Anfängerpraktikum 4. Bericht: Zeeman-Effekt Optisches Pumpen

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1 Anfängerpraktikum 4 Bericht: Zeeman-Effekt Optisches Pumpen Michael Seidling Timo Raab Sommersemester 25. Juli 2013

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen Quantenzahlen Auswahlregeln Zeeman-Effekt normale Zeeman-Effekt Feinstrukturaufspaltung Hyperfeinstruktur Optisches Pumpen Radiofrequenz-Spektroskopie Lummer-Gehrcke-Platten Versuch 1: Optisches Pumpen Versuchsaufbau Durchführung Auswertung Fehlerbetrachtung und Fazit Versuch 2: Zeeman-Effekt Versuchsaufbau Durchführung Auswertung Fehlerbetrachtung und Fazit Abschließendes Fazit 23 6 Anhang 24 Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Literaturverzeichnis

3 2 GRUNDLAGEN 1 Einleitung Bei den Versuchen Zeeman-Effekt und Optisches Pumpen werden Spektrallinien im Einfluss von äußeren Magnetfeldern untersucht. Im Versuch Optisches Pumpen soll der angepasste Landé-Faktor und damit der Kernspin von zwei Rubidium-Isotopen bestimmt werden. Im Versuch Zeeman-Effekt bestimmen wir die spezifische Elementarladung mit Hilfe der Zeeman-Aufspaltung. 2 Grundlagen 2.1 Quantenzahlen Quantenzahlen beschreiben Eigenschaften eines Zustandes oder Systems. Dabei handelt es sich, nach dem Bohr-Sommerfeld-Atommodell um vier Quantenzahlen, die ausreichen um ein Elektron im Wasserstoffatom vollständig beschreiben. Zudem wird hier noch die für den Versuch wichtige Kernspinquantenzahl und die Gesamtdrehimpulsquantenzahl erläutert. Zu beachten ist, das bei Einzelelektronensystemen die Quantenzahlen durch Kleinbuchstaben gegeben sind, bei Mehrelektronensystemen sind es Großbuchstaben, diese beschreiben den Gesamtzustand aller Elektronen im Atom. Hauptquantenzahl Die Hauptquantenzahl n beschreibt das Energieniveau auf dem sich das Elektron befindet. Somit ist sie ein Indikator für die potentielle Energie des Elektrons. Es gilt: n N + (2.1) Je größer n ist, desto schwächer ist das Elektron, durch das Coulomb-Potential, an den Atomkern gebunden. Die aus der Chemie bekannten Schalen (K,L,M,...) sind mit der Hauptquantenzahl verbunden. Diese Schalen beschreiben einen Bereich in dem sich das Elektron mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % aufhält. Dabei entspricht das erste Energieniveau der Schale K und danach werden die Niveaus alphabetisch benannt. Nebenquantenzahl Sie ist auch als Drehimpulsquantenzahl l bekannt. Sie beschreibt die Form des Orbitals in dem das Elektron sich befindet. Es gilt: l N 0, mit : l < n (2.2) In der Chemie sind die Orbitale wieder mit Buchstaben benannt. 0 s (2.3) 1 p (2.4) 2 d (2.5) 3 f (2.6) 3

4 2.1 Quantenzahlen 2 GRUNDLAGEN Anschließend erfolgt die Benennung alphabetisch. Der Name Drehimpulsquantenzahl kommt daher, dass der Drehimpulsquadratoperator L 2 die Eigenwerte l (l + 1) 2 hat. Magnetquantenzahl Die Magnetquantenzahl m ist ausschlaggebend für die räumliche Orientierung des Bahndrehimpulses des Elektrons. Wiederum gilt: m Z, mit : m l (2.7) Sie ist mit der zusätzlichen potentiellen Energie in einem Magnetfeld in z-richtung. Also bei m = 0 ist keine zusätzliche potentielle Energie vorhanden, bei m = l maximal. Mathematisch gesehen ist m der Eigenwert des z-komponenten Drehimpulsoperators L z. Spinquantenzahl Die Spinquantenzahl s gibt den Spin des Elektrons an. Nach dem Pauli-Prinzip müssen in einem Orbital die beiden Elektronen unterschiedlichen Spin besitzen. Für die Projektion des Spins in z-richtung gilt für die Quantenzahl s: { s 1 2, 1 } (2.8) 2 Mathematisch ist s (s + 1) 2 der Eigenwert des Spinquadratoperators s 2. Gesamtdrehimpulsquantenzahl des Elektrons Die bisher genannten Quantenzahlen dienen nur einer Beschreibung des Zustands einer Elektrons bei einem Wasserstoffatom. In unserem Versuch wird aber das Alkalimetall Rubidium untersucht, welches mehr wie ein Elektron besitzt. Da Rubidium aber nur ein Valenzelektron hat, ist eine Beschreibung dieses Elektrons dennoch möglich. Jedoch ist in diesem Fall der Drehimpuls an des Spin gekoppelt, es handelt sich also um eine Spin-Bahn- Kopplung. Man definiert daher die Gesamtdrehimpulsquantenzahl j: j = l + s (2.9) Analog definiert man für mehrere Elektronen den Gesamtbahndrehimpuls J. Dazu addiert man alle Drehimpulse l i auf, ebenso verfährt man mit den Spins s i zu dem Gesamtspin S. Für den Gesamtdrehimpuls J gilt: J = L + S (2.10) = i li + i s i (2.11) wobei der Eigenwert von J 2 j (j + 1) 2 ist. Kernspinquantenzahl Im Gegensatz zu den bisherigen Quantenzahlen beschreibt die Kernspinquantenzahl I eine Eigenschaft eines Atomkerns, nämlich den Drehimpuls. Dieser setzt sich aus den Spins und Bahndrehimpulsen der Protonen und Neutronen zusammen. Er ist ganzzahlig, wenn die Nukleonenzahl gerade ist, ansonsten halbzahlig. 4

