahl-Verhältnis von 0, Somitträgtnur1 von Spins zum Signal bei. Die präzedierenden Komponenten des transversalen Magnetisierungsvektors induzieren eine Wechselspannung mit ihrer Larmorfrequenz in der Spule, die in der Regel auch für die Emission der RF-Strahlung benutzt wird. Da die transversale Magnetisierung exponentiell mit der Zeit zerfällt, zerfällt auch die induzierte Wechselspannung mit der Zeit. Die induzierte Spannung wird als FID (von engl. Free Induction Decay) bezeichnet. Aufgrund des geringen Unterschiedes der Besetzungszahlen ist die induzierte Spannung sehr niedrig und liegt in der Größenordnung einiger µv. Das NMR-Signal kann aufgrund der kleinen Spannungen im thermischen Rauschen 5

8 2.4. BILDGEBENDE NMR der elektrischen Bauteile untergehen. Durch die Summation mehrerer Einzelmessungen kann das Signal zu Rausch Verhältnis (SNR) verbessert werden, da die Amplitude des FID linear mit der Anzahl der Einzelmessungen n anwächst, wohingegen das Rauschen mit n anwächst. Die Länge des FID ist durch den exponentiellen Zerfall der transversalen Magnetisierung mit der Zeitkonstante T2 gegeben. Damit hängt die Länge des FID auch von den Magnetfeldinhomogenitäten im Bereich der Probe ab. Durch die Inhomogenitäten dephasieren die Spins aufgrund der unterschiedlichen Larmorfrequenzen sehr schnell und die Kohärenz geht verloren. Daher existieren in den NMR-Magneten Shim-Spulen. Über diese Spulen können zusätzliche statische Magnetfelder erzeugt werden, die dem inhomogenen Magnetfeld B 0 überlagert werden können. Durch die richtige Wahl der zusätzlichen statischen Felder kann das Magnetfeld homogenisiert werden. Dieser Vorgang wird auch als shimmen bezeichnet. 2.4 Bildgebende NMR Mit der NMR ist es möglich, Informationen über die räumliche Verteilung der Kernspins zu erlangen. Auf der molekularen Ebene ist dies beispielsweise durch die chemische Verschiebung möglich [6]. Sie ermöglicht, die relativen Positionen der Kernspins zu einander zu untersuchen. Allerdings erhält man hiermit keine räumliche Auflösung der Kernspins, da die Kernspins einer Kernspezies an jedem Ort der Probe dieselbe Larmorfrequenz haben. Man kann eine räumliche Auflösung der Kernspins erhalten, indem man ihre Larmorfrequenz ortsabhängig macht [7]. Hierfür überlagert man das statische Magnetfeld B 0 mit einem zeitabhängigen linearen Gradientenfeld g (r, t ). Das Gradientenfeld g wird im Allgemeinen durch einen Tensor 2. Stufe beschrieben g = B x x B y x B z x B x y B y y B z y Hierbei beschreiben die Tensorelemente die räumliche Abweichung vom statischen Magnetfeld B 0. Ist das zusätzliche Feld klein gegenüber dem statischen Magnetfeld und weiterhin parallel zu diesem, so sind nur die Elemente entlang der z-richtung von Bedeutung und der Gradient kann durch die vereinfachte Form g = B x z B y z B z z. Bz x, B z y, B z z beschrieben werden. Durch die Überlagerung der beiden Felder ergibt sich für die Larmorfrequenz nach Gleichung 2.2 am Ort r : ω 0 (r )= γ(b 0 + g r ). (2.9) 6

9 2.5. SIGNALAUFNAHME 2.5 Signalaufnahme Das Signal S( G, t) aus dem Volumen V ergibt sich zu ˆ S( G, t) = V ρ(r )e iωt dv. Durch eine Koordinatentransformation kann das statische Magnetfeld B 0 in Gleichung 2.9 vernachlässigt werden: ω 0 (r )= γgr. Für das Signal ergibt sich dann: ˆ S( G, t) = V ρ(r )e iγgrt dv (2.10) Führt man weiterhin den Wellenvektor k = γgt ein, wird aus Gleichung 2.10: ˆ S( k)= ρ(r )e ikr dv. (2.11) V In Gleichung 2.11 erkennt man, dass das Zeitsignal S( k) die Fouriertransformierte der Spindichte ρ(r ) darstellt. So wie die Zeit t und die Frequenz ω ein Variablenpaar darstellen, gilt dies auch für den Wellenvektor k und den Ortsvektor r. Durch die Einführung des Wellenvektors kann ein Bild nun als Überlagerung von räumlichen Wellen aufgefasst werden. Im k-raum befinden sich die Informationen über die Frequenzen, die für die Bildrekonstruktion verwendet werden. Unter Vernachlässigung zusätzlicher Wechselwirkungen (bspw. Relaxationsprozesse) lässt sich die maximale räumliche Auflösung über x = ω γ g (2.12) bestimmen, wobei ω die Linienbreite und g die Gradientenstärke ist. Da die Linienbreiten in den vorliegenden Messungen im Allgemeinen sehr klein sind, ist ihr Einfluss auf die Auflösung vernachlässigbar. Den stärksten Einfluss auf die erreichbare Auflösung hat daher das Signal zu Rausch Verhältnis (SNR) [8], da das NMR-Signal proportional zur Anzahl der Spins innerhalb eines Voxels ist. Das SNR kann durch die Akkumulation mehrerer Messungen verbessert werden. Weiterhin begrenzen die physikalischen Eigenschaften der Probe die mögliche Auflösung: Chemische Verschiebung, Diffusionsprozesse und Suszeptibilitätssprünge. Für eine Erhöhung der digitalen Auflösung kann der Datensatz mit Nullen aufgefüllt werden. Dieses Verfahren wird auch als zero-filling bezeichnet [9]. 7

