S12 Untraschallwellen nach Debye-Sears

Transkript

1 Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Stuttgart SS 2014 Protokoll zum Versuch S12 Untraschallwellen nach Debye-Sears Johannes Horn, Robin Lang 17. Juni 2014 Verfasser: Robin Lang (BSc. Mathematik) Mitarbeiter: Johannes Horn (BSc. Mathematik) Gruppennummer: ST Datum: Betreuer: Udo Hermann 1

2 Inhaltsverzeichnis S12 Ultraschallwellen Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3 2 Grundlagen Schall Schallfeldgrößen Schall in Flüssigkeiten Beugung am Phasengitter nach Debye-Sears Fragen 5 4 Messprinzip und Versuchsablauf Verwendete Geräte Benötigte Formeln Schallwellenlänge und Schallgeschwindigkeit Berechnung des Kompressionsmoduls Messwerte Medium: Destilliertes Wasser Medium: Gesättigte Kochsalzlösung Auswertung Berechnung der Schallwellenlänge und Schallgeschwindigkeit Grafische Auswertung Berechnung des Kompressionsmodul Fehlerdiskussion und Fehlerrechnung Qualitative Fehlerdiskussion Quantitative Fehlerrechnung Fehlerberechnung der Schallwellenlänge Bestimmung der gemittelten Fehler Fehler des Kompressionsmodul Zusammenfassung Literatur 20 Seite 2 von 20

3 2 GRUNDLAGEN S12 Ultraschallwellen 1 Aufgabenstellung Ziel ist die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in destilliertem Wasser und gesättigter Kochsalzlösung nach Debye-Sears. Dabei werden die Flüssigkeiten mit einer stehenden Ultraschall-Welle versetzt, wodurch darin aufgrund ortsfester Druckunterschiede auch Orte höheren bzw. niedrigeren Brechungsindex entstehen, was der Funktion eines Beugungsgitters ähnelt. Mittels dem so entstehenden Interferenzmuster (bezüglich rotem und blauem Laser) kann damit die Phasengeschwindigkeit von Schall berechnet werden. 2 Grundlagen 2.1 Schall Schall ist eine mechanische Longitudinalwelle, d.h. die Schwingung findet - im Gegensatz zur Transversalwelle - in Ausbreitungsrichtung statt. Die Ausbreitung selbst findet durch periodische Deformation (Kompression - Dilatation) in Medien statt. Bei diesem Vorgang auftretende Dichteschwankungen können dann wahrgenommen werden. Im 1-dimensionalen Fall genügt die die Auslenkung der Teilchen (im Medium) beschreibende Funktion der Wellengleichung, welche eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Variablen darstellt 2 ψ(x, t) t 2 = c 2 2 ψ(x, t) x 2. (1) Hierbei beschreibt x die Position der Teilchen, t die Zeit, zu welcher diese beobachtet werden und c = f λ die Phasengeschwindigkeit (Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle) für λ als Wellenlänge und f als Frequenz. Sei weiter ψ 0 die Amplitude, ω = 2π f die Winkelgeschwindigkeit und k = 2π/λ die Wellenzahl. Die Wellengleichung (1) wird von gelöst, was wir durch Einsetzen verifizieren wollen. Mit erhalten wir ψ(x, t) = ψ 0 cos(ωt kx) (2) 2 xψ(x, t) = k 2 ψ 0 cos(ωt kx) und 2 t ψ(x, t) = ω 2 ψ 0 cos(ωt kx) ω 2 ψ 0 cos(ωt kx) = c 2 k2 ψ 0 cos(ωt kx) ω 2 = c 2 k2 und damit als positive Lösung für die Phasengeschwindigkeit Also löst (2) die Differentialgleichung (1) für die Wahl in (3). c = ω k. (3) Schallfeldgrößen Zur Beschreibung eines Schallfeldes werden in der Physik insbesondere folgende sog. Schallfeldgrößen verwendet: Die Schallschnelle, definiert als erste partielle Ableitung nach der Zeit t, ṽ := t ψ = ψ 0 ω sin(ωt kx) (4) ist Maß für diejenige Geschwindigkeit, für die die Teilchen des Medium um ihre Ruhelage schwingen. Seite 3 von 20