5 2.1 Quantenzahlen 2 GRUNDLAGEN Gesamtdrehimpulsquantenzahl des Atoms Der Gesamtdrehimpuls eines Atoms F ergibt sich aus der Addition des Kernspins I und dem Gesamtdrehimpuls aller Elektronen J: Für den Betrag F gilt: F = I + J (2.12) F = F (F + 1) (2.13) Dabei ist F die Gesamtdrehimpulsquantenzahl des Atoms, für die gilt: wobei: F { J I, J I + 1,..., J + I} (2.14) J = i j i (2.15) Auswahlregeln Elektronen können innerhalb des Atoms ihre Zustände ändern, jedoch ist aus Energieund Impulserhaltung nicht jeder Übergang erlaubt. Übergänge werden beispielsweise durch externe Felder angeregt, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, sind in Tabelle 1 zusammengefasst. Elektrische Dipolübergänge Magnetische Dipolübergänge L = 0(L 0), ±1 F = 0, ±1 S = 0 M = 0, ±1 M = 0, ±1 Tabelle 1: Wichtige Auswahlregeln für Niveauübergänge In dem Versuch Optisches Pumpen wird zikular polarisiertes Licht verwendet, wodurch sich die Auswahlregel für die Magnetquantenzahl bei Elektrischen Dipolübergängen auf M = ±1 beschränkt wird. Auch bei den magnetischen Dipolübergängen gibt es weitere Einschränkungen. Durch das Radio-Frequenz(RF)-Magnetfeld, welches senkrecht zum statischen Magnetfeld steht, wird wiederum nur M = ±1 möglich. Durch den Radiofrequenz sind nur Übergänge möglich, bei denen F = 0 möglich. Für andere Übergänge, müsste die Frequenz des Magnetfelds im Gigahertz-Bereich sein. 5

6 2.2 Zeeman-Effekt 2 GRUNDLAGEN 2.2 Zeeman-Effekt Der Zeeman-Effekt beschreibt die Aufspaltung einer Spektrallinie in einem externen Magnetfeld. Man unterscheidet den anormalen und normalen Zeeman-Effekt, wobei der normale Zeeman-Effekt ein Spezialfall des anormalen ist. Während der anormale Zeeman-Effekt den Spin der Elektronen berücksichtigt, wird beim normalen Zeeman- Effekt davon ausgegangen, dass sich die Spins aller beteiligten Elektronen s zu 0 addieren. Da aber der anormale Zeeman-Effekt für unseren Versuch nicht relevant ist, wird auf diesen nicht genauer eingegangen normale Zeeman-Effekt Der normale Zeeman-Effekt betrachtet die Aufspaltung von Spektrallinien in einem externen Magnetfeld unter der Bedingung, dass sich die Spins aller beteiligten Elektronen s zu 0 addieren. Es gilt also: S = i s i = 0 (2.16) J = L (2.17) Das bedeutet, das an diesem Effekt mindestens zwei Elektronen beteiligt sein müssen, die einen entgegengesetzten Spin haben. Dadurch handelt es sich um ein Mehrelektronensystem. Den Zeeman-Effekt kann man mit Hilfe von 3 verschiedenen Modellen beschreiben: 1. die klassische Elektronentheorie (Lorentz-Modell) 2. das Vektormodell 3. die Quantentheorie Auf die Erklärung mittels der Quantentheorie wird in diesem Bericht verzichtet. 6

7 2.2 Zeeman-Effekt 2 GRUNDLAGEN klassische Elektronentheorie (Lorentz-Modell) Das von einem Elektron emittierte Licht wird nun im Fernfeld als schwingenden Dipol betrachtet. Projiziert man die Bewegung des Elektrons auf eine Ebene, wie in Bild 2.1, sieht man die Wechselwirkung im Magnetfeld besser. Die Schwingung des Elektrons kann man als Überlagerung von drei Schwingungen sehen. Abbildung 2.1: Projektion der Schwingung auf eine Ebene und Aufteilung in drei Schwingungen, aus [HW03] 1 Parallel zum B 0 -Feld 2 und 3 Als entgegengesetzte zirkulare Schwingungen senkrecht zum B 0 -Feld. Dies ist möglich, da es sich bei diesen 2 Schwingungen um eine orthonormale Basis handelt. Man kann also jede Art von zweidimensionaler Schwingung als Linearkombination dieser beiden Schwingungen darstellen. Wenn das externe B 0 -Feld nicht vorhanden ist, dann ist die Kreisfrequenz der zirkularen Schwingungen gleich. ω + = ω (2.18) wobei ω + die Kreisfrequenz der rechts zirkularen Schwingung und ω die der links zirkularen Schwingung ist. Im Folgenden wird diese Frequenz ohne externes B 0 -Feld mit ω 0 bezeichnet. Existiert ein externes B 0 -Feld, wirkt auf das Elektron die Lorentz-Kraft F L : F L = q v B (2.19) Dabei ist q die Ladung des Teilchens mit der Geschwindigkeit v im externen Magnetfeld B. Auf Schwingung 1 ist die Lorentz-Kraft gleich 0, da v B 0. Im folgenden gilt nun e z B 0. Auf die beiden zirkularen Schwingungen wirkt jedoch die Lorentz-kraft. Sie werden je nach Umlaufrichtung beschleunigt oder abgebremst. Dadurch ändert sich die Geschwindigkeit, also die Kreisfrequenz der Schwingungen. Jedoch beides mal um den selben Betrag ω. 7