10 2.6. FREQUENZKODIERUNG Abbildung 2.1: Eindimensionale Sequenz zur Frequenzkodierung. Der Rephasierungsgradient g 1 kann entweder vor dem Refokussierungspuls oder danach platziert werden, in dem Fall ändert sich nur seine Polarität. 2.6 Frequenzkodierung Eine Möglichkeit zur Erhaltung der Ortsauflösung durch Kombination von gepulsten Gradienten und der Fouriertransformation ist die so genannte Frequenzkodierung. Die Kodierung erfolgt durch einen konstanten Lesegradienten g read, der parallel zur Datenaufnahme geschaltet wird. Während der Datenaufnahme wird eine Zeile im k-raum, d.h. der k-vektor, abgetastet. Schaltet man den Gradienten parallel zu einem FID, so erhält man nur positive Werte des k-vektors, wohingegen man durch ein Spinecho (vgl. Abbildung 2.1) die gesamte Zeile, von k max bis k max, erhält. In Abbildung 2.1 ist eine einfache Pulssequenz für die Frequenzkodierung dargestellt. Das Vorzeichen des gestrichelten Gradienten g 1 hängt von seiner Position in der Pulssequenz ab. Befindet sich der Gradient vor dem Refokussierungspuls, so hat er die gleiche Polarität wie der Lesegradient. Wird der Gradient hingegen nach dem Refokussierungspuls geschaltet, so muss er dem Lesegradienten entgegengesetzt gepolt sein. Der Gradient g 1 dient als Rephasierungsgradient für den ersten Teil des Lesegradienten. Hierfür muss das Produkt aus Zeit und Amplitude der Hälfte des Lesegradienten entsprechen. Dies bedeutet, dass die Fläche des Rephasierungsgradienten halb so groß sein muss wie die des Lesegradienten. Das aufgenommene Signal wird digitalisiert und durch n Punkte dargestellt, die durch eine Zeiteinheit dw (von engl. dwell time) getrennt sind. Für den Wellenvektor gilt: k read = γ ˆ t 0 g read (t )dt = γg read n dw. Der Bildausschnitt, der durch einen Datensatz abgebildet wird, wird als FOV (von engl. field of view) bezeichnet. Das FOV für die Frequenzkodierung ergibt sich über FOV freq = 2π γ g read dw. (2.13) 8

11 2.7. PHASENKODIERUNG Die digitale Auflösung für die Frequenzkodierung ist durch die Länge der Akquisition n acq gegeben x freq = FOV freq n acq. 2.7 Phasenkodierung Für die Aufnahme einer zweidimensionalen Abbildung der Spindichte benötigt man eine weitere Form der Ortskodierung entlang einer zur Frequenzkodierung orthogonalen Dimension. Hierfür verwendet man einen zum Frequenzkodiergradienten orthogonalen Gradienten g phase, der während der Evolution der Magnetisierung für die Dauer t phase mit konstanter Amplitude geschaltet wird. Nach Gleichung 2.11 ergibt sich ein zusätzlicher Phasenfaktor, der für eine Ortskodierung verwendet wird. Für die Abtastung des k-raums wird die Gradientenstärke in (N-1)-äquidistanten Schritten g phase von g phase,max zu +g phase,max variiert, wobei der Frequenzkodiergradient jeweils gleich ist. Für das FOV ergibt sich FOV phase = 2π γ g phase t phase. (2.14) Die digitale Auflösung der Phasenkodierung ist durch die Anzahl der verschiedenen Gradientenwerte N gegeben x phase = FOV phase N. (2.15) 2.8 Schichtselektion Die Schichtselektion ermöglicht in der NMR-Bildgebung eine Ortskodierung in der dritten Dimension. Die Schichtselektion erfolgt dabei über einen selektiven Puls kombiniert mit einem Schichtselektionsgradienten g slice. Hierfür moduliert man den RF-Puls mit einer zeitlich begrenzten sinc-funktion: sinc(t) = sin(t) t. Der Vorteil der sinc-funktion liegt in ihrer Fourier-Transformierten, da diese im Fourierraum in guter Näherung eine Rechtecksfunktion darstellt. Somit werden nur Spins mit einer Larmorfrequenz ω L = ω 0 ± 2π ν 2 angeregt, wobei ν der Bandbreite, d.h. dem Inversen der Zeit vom Maximum des sinc-pulses 9

12 2.9. SPIN-WARP SEQUENZ Abbildung 2.2: Darstellung der Standard Spin-Warp Sequenz für die Bildgebung. bis zum ersten Nulldurchgang entspricht. Die Breite der angeregten Schicht ergibt sich über z = 2π ν γg slice. (2.16) Die Position der Schicht kann durch die Pulsträgerfrequenz beeinflusst werden. 2.9 Spin-Warp Sequenz Die Spin-Warp Sequenz ist eine Bildgebungssequenz, die auf der Fourier-Transformation basiert. Die Sequenz ist in Abbildung 2.2 dargestellt, wobei die Amplitudenverhältnisse nicht maßstabsgetreu abgebildet sind. Wie im vorherigen Abschnitt erklärt, kann man durch einen sinc-puls in Kombination mit einem Schichtseleketionsgradienten eine bestimmte Schicht der Probe anregen. In diesem Fall wird die Schicht in der xy-ebene angeregt. Der nachfolgende Gradient mit umgekehrter Amplitude dient dazu, die Magnetisierung zu rephasieren, die während der Anregung durch den Schichtselektionsgradienten dephasiert wurde. Man bezeichnet diesen Gradienten auch als Kompensationsgradienten. Um die dephasierte Magnetisierung zu rephasieren, muss die Fläche, d.h. das Produkt aus Zeit und Amplitude, des Kompensationsgradienten der Hälfte der Fläche des Schichtselektionsgradienten entsprechen. Durch den y-gradienten wird das Signal über einen Phasenfaktor kodiert. Dieser Gradient wird für aufeinanderfolgende Messungen inkrementiert und erzeugt so die Ortskodierung. Für die x-richtung wird die bereits erläuterte Frequenzkodierung verwendet. Die durch den 90 Puls ausgelenkte transversale Magnetisierung wird nach der Zeit Te/2 durch einen 180 Puls refokussiert, so dass ebenfalls nach der Zeit Te/2 ein Spin Echo entsteht, welches 10