4 2 GRUNDLAGEN S12 Ultraschallwellen Der Schallwechseldruck p W := ˆp cos(ωt kx) (5) mit ˆp := ρc ψ 0 ω für die Mediums-Dichte ρ beschreibt den periodisch wechselnden Druck im Medium, woraus die obig angesprochenen, periodisch wechselnden Dichteunterschiede herrühren. Sei weiter p N der konstante Umgebungsdruck, so erhält man den von einer Schallwelle erzeugten, sich im Medium periodisch ändernden Druck p(x, t) = p N ˆp sin(ωt kx). (6) Hierbei erkennt man, dass der Druckverlauf bezüglich der Auslenkung um π/2 asenverschoben sind, wobei Druck und Schnelle um π 2 asenverschoben sind. 2.2 Schall in Flüssigkeiten Da in Flüssigkeiten das Schubmodul verschwindet, sind dort ausschließlich Longitudinalwellen möglich. In Festkörpern hingegen können ebenfalls Transversalwellen auftreten. Für den Brechungsindex n, also das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Medium c M zu der im Vakuum c, gilt dann näherungsweise n p W, (7) falls die Amplituden des Schallwechseldruckes klein sind. Als wichtige Folgerung ergibt sich also, dass sich der Brechungsindex entsprechend der Druck- und Dichteschwankungen im Medium periodisch ändert. Bei stehenden Wellen, also einer Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleicher Frequenz (und hier gleicher Amplitude ψ 0 ), bei welcher äquidistante, ortsfeste Punkte der Amplitude Null (sog. Schnelleknoten) entstehen, verdoppelt sich die Amplitude auf 2ψ 0, was nach voriger Folgerung zu einer ebenfalls größeren Schwankung der lokalen Brechungsindices führt. 2.3 Beugung am Phasengitter nach Debye-Sears Eine in einer Flüssigkeit schwingende stehende Welle erzeugt durch obig beschriebene Schwankung der lokalen Brechungsindices eine Struktur, welche einem Interferenzgitter ähnelt. Aufgrund der Brechung des einfallenden Lichtstrahls (wie in Abb. 1) an Orten höheren Brechungsindex entstehen dann Gangunterschiede benachbarter Strahlenbündel und die stehende Welle wirkt als sog. Phasengitter und es entstehen Beugungsmaxima und -minima auf dem Schirm. Die Gitterkonstante d des so»erzeugten«interferenzgitters ist somit gleich der Wellenlänge des Schalls d = λ Schall und kann mittels der in Abschnitt 3 hergeleiteten Beschreibung für Beugungsmaxima N-ter Ordnung d sin(ϕ N ) = N λ Licht (8) bestimmt werden. Hierbei ist ϕ N der Winkel zwischen dem Maximum 0-ter und dem N-ter Ordnung, sowie λ Licht die Wellenlänge des in das Interferenzgitter einfallenden Lichts. Mit c = λ Schall f lässt sich dann mittels Kleinwinkelnäherung, d N wie in Abb. 1 und dem Abstand von Interferenzgitter zum Schirm a die Darstellung für die Gitterkonstante d herleiten. 2N a λ Licht d N (9) Seite 4 von 20

5 4 MESSPRINZIP UND VERSUCHSABLAUF S12 Ultraschallwellen 3 Fragen Für die vor dem Versuch abgegebenen Fragen siehe handschriftliche Bearbeitung im Anhang. 4 Messprinzip und Versuchsablauf Die mit destilliertem Wasser gefüllte Küvette wird unter möglichst großem Abstand a zum Schirm - in diesem Fall ein an der Wand angebrachtes Blatt Millimeterpapier - auf dem Versuchstisch aufgebaut, um später ein möglichst großes Bild zu erhalten. Weiter wird der rote Laser (inkl. Sammellinse) mit Wellenlänge λ rot = 650 nm und die Zerstreuungslinse in die Halterung an der Küvette eingesetzt, erst danach eingeschaltet und so justiert, dass auf dem Schirm ein möglichst scharfer Lichtpunkt entsteht. Nun taucht man die Ultraschallsonde so Abbildung 1: Beugung am Phasengitter nach Debye-Sears. Schematischer Versuchsaufbau mit Lasermodul, stehender Welle (1), Reflektor [Küvetten-Boden] (2), Flüssigkeit [Wasser] (3), Ultraschallsonde (4), Schirm (5), dem Abstand von Küvetten-Mitte zum Schirm a und exemplarischem Abstand bezüglich Interferenzmaxima 1-ter Ordnung d 1. in das destillierte Wasser, dass keinerlei Luftblasen an dessen Unterseite zu erkennen sind, da diese die erzeugten Schallwellen lokal»abbremsen«und somit u.u. die Messergebnisse verfälschen. Nun wird die Ultraschallsonde aktiviert und die dabei entstehenden Interferenzmuster am Schirm für die Frequenzen 1 MHz, 2 MHz,..., 12 MHz vermessen, d.h. der Abstand d N zwischen dem größten sichtbaren +N-tem und N-tem Interferenzmaximum wie in Abb. 1 bestimmt. Das am Schirm entstehende Interferenzmuster wird hierbei für jede Messung dergestalt verbessert, dass die Stellschrauben am Ultraschallsender solange eingestellt werden, bis ein möglichst»deutliches«muster entsteht. Notiert wird also neben dem während der ganzen Messreihe konstanten Abstand a der Maxima-Abstand d N und die Ordnung N selbst. Dieser Vorgang wird für einen grünen Laser der Wellenlänge λ grün = 532 nm wiederholt. Dann wird die Küvette mit dem destillierten Wasser durch die mit der gesättigten Kochsalzlösung (NaCl) ausgetauscht und beide Messungen (roter und grüner Laser) ebenfalls wiederholt. 4.1 Verwendete Geräte Glasbehälter (Küvette) mit destilliertem Wasser Seite 5 von 20

6 5 BENÖTIGTE FORMELN S12 Ultraschallwellen Glasbehälter (Küvette) mit gesättigter Kochsalzlösung Zerstreuungslinse ( 18 mm Brennweite) und Sammellinse (+75 mm Brennweite) Ultraschallsonde mit zugehörigem Frequenzgenerator Zwei Laser-Module (λ grün = 532 nm bzw. λ rot = 650 nm) Millimeterpapier als Schirm Maßband 5 Benötigte Formeln 5.1 Schallwellenlänge und Schallgeschwindigkeit Für das Phasengitter nach Debye-Sears gilt für die Gitterkonstante d d = λ Schall, (10) wobei λ Schall die Wellenlänge des Schalls ist. Für den Abstand d N der Interferenzmaxima N-ter Ordnung und dem Winkel ϕ N zwischen diesen und dem Maximum 0-ter Ordnung (auf der optischen Achse) gilt für λ Licht als Wellenlänge des einfallenden (Laser-)Lichts die Beziehung d sin(ϕ N ) = N λ Licht. (11) Weiter folgt mit (10) und der Näherung für d nach Konstruktion in Abschnitt 3 λ Schall = d = 2N a λ Licht d N (12) mit Erregerfrequenz f der Ultraschallsonde und dem Abstand a zwischen Schirm und Küvetten- Mitte. Mit und (10) erhält man damit Weiter wird noch die Definition der Wellenzahl k als benötigt. c = λ Schall f (13) c = 2N a λ Licht d n f. (14) k = 5.2 Berechnung des Kompressionsmoduls 2π λ Schall (15) Wie schnell sich eine Welle in einer Flüssigkeit fortbewegen kann, hängt damit zusammen wie leicht sich die Flüssigkeit komprimieren lässt. Ein Maß dafür ist der Kompressionsmodul K einer Flüssigkeit. Damit gilt für die Phasengeschwindigkeit c einer Welle, die sich durch eine Flüssigkeit mit Kompressionsmodul K und der Dichte ρ fortpflanzt K c = ρ. Damit ergibt sich durch Quadrieren K = c 2 ρ. (16) Seite 6 von 20

7 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen 6 Messwerte 6.1 Medium: Destilliertes Wasser Für destilliertes Wasser ergaben sich für einen Abstand von a = 165 cm folgende Messwerte: roter Laser grüner Laser f [MHz] Ordnung N d N [mm] Ordnung N d N [mm] 3 2 8,5 4 14, ,5 3 14, ,5 4 24, ,0 4 28, ,0 4 33, ,0 3 27, ,5 2 21, ,5 2 23, ,0 2 26, ,0 1 14,5 6.2 Medium: Gesättigte Kochsalzlösung Für mit NaCl gesättigtes Wasser ergaben sich für einen Abstand von a = 165 cm folgende Messwerte: 7 Auswertung roter Laser grüner Laser f [MHz] Ordnung N d N [mm] Ordnung N d N [mm] 3 1 4,5 2 7, ,0 2 9, ,0 2 11, ,0 2 13, ,5 2 16, ,0 2 17, ,0 2 20, ,0 2 22, ,0 1 12, ,5 1 13,0 7.1 Berechnung der Schallwellenlänge und Schallgeschwindigkeit Mit den Messwerten aus Kapitel 6.2 lässt sich nun unter Verwendung von (12) die Schallwellenlänge bestimmen. Exemplarisch führen wir diese Rechnung für destilliertes Wasser, das Lasermodul mit λ rot = 650 nm und dem ersten Messwert durch, d.h. f = 3 MHz, Ordnung N = 2 und Maxima-Abstand d N = d 2 = 8, 5 mm: λ Schall = 2N a λ Licht d N = cm 650 nm 8, 5 mm = 4 1, m 2 8, m 504, 7 µm. Weiter erhält man nach (14) die Schallgeschwindigkeit c = λ Schall f = 2N a λ Licht d N f = = cm 650 nm 8, 5 mm 3 MHz 4 1, , m2 ms 1514, 1 m s, Seite 7 von 20

8 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen sowie nach (15) die Wellenzahl k = 2π λ Schall = 2π 504, m m und damit in tabellarischer Form für destilliertes Wasser roter Laser grüner Laser f [MHz] λ Schall [ µm] k [1/m] c [m/s] λ Schall [ µm] k [1/m] c [m/s] 3 504, ,1 501, , , ,8 376, , , ,5 292, , , ,4 250, , , ,5 212, , , ,0 191, , , ,1 167, , , ,0 149, , , ,1 135, , , ,4 121, ,9 und für gesättigte Kochsalzlösung: roter Laser grüner Laser f [MHz] λ Schall [ µm] k [1/m] c [m/s] λ Schall [ µm] k [1/m] c [m/s] 3 476, ,0 501, , , ,0 390, , , ,1 319, , , ,7 260, , , ,0 219, , , ,0 206, , , ,0 175, , , ,1 156, , , ,7 146, , , ,0 135, ,6 Seite 8 von 20

9 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen 7.2 Grafische Auswertung Die folgenden Diagrammen stellen die Daten noch einmal grafisch dar. In Abbildung 2 bzw. Abbildung 3 ist die Wellenlänge der Schallwelle über der Frequenz aufgetragen, wobei die Werte aus der Messung in Wasser mit dem roten bzw. grünen Laser stammen. In Abbildung 4 bzw. Abbildung 5 sind dieselben Größen aus der Messung in der Kochsalzlösung mit rotem bzw. blauem Laser dargestellt. Abbildung 2: Wellenlänge der Schallwelle in destilliertem Wasser - Messung mit rotem Laser Abbildung 3: Wellenlänge der Schallwelle in destilliertem Wasser - Messung mit grünem Laser Seite 9 von 20

10 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen Abbildung 4: Wellenlänge der Schallwelle in Kochsalzlösung - Messung mit rotem Laser Abbildung 5: Wellenlänge der Schallwelle in Kochsalzlösung - Messung mit grünem Laser In allen vier Diagrammen sieht man deutlich, dass je größer die Frequenz des Erregers wird, desto kleiner wird die Schallwellenlänge. Der Funktionsverlauf legt eine Antiproportionalität zwischen der Wellenlänge und der Frequenz nahe, d. h. es gibt eine Konstante α mit λ Schall = α f. Diese Konstante lässt sich aus den folgenden Diagrammen berechnen, in denen die Schallgeschwindigkeit über der Frequenz aufgetragen ist. In Abbildung 6 bzw. Abbildung 7 bezüglich der Messung in destilliertem Wasser und in Abbildung 8 bzw. Abbildung 9 bezüglich der Messung in der Kochsalzlösung. Seite 10 von 20

11 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen Abbildung 6: Schallgeschwindigkeit in destilliertem Wasser - Messung mit rotem Laser Abbildung 7: Schallgeschwindigkeit in destilliertem Wasser - Messung mit grünem Laser Abbildung 8: Schallgeschwindigkeit in Kochsalzlösung - Messung mit rotem Laser Seite 11 von 20

12 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen Abbildung 9: Schallgeschwindigkeit in Kochsalzlösung - Messung mit grünem Laser In allen Diagrammen beobachtet man, dass die Messwerte um einen konstanten Wert verteilt sind, der bei gleicher Flüssigkeit ungefähr konstant ist. Also spielt insbesondere die Wellenlänge des Laser keine oder nur eine geringe Rolle. Der konstante Wert der Schallgeschwindigkeit ergibt sich durch Bildung des arithmetischen Mittels. Man erhält c dest.,rot 1489 m s, c dest.,grün 1494 m s, c NaCl,rot 1517 m s, c NaCl,grün 1578 m s bzw. die Mittel über alle 20 Werte c dest m s, cnacl 1548 m s. Eine Abhängigkeit von der Lichtwellenfrequenz (Dispersion) ist bei den im nächsten Kapitel ermittelten Messfehlern bestenfalls zu erahnen und bietet keine Grundlage zu einem quantitativen Vergleich. Von einer detaillierteren Betrachtung sehen wir deshalb ab. Es ergibt sich also, dass die Schallgeschwindigkeit nicht von der Frequenz des Erregers abhängt, sondern nur von der Flüssigkeit selbst. Nach Formel 13 gilt also innerhalb einer Flüssigkeit λ Schall = c f mit konstanter Schallgeschwindigkeit c und die Antiproportionalität bestätigt sich (α = c Ph ). 7.3 Berechnung des Kompressionsmodul Aus den obigen Werten für die Schallgeschwindigkeit lässt sich nun mit Formel 16 aus Abschnitt 5 der Kompressionsmodul der Flüssigkeit berechnen. Für die Dichte des Wassers ρ wird der Wert 998,2 kg angenommen [5]. Also ergibt sich für die erste Messung in Wasser m 3 mit dem roten Laser K = c 2 ρ = (1514, 1m s )2 998, 2 kg m 3 = 2, Pa Genauso berechnet man für alle Werte in Wasser: Seite 12 von 20

13 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen roter Laser grüner Laser f [MHz] K [GPa] K [GPa] 3 2,288 2, ,159 2, ,235 2, ,289 2, ,250 2, ,222 2, ,042 2, ,184 2, ,172 2, ,289 2,107 Durch Mittelwertbildung ergibt sich also ein Kompressionsmodul für Wasser von K H2 O = 2, 220 GPa. Genauso berechnen sich für die Kochsalzlösung mit einer Dichte von ρ = 1188, 7 kg m 3 folgenden Werte für den Kompressionsmodul: die roter Laser grüner Laser f [MHz] K [GPa] K [GPa] 3 2,431 2, ,893 2, ,790 3, ,076 2, ,431 2, ,893 3, ,621 2, ,790 2, ,585 3, ,893 3,122 Also ergibt sich hier durch Mittelwertbildung ein Kompressionsmodul der gesättigten Kochsalzlösung von K NaCl = 2, 851 GPa. Für destilliertes Wasser findet man in der Literatur einen Wert von K = 2, 08 GPa [4] bei einer Temperatur von 10 C, also einen etwas niedrigeren Wert als hier berechnet wurde. Die Abweichung ist nicht allzu groß und kann durch die Auswirkung der unten genannten Fehlerquellen bzw. der zum Versuchszeitpunkt vorherrschenden Raumtemperatur von 24 C erklärt werden. Für die Kochsalzlösung findet man keine Literaturwerte. Allerdings besitzt die NaCl-Lösung ein experimentell höheres Kompressionsmodul als destilliertes Wasser. Weiter ergeben sich folgende grafische Aufbereitungen: Seite 13 von 20

14 7 AUSWERTUNG S12 Ultraschallwellen Abbildung 10: Kompressionsmodul in destilliertem Wasser - Messung mit rotem Laser Abbildung 11: Kompressionsmodul in destilliertem Wasser - Messung mit grünem Laser Abbildung 12: Kompressionsmodul in gesättigter NaCl-Lösung - Messung mit rotem Laser Seite 14 von 20

15 8 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG S12 Ultraschallwellen Abbildung 13: Kompressionsmodul in gesättigter NaCl-Lösung - Messung mit grünem Laser 8 Fehlerdiskussion und Fehlerrechnung 8.1 Qualitative Fehlerdiskussion Mögliche Fehlerquellen sind: 1. Ablesefehler: Der Abstand von Küvetten-Mitte bis zum Schirm wurde mit einem Maßband bestimmt, wobei offenbar Ablesefehler entstehen können. Ebenso die Markierung der Interferenzmuster auf Millimeterpapier gestaltet sich schwierig, da die Maxima eine vertikale Ausdehnung besitzen, weshalb der Messpunkt jeweils per Augenmaß am Ort der größten Intensität gesetzt wurde. Abweichungen hierbei und beim darauffolgenden Auswerten (Ausmessen) der Maxima-Abstände sind fehlerbehaftet und werden deshalb im nächsten Kapitel der Quantitativen Fehlerrechnung berücksichtigt. Ein größerer Abstand a (u.u. in Verbindung mit einem leistungsstärkeren Lasermodul) würde Fehler dieser Art minimieren. Dies war jedoch aufgrund der räumlichen Gegebenheiten im Versuchsraum nicht möglich. 2. Reinheit und Streuung: Insbesondere bei der Küvette mit gesättigter Kochsalzlösung traten Streuungseffekte am Glas auf, welche die Präzision des Lichtstrahls behinderten. Auch die Reinheit der Küvette selbst bzw. die Verschmutzung dieser, der verwendeten Linsen und der Front-Linse des Lasermoduls selbst verhinderten eine ideale Fokussierung des Lichtbündels. Auch Strömungseffekte innerhalb der Flüssigkeit und damit verbundene Dichte- und Brechindex-Inhomogenitäten»außerhalb«der stehenden Welle wirken sich negativ auf die Messgenauigkeit aus. 8.2 Quantitative Fehlerrechnung Fehlerberechnung der Schallwellenlänge Die Schallwellenlänge wurde mit Formel 12 aus Abschnitt 5 berechnet. In dieser Formel sind die Abstände a und d N fehlerbehaftet. Die Wellenlänge des Lasers ist eine Herstellerangabe und wird deshalb als nicht fehlerbehaftet betrachtet, da sich kleine Abweichung hier nicht Seite 15 von 20

16 8 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG S12 Ultraschallwellen stark auswirken. Also ergibt sich folgender Fehler für die Schallwellenlänge λ Schall = 2N a λ Licht a d a + 2N a λ Licht N d N d d N N = 2N λ Licht d a + 2N a λ Licht N d 2 d N. N Daraus berechnet sich nach Formel 14 die Schallgeschwindigkeit. Da die Frequenz des Generators als fehlerlos angenommen wird, erhält man als Fehler für die Schallgeschwindigkeit c = f λ Schall. Für die erste Messung in Wasser mit dem roten Laser ergibt sich beispielhaft, unter der Annahme der Fehler a = 1 cm und d N = 1 mm, ein Fehler der Schallwellenlänge von λ Schall = nm 8, 5 mm 1 cm cm 650 nm 8, 5 2 mm 2 1 mm = 62, 4 µm und ein Fehler der Schallgeschwindigkeit von c Ph = 3 MHz 62, 4 µm = 187, 2 m s. Analog berechnet man für die anderen Messungen in Wasser: roter Laser grüner Laser f [MHz] λ Schall [ µm] c [ m s ] λ Schall [ µm] c [ m s ] 3 62,4 187,2 38,9 116,7 4 23,2 92,8 29,2 116,8 5 15,7 78,5 14,0 70,0 6 16,4 98,4 10,5 63,0 7 8,5 59,5 7,7 53,9 8 9,2 73,6 8,1 64,8 9 24,5 220,5 9,0 81, ,0 110,0 7,3 73,0 11 9,2 101,2 6,0 66,0 12 8,2 98,4 9,1 109,2 Für die Messungen in der gesättigten Salzwasserlösung berechnet man analog: roter Laser grüner Laser f [MHz] λ Schall [ µm] c [ m s ] λ Schall [ µm] c [ m s ] 3 108,9 326,7 74,7 224,1 4 37,8 151,2 45,7 182,8 5 23,7 118,5 31,0 155,0 6 35,1 210,6 20,8 124,8 7 20,7 145,9 15,0 105,0 8 18,9 151,2 13,4 107,2 9 13,7 123,3 9,8 88, ,9 119,0 7,9 79,0 11 9,2 101,2 13,1 144,1 12 8,7 104,4 11,2 134, Bestimmung der gemittelten Fehler Durch das Bilden der arithmetischen Mittel der absoluten Abweichungen aus Kapitel erhält man Seite 16 von 20

17 8 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG S12 Ultraschallwellen c dest.,rot 112, 0 m s, c dest.,grün 81, 4 m s, c NaCl,rot 155, 2 m s, c NaCl,grün 134, 5 m s, sowie daraus resultierend c dest. 96, 7 m s, c NaCl 144, 8 m s. Für die Abweichungen zu den Literaturwerten von c dest. = 1484 m s c dest. = 1770 m s [6] ergeben sich relativen Abweichungen von [7] bzw. in Kochsalzlösung δc dest.,lit δc NaCl,lit = 1491 m s 1484 m s 1484 m s = 1548 m s 1770 m s 1770 m s 0, 4%, 12, 5% Fehler des Kompressionsmodul Der Kompressionsmodul wird mithilfe von Formel 16 aus Abschnitt 5 berechnet. Hierbei ist lediglich die Schallgeschwindigkeit ein Messwerte und damit fehlerbehaftet. Also ergibt sich für den Fehler des Kompressionsmodul K = c 2 Ph c ρ c Ph = 2 c ρ c Ph. Ph Für die erste Messung in Wasser ergibt sich damit K = , 1 m s 998, 2 kg m 3 187, 2 m s = 0, Pa. Mit den obigen Fehlern c Ph erhält man analog dann folgende Fehler für die verschiedenen Messungen: H 2 O roter Laser grüner Laser f [MHz] K [GPa] K [GPa] 3 0,566 0, ,273 0, ,235 0, ,297 0, ,178 0, ,219 0, ,630 0, ,328 0, ,298 0, ,297 0,317 Also ergibt sich ein mittlerer Fehler für die Messung in Wasser mit dem roten bzw. grünen Laser K rot = 0, 332 GPa und K gr = 0, 243 GPa. Seite 17 von 20

18 8 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG S12 Ultraschallwellen NaCl roter Laser grüner Laser f [MHz] K [GPa] K [GPa] 3 0,933 0, ,471 0, ,362 0, ,676 0, ,417 0, ,471 0, ,366 0, ,364 0, ,298 0, ,325 0,435 Also erhält man für die Kochsalzlösung bei der Messung mit dem roten bzw. grünen Laser einen mittleren Fehler K rot = 0, 468 GPa und K gr = 0, 422 GPa. Seite 18 von 20

19 9 ZUSAMMENFASSUNG S12 Ultraschallwellen 9 Zusammenfassung Zusammenfassend erhalten wir für die Schallgeschwindigkeiten unter den verschiedenen Versuchsbedingungen c dest.,rot = (1489 ± 112) m s, c dest.,grün = (1494 ± 81) m s, c NaCl,rot = (1517 ± 155) m s, c NaCl,grün = (1578 ± 134) m s, bzw. die Mittel über alle 20 Werte c dest. = (1491 ± 97) m s, cnacl = (1548 ± 145) m s mit den relativen Fehlern δc dest. = 6, 5 %, δc NaCl = 9, 4 %. Eine Abhängigkeit von der Lichtwellenfrequenz (Dispersion) ist bei diesen Messwerten quantitativ nicht erkennbar, qualitativ sind die jeweiligen gemittelten Werte bezüglich des grünen Lasers geringfügig größer, als die bezüglich des roten Lasers. Weiter erhalten wir eine Abweichung von den Literaturwerten von δc dest.,lit 0, 4% δc NaCl,lit 12, 5% (nur bedingt aussagekräftig). Für die berechneten Kompressionsmodule ergeben sich K dest. = (2, 22 ± 0, 05) GPa δk dest. 2, 4%, K NaCl = (2, 85 ± 0, 17) GPa δk NaCl 5, 8%, sowie eine relative Abweichung zum Literaturwert des Kompressionsmoduls von destilliertem Wasser von δkdest. lit 6, 7%. Wie anhand der Fehlerrechnung zu erkennen ist, sind die im Versuch durchgeführten Abstandsbestimmungen die Hauptfehlerquellen, also der Abstand von Küvette zu Schirm, viel mehr jedoch der Abstand der Interferenzmaxima. Minimieren ließen sich diese Fehler durch einen größeren Abstand von Küvette zu Schirm, um die Projektionsgröße deutlich zu erhöhen. Seite 19 von 20

20 10 Literatur S12 Ultraschallwellen 10 Literatur [1] Versuchsanleitung vom www3.ysik.uni-stuttgart.de/studium/praktika/ap/pdf_dateien/s12.pdf [2] Uni Stuttgart vom vom jpg [3] Otten, Ernst W.: Repetitorium Experimentalysik III. Auflage. Springer, Berlin ISBN [4] wikipedia.org - Kompressionsmodul vom [5] internetchemie.info - Wasser - Dichtetabelle vom Wasser-Dichtetabelle [6] karldeutsch.de - Echometer vom [7] wikipedia.org - Schallgeschwindigkeit vom Seite 20 von 20