8 2.2 Zeeman-Effekt 2 GRUNDLAGEN Diese ergibt sich, wenn man die wirkenden Kräfte betrachtet. Neben der Lorentz-Kraft F L wirkt noch die Coulomb-Kraft F C, wobei diese als zentripetale Kraft wirkt. m e Für die z-komponente ergibt sich direkt: F C = Ze2 4πɛ 0 r r = m eω r (2.20) ẍ x ẏ ÿ + m e ω0 2 y + eb 0 ẋ = 0 (2.21) z z 0 z(t) = z 0 e iω 0t (2.22) Dies entspricht linear polarisiertem Licht, welches durch Schwingung 1 emittiert wird. Die beiden verbleibenden Differentialgleichungen für x(t) und y(t) lassen sich entkoppeln durch die Substitution: Man erhält: Unter der Voraussetzung, das eb 0 2m e u(t) = x(t) + i y(t) (2.23) y(t) = x(t) i y(t) (2.24) m e ü + m e ω 2 0 u + ieb 0 u = 0 (2.25) m e v + m e ω 2 0 v ieb 0 v = 0 (2.26) ω 0 kann man näherungsweise sagen: u(t) = u 0 e i(ω 0+ eb 0 2me )t (2.27) v(t) = v 0 e i(ω 0 eb 0 2me )t (2.28) Also ergeben sich zwei zirkulare Schwingungen deren Abweichung der Kreisfrequenz ω beträgt. ω = eb 0 2m e (2.29) Dadurch emittieren die zirkularen Schwingungen, 2 und 3, Licht mit der Kreisfrequenz ω 0 ± ω, es entstehen also zwei weitere, entgegengesetzt zirkular polarisierte, Spektrallinien. Für die Frequenzverschiebung f des Lichtes ergibt sich also: f = ω 2π = eb 0 4πm e (2.30) 8

9 2.2 Zeeman-Effekt 2 GRUNDLAGEN Vektormodell Wir betrachten hier ein Elektron auf einer Kreisbahn um den Atomkern. Für die Frequenz f gilt dann: f = v 2πr (2.31) Ein sich bewegendes Elektron, mit der Ladung e kann als elektrischer Strom I gesehen werden. I = ef (2.32) Durch diesen Kreisstrom wird ein Magnetisches Moment µ j erzeugt. µ j = eg j 2m e l (2.33) Dabei ist l der Drehimpuls des Elektrons und g j der Landé-Faktor, auf den gesondert in Abschnitt eingegangen. Für das externe magnetische Feld B 0 gelte nun wieder B 0 e z. Da die z-komponente des Drehimpulses l z quantisiert ist folgt nun: lz = m (2.34) E pot = µ jz B 0 (2.35) µ jz = eg j 2m e m (2.36) hier ist m die magnetische Quantenzahl. Zur Verkürzung der Schreibweise wird im allgemeinen das Bohrsche Magneton µ B definiert: µ B = e 2m e = J K (2.37) Der Zahlenwert wurde entnommen aus [NIS13]. Somit erhält man als zusätzliche potentielle Energie E pot = E m durch das äußere Magnetfeld: E m = mg j µ b B 0 (2.38) Da es zu jeder Nebenquantenzahl l in der Magnetquantenzahl entartete Zustände gibt, wie in Kapitel erläutert, spaltet der normale Zeeman-Effekt eine Spektrallinie in (2l+1) äquidistante Komponenten auf. Für benachbarte Komponenten ( m = 1) gilt für die Energiedifferenz E E = g j µ b B 0 (2.39) Da beim normalen Zeeman-Effekt der Spin verschwindet gilt g j = 1. Dies wird in Abschnitt gezeigt. 9

10 2.2 Zeeman-Effekt 2 GRUNDLAGEN Mittels E = hf, h als Plancksches Wirkungsquantum, kann man nun auf die Frequenzverschiebung f schließen. f = µ B B 0 h (2.40) = eb 0 4πm e (2.41) Dies ist die selbe Formel wie bei der Erklärung über das Lorentz-Modell, vergleiche Gleichung (2.30) Transversaler und longitudinaler Zeeman-Effekt Das emittierte Licht, mit den unterschiedlichen Frequenzen kann man in zwei Komponenten, longitudinal und transversal aufteilen. Dies ist, wie in Abbildung 2.2 abhängig von der Beobachtungsrichtung. Abbildung 2.2: Polarisationen bei transversalem und longitudinalem Zeeman-Effekt, aus [SJ11] Aus dem Lorentz-Modell ist bekannt, das es eine linear polarisierte Komponente gibt, die keine Frequenzverschiebung erfährt. Diese wird als π-komponente bezeichnet, und ist nur transversal beobachtbar. Die beiden verbleibenden zirkularen Komponenten, σ + rechts zirkular und σ links zirkular, sind transversal und longitudinal sichtbar. Jedoch sind diese nur longitudinal zirkular polarisiert. Transversal sind sie linear polarisiert, und zwar genau um 90 gedreht zu der π-komponente. 10

11 2.2 Zeeman-Effekt 2 GRUNDLAGEN Paschen-Back-Effect Bei einer existierenden Spin-Bahn-Kopplung tritt im schwachen Magnetfeld der anormale Zeeman-Effekt auf. Ist das Magnetfeld stark, also B > 1 T, tritt der normale Zeeman-Effekt auf. In schwachen Magnetfeldern gilt bei vorhandener Spin-Bahn-Kopplung S 0 also J = L + S. Somit existiert eine Präzisionsbewegung um die Achse des Magnetfeldes. Im starken Magnetfeld sind L und S nicht mehr gekoppelt, da das Magnetfeld stärker ist als die Spin-Bahn-Kopplung. Somit präzedieren sie unabhängig von einander um die Achse des Magnetfeldes, wodurch die Bedingung für den normalen Zeeman-Effekt erfüllt ist Feinstrukturaufspaltung Kann man in einem Linienspektrum eines Atoms die Aufspaltung einer Spektrallinie erreichen, beispielsweise durch das Anlegen eines externen Feldes, nennt man diesen Effekt Feinstrukturaufspaltung. Daraus kann man schließen, das in diesem Atom Energieniveaus gibt, deren Energiedifferenz sehr klein ist. Erklären kann man diese Aufspaltung durch die magnetische Wechselwirkung zwischen Spin und Bahndrehimpuls. Diese Wechselwirkung wird auch Spin-Bahn-Kopplung genannt. Man hat also einen Gesamtdrehimpuls j = l + s, für dessen Betrag gilt: j = j(j + 1), mit : j = l + s (2.42) Wirkt das B-Feld in die z-richtung, dann ist z-komponente des Gesamtdrehimpulses quantisiert: j z = m, mit : m [ j, j + 1,..., 0,..., j 1, j] (2.43) Somit haben wir eine (2j + 1)-Fache Entartung, die man durch das externe Feld auf leicht unterschiedliche Energieniveaus ändern kann Hyperfeinstruktur Die Hyperfeinstruktur ist eine weitere Aufspaltung der Spektrallinie. Hier ist der resultierende Bahndrehimpuls F = J + I ausschlaggebend. Analog wie bei der Feinstruktur ist, wenn das B-Feld in die z-richtung wirkt, dass der resultierende Bahndrehimpuls quantisiert ist und wiederum (2F + 1) Entartungen existieren. Analog zum Zeeman-Effekt, existiert nun ein magnetisches Moment µ F = µ I + µ J, wodurch sich die Zeeman-Energie ergibt: E m = m g F B 0 (2.44) Dabei ist g F der für die Hyperfeinstruktur angepasste Landé-Faktor. Der Zusammenhang zum Landé-Faktor g j gegeben durch: g F = g j F (F + 1) + J(J + 1) I(I + 1) 2F (F + 1) (2.45) 11

12 2.3 Optisches Pumpen 2 GRUNDLAGEN Landé-Faktor Der Landé-Faktor gilt für Teilchen im Magnetfeld, er beschreibt die Wechselwirkung des Drehimpulses mit dem magnetischen Moment, deshalb auch gyromagnetischer Faktor. Aus den magnetischen Momenten des Spins µ s und des Bahndrehimpulses µ l folgt die Zeeman-Energie. Der Landé-Faktor gibt nun an, wie groß die zusätzliche Energie durch den Spin im Verhältnis zu der zu der von dem Drehimpuls hervorgerufene Energie: E l = qlb 0 2m (2.46) E s = g j E l (2.47) g j = 1 + j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1) 2j(j + 1) (2.48) Man erkennt, dass wenn g j = 1 gilt, s = 0 gelten muss. Es handelt sich in diesem Fall um reinen Bahn-Magnetismus. Für reinen Spin-Magnetismus erhält man g j = Optisches Pumpen Wird durch eine gezielte Dipolanregung ein Atom aus dem thermischen Gleichgewicht gebracht, nennt man das optisches Pumpen. Die Anregung wird beispielsweise durch zirkular polarisiertes Licht bewerkstelligt. Durch die Verwendung von zirkular polarisiertem Licht gilt, wie in Abschnitt erwähnt, die Auswahlregel M = +1, da wir nur eine Art von zirkular polarisiertem Licht benutzen und die Drehimpulserhaltung gilt. Für das verwendete Rubidiumisotop 87 Rb beträgt der Kernspin I = 3, der Gesamt- 2 und damit eine resultierender Bahndrehimpuls F = 1 oder 2. bahndrehimpuls J = 1 2 Betrachten wir nun den Übergang von 2 s 1 2, bei diesem Isotop. Durch die Auswahlregel, wissen wir, das der Übergang von 2 s 1 2 zu 2 p 1 2,M = 2 zu jedem andern Niveau, verboten ist. Somit gibt es keine Möglichkeit dieses Niveau zu verlassen. Alle Übergänge sind in dem Termschema, Abbildung 2.3, veranschaulicht. Deshalb kommt es zur Überbevölkerung dieses Niveaus, der sogenannten Besetzungsinversion. Dadurch kommt das System aus dem thermodynamischen Gleichgewicht, bis schließlich das einfallende Licht keine Elektronen mehr anregen kann. Somit wird kein Licht mehr absorbiert, dadurch wird die gemessene Intensität am Detektor, bei einem Aufbau nach Abbildung 3.2, maximal. 12

13 2.4 Lummer-Gehrcke-Platten 2 GRUNDLAGEN Abbildung 2.3: Termschema von Rubidium 87 Rb, aus [Tea02] Radiofrequenz-Spektroskopie Durch die Radiofrequenz-Spektroskopie kann man beim optischen Pumpen überbevölkerte Energieniveaus wieder entleeren. Durch das hochfrequente magnetische Wechselfeld, sind nun ausschließlich magnetische Dipolübergänge möglich. Das RF-Feld ermöglicht Übergänge, mit der Energie E RF = hf (2.49) dabei ist f die Frequenz des Wechselfeldes. Stimmt diese Energie mit der Zeeman- Energie überein, ergibt sich die Resonanzfrequenz f r : f r = g F µ B B h (2.50) Da man den Gesamtdrehimpuls J des Rubidiums kennt, kann man den angepassten Landé-Faktor g F und daraus den Kernspin I berechnen. 2.4 Lummer-Gehrcke-Platten Bei der Versuchsdurchführung wird eine Lummer-Gehrcke-Platte eingesetzt, aus diesem Grund, wird hier auf die Funktionsweise eingegangen. Bei der Lummer-Gehrcke- Platte wird durch Mehrstahlinterferenz eine hohe spektrale Auflösung erreicht. Wie in Abbildung 2.4 skizziert, trifft das zu analysierende Licht auf ein Prisma, das auf einer Quarzplatte befestigt ist. In dem Prisma wird das Licht total reflektiert, innerhalb der Platte, wird bei jeder Reflektion ein Teil des Lichts transmittiert. Alle transmittierten Strahlen treten parallel aus der Platte aus, diese haben aber einen Gangunterschied. Durch eine Sammellinse werden diese Strahlen wieder gebündelt und interferieren miteinander und können dann beobachtet werden. 13

14 2.4 Lummer-Gehrcke-Platten 2 GRUNDLAGEN Abbildung 2.4: Schematische Darstellung einer Lummer-Gehrcke-Platte, aus [Did13] Unter der Bedingung 1 n λ dn n 2 1 dλ 1 (2.51) gilt für den Wellenlängenunterschied λ mit λ = λ 2 2a δτ n 2 1 τ (2.52) λ = Wellenlänge a = Dicke der Platte n = Brechungsindex der Platte δτ = Winkelaufspaltung innerhalb der Beugungsordnung τ = Winkelaufspaltung entsprechender Linien zwischen den Beugungsordnungen 14

15 3 Versuch 1: Optisches Pumpen 3.1 Versuchsaufbau 3 VERSUCH 1: OPTISCHES PUMPEN Abbildung 3.1: Verwendeter Aufbau der Firma TeachSpin, Quelle: [Tea] Abbildung 3.2: Schematischer Aufbau des Versuchs, Quelle: [Run13b] Es wird der Aufbau der Firma TeachSpin verwendet, welcher in Abbildung 3.1 dargestellt ist. Der schematische Aufbau ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Das Licht wird zunächst durch eine Linse geleitet, anschließend für ein einigermaßen monochromatisches Licht, durch einen Interferenzfilter. Anschließen wird das Licht noch mittels einem linearen Polarisator und einer λ/4-platte zirkular polarisiert. Das so vorbereitete Licht wird durch eine Rubidiumzelle geleitetet. Am Ende wird das Licht wieder mit einer Linse gesammelt und auf eine Photodiode geleitet. Im Bereich der Rubidiumzelle, auch Absorptionszelle genannt, wird mittels Helmholtz- Spulen ein Magnetfeld angelegt, um die Komponenten des Erdmagnetfeldes zu kompensieren. Mittels einer sogenannten Sweep-Spule, ebenfalls eine Helmholtz-Spule, kann ein Magnetfeld in Richtung der optischen Achse angelegt werden. Außerdem existiert noch ein weiteres Spulenpaar, welche direkt an der Zelle angebracht ist. An diese wird eine hochfrequente Spannung angelegt, weshalb dieses Spulenpaar als HF-Spulen bezeichnet wird. 15

16 3.2 Durchführung 3 VERSUCH 1: OPTISCHES PUMPEN Für den Versuch ist vor allem die Sweep-Spule entscheidend. Diese hat einen mittleren Radius R = 16,39 cm und besitzt N = 11 Windungen pro Spule. Zusätzlich wird noch ein Oszilloskop verwendet, mit welchem wir die Spannung an der Photodiode und die Frequenz der angelegten RF-Spannung anzeigen bzw. bestimmen. Zusätzlich wird die Spannung der Photodiode noch am Kontrollgerät der Firma Teach- Spin angezeigt, womit sehr genau das Minimum bestimmt werden kann. Für die Sweep- Spannung wird ein externes Messgerät verwendet, welches über einen 1 Ω-Widerstand die Spannung misst. 3.2 Durchführung Zunächst wird das Nullfeld bestimmt. Hierfür wird des RF-Feld ausgestellt und die Sweep-Amplitude maximal eingestellt. Dann wird eine Sägezahn-Spannung als Sweep- Spannung angelegt. Es erscheint auf dem Oszilloskop ein negativer Peak. Nun wird mittels Bewegen der Apparatur versucht, die Linienbreite, welche auf dem Oszilloskop dargestellt wird, minimal zu bekommen. Zusätzlich wird noch das vertikale Feld variiert, ebenfalls mit dem Ziel die Linienbreite zu minimieren. Anschließend wird durch Variation der Sweep-Spannung das Nullfeld bestimmt. Im Anschluss wird das RF-Feld hinzugeschaltet und wieder die Sägezahn-Spannung als Sweep-Spannung durchlaufen lassen. Dadurch erscheinen weitere Peaks. Die RF- Frequenz wird zwischen 100 khz und 180 khz in 10 khz schritten eingestellt. Dann wird durch Variation von Hand die Sweep-Spannung gemessen. 16

17 3.3 Auswertung 3 VERSUCH 1: OPTISCHES PUMPEN 3.3 Auswertung Zuerst ist anzumerken, dass bei unserem Messprotokoll ein Fehler in der Einheit des Sweep-Stroms aufgetreten ist. Hierbei handelt es sich nicht um ma, sondern um A. Dies wird in dieser Auswertung berücksichtigt. Bestimmung des angepassten Landé-Faktors Für die Bestimmung des angepassten Landé-Faktors nach Gleichung (2.50) wird die magnetische Flussdichte benötigt. Diese und ihr Fehler berechnet sich für eine Helmholtz-Spule wie folgt: B(I) = µ 0 8 I N (3.1) 125 R δb(i) = µ 8 N 0 δi (3.2) 125 R Hierbei wurde der Radius und die Windungsanzahl als fehlerfrei angenommen, da hierfür keine Fehler angegeben sind. Es ergibt sich somit für das Nullfeld die Flussdichte von B Null = 14,77(5) µt Die selbe Formel gilt auch für die Flussdichten bei angelegter Radiofrequenz. Für den gyromagnetischen Faktor ist noch die Normierung B = B Sweep B Null sinnvoll, da dies das wirkliche B-Feld in der Zelle angibt. Die so erhaltenen Werte sind in Tabelle 2 zusammengefasst. Frequenz [khz] B Peak 1 [µt] B Peak 2 [µt] 101,6(10) 13,9(1) 22,2(1) 110,0(10) 16,7(1) 24,5(1) 120,2(10) 17,9(1) 26,2(1) 130,0(10) 19,4(1) 28,6(1) 140,0(10) 21,1(1) 31,0(1) 150,0(10) 22,5(1) 32,9(1) 160,0(10) 23,8(1) 35,1(1) 170,0(10) 25,4(1) 37,4(1) 180,0(10) 26,9(1) 39,8(1) Tabelle 2: Magnetische Flussdichten bei verschiedenen Frequenzen der Peaks Die Werte von Tabelle 2 sind nun in Abbildung 3.3 abgebildet und mittels QTI-Plot linear gefittet. 17

18 3.3 Auswertung 3 VERSUCH 1: OPTISCHES PUMPEN Messwerte erster Peak Messwerte zweiter Peak Linearer Fit erster Peak Linearer Fit zweiter Peak Frequenz in khz Magnetische Flussdichte in µt Abbildung 3.3: Frequenzen über Flussdichten mit Fehlerbalken und linearen Fits QTI-Plot gibt dabei Folgendes als Funktionen an: f = D B + A f Peak 1 = 6,33(8) khz µt f Peak 2 = 4,52(6) khz µt B + 8(2) khz B + 0,8(20) khz Für die Steigungen D gilt nach Gleichung 2.50 folgender Zusammenhang: D = g F µ B (3.3) h g F = Dh (3.4) µ B δg F = h δd (3.5) Die Fehler des Planckschen Wirkungsquantum und des Bohrschen Magneton können hierbei vernachlässigt werden. Für die gyromagnetischen Faktoren ergeben sich dann: µ B g F,1 = 0,452(6) g F,2 = 0,323(4) 18

19 3.4 Fehlerbetrachtung und Fazit 3 VERSUCH 1: OPTISCHES PUMPEN Bestimmung des Kernspins der Isotope Rubidium besitzt die Konfiguration [Kr]5s. Es hat also fast nur abgeschlossene Schalen und ein Valenzelektron. Die abgeschlossenen Schalen bilden keinen Beitrag zum Gesamtdrehimpuls. Für das Valenzelektron gilt s = 1 und l = 0. Damit folgt für den 2 Gesamtdrehimpuls J = 1, weshalb g 2 j = 2 gilt. Mit dem Zusammenhang F = J + I lässt sich somit die Gleichung (2.45) zu folgendem vereinfachen: g F = 1 I + 1 (3.6) 2 I = 1 1 (3.7) g F 2 δi = 1 δg F (3.8) Es ergibt sich für den Kernspin der beiden Isotope folgendes: g 2 F I Peak 1 = 1,71(3) I Peak 2 = 2,60(4) Da der Kernspin nur Werte annehmen kann, welche ein Vielfaches von 1 sind, runden 2 wir unsere Ergebnisse. Es ergibt sich für den ersten Peak ein Wert von 3, welcher 87 Rb 2 entspricht und für den zweiten Peak 5, welcher für 85 Rb steht. 2 Da wir diese Werte nun bestimmt haben, lässt sich auch etwas über den theoretischen angepassten Landé-Faktor aussagen. Für den ersten Peak, also 87 Rb, müsste sich g F = 0,5 und für den zweiten Peak, 85 Rb, g F = 1 ergeben. Diese Werte entsprechen näherungsweise den von uns bestimmten 3 Werten. 3.4 Fehlerbetrachtung und Fazit Keiner der theoretischen Werte liegt in unserer Fehlertoleranz, die Größenordnung stimmt aber. Die Ergebnisse liegen nahe, dass entweder ein Fehler unsererseits, oder ein Fehler an den Geräten vorlag. So könnte beispielsweise die Frequenz nicht so genau durch das Oszilloskop bestimmt werden oder der Widerstand, über welchen die Stromstärke und damit die Flussdichte bestimmt wurde nicht einem Ohm entspricht. Fehler unsererseits könnte an einer nicht genauen Einstellung der Sweep-Spannung sein. Vermutlich sind zusätzlich unsere angenommenen Fehler zu gering. Ein schwerwiegender Fehler in der Durchführung ist aber auszuschließen, da unsere Werte in den richtigen Bereichen liegen. Man könnte das Ergebnis verbessern, wenn man für jede Frequenz mehrfach die Stromstärken bestimmt oder wenn man insgesamt mehr Frequenzen misst. Bei letzterem wäre aber eine genauere Einstell- oder Messmöglichkeit der Frequenz von Vorteil. 19

20 4 VERSUCH 2: ZEEMAN-EFFEKT 4 Versuch 2: Zeeman-Effekt 4.1 Versuchsaufbau Abbildung 4.1: Vereinfachter Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau für den transversalen Zeeman-Effekt ist vereinfacht in Abbildung 4.1 dargestellt. Für die longitudinale Beobachtung wird größtenteils der selbe Aufbau verwendet, nur die Polschuhe sind auf der optischen Achse von Lummer-Gehrcke- Platte und Fernrohr ausgerichtet. Der Aufbau besteht aus einer Cd-Dampflampe, welche in ein Magnetfeld eines Elektromagneten mit Polschuhen eingebracht ist. Dahinter ist ein Rotfilter angebracht, um nur die rote Linie des Cd-Spektrums zu beobachten. Die Lummer-Gehrcke-Platte dient zur räumlichen Aufspaltung der verschiedenen Zeeman-Linien. Sie besitzt eine Dicke a = 4,04 mm und einen Brechungsindex von n = 1,4567. Nach der Lummer-Gehrcke-Platte werden je nach Versuchsteil noch ein linearer Polarisator und/oder eine λ/4-platte angebracht, bevor man die Linien mit einem Fernrohr beobachten kann. 4.2 Durchführung Zunächst wird der transversale Zeeman-Efekt beobachtet. Hierfür wir der Aufbau nach 4.1 ohne Polarisationsfilter oder λ/4-platte verwendet. Man beobachtet ohne ein Feld äquidistante Linien durch das Fernrohr. Nun erhöht man langsam den Strom durch den Elektromagneten und beobachtet die Aufspaltung der einzelnen Spektrallinien. Dies macht man, bis man wieder ein äquidistantes Muster beobachtet. Mit dieser Einstellung wird nun die magnetische Flussdichte mittels einer Hall-Sonde bestimmt. Diesen Vorgang wiederholen wir sechs mal. Danach wird die Polarisation der einzelnen Linien untersucht, indem ein linearer Polarisator und/oder eine λ/4-platte in den Strahlengang gebracht wird. Nun drehen wir die Polschuhe und beobachten den longitudinalen Zeeman-Effekt durch eine Bohrung in den Polschuhen. Die Durchführung ist hierbei identisch zu dem transversalen Zeeman-Effekt. 20

21 4.3 Auswertung 4 VERSUCH 2: ZEEMAN-EFFEKT 4.3 Auswertung e Es soll das Verhältnis m e bestimmt werden. Hierfür wird Gleichung (2.41) und (2.52) und der Zusammenhang c = λ f benötigt. Als erstes muss Gleichung (2.41) für einen Wellenlängenunterschied beschrieben werden. Für geringe Frequenzunterschiede ergibt sich folgender Zusammenhang: f = c (4.1) λ df dλ = c (4.2) λ 2 f = c λ (4.3) λ2 Für den Wellenlängenunterschied bei der Zeeman-Aufspaltung ergibt sich mit diesem Zusammenhang folgendes: λ = ± λ2 c eb 0 4πm e (4.4) Setzt man diesen Zusammenhang mit Gleichung (2.52) gleich und stellt nach ergibt sich als Gleichung und deren Fehler folgendes. e m e um, e 2πc = m e B 0 a δτ (4.5) n 2 1 τ δ e = m e 2πc B0a δτ 2 n 2 1 τ δb 0 (4.6) Nun muss noch das Verhältnis δτ bestimmt werden. Dies geschieht für den transversalen τ und longitudinalen Fall getrennt. Transversale Beobachtung Abbildung 4.2: Darstellung der Aufspaltung nach der Lummer-Gehrcke-Platte, transversal 21

22 4.3 Auswertung 4 VERSUCH 2: ZEEMAN-EFFEKT Für den transversalen Fall betrachten wir Abbildung 4.2. Man erkennt deutlich, dass δτ = 1 τ gilt. Für den transversalen Fall ergibt sich für Gleichung (4.5) 3 ( ) e 2πc = m e 3B 0 a (4.7) n 2 1 Als mittlerer Wert ergibt sich für die magnetische Flussdichte ( Als Wert für das Verhältnis e m e )t ( e m e t B t,0 = 0,870(8) T ) erhalten wir dann: t = 1,687(16) C kg Betrachten wir noch die Polarisation im transversalen Fall. Hierfür wurde nur der lineare Polarisator in den Strahlengang gebaut und gedreht. Man erkennt, dass alle Strahlen linear polarisiert sind, allerdings um 90 zueinander verdreht. So kann man, wenn man die ursprüngliche Linie ausblendet die äußeren Linien sehen. Dreht man dann den Polarisator um 90, verschwinden die äußeren Linien und die ursprüngliche Linie erscheint. Longitudinale Beobachtung Abbildung 4.3: Darstellung der Aufspaltung nach der Lummer-Gehrcke-Platte, longitudinal Hier gilt, wie man in Abbildung 4.3 sieht, dass δτ = 1 τ ist. Damit ergibt sich für 4 die spezifische Elementarladung im longitudinalen Fall ( ) e πc = m e 2B 0 a (4.8) n 2 1 Als Werte ergeben sich l B 0,l = 0,713(8) T ( ) e m e l = 1,543(18) C kg 22

23 4.4 Fehlerbetrachtung und Fazit 5 ABSCHLIESSENDES FAZIT Auch hier betrachten wir noch die Polarisation. Wenn man hier nur die λ/4-platte oder den linearen Polarisator verwendete, stellte man keine Veränderung fest. Nur wenn man zuerst die λ/4-platte und dann den linearen Polarisator in den Strahlengang stellt, kann man durch Drehen des Polarisators immer eine der beiden Linien ausblenden. Dies bedeutet, dass beide Linien zirkular polarisiert sind, wobei eine Linie links und die andere rechts zirkular polarisiert ist. Als mittleren Wert für die spezifische Elementarladung ergibt sich durch Berechnen des gewichteten Mittelwerts folgendes: 4.4 Fehlerbetrachtung und Fazit e m e = 1,623(12) C kg Mit den Werten für die Elementarladung und die Elektronenmasse aus [Org06] ergibt sich für den Literaturwert der spezifischen Elektronenladung ( ) e m e lit = 1, (46) C kg Unser Wert hat eine Abweichung von ca. 8% vom Literaturwert, die nicht in unserer Fehlertoleranz liegt. Dies könnte an einer nicht genauen Einstellung der äquidistanten Linien liegen. Dabei konnte leider nicht gleichzeitig vergrößert und fokussiert werden. Daher konnte man nur ungenau schätzen. Auch könnte bei der Messung mit der Hall-Sonde ein Fehler aufgetreten sein. Hier machten schon kleinste Bewegungen große Änderungen an der Anzeige aus. Vermutlich ist auch hier unser angenommener Fehler zu gering. 5 Abschließendes Fazit Obwohl alle Literaturwerte nicht in unseren Fehlertoleranzen liegen, kann man die Versuche dennoch als gelungen bezeichnen, da sie die Theorie bestätigen. Beim Optischen Pumpen konnte auf Grund des berechneten Kernspins auf die Isotope geschlossen werden und auch die Elementarladung konnte beim Versuch Zeeman-Effekt noch einigermaßen genau bestimmt werden. 23

24 Tabellenverzeichnis 6 Anhang Abbildungsverzeichnis 2.1 Projektion der Schwingung auf eine Ebene und Aufteilung in drei Schwingungen, aus [HW03] Polarisationen bei transversalem und longitudinalem Zeeman-Effekt, aus [SJ11] Termschema von Rubidium 87 Rb, aus [Tea02] Schematische Darstellung einer Lummer-Gehrcke-Platte, aus [Did13] Verwendeter Aufbau der Firma TeachSpin, Quelle: [Tea] Schematischer Aufbau des Versuchs, Quelle: [Run13b] Frequenzen über Flussdichten mit Fehlerbalken und linearen Fits Vereinfachter Versuchsaufbau Darstellung der Aufspaltung nach der Lummer-Gehrcke-Platte, transversal Darstellung der Aufspaltung nach der Lummer-Gehrcke-Platte, longitudinal Tabellenverzeichnis 1 Wichtige Auswahlregeln für Niveauübergänge Magnetische Flussdichten bei verschiedenen Frequenzen der Peaks

25 Literatur Literatur Literatur [Bro08] Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008 [Che13a] Chemie.de: Pachen-Back-Effekt. Paschen-Back-Effekt.html, zuletzt aufgerufen am [Che13b] Chemie.de: Spin-Bahn-Kopplung. Spin-Bahn-Kopplung.html, zuletzt aufgerufen am [Che13c] Chemie.de: Zeeman-Effekt. Zeeman-Effekt.html, zuletzt aufgerufen am [Dem10] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 3. Springer, 2010 [Did13] Didactic, LD: Atom- und Kernphysik. literatur/hb/d/p6/p6271_d.pdf, zuletzt aufgerufen am [HW03] Haken, Hermann ; Wolf, Hans C.: Atom- und Quantenphysik. Springer, 2003 [NIS13] NIST: Bohr magneton. mub search_for=bohr, zuletzt aufgerufen am [Org06] Organisation Intergouvernementale de la Convention du Mètre: The International System of Units (SI). 8. Auflage. Bureau International des Poids et Mesures, Mai abgerufen am 8.Dezember 2012 [Run13a] Runge, Bernd-Uwe: Messunsicherheiten. Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, 25.Januar abgerufen am [Run13b] Runge, Bernd-Uwe: Optisches Pumpen. Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, 26.April abgerufen am 23.Juli 2013 [Run13c] Runge, Bernd-Uwe: Zeeman-Effekt. Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, 26.April abgerufen am 23.Juli 2013 [Sch13] Scholz, Jan: Hyperfeinstruktur. F-Prak/node95.html, zuletzt aufgerufen am [SJ11] Scheel, Patricia ; Jörg, Florian: Zeeman Effekt und Optisches Pumpen [Tea] TeachSpin: Optical Pumping. optical_pumping/,. zuletzt aufgerufen am [Tea02] TeachSpin: Optical pumping of rubidium OP1-A. TeachSpin, 2002 [Wik13] Wikipedia: Quantenzahl zuletzt aufgerufen am