13 2.9. SPIN-WARP SEQUENZ durch den Lesegradienten der Frequenzkodierung ausgelesen wird. Die Pulssequenz wird für die Phasenkodierung entsprechend der Anzahl der Phasenschritte wiederholt. Die Zeitspanne zwischen den zwei 90 -Pulsen wird als Repetitionszeit Tr bezeichnet. Durch die Wahl der Zeiten Te und Tr kann man verschiedene Kontraste im NMR-Bild erzeugen. Ist Tr T 1 und Te T 2, so repräsentiert das NMR-Bild die Spindichte der Probe. Weiterhin besteht die Möglichkeit einen Kontrast über die Relaxationszeiten der Probe zu erhalten. Für eine T 1 -Gewichtung wählt man Tr T 1, wohingegen man für eine T 2 -Gewichtung Te T 2 wählt. Eine weitere Möglichkeit stellt die Diffusionsgewichtung dar. Diese wird in Kapitel 4 vorgestellt. 11

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15 3 Design einer Microimaging-Einheit Im Rahmen der Diplomarbeit wurde eine Microimaging-Einheit konzipiert. Diese besteht im Wesentlichen aus Leistungsverstärkern, die die elektrischen Ströme für die drei Gradientenspulen erzeugen, den Gradientenspulen und einem Probenkopf. In diesem Kapitel wird die bisherige Arbeit vorgestellt, so dass diese Arbeit fortgesetzt werden kann. Der Schwingkreis wird in Abschnitt 3.1 beschrieben. Anschließend wird in Abschnitt 3.2 das Design der RF-Spule vorgestellt. In Abschnitt 3.3 wird die Güte des Schwingkreises bestimmt. Die folgenden Abschnitte befassen sich mit der Berechnung und Umsetzung der x-, y- und z-gradientenspulen. Die Basis für die Microimaging-Einheit soll ein 360 MHz NMR-Spektrometer des Lehrstuhls Experimentelle Physik E3 bilden. Dieses besteht aus einem 8, 46 T widebore -Magneten der Firma Oxford Instruments sowie der für ein NMR-Spektrometer üblichen Elektronikkomponenten. Die Gradienten werden durch einen 250 W Leistungsverstärker angesteuert. Der Verstärker der Firma Servowatt (DCP260/30) wurde für die besonderen Anforderungen speziell angepasst und besitzt eine Stromregelung, so dass die Stromstärke, unabhängig von der angelegten Last, konstant bleibt. Der Verstärker kann für einen Zeitbereich < 10 ms eine maximale Stromstärke von 20 A liefern. Wenn das System soweit funktionsfähig ist, sollen zwei weitere Verstärker für die zwei anderen Gradientenrichtungen hinzugefügt werden. Die Erzeugung der Gradienten Pulsform erfolgt über einen arbiträren Signalgenerator WW5064 der Firma Tabor Electronics. Ein anderer Kanal des Signalgenerators kann auch dazu genutzt werden, die benötigte sinc-funktion zu erzeugen, mit der das RF-Signal moduliert wird. Bei der Konzeption der Microimaging-Einheit standen folgende Eigenschaften besonders im Fokus: 1. Die Microimaging-Einheit sollte auf der vorhandenen Hardware aufbauen. 2. Das System sollte möglichst anpassungsfähig sein, so dass es leicht durch Erweiterungen aufgewertet und an besondere Ansprüche angepasst werden kann. 3. In den Messungen werden in der Regel 5 mm Probenröhrchen verwendet, daher sollte die Spule für größtmögliche Sensitivität auf diesen Durchmesser ausgelegt sein. 4. Das System sollte ein gleichwertiges Auflösungsvermögen wie das bereits existierende Imaging System besitzen. Das existierende Imaging-System besteht aus einem 14, 1 T Chemagnetics Infinity Plus 600 NMR Spektrometer inklusive einer XYZ-Gradienteneinheit Resonance Research BFG- 73/45-13

16 100 MK 2 sowie einem Nachbau eines Microimaging-Probenkopfes der Firma Bruker mit einer Original Bruker-Spule PH Micro 2.5. Die maximale Gradientenstärke beträgt 1 T/m, womit eine maximale Auflösung von etwa 10 µm möglich ist. Eine schematische Darstellung des verwendeten Aufbaus ist in Abbildung 3.1 aufgeführt. Über den Computer kann die verwendete Pulssequenz in den Wortgenerator geladen werden, der die Trigger-Signale an den Modulator und die Gradientenansteuerung ausgibt. Die Form der Gradienten muss vor dem Experiment in den Speicher des Signalgenerators geladen werden. Sendet die Probe nach der Anregung ein Signal aus, so induziert dieses Signal eine Spannung in der Spule, die durch den Vorverstärker verstärkt und im Demodulator mit einem Referenzsignal des RF-Synthesizers demoduliert wird. Anschließend wird die niederfrequente Komponente digitalisiert und kann über den Computer eingelesen werden. Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des verwendeten Aufbaus. 14

