1 Gute und andere Aufgaben im Mathematikunterricht 1

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1 1 Gute und andere Aufgaben im Mathematikunterricht 1 Prof. Dr. Gerd Walther IPN, Universität Kiel SINUS Transfer Grundschule dient der weiteren Qualitätsentwicklung von Mathematikunterricht im Rahmen geltender (oder in Entwicklung befindlicher) Grundschullehrpläne. SINUS Transfer Grundschule setzt an den Kompetenzen der Grundschullehrkräfte an und versucht, diese genetisch-evolutionär weiter zu entwickeln. Der Ansatz ist evolutionär insofern, als bei der Qualitätsentwicklung radikale Brüche vermieden werden (Gegenbeispiel: Neue Mathematik in den 70ern), und Bewährtes integriert wird (Beispiel: Auch im Aufgabenkonzept von SINUS spielt die Übungspraxis, d. h. das Festigen von Wissen und Fertigkeiten eine wichtige Rolle). Der Ansatz ist genetisch in dem Sinne, dass Lehrkräfte von Problemsituationen und Herausforderungen des Unterrichts ausgehend, unter Einsatz der vorhandenen Kompetenzen, aktiv-entdeckend in Zusammenarbeit mit anderen Lösungswege für ihre Praxis entwickeln. 1.1 Die Herausforderung: Prozessbezogene Aktivitäten und Kompetenzen Mit welchen Herausforderungen sehen sich Lehrkräfte derzeit im Mathematikunterricht der Grundschule konfrontiert? Um nur einige zu nennen: die bessere Integration von Kindern mit Migrationshintergrund, effektivere Differenzierungsmaßnahmen mit einer wirksameren Förderung von leistungsschwachen und einer angemessenen Forderung von leistungsstarken Kindern. Gewissermaßen als Mega-Herausforderung steht im Raum: Lehrpläne und die Bildungsstandards für die Grundschule und den Mittleren Bildungsabschluss fordern, auch als Reaktion auf IGLU, PISA etc. 1 Dieser Betrag wurde von Prof. Dr. Walter (Institut der Pädagogik der Naturwissenschaften (IPN) der Universität Kiel erarbeitet. Prof. Walter hat diese Gedanken in der Beschreibung des Moduls 1 Gute Aufgaben in einer längeren Fassung (vgl. )und auf der Eröffnungstagung des Programms in Sachsen-Anhalt im November 2004 dargestellt. Diese verkürzte Fassung ich hier wiedergegeben. 1

2 die Überwindung einer hauptsächlich auf die Ausbildung von mathematischen Routineverfahren gerichteten Unterrichtspraxis, und stattdessen die wechselseitig auf einander bezogene Entwicklung und Festigung von prozessbezogenen Aktivitäten/Kompetenzen 2 in Verbindung mit inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen an mathematisch substantiellen Inhalten. Probleme mathematisch lösen mathematisch argumentieren mathematisch modellieren kommunizieren Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen mathematische Darstellungen verwenden Abb. 1: Inhaltliche und allgemeine/prozessbezogene Tätigkeiten bzw. Kompetenzen (vgl. /3/) Kurzfassung: Prozessbezogene Kompetenzen und Aktivitäten In den Bildungsstandards sind (s. o.) sechs prozessbezogene Kompetenzfelder aufgeführt. Um gerade beim Einstieg in die Thematik der prozessbezogenen Kompetenzen die Übersicht etwas zu erleichtern, kann man diese sechs Felder zu den folgenden drei, auf H. Winter (vgl. /16/) zurückgehenden Gruppen zusammenfassen. Mathematisieren: Hier geht es um die inner- und außermathematische Modellierung von Situationen und die Anwendung von Wissen unter Verwendung mathematischer Darstellungen, kurz: der mathematischen Sprache mit ihren symbolischen, formalen und technischen Elementen (bedeutungsvolles Lernen) 2 Vgl. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz. Bildungsstandards im Fach Mathematik (Jahrgangsstufe 4). Entwurf (Stand: ); im vorliegenden Text kurz Bildungsstandards genannt Die Bildungsstandards sprechen hier von allgemeinen mathematischen Kompetenzen. 2

3 Kreativität/Schöpferisch tätig sein, Probleme mathematisch lösen (entdeckendes Lernen, Selbstständigkeit, Wissensentwicklung statt nur Rezeption) Argumentieren, formulieren, begründen und kommunizieren von Wissen; (einsichtiges, verstehendes Lernen) Warum prozessbezogene Kompetenzen/Aktivitäten? Warum reicht es im Mathematikunterricht der Grundschule nicht aus, hauptsächlich inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, Fertigkeiten, basics, etwa zu den vier Grundrechenarten, zum Runden, zum überschlagenden Rechnen, zu Textaufgaben, zu geometrischen Grundbegriffen und Verfahren, zu entwickeln? Die Entwicklung von prozessbezogenen Kompetenzen/Aktivitäten ist innerhalb von Mathematik für bedeutungsvolles, selbsttätiges, verstehendes Lernen und Weiterlernen der Schüler und für den Aufbau eines angemessenen Bildes von Mathematik bedeutsam. Zudem vermögen sie über die Mathematik in der Schule hinaus die Anwendung von Mathematik im Alltag und die fachübergreifenden Einsatz dieser Kompetenzen in anderen Lernfeldern zu unterstützen. Aktivität 3. Überlegen Sie bitte gemeinsam mit Ihren Kollegen 4 die Aussagen im letzten Absatz. SINUS Grundschule bietet insbesondere mit den beiden Basismodulen Modul 1: Gute und andere Aufgaben Modul 2: Erforschen, entdecken, erklären Unterstützung bei der Bewältigung der oben genannten Herausforderung: Entwicklung und Festigung von prozessbezogenen Aktivitäten/Kompetenzen in Verbindung mit inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen an mathematisch substantiellen Inhalten Zielsetzung von Modul 1: Gute und andere Aufgaben Lehrkräfte sollen durch die Arbeit, die aktive Auseinandersetzung mit Modul 1 zu einem auf die Entwicklung und Festigung von prozessbezogenen Aktivitäten/Kompetenzen gerichteten Umgang mit mathematisch-inhaltlich substantiellen AUFGABEN kommen Die in den Text eingestreuten Aktivitäten sollen Ihnen Anregungen zur intensiven Auseinandersetzung mit den vorgeschlagenen Themen geben. Bei Personenbezeichnungen werden aus Gründen der besseren Lesbarkeit im Text keine geschlechtsspezifischen Unterscheidungen vorgenommen: Kollegen, Lehrer, Schüler beinhalten sowohl männliche als auch weibliche Vertreter dieser Gruppen. Vgl. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz. Bildungsstandards im Fach Mathematik (Jahrgangsstufe 4). Entwurf (Stand: ); im vorliegenden Text kurz Bildungsstandards genannt Die Bildungsstandards sprechen hier von allgemeinen mathematischen Kompetenzen. 3

4 Dabei erweist es sich als vorteilhaft, wenn man diesem Ansatz eine Auffassung von Mathematik als Wissenschaft von den Mustern/Strukturen zugrunde legt. Mathematik Wissenschaft von Mustern/Strukturen Curriculum Ziel: Entwicklung und Festigung von Kompetenzen/Aktivitäten Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenz Aufgaben Abb. 2: Unser Arbeitsfeld im Überblick 1.2 Umsetzung im Unterricht - Handlungsleitende Kognitionen: Steuerung von Lehrerhandlungen Wie stark ist bei Lehrern auf Grund ihres Bildes von Mathematik die Notwendigkeit zur Entwicklung und Festigung prozessbezogener Aktivitäten und Kompetenzen bei Schülerinnen und Schülern verankert? Befunde aus der IGLU Studie (2003) weisen darauf hin, dass bei Grundschullehrern eine eher inhaltsbezogene Sicht von Mathematik dominiert: Mathematik ist demnach Behalten und Anwenden von Definitionen und Formeln, von mathematischen Fakten und Verfahren (stimmt: fast 50 %). Fast alle mathematischen Probleme können also durch direkte Anwendung von bekannten Regeln, Formeln und Verfahren gelöst werden (stimmt: fast 75%). Mathematik eher als geschlossenes System aufgefasst wird: Mathematik zu betreiben heißt demnach, allgemeine Gesetze und Verfahren auf spezielle Aufgaben anzuwenden (stimmt: fast 85 %). Fazit: Eine prozessbezogene Auffassung von Mathematik ist bei Grundschullehrkräften nicht selbstverständlich; vielmehr herrscht eine eher statische Auffassung von Mathematik vor, 4

5 bei der die Genese von Mathematik, entdeckende Aktivitäten, Mathematisieren allenfalls eine untergeordnete Rolle spielt. Konsequenz: Die Entwicklung/Festigung prozessbezogener Kompetenzen bei den Schülern muss für Lehrerinnen und Lehrer zu einer bewussten (neuen) Aufgabe im Unterricht werden. 1.3 Zwei Instrumente: Aufgabenanalyse und Aufgabenvariation Im Sinne unseres genetisch-evolutionären Konzepts von Qualitätsentwicklung setzt Modul 1 (vgl. S. 41) bei zentralen Tätigkeiten von Mathematiklehrkräften an. Dazu gehört sicherlich die zielgeleitete Auswahl von Aufgaben vor dem Unterricht (Planung) oder während des Unterrichts, z. B. aus einem Schulbuch, einer Aufgabensammlung ( Arbeitsbuch ), Arbeitsblättern etc. Beispiel: Eine Schulbuchseite 6, 4. Klasse (vgl. Abb. 4) Erste informelle Analyse der Schulbuchseite. Wir fragen zunächst: Um was geht es? Was soll mit den Aufgaben bei Schülern erreicht werden?die Schulbuchseite bezieht sich auf die Gebiete Arithmetik und Sachrechnen. Sie enthält bei den reinen Rechenaufgaben Päckchen zu den Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Division, überwiegend mit der Möglichkeit zur Lösungskontrolle. Bei den Sachrechenaufgaben wird mit der Währung Euro gerechnet. An Rechenoperationen werden in zum Teil mehrschrittig zu lösenden Aufgaben die Addition, Subtraktion und das Halbieren benutzt. Bei allen Aufgaben müssen sich die Schüler, bevor sie zu rechnen beginnen, zunächst selbstständig eine zu den Daten passende Fragestellung überlegen. Die letzte der Sachrechenaufgaben ist eine so genannte Kapitänsaufgabe (vgl. /2/), mit der die Kinder wohl vor der gedankenlosen Verarbeitung gegebener Zahlen gewarnt werden sollen. Wenn wir einmal die Sachrechenaufgaben ausklammern, so geht es bei den reinen Rechenaufgaben primär um die Festigung inhaltlicher Kompetenzen, z. B.: Zahlvorstellungen, Operationsvorstellungen, Zahlenrechnen, Ziffernrechnen, Überschlagendes Rechnen. Ansätze zur Festigung und Förderung prozessbezogener Tätigkeiten/Kompetenzen sind beim Überfliegen der Seite zunächst nicht zu erkennen; wir kommen aber auf diese Seite zurück. 6 Wenn im vorliegenden Text Aufgaben aus Schulbüchern genommen sind, so ist dies mit der Angabe der entsprechenden Klassenstufe vermerkt. Wir verzichten aber auf die Quellenangabe, damit punktuelle Kritik (oder Lob), z. B. an einer Aufgabe des Buchs nicht von Lesern dieses Textes vorschnell und pauschal auf das gesamte Schulbuch (Lehrwerk) übertragen wird. 5

6 Modul 1 schlägt für die bewusste Entwicklung und Festigung prozessbezogