Optik, Seismologie und Bodenradar

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1 Hausarbeit im Bereich Plattentektonik und geophysikalische Exploaration Optik, Seismologie und Bodenradar von Daniel Pfaller Göttingen, den

2 Inhaltsverzeichnis 1 kurze Einführung 2 2 Optik Maxwellsche Gleichungen Wellengleichung Lösung und Eigenschaften dieser Wellengleichung Monochromatische, ebene Wellen Wellen an einer Grenzfläche Eigenschaften von Lich in einem Medium Seismologie Wellengleichung aus der Elastizitätstheorie Lösen und Eigenschaften dieser Wellengleichung Strahlausbreitung, Laufzeitkurve Bodenradar Lösung der Telegraphengleichung Geschwindigkeit und Dämpfung elektromagnetischer Wellen in einem Medium Auflösungsvermögen beim Bodenradar Das Funktionsprinzip des Bodenradars Zusammenfassung und Diskussion 16

3 1 kurze Einführung Die Seismologie ist für viele Kenntnisse über die Beschaffenheit der Erde verantwortlich. Sie ist eine passive Methode, bei der der Mensch praktisch Zuschauer ist und die Natur den Versuch übernimmt. Eine aktive Methode stellt das Bodenradar dar. Bei dieser Methode werden elektromagnetische- Wellen in den Untergrund geleitet, welche dann an Schichten reflektiert und aufgezeichnet werden. In erster Linie stellt sich jetzt die Frage, was Seismologie und Bodenradar gemeinsam haben. Hier stellt man fest, dass diese beiden Methoden mathematisch auf eine Wellengleichung aufbauen. Dabei lässt sich die Seismologie mit Gleichungen analog zur Optik verstehen. Auf einige Unterschiede soll im Folgenden eingegangen werden. Die Gleichungen für das Bodenradar folgen direkt aus den Maxwellschen Gleichungen, welche das Ausbreiten von Wellen im Raum determinieren. Im ersten Teil der Arbeit soll somit auf die Optik eingegangen werden, um dann die Seismologie zu erklären. Im letzten Teil wird das Bodenradar erläutert. 2 Optik Die Optik ist die Wissenschaft des Lichts. Im vorliegenden Text soll jedoch keine Zusammenfassung dieser gegeben werden. Das wäre viel zu aufwendig und nur gewisse Teile der Optik sind für die folgenden Themen interessant, zu denen ein Bezug hergestellt werden soll. Licht kann sowohl als Welle, als auch als Teilchen begriffen werden. Der Interferenzcharakter von Licht wurde im 19. Jahrhundert als Indiz für den Wellencharakter intepretiert. Mit den Maxwellschen Gleichungen und der daraus folgenden Ausbreitung elektromagnetischer Wellen mit Lichtgeschwindigkeit wurde der Wellencharakter als gegebenangenommen [1]. Die Maxwellschen Gleichungen sollen nun näher betrachtet werden, um aus ihnen die Wellennatur des Lichtes zu folgern und die Wellengleichung herzuleiten. Aus dieser werden dann interessante Eigenschaften deutlich. 2.1 Maxwellsche Gleichungen Diese lauten wie folgt: E = ρ ɛ (1) B = 0 (2) 2

4 E = B t (3) B = µσe + µɛ E (4) t Dabei bezeichnet E das eletrische- und B das magnetische Feld. σ ist die Leitfähigkeit, ɛ die Permitivität, ρ die Ladungsdichte und µ die Permeabilität [2]. Die erste Gleichung bedeutet, dass Elektrische Ladungen die Quellen des Elektrischen-Feldes sind. Die zweite Gleichung, dass es keine Quellen magnetischer Felder gibt. Diese sind somit Wirbelfelder und besitzen als Konsequenz auch keinen Monopol. Die dritte Gleichung besagt, dass jedes zeitlich veränderliches magnetisches Feld ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt [3]. Die letzte Gleichung beschreibt folgendes Phänomen: Elektrische Ströme einschließlich des Verschiebungsstroms führen zu einem magnetischen Wirbelfeld [4]. 2.2 Wellengleichung Jetzt soll die Wellengleichung hergeleitet werden. Dafür wird die Rotation der Gleichung 4 gebildet: ( B) = µσ( E) + µɛ ( E) (5) t Mit der Annahme, dass E eine gutartige Funktion ist, lassen sich die Ableitungen nach Ort und Zeit vertauschen. Mit Einsetzten der Gleichung 3 ergibt sich damit: ( B) = µσ B t µɛ 2 B t 2 (6) Mit ( ) = ( ) 2 und B = 0 folgt: 2 B µɛ 2 B B t 2 µσ t = 0 (7) Eine analoge Gleichung lässt sich auch für die elektrische Feldstärke bilden. Dabei wird ähnlich vorgegangen. Damit ergibt sich: 2 E µɛ 2 E E t 2 µσ = (ρ/ɛ) (8) t Für ein elektrisch neutrales Medium ist ρ gleich null und deshalb: 3

5 2 E µɛ 2 E E t 2 µσ t = 0 (9) Gleichung 7 und 9 heißen Telegraphengleichungen [2]. Für ein nicht leitendes Medium ist σ = 0 und damit lauten die Gleichungen wie folgt: 2 B µɛ 2 B t 2 = 0 (10) Im Vakuum gilt: 2 E µɛ 2 E t 2 = 0 (11) 2 B µ 0 ɛ 0 2 B t 2 = 0 (12) 2 E µ 0 ɛ 0 2 E t 2 = 0 (13) Diese Gleichungen beschreiben gekoppelte raum- und zeitabhängige Felder und haben die Form einer Wellengleichung. 2.3 Lösung und Eigenschaften dieser Wellengleichung Durch die gezeigte Art lassen sich die Feldgleichungen für das E- und B-Feld entkoppeln. Die Wellengleichung ist eine lineare partielle DGL zweiter Ordnung. Es gilt also das Superpositionsprinzip. Die Lösung ergibt sich durch Fourier-Transformation mit dem Ansatz: E(r, t) = 1 (2π) 2 d 3 k dωe(k, w)e i(kr ωt) (14) Wird dieser Ansatz in die Wellengleichung eingesetzt, so folgt: 1 (2π) 2 d 3 k dωe(k, w)[ k 2 + µ 0 ɛ 0 w 2 ]e i(kr ωt) = 0 (15) Dies ist im Allgemeinen nur erfüllt wenn: k = µ 0 ɛ 0 ω (16) Mit ω = vk lässt sich die Geschwindigkeit des Wellenpaket schreiben als: v = 1 µ0 ɛ 0 (17) 4

6 Dies ist erstaunlicherweise die Lichtgeschwindigkeit c. Zusammengefasst ergeben sich also zwei besondere Konsequenzen: Elektromagnetische Wellen sind nicht-triviale Lösungen der Maxwellschen-Gleichungen und existieren unabhängig von Ladungen und Quellen im Raum. Das zweite Resultat ist, dass sich jede einzelne Komponente eines Wellenpakets mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzt [5]. Heute ist bekannt, dass sichtbares Licht genauso wie UV-Strahlung, Infrarotstrahlung usw. eine elektromagnetische Welle ist. 2.4 Monochromatische, ebene Wellen Eine monochromatische, ebene Welle enthält nur eine Frequenz ω 0 und eine einzige Ausbreitungsrichtung k 0. Die Fourier Transformierte ist somit gegeben durch: E(k, w) = (2π) 2 E 0 δ(ω ω 0 )δ(k k 0 ) (18) Das B-Feld verhält sich analog. Hieraus folgt dann: E(r, t) = E 0 e k 0r ωt (19) E = 0 k 0 E 0 = 0 (20) B = 0 k 0 B 0 = 0 (21) Außerdem erhält man aus den Rotation-Gleichungen: k E = ωb (22) k B = ω c 2 E (23) Aus diesen Gleichungen folgt, dass das elektrische- und magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und aufeinander stehen. Es handelt sich also um Transversalwellen [5]. 2.5 Wellen an einer Grenzfläche Nun soll das Verhalten ebener Wellen an einer Grenzfläche untersucht werden. Die einfallende Welle hat folgende Form: E i = E 0i cos(k i r ω i t) (24) 5

7 Dabei ist E 0i zeitlich konstant. Dies ist deshalb möglich, da sich jede Form des Lichts durch zwei orthogonale, linear polarisierte Wellen darstellen lässt. Reflektierte und gebrochene Wellen lassen sich also folgendermaßen aufschreiben: E r = E 0r cos(k r r ω r t + ɛ r ) (25) E t = E 0t cos(k t r ω t t + ɛ t ) (26) ɛ r und ɛ t sind sogenannte Phasenkonstanten und kommen daher, dass der Anfangsort nicht bekannt ist [2]. Es lässt sich beweisen, dass die tangentiale Komponente von E und B stetig sein muss. Mit dem Einheitsvektor u n längs zur Flächennormale folgt: u n E i + u n E r = u n E t (27) Hieraus lässt sich ableiten, dass die Frequenzen ω i, ω r, ω t gleich sein müssen. Somit ändert sich die Frequenz eines gebrochenen, oder reflektierten Lichtstrahls nicht. Weiterhin lässt sich folgende Bedingung ableiten: (k i r) y=b = (k r r + ɛ r ) y=b = (k t r + ɛ t ) y=b (28) b ist dabei die Y-Koordinate der Grenzfläche. [(k i k r )r] y=b = ɛ t (29) Die einfallende und reflektierte Welle breiten sich im selben Medium aus, also ist k i = k r. Aus der Tatsache, dass k i k r keine Komponente in der Ebene der Grenzfläche hat, also u (k i k r ) = 0 folgt: und damit: k i sinθ i = k r sinθ r (30) θ i = θ r (31) Das ist genau das Brechungsgesetz. Analog lässt sich auch das snelliussche Gesetz herleiten es lautet: [2] n i sinθ i = n t sinθ t (32) 6

8 2.6 Eigenschaften von Lich in einem Medium Hier sollen noch ein paar Eigenschaften von der Lichtausbreitung in Medien beschrieben werden. Die Lichtgeschwindigkeit ist in Medien stets kleiner als im Vakuum. Sie verhält sich wie folgt: c M = c n, n = ɛ (33) Befindet sich ein Beobachter im Wasser, erscheint die Wasseroberfläche ab einem bestimmten Punkt wie ein Spiegel. Dieses Phänomen der Totalreflexion lässt sich sehr einfach mit den Brechungsgesetzen Verstehen. Es geschieht immer dann, wenn Licht von einem dichteren in ein dünneres Medium läuft. Das Licht wird vom Lot weg gebrochen. Der Ausfallwinkel darf 90 Grad nicht überschreiten, da sonst das Licht das Medium nicht verlässt. Nach Snellius ergibt sich nur dann eine durchgehende Teilwelle, wenn der Einfallswinkel kleiner ist, als der Grenzwert, der gegeben ist durch: [6] sinα T = n 2 n 1 (34) 3 Seismologie Die Seismologie hat einige der wichtigsten Erkenntnisse über den Aufbau des Erdkörpers gebracht. Zudem bietet die Form ihrer Wellengleichung, Brechungsgesetze... Analogien zur Optik. Darauf soll im kommenden Abschnitt eingegangen werden. 3.1 Wellengleichung aus der Elastizitätstheorie Dis Elastizitätstheorie stellt die Bewegungsgleichungen für ein elastisches Kontinuum auf. Dabei gilt das Hookessche Gesetz, nachdem die auftretende Spannung der Verschiebung proportional ist. Dieses ist natürlich nur eine Näherung und gilt für kleine Verschiebungen. Außerdem gilt es auf der Basis, dass alle Bewegungen reversibel sind. Aus dem Hookeschen Gesetz lässt sich eine Tensorbeziehung ableiten. Diese ist in der folgenden Gleichung zu sehen und soll dann erläutert werden. s ist dabei die Verschiebung eines Volumenelementes das ursprünglich bei r lag. 2 s t 2 = v2 l grad divs v2 t rot rots (35) 7

9 v l und v t sind zweit positive Materialkonstanten. Auf der linken Seite der Gleichung ist der Beschleunigungsvektor und auf der rechten Seite sind zwei Volumenkräfte. Das erste Glied davon gehört zu den Drücken, die entstehen, wenn sich ein Volumenelement ausdehnt oder zusammenzieht. divs ist gleich der Volumenvergrößerung. Die Drücke sind proportional zu dem Gradienten davon. Der zweite Term steht für die Schubspannngen. Der Ausdruck rot steht für die Drehung der Seiten des Volumenelements. Der Ursprung der Schubspannung sind unterschiedliche Drehungen gegenüberliegender Seiten. Indem der Operator rot nochmals angewendet wird erhält man eine Maßzahl für die unterschiedlichen Drehungen. Das Minuszeichen kommt aus der Drehungsrichtung. Nun soll diese Gleichung gelöst werden. Dafür wird das Vektorfeld in einen wirbelfreien und einen quellenfreien Anteil zerlegt: { rots 1 = 0 s = s 1 + s 2 mit (36) divs 2 = 0 Damit folgen zwei unabhängige Differentialgleichungen: 2 s 1 t 2 = v2 l grad divs 1 (37) 2 s 2 t 2 = v2 t rot rots 2 = v t s 2 (38) s 1 ist wirbelfrei und lässt sich daher durch ein Potential Ψ darstellen. Damit ergibt sich dann: 2 Ψ t 2 = v2 i Ψ (39) Dies ist eine Wellengleichung [7]. 3.2 Lösen und Eigenschaften dieser Wellengleichung Die seismologische Wellengleichung hat mathematisch die gleiche Form, wie die aus den Maxwell Gleichungen hervorgehende. Die Lösung hat wieder die Form eines Fourier-Integrals. Auch ebene Wellen bilden wieder eine Lösung. Für die Verschiebung eines Volumenelements folgt somit: s 1 = grad{a sin[(kr) v l kt + ɛ]} = A cos[(kr) v l kt + ɛ]k (40) Die Verschiebung s 1 verschiebt sich damit in Ausbreitungsrichtung der Welle. Es handelt sich um eine Longitudinalwelle. Für s 2 gilt: 8

10 Wegen divergenzfreiheit gilt: s 2 = Asin[(kr) v t kt + ɛ] (41) 0 = divs 2 = (Ak)sin[(kr) v t kt + ɛ] (42) Da dies generell für alle A und k gelten muss ist s 2 orthogonal zur Fortpflanzungsrichtung. Es handelt sich also um eine transversale Welle. Zu jeder Fortpflanzungsrichtung gibt es drei elastische Wellen. Eine longitudinale und zwei transversale. Dies ist ein Unterschied zu Lichtwellen, bei denen es nur transversalwellen gibt. Die vorher erwähnten Materialkonstanten v l und v t erweisen sich als die Phasengeschwindigkeiten der longitudinalen- und transversalen Wellen. Diese sind durch folgende Formeln gegeben: v l = K G G, v t = ρ ρ (43) ρ ist die Dichte, K das Kompressionsmodul, G das Schubmodul. Das Kompressionsmodul lässt sich so veranschaulichen, dass auf ein Volumenelement ein allseiter Druck ausgeübt wird. Dabei gilt: p = K δv V (44) Das Schubmodul G kann man verstehen, indem man einen Block betrachtet der durch eine Schubspannung τ belastet wird. Dabei tritt eine Scherung um den Winkel γ ein. Es gilt: τ = Gγ (45) [7] Wichtig im Vergleich zur Optik ist, dass sich die Wellen nicht mehr mit konstanter Geschwindigkeit ausbreiten (Lichtgeschwindigkeit), sondern von bestimmten materialabhängigen Parametern abhängig sind. 3.3 Strahlausbreitung, Laufzeitkurve In der Seismologie gilt auch das Reflexionsgesetz. 9

11 Abbildung 1: Reflexionsgesetz in der Seismologie. α = β [8]. Die Brechungsgesetze ergeben sind der Optik ähnlich, es muss jedoch beachtet werden, dass in der Seismologie ein Übergang von der einen in die andere Wellenform möglich ist. Die Brechungsgesetze lauten folgendermaßen: sinα sinβ = v l1 v l2 (46) sinα sinγ = v l1 v t1 (47) sinα sinδ = v l1 v t2 (48) [7] Dabei ist Gleichung 49 das Brechungsgesetz für Longitudinalwellen. v l1 ist die Geschwindigkeit der Longitudinalwelle in Medium 1 und v l2 in Medium 2. Die Gleichung 47 beschreibt die Reflexion einer Longitudinalwelle, die danach in eine Transversalwelle unter verändertem Winkel γ übergeht. v t1 ist die Geschwindigkeit der Transversalwelle im Medium 1. Gleichung 48 beschreibt schließlich die Brechung einer Longitudinalwelle, die danach in eine Transversalwelle übergeht. Der Winkel dazu ist δ und die Geschwindigkeit der Transversalwelle v t2. Ein weiterer Unterschied zur Optik ist die Gruppengeschwindigkeit. Diese ist in der Optik gleich der Lichtgeschwindigkeit. Es gilt: dω/dk = c (49) In der Seismologie ist dies nicht mehr der Fall. Hier ist die Geschwindigkeit von der Wellenlänge abhängig. Damit gilt: [7] dω/dk = v λdv/dλ (50) 10

12 In der Seismologie ist es noch interessant ein Brechungsgesetz an einer Kuglefläche aufzustellen. Dafür werden jetzt Übergänge von einer in die andere Wellenform vernachlässigt. In der folgenden Graphik ist solch eine Brechung zu sehen: Abbildung 2: Brechung an einer Kugelfläche. α = β [9]. Mit dem Sinussatz erhält man: r 1 sinα = r 2 sinβ 1 (51) Wird noch dazu das Brechungsgesetz verwendet kommt man auf die folgende Gleichung: r 1 sinβ 1 r 2 sinβ 2 = v 1 v 2 (52) Da dies für jede Kugel gilt lässt sich ein allgemeines Brechungsgesetz aufstellen: rsinβ v(r) = const = p (53) p ist der Strahlparameter. Die Geschwindigkeit nimmt in der Erde nach unten zu, deshalb ist der Strahl konvex gekrümmt. Der Strahlparameter kann bestimmt werden, indem die Werte am Scheitelpunkt β = 90 Grad betrachtet werden. 11

13 4 Bodenradar Der Bodenradar, engl. Ground Penetrating Radar (GPR) erlaubt eine Erforschung des Untergrunds mit elektromagnetischen Wellen. 4.1 Lösung der Telegraphengleichung Die Telegraphengleichungen sind die Gleichungen 7 und 9, die aus den Maxwellschen Gleichungen hergeleitet wurden. Diese soll noch einmal für das E-Feld in etwas anderer Form geschrieben werden: 2 E = µɛ 2 E E t 2 + µσ (54) t Das B-Feld verhält sich dementsprechend. Bei den hohen Frequenzen, die beim Bodenradar verwendet werden kann der Verschiebungsstrom vernachlässigt werden und dies führt zu einer Wellengleichung: 2 E = k 2 E (55) Das bedeutet, dass die Differentialgleichung beim Bodenradar die selbe ist wie in der Optik und Seismologie und damit auch die Mathematik der Lösungen von Optik und Seismologie übernommen werden kann. Dies führt wiederum zu ebenen Wellen der Form: E(r, t) = E 0 e i(ωt kr) (56) Um jedoch das Phänomen der Abschwächung der Welle im Medium zu verstehen, muss die Telegraphengleichung mitsamt Verschiebungsstrom gelöst werden. Dafür wird der Lösungsansatz einer harmonischen Welle verwendet und der reelle Wellenvektor durch einen komplexen Wellenvektor ersetzt. Dieser ist durch folgenden Ausdruck gegeben: k 2 = µɛω 2 iσµω (57) Hieran erkennt man, dass für eine große Frequenz der Realteil sehr viel größer wird als der imaginärteil (weil quadratische Gleichung) und somit auch der Verschiebungsstrom sehr klein wird. Die komplexe Wellenzahl k lässt sich in Real- und Imaginärteil mit k = β iα unterteilen: µɛ β = ω 1 + ( σ 2 ωɛ ) + 1 (58) 12

14 µɛ α = ω 1 + ( σ 2 ωɛ ) 1 (59) Hieran sieht man schon, dass sich für σ = 0 eine reelle Wellenzahl ergibt und Gleichung zu einer Wellengleichung wird. Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Einsetzen in die Wellengleichung und für Ausbreitungsrichtung z: E(r, t) = E 0 e αz e i(ωt βz) (60) Dabei beschreibt e αz einen Dämpfungsfaktor mit der Tiefe [10]. 4.2 Geschwindigkeit und Dämpfung elektromagnetischer Wellen in einem Medium Jetzt soll die Eindringtiefe eingeführt werden, welche beschreibt, nach wie vielen Perioden die Amplitude der gedämpften Schwingung auf den e 1 -ten Teil gesunken ist. Es gilt: 2 1 p = 1/α = + (ωɛ/σ) ωµ 0 σ 2 + ωɛ/σ (61) Für Frequenzen ω < σ/ɛ folgt für die Skintiefe Folgende Formel (wie in der Magnetotellurik): p 2 ωµ 0 σ (62) Für schlecht leitende Materialien wie z.b. trockener Sandstein oder auch trockener Boden lässt sich die Gleichung schreiben als: ɛ p 2/σ (63) µ 0 Diese Gleichung ist beim Bodenradar in den meisten Fällen anwendbar. µ wurde hier gleich µ 0 gesetzt, da der Anteil ferromagnetischer Materialien im Boden sehr gering ist. Die Skintiefe erreicht nach obiger Formel einen asymptotischen Wert. Je niedriger also die Permittivität und je höher die Leitfähigkeit des Bodens ist, desto höher ist die Dämpfung und die Eindringtiefe nimmt ab. Mit zunehmender Frequenz ω sinkt zwar die Eindringtiefe, aufgrund der kleiner werdenden Wellenlänge steigt jedoch gleichzeitig das Auflösungsvermögen [11]. 13

15 Die Geschwindigkeit der elektromagnetischen Welle wird durch den Realteil der Wellenzahl k beschrieben. β wird daher auch als Ausbreitungskoeffizient beschrieben. Die Geschwindigkeit ist gegeben durch: v = ω/β = 1 2 (64) µɛ 1 + ( σ ωɛ )2 + 1 Aus diesen Ergebnissen kann geschlussfolgert werden, dass der Wellencharakter der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen mit dem Verschiebungsstrom zusammenhängt und die Dämpfung von der elektrischen Leitfähigkeit bestimmt wird. Jedoch ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit aber auch von der elektrischen Leitfähigkeit und der Frequenz abhängig. Aus der folgenden Graphik sieht man jedoch, dass die Geschwindigkeit bei geringen Leitfähigkeiten im Messbereich des Georadars von 10 bis 1000 MHz großteils konstant bleibt. Später dominiert dann der Effekt der Wasserrelaxation. [10] Die folgende Darstellung zeigt die Abhängigkeit der Geschwindigkeit gegenüber der Frequenz. Dabei ist ɛ = 4. Abbildung 3: Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Frequenz für versch iedene Leitfähigkeiten [10]. 4.3 Auflösungsvermögen beim Bodenradar Hier wird das vertikale und horizontale Auflösungsvermögen unterschieden. Das vertikale Auflösungsvermögen hängt in erster Linie von der Wellenlänge des Radarsignals ab. Für die Abschätzun des vertikalen Auflösungsvermögens können charakteristische Zeitmaße verwendet werden (Halbwertsbreite, Periodendauer). Es hängt also von der Laufzeitdifferenz verschiedener ab, wie in folgender Graphik zu sehen ist. 14

16 Abbildung 4: Abgestrahltes Modellsignal; rechts: Rayleigh und Ricker Kriterium für die zeitlic he Auflösungsgrenze [12]. Im Idealfall gilt für die Tiefenauflösung r: r v 4f c (65) f c ist dabei die Mittenfrequenz des Bodenradars. [11] Die horizontale Auflösung l hängt zusätzlich noch von der Entfernung r zum Georadar ab. Sie ist definiert über: vr l (66) 2f c Damit können Strukturen bei einer Mittenfrequenz von 200 MHz und v = 120mmns 1 von r 0, 12m und l(r = 2m) 0, 77m aufgelöst werden [11]. 4.4 Das Funktionsprinzip des Bodenradars Elektromagnetische Wellen werden in den Untergrund gesendet. Dabei treten Reflexionen und Beugung an den Schichtgrenzen auf. Der Anteil der reflektierten und transmittierten Wellen kann mithilfe der Fresnelschen Formel berechnet werden. Im Gegensatz zur Reflexionsseismik registriert das Georadar Änderungen der elektrischen Bodenbeschaffenheiten. Also der elektrischen Leitfähigkeit und der Permittivität. Dabei befinden sich Sender und Empfänger in einer Box und eine hohe Pulsfolge ermöglicht eine quasikontinuierliche Messung. Die Antennen werden bei Abschirmung über den Untergrund bewegt. 15

17 Abbildung 5: Schematische Darstellung des Georadars [11]. 5 Zusammenfassung und Diskussion Der erste Teil wurde der Optik gewidmet. Bei dieser wurden die Maxwellschen Gleichungen benutzt, um die Wellengleichungen im Vakuum herzuleiten. Aus diesen folgen einige interessante Fakten. Zum ersten ist Licht eine elektromagnetische Welle und bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit unabhängig von der Wellenlänge. Auserdem stellt sich heraus, dass auch im ladungs- und quellfreien- Raum Wellen existieren können, also nicht von einem Medium abhängig sind. Neben der Erkenntnis, dass E- und B-Feld senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung stehen folgt außerdem noch das Brechungs- und Reflexionsgesetz für Wellen an Grenzflächen. Diese Gesetze finden sich auch in der Seismologie, mit dem Unterschied, dass es hier auch Longitudinalwellen gibt und sich Wellen von der einen in die andere Art umwandeln können. Hier können die Wellengleichungen aus der Elastizitätstheorie abgeleitet werden. Der Unterschied zur Optik besteht darin, dass die Wellen nun eine von bestimmten Parametern abhänige Geschwindigkeit haben, also nicht mehr konstant sind. Schließlich wurde noch ein Brechungsgesetz an Kugelflächen abgeleitet, welches dafür verwendet werden kann ein Modell für die Geschwindigkeit der Wellen innerhalb der Erde aufzustellen. Die Behandlung ginge aber über den Rahmen der Arbeit hinaus. Der letzte Teil wurde dem Bodenradar gewidmet. Dabei wurde von der Telegraphengleichung ausgegangen, um die Ausbreitung einer Welle in einem Medium mit einer Leitfähigkeit und Dielektrizitätskonstante zu Beschreiben. Zuerst wurde der Verschiebungsstrom, welcher bei hohen Frequenzen sehr klein wird, vernachlässigt. Damit ergab sich eine Wellengleichung. Diese hat 16

18 die selbe Form wie in der Optik und Seismologie. Um die Eindringtiefe zu verstehen wurde dann bei der Lösung der Wellengleichung der Wellenvektor durch einen komplexen Wellenvektor ersetzt. Dieser gibt Auskunft über die Eindringtiefe. Diese dient als Maß für die Abschwächung einer Welle in einem Medium und sinkt mit zunehmender Frequenz. Allerdings verbessert sich dadurch auch das Auflösungsvermögen. Je höher die Leitfähigkeit ist, desto größer ist die Abschwächung der Welle. Abschließend wird noch das Auflösungsvermögen beim Bodenradar beschrieben und das Funktionsprinzip erläutert. 17

19 Literatur [1] Chemie.de, Welle Teilchen Dualismus, aufgerufen am [2] Eugene Hecht: Optik, 5. Auflage, Oldenburg, 2009 [3] Die Maxwell-Gleichungen und ihre Bedeutung für die SRT, aufgerufen am [4] Wikipedia: Maxwellsche Gleichungen, aufgerufen am [5] Elektromagnetische Wellen, Vorlesung Uni Hamburg, E- Dynamik, Dynamik 04/vorlesungen/vorlesung18.pdf, aufgerufen am [6] Wellenoptik, /Dokumente/Skript/Kapitel9.pdf, aufgerufen am [7] Walter Kertz, Einführung in die Geophysik, Spektrum Akademischer Verlag, 1995 [8] Vorlesung: Die Erde 2. Teil: Endogene Geologie, Aufbau der Erde, Erde.pdf, aufgerufen am [9] Karsten Bahr: Einführung in die Geophysik, 2015, Vorlesung Uni Göttingen [10] Modellierung und Lokalisierung kleinräumiger Einlagerungen (Kriegsrelikte) im Untergrund mit Georadar, Günter Schlögel, Diplomarbeit, Department Angewandte Geow issenschaften und Geophysik Lehrstuhl Geophysik Montanuniversität Leoben, Juni 2007 [11] Anwendung des Bodenradars in der Archäogeophysik, mil Al-Halbouni, Ulrich Einecke, F-Praktikum Göttingen, Version /, Zuletzt editiert: 7. Juni

20 [12] Untersuchungen zur Auflösung von dünnen Schichten mit dem Radar - Reflexionsverfahren, Steffen Sperner, Institut für Angewandte Geowissenschaften II Fachgebiet Angewandte Geophysik Technische Universität Berlin August

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