17 3.1. VORSTELLUNG DES SCHWINGKREISES DER MICROIMAGING-EINHEIT 3.1 Vorstellung des Schwingkreises der Microimaging-Einheit Bei der Umsetzung des Schwingkreises gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten. Die Auswahl erfolgt dabei nach den Anforderungen an die Kanalzahl, der Güte des Schwingkreises, dem Platzbedarf und dem Preis. Hier konnte ein einfacher Schwingkreis verwendet werden, der nur aus einem Kanal besteht. Für die gegebene Magnetfeldstärke von 8, 46 T ergibt sich nach Gleichung 2.2 eine Protonenresonanzfrequenz von f = 360, 014 MHz. Da der komplette Aufbau auf einer Impedanz von 50 Ω basiert, ist es erforderlich, dass der Schwingkreis ebenfalls eine Impedanz von 50 Ω aufweist, da ansonsten die Leistung vom Schwingkreis reflektiert würde. Ein Ersatzschaltbild der verwendeten Schaltung ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Dabei erfolgt die Anpassung der Resonanzfrequenz und der Impedanz an die Probe über die variablen Kondensatoren C tune und C match,dadie Induktivität L durch die Spule vorgegeben ist. Die Gesamtimpedanz Z Ges der Schaltung berechnet sich aus der Summe der einzelnen Impedanzen. Da die verwendeten Komponenten alle einen ohmschen Widerstand besitzen, wird dieser über einen zusätzlichen Widerstand R berücksichtigt, der mit der Spule in Reihe geschaltet ist. Der gesamte Widerstand wird mit R =1Ωabgeschätzt [10]. Die Impedanzen von Kondensator Z C, Spule Z L, und ohmschem Widerstand Z R sind: Aus den beiden Bedingungen Z C = 1 iωc, Z L = iωl, Z R = R. Re(Z Ges ) = 50 Ω Im(Z Ges ) = 0Ω kann man die Größen der benötigten Kondensatoren bei gegebener Induktivität abschätzen. Abbildung 3.2: Der Schwingkreis kann über die zwei variablen Kondensatoren C tune und C match an die Resonanzfrequenz und die gewünschte Impedanz angepasst werden. 15

18 3.2. DESIGN DER RF-SPULE 3.2 Design der RF-Spule Wie in Abschnitt 2 bereits erläutert, muss das durch die Spule erzeugte Magnetfeld B 1 senkrecht zu dem statischen Magnetfeld B 0 stehen. Da mit diesem Probenkopf Flüssigkeiten untersucht werden sollen, bieten sich nur Spulen an, welche eine axiale Öffnung besitzen. Eine Spulenform, die diesen Anforderungen gerecht wird, ist die Sattelspule. Abbildung 3.3: Schablone zum Wickeln der Sattelspule. Für die Anregung der Spins ist eine hohe B 1 -Homogenität von großer Bedeutung. Durch die Wahl der Geometrie der Spule kann die B 1 Homogenität beeinflusst werden. Für eine Sattelspule ergibt sich eine optimale Homogenität durch die Bedingung, dass die Öffnungswinkel der Kreisbögen jeweils 120 betragen [11]. Das optimale Verhältnis aus Länge l und Durchmesser d sollte l d = 2 betragen [12]. Für eine Spule mit einem Durchmesser von 5 mm führt dies zu einer Länge von etwa 7 mm. Die Umsetzung wird dadurch enorm erschwert, da der Draht für diese Abmessungen nur sehr schwer in Form gebracht werden konnte. Daher wurde die Länge der Spule auf etwa 9 mm vergrößert. Die Spule wurde aus beschichtetem Kupferdraht mit verschiedenen Dicken direkt an einem 5 mm Probenröhrchen gewickelt. Hierfür wurde die in Abbildung 3.3 aufgeführte Schablone in der passenden Größe ausgedruckt und auf ein Probenröhrchen geklebt. Hierdurch ist sichergestellt, dass sich möglichst wenig freies Volumen zwischen dem Röhrchen und der Spule befindet. Die Schablone ist für eine Sattelspule mit einer Windung unter den optimalen Homogenitätskriterien berechnet. In der nachfolgenden theoretischen Berechnung entspricht eine Sattelspule mit einer Windung aus geometrischen Betrachtungen einer Spule mit zwei Windungen. Wie bereits im vorigen Abschnitt erläutert, ist es für die Impedanzanpassung des Schwingkreises besonders wichtig, die Induktivität der Spule zu kennen. Eine theoretische Abschätzung kann zum einen über die Formel von Wheeler 3.1 gegeben werden, zum anderen durch eine modifizierte Formel [13] von Wheeler 3.2. Nach der originalen Formel von Wheeler kann die Induktivität folgendermaßen bestimmt werden: L Wheeler = l2 n 2 d +0, 45l, (3.1) wobei n der Anzahl der Windungen, d dem Durchmesser von 5, 5 mm und l der Länge der Sattelspule von 10 mm entspricht. Die Abschätzung der modifizierten Wheeler Formel erfolgt über n 2 l avg L mod Wheeler = K 1 µ 0 1+K 2 ρ. (3.2) 16

19 3.2. DESIGN DER RF-SPULE Abbildung 3.4: Die linke Grafik dient als Grundlage für die Berechnung der Induktivität nach Wheeler, die rechte Grafik für die Berechnung nach der modifizierten Formel von Wheeler. Dabei sind K 1 =2, 34 und K 2 =2, 75 Koeffizienten für rechteckige Spulen. Weiterhin gehen die mittlere Länge der Spule l avg = 1 2 (l out + l in ) und das Verhältnis der Füllung der Spule ρ = (l out l in )/(l out + l in ) mit in die Berechnung ein. In Abbildung 3.4 ist die Geometrie dargestellt. Die Variablen l out und l in sind die Längen zu dem äußeren bzw. inneren Rand der Spule. Für den vorliegenden Fall unterscheiden sich l out und l in nur durch den Durchmesser des Kupferdrahtes d Kupfer =0, 7 mm. Für beide Abschätzungen werden rechteckige Spulen angenommen, daher werden im Folgenden die Induktivitäten für die kleinste mögliche Abschätzung l out =5, 5 mm und für die größte mögliche Abschätzung l out = 10 mm berechnet und mit den gemessenen Werten L Exp in Tabelle 3.1 verglichen. In der Tabelle sind ebenfalls die berechneten Kapazitäten der Abstimmkondensatoren aufgeführt, die sich aus der Induktivität ergeben. Für die modifizierte Formel von Wheeler ergibt sich die innere Länge zu l in = l out d Kupfer. Anhand der Tabelle sieht man, dass sich eine Berechnung der Kapazitäten für die modifizierte Wheeler Formel in dieser Form nicht anbietet, da sich die berechnete Induktivität über einen zu großen Wertebereich erstreckt. Für die kleinste mögliche Abschätzung von 2, 4 nh existiert keine reelle Lösung. Der verbaute Schwingkreis besteht aus zwei variablen Gaskondensatoren mit einer Kapazität von 1 10 pf. Zusätzlich wurde ein weiterer Kondensator mit einer Kapazität C tank = 22 pf parallel zu dem Kondensator C tune verbaut. Diese kombinieren sich zu einem effektiven Kondensator C eff = pf. Die errechneten Abstimmkapazitäten für die experimentell bestimmte Induktivität stimmen in etwa mit den verwendeten Kapazitäten überein. Das Design der RF-Spule stellt ein noch großes Problem bei der Umsetzung der Microimaging- Wheeler mod. Wheeler Experiment L [nh] 50,3 2,4-103,2 7,8 Abmessungen d =5, 5 mm, l = 10 mm l out =5, 5 10 mm - C tune [pf ] 3,3-21,7 C match [pf ] 0,6-3,9 Tabelle 3.1: Theoretische und experimentelle Werte der Induktivität einer Sattelspule und die sich daraus ergebenden Abstimmkapazitäten. 17

20 3.2. DESIGN DER RF-SPULE Einheit dar. Die Spule besitzt eine sehr kleine Induktivität, wodurch der Schwingkreis sehr anfällig für die Streuinduktivitäten des Aufbaus wird. Dadurch, dass die Gradientenspulen möglichst nah an der Probe sein sollen, müssen die Abstimmkondensatoren außerhalb der Gradientenspulen untergebracht werden. Zusätzlich müssen die Kondensatoren durch eine Zuleitung erreichbar sein, so dass man sie abstimmen kann. Dies führt dazu, dass die Spule lange Zuleitungen besitzt. Durch diese Zuleitungen kommt es zu Problemen bei der B 1 -Homogenität, da das erzeugte B 1 - Feld der Zuleitungen vermutlich vergleichbar zu dem der Spule ist. Daher war es nicht möglich, die Pulslänge für eine Probe zu bestimmen. Wenn das B 1 -Feld zu inhomogen ist, erfolgt die Anregung der Spins über die Probe nicht optimal, d.h. der Flipwinkel wird ortsabhängig. Eine Spule mit mehreren Windungen bietet sich ebenfalls nicht an, da mit einer Vergrößerung der Induktivität die benötigten Kapazitäten kleiner werden. Dadurch wird das System anfälliger für Streukapazitäten. 18

21 3.3. BESTIMMUNG DER GÜTE DES SCHWINGKREISES 3.3 Bestimmung der Güte des Schwingkreises Die Güte Q eines Schwingkreises gibt an, wie gut Energie in einem schwingungsfähigen System gespeichert werden kann. Die Güte bestimmt sich wie folgt: Q = ν 0 ν 2 ν 1. (3.3) Dabei ist ν 0 die Resonanzfrequenz des Schwingkreises und die Frequenzen ν 1,2 stellen die Grenzfrequenzen dar. Für die Grenzfrequenz gilt, dass sich die Amplitude an dieser Position auf die Hälfte verringert hat. Die Differenz ν 2 ν 1 definiert die Bandbreite des Schwingkreises. Die Güte des Schwingkreises wurde mit einem Netzwerkanalysator bestimmt. Für den gebauten Schwingkreis ergibt sich bei einer Resonanzfrequenz von 360 MHz eine Bandbreite von 4, 49 MHz. Die Güte des Schwingkreises beträgt demnach Q = 80. (3.4) In Abbildung 3.5 ist die Bestimmung der Güte sowie das Stehwellenverhältnis (abgekürzt SWR von engl. standing wave ratio) graphisch dargestellt. Diese Güte ergibt sich für den Schwingkreis mit einer Spule, die die bereits erwähnten langen Zuleitungen besitzt. Abbildung 3.5: In der linken Grafik ist die Bestimmung der Güte dargestellt. Die grüne Linie stellt die Nulllinie dar. Die gestrichelten roten Linien markieren die Grenzfrequenzen ν 1,2. In der rechten Abbildung ist das SWR dargestellt. 19

22 3.4. SIMULATION DER GRADIENTENFELDER 3.4 Simulation der Gradientenfelder Eine Anforderung an das System war das zu der existierenden Microimaging-Einheit vergleichbare Auflösungsvermögen von etwa 10 µm. Wie in Kapitel 2 beschrieben, hängt das Auflösungsvermögen direkt von der verfügbaren Gradientenstärke g ab. Das bereits existierende System hat eine maximale Gradientenstärke von etwa 1 T/m. Damit das neue System ebenfalls dieses Auflösungsvermögen erreicht, wird im Folgenden das passende Design der Gradientenspulen berechnet. Abbildung 3.6: Darstellung der Vektorbeziehungen für die Berechnung der magnetischen Feldstärke. Für die Bildgebung werden sowohl transversale als auch longitudinale Gradienten benötigt. Die verwendeten Spulen müssen an die geometrischen Möglichkeiten angepasst werden. Dies führt dazu, dass die erzeugten Magnetfelder im Allgemeinen nicht mehr analytisch gelöst werden können. Die Berechnung der Gradienten basiert daher auf numerischer Integration des Biot-Savart-Gesetzes d B = µ 0I 4π d l r r 3. Dieses beschreibt die Änderung der magnetischen Feldstärke d B am Ort P, verursacht durch das Leiterelement d l. Für die Berechnung wird die Spulengeometrie in viele kleine Geradenstücke zerlegt. Die magnetische Feldstärke B ergibt sich dann aus der Summation über alle d B-Elemente. Wenn man die Anzahl der Approximationspunkte ausreichend hoch wählt, ergibt die numerische Simulation eine gute Approximation des tatsächlichen Magnetfeldes. Die Berechnungen für die verschiedenen Spulenformen wurden mit Matlab R2009a durchgeführt 1.DieStärkevonMatlab liegt in der Rechnung mit Matrizen und Vektoren, daher wurden alle Rechenschritte so optimiert, dass sie vektorisiert dargestellt werden. Im ersten Schritt für die Berechnung der magnetischen Feldstärke wurde der Raum definiert, für den das Magnetfeld bestimmt werden sollte. Dieser Bereich wird in der Magnetfeldsimulation durch ein dreidimensionales Netz ( Mesh ) dargestellt. Der Nullpunkt des Koordinatensystems wurde dabei in die Mitte des Gitters gelegt. Für jeden Punkt dieses Gitters wurden die magnetischen Feldstärkekomponenten (x, y und z) berechnet, so dass die magnetische Feldstärke B an jedem Ort durch die Summe der Feldstärkekomponenten berechnet werden kann B = B x e x + B y e y + B z e z. Nachdem das dreidimensionale Gitter festgelegt wurde, musste die Geometrie der Spule an 1 Die erstellten Matlab-Programme befinden sich in der E3 Wiki. 20

23 3.4. SIMULATION DER GRADIENTENFELDER das Koordinatensystem angepasst werden. Die Geometrie der Spule wurde dabei durch Punkte approximiert, die in einer Matrix gespeichert wurden. Die Genauigkeit der Berechnung ist ausschließlich von der Anzahl der gewählten Punkte abhängig. Ein Limit für die erreichbare Genauigkeit stellt der verfügbare Speicher dar. Wenn man komplexere Spulen mit einer hohen Genauigkeit berechnen will, müsste das Programm daran angepasst werden. Der nächste Schritt bestand darin, die einzelnen Leiterstücke zu berechnen. Wenn man die Geometrie passend in einer Matrix abgespeichert hat, muss für diesen Schritt lediglich die Differenz zwischen den Spalten der Matrix berechnet werden. Nach diesen Vorbereitungen konnte die magnetische Feldstärke bestimmt werden. Das Programm berechnet für alle Punkte des Gitters die Änderung der magnetischen Feldstärke db komponentenweise. Auf eine Optimierungsroutine, die das Spulendesign selbstständig verändern kann, wurde verzichtet. Sollte sich das gewählte Spiralendesign als nicht brauchbar erweisen, so kann es zu einem späteren Zeitpunkt durch ein optimiertes Design ersetzt werden. Das gewählte Design stellt einen guten Kompromiss aus berechneten Eigenschaften und Einfachheit der Umsetzung dar. Für die Bildgebung werden drei lineare Gradientenfelder verwendet. Diese Gradienten sind entlang der x-, y- und z-richtung orientiert. Wenn ein Strom I durch die Gradientenspulen fließt, wird dadurch das eigentlich homogene Magnetfeld B 0 lokal beeinflusst, so dass die Larmorfrequenz ortsabhängig wird. Für die Bildgebung ist dabei die z-komponente des Magnetfeldes von Bedeutung. In Abbildung 3.7 sind die berechneten Gradientenfelder für die transversale und longitudinale Anordnung dargestellt. Abbildung 3.7: Links ist der Verlauf der B z -Komponente für eine transversale Gradientenspule dargestellt. In der rechten Abbildung ist der Verlauf für eine longitudinale Gradientenspule abgebildet. Die Abmessungen der Proben sind schwarz markiert. Der Strom beträgt jeweils 20 A. Die Einheit der Farblegende ist [T ]. 21

24 3.4. SIMULATION DER GRADIENTENFELDER Gradientspule in transversaler Richtung In transversaler Richtung verwendet man zwei identische Gradientenspulen, die lediglich um 90 gegeneinander gedreht sind. Das Ergebnis dieser Anordnung ist in Abbildung 3.7 ersichtlich. Durch die Rotation können die beiden gegeneinander verdrehten Gradienten die Larmorfrequenz in der zugehörigen Raumrichtung verändern. Der Gradient wird durch vier in Reihe geschaltete Spiralspulen realisiert, die jeweils 15 Windungen besitzen. Die Anordnung ist in Abbildung 3.8 dargestellt. Das Layout wurde auf Kaptonfolie und Glasfaserfolie geätzt (Dicke der Kupferschicht ca. 34 µm) und dann um einen Zylinder mit einem Durchmesser von 2 cm geklebt. Die obere und untere Spirale wird elektrisch durch einen Kupferdraht verbunden, der an den rot markierten Punkten angelötet wird. Die Folie für den zweiten Gradienten kann anschließend auf die erste Folie geklebt werden. Die Berechnungen für dieses Layout ergeben eine Gradientenstärke von g trans = 52, T m A für die erste Folie bzw. den x-gradienten über die Probe. Für einen Strom von 20 A entspricht dies einer Gradientenstärke von 1 T/m. Die Spule des y-gradient wird auf die Spule des x-gradienten geklebt. Daher wird dieses Gradientenfeld einen etwas schwächeren Gradienten besitzen, da der Durchmesser dementsprechend etwas größer ist. Abbildung 3.8: Layout der transversalen Gradienten. In der linken Grafik ist die Vorlage für das Ätzen dargestellt, in der rechten Grafik ist das Layout um einen Zylinder gewickelt abgebildet. Der Verlauf des resultierenden B z -Magnetfeldes ist links in Abbildung 3.7 dargestellt. 22

25 3.4. SIMULATION DER GRADIENTENFELDER Gradientspule in longitudinaler Richtung Der Gradient in der longitudinalen Richtung deckt die letzte verbleibende Raumrichtung ab. Die Ortsabhängigkeit der Larmorfrequenz in der z-richtung (vgl. Abbildung 3.7) erfolgt dabei über ein Maxwell-Spulenpaar. Diese Konfiguration erzeugt einen sehr homogenen Gradienten, wenn man für den Abstand der Mittelpunkte der beiden Spulenpaare zueinander l = 3r wählt, wobei r der Radius der Spule ist. Diese Bedingung kann hier nicht erfüllt werden, da mehr als eine Windung benötigt wird und sich die Spulenpaare über eine größere Distanz ausdehnen. Hat man die beiden transversalen Gradienten an dem Zylinder befestigt, kann man die Maxwell- Spule um den Zylinder wickeln. Diese Spule wurde noch nicht realisiert. Für diese Spule sind 30 Windungen pro Spulenpaar geplant. Die Windungen sollten aus einem beschichteten Kupferdraht der Dicke 0, 7 mm erstellt werden. Der Durchmesser der zwei Spulenpaare sollte nach dem Festkleben des y-gradienten mit dem erstellten Programm neu berechnet werden, so dass sich eine Gradientenstärke in der Größenordnung des transversalen Gradienten ergibt. In Abbildung 3.9 ist die resultierende Spulengeometrie für eine Maxwellspule mit 30 Windungen pro Spulenpaar dargestellt. Die Geometrie ist auch die Grundlage von Abbildung 3.7. Abbildung 3.9: Maxwell-Spule mit 30 Windungen pro Spulenpaar. Der Verlauf des B z -Feldes ist rechts in Abbildung 3.7 dargestellt. 23

26 3.5. ZUKÜNFTIGE ARBEITSSCHRITTE IN DER ENTWICKLUNG DER MICROIMAGING-EINHEIT 3.5 Zukünftige Arbeitsschritte in der Entwicklung der Microimaging-Einheit Im nächsten Schritt in der Entwicklung der Microimaging-Einheit muss das Design der RF-Spule optimiert werden. Dabei muss insbesondere das Problem der Zuleitungen gelöst werden. Unter Umständen muss man die Abstimmkondensatoren näher an der Spule platzieren. Allerdings müsste man in diesem Fall den Durchmesser der Gradientenspulen erhöhen, um genug Platz für die Kondensatoren zu haben. Das Problem der RF-Spule könnte vielleicht durch eine doppelte Sattelspule gelöst werden. Eine andere Möglichkeit wäre, dass man eine fertige Spule kauft. Für den Fall, dass das Problem der RF-Spule gelöst ist, muss die Ansteuerung der Gradientenspulen kalibriert werden. Die Kalibration erfolgt dabei über die Aufnahme eines eindimensionalen NMR-Bildes einer Probe mit bekannten Abmessungen. Dabei muss überprüft werden, inwiefern die berechneten Gradientenfelder mit den erzeugten Gradientenfeldern übereinstimmen. Bei der Umsetzung der transversalen Gradientenspulen kann es zu mehreren Problemen kommen. Dabei muss die Wärmeentwicklung der Gradientenspulen überprüft werden. Sollte dies ein Problem darstellen oder falls die Leistungsverstärker Probleme mit dem ohmschen Widerstand der Gradientenspulen haben, so muss eine Alternative zum Ätzen der Spule gefunden werden. Eine anderes Problem könnten Schwingungen der Gradienteneinheit sein, zu denen es durch die starken Gradientenfelder kommen könnte. 24

27 4 Diffusion an Grenzflächen Die Bildgebung bietet für die Messung der Diffusion eine interessante Anwendung, da die Diffusion in einer Probe ortsaufgelöst bestimmt werden kann und somit Rückschlüsse auf die Eigenschaften bzw. die Struktur der Probe gezogen werden können. Im Folgenden werden zuerst die theoretischen Grundlagen für die Messung der Diffusion mit der NMR vorgestellt. Anschließend werden die Untersuchungen der Selbstdiffusionseigenschaften an Grenzflächen beschrieben. 4.1 Theoretische Grundlagen der Diffusion Die NMR bietet im Vergleich zu anderen Methoden eine sehr einfache Möglichkeit die Diffusionskonstanten von Molekülen in Flüssigkeiten oder Festkörpern zu bestimmen. Die Grundlage für die Messung ist das Spin-Echo-Experiment, indem die Magnetfeldinhomogenitäten durch einen 180 -Puls refokussiert werden. Magnetfeldinhomogenitäten führen im Allgemeinen dazu, dass die Magnetisierungsvektoren schneller dephasieren und in Folge dessen die Signalamplitude abnimmt. Dieser Effekt kann für die Bestimmung der Diffusionskonstanten genutzt werden. Hierfür wird standardmäßig die PGSE-Pulssequenz ( Pulsed Gradient Spin Echo ) [14] verwendet, die in Abbildung 4.15 dargestellt ist. Durch die Gradienten wird eine künstliche Magnetfeldinhomogenität für die Dauer δ erzeugt, die eine Dephasierung der Spins zur Folge hat. Der zweite Gradient im Zeitabstand refokussiert alle dephasierten Spins, die ihre Position nicht verändert haben. Spins, die in der Zeit ihren Ort geändert haben, weisen daher eine ortsabhängige Phasenverschiebung auf, die umso größer wird, je weiter sich der Spin entlang der Gradientenrichtung vom ursprünglichen Ort entfernt hat. Auf diese Weise verringert sich die Signalamplitude S. Die Veränderung der Signalamplitude wird durch die von Stejskal und Tanner [15] abgeleitete Gleichung beschrieben: log S = γ 2 gd 2 S δ2 D δ 0 3, (4.1) wobei S 0 das Signal ohne zusätzliche Gradienten, D der Diffusionskoeffizient, γ das gyromagnetische Verhältnis und g d die Stärke der Diffusionsgradienten ist. Die Diffusionskonstante kann aus einer Messreihe, in der die Gradientenstärke g d inkrementiert wird, bestimmt werden. Die Messung der Diffusionskonstanten nach der PGSE-Methode kann sehr gut mit der Bildgebung kombiniert werden. Die verwendete Pulssequenz ist in Abbildung 4.2 aufgeführt. Die Diffusionsgradienten sind gestrichelt dargestellt und können, je nach Anforderung, in jeder der

28 4.1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN DER DIFFUSION Abbildung 4.1: 1D-PGSE-Pulssequenz zur Bestimmung der Selbstdiffusionskonstanten. drei Gradientenrichtungen geschaltet und kombiniert werden. Der Rephasierungsgradient der Frequenzkodierung wurde direkt vor dem Lesegradienten platziert, um eine zusätzliche Diffusionsgewichtung zu vermeiden. Bei der Diffusion handelt es sich um einen dreidimensionalen Prozess. Aufgrund von lokalen Einschränkungen kann die Bewegung der Moleküle in bestimmte Richtungen eingeschränkt sein. In diesem Fall spricht man von anisotroper Diffusion. In der Diffusionsbildgebung wird die Diffusion durch einen Gradientenpuls kodiert, somit ist nur die Diffusion in der Richtung des Gradienten beobachtbar. Im Fall von anisotroper Diffusion variiert die Diffusionskonstante mit der Richtung. Die Diffusion wird daher durch einen symmetrischen (d.h. D ij = D ji ) Tensor D zweiter Stufe beschrieben: D = D xx D yx D zx D yx D yy D zy D zx D zy D zz. (4.2) Um den Diffusionstensor eindeutig zu bestimmen, sind mindestens 6 Messreihen mit nicht kollinearen Richtungen der Diffusionsgradienten g und einer Aufnahme ohne Diffusionsgradient notwendig [9]. Das Signal ergibt sich dann über: S(g )=exp γ 2 δ 2 δ g D g 3, (4.3) wobei die Zeiten und δ für alle Richtungen gleich sind. Der Diffusionstensor kann dann aus dem Gleichungssystem D xx D yx D zx g D g =(g x,g y,g z ) D yx D yy D zy D zx D zy D zz g x g y g z = i=x,y,z j=x,y,z g i D ij g j (4.4)

29 4.1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN DER DIFFUSION Abbildung 4.2: Modifizierte Spin Warp Sequenz, die eine ortsaufgelöste Bestimmung der Diffusionskonstanten ermöglicht. Die Diffusionsgradienten (gestrichelt dargestellt) können sowohl einzeln als auch zusammen geschaltet werden. Die Signalaufnahme erfolgt in der xy-ebene. bestimmt werden, wobei i und j die verschiedenen Richtungen indizieren. Durch die Kombination mit der Bildgebung ergibt sich für jeden Punkt des Bildes ein lokaler Diffusionstensor. Mit dem lokalen Diffusionstensor können dann die Eigenwerte λ EW und Eigenvektoren x EV des Tensors berechnet werden: D x EV = λ EW x EV. (4.5) Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren entspricht einer Koordinatentransformation, wobei die Eigenwerte in der neuen Basis die Größe der Diffusion angeben [9]. Mit den Eigenvektoren kann man die Orientierung der Diffusion im Laborsystem berechnen. Mit diesen Informationen ist es möglich die Diffusionskonstanten eines Voxels durch Ellipsoide graphisch darzustellen. Durch die Form der Ellipsoide kann auf das lokale Diffusionsverhalten geschlossen werden. Entspricht die Form der Ellipsoiden Kugeln, so handelt es sich um isotrope Diffusion. Ellipsoide, die von der Kugelform abweichen, deuten auf anisotrope Diffusion hin. Eine wichtige Größe für die Untersuchung der Diffusion ist die Diffusionslänge x diff.für den Fall von freier Diffusion ergibt sich die Diffusionslänge aus der Diffusionszeit t und der Diffusionkonstante D: x diff = 2Dt. (4.6) Die Diffusionslänge beschreibt die mittlere Entfernung, die ein Molekül aufgrund der Diffusion in der Diffusionszeit zurücklegt. Bei der Untersuchung von einem System, das aus mindestens zwei verschiedenen nicht mischbaren Stoffen besteht, kommt es in der Regel zu Suszeptibilitätssprüngen an den Grenzflächen.

30 4.1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN DER DIFFUSION Abbildung 4.3: Überlagerung des Hintergrundgradienten g 0,i mit dem Diffusionsgradienten g i. Mit diesen Suszeptibilitätssprüngen geht eine Änderung des Magnetfeldes einher, die als konstanter Hintergrundgradient g 0 aufgefasst werden kann [16]. Der Einfluss des zusätzlichen Gradienten kann aus den Gleichungen von Stejskal und Tanner berechnet werden, die den Kohärenzverlust durch Diffusion in einem Spin-Echo-Experiment beschreiben: ln S S 0 = γ 2 ˆ 2τ 0 F (t) 2H(t τ) f D F (t) 2H(t τ) f T dt, (4.7) wobei H(t ) die Heaviside-Funktion, f = F (τ) und F (t) eine Phasenfunktion ist, die von den verwendeten Gradienten in der Pulssequenz abhängt: F (t) = ˆ t 0 G(t )dt. (4.8) Für den Fall, dass ein konstanter Hintergrundgradient anwesend ist [14], ergibt sich aus Gleichung 4.7: ln S 2 = γ 2 D S 0 3 τ 3 g0 2 + δ 2 ( 1 3 δ)g2 d (t δ 21 + t 22)+δ(t 1 + t 2 )+ 23 δ2 2τ 2 g 0 g d, (4.9) wobei t 2 = Te (t 1 + +δ) ist. Diese Gleichung gilt allerdings nur für isotrope Diffusion. Für den Fall von anisotroper Diffusion muss das Signal nach Gleichung 4.7 berechnet werden, wobei die Diffusionskonstante durch den Diffusionstensor ersetzt werden muss. Das Signal ergibt sich zu: ln S S 0 = b xx D xx + b yy D yy + b zz D zz +2b xy D xy +2b xz D xz +2b yz D yz. (4.10) Dabei berechnen sich die b ij -Elemente über: ˆ 2τ T b = γ 2 F (t) 2H(t τ) f F (t) 2H(t τ) f dt. (4.11) 0 In den Berechnungen wird angenommen, dass sich für alle drei Raumrichtungen ein konstanter Hintergrundgradient g 0,i mit den Diffusionsgradienten überlagert (vgl. Abbildung 4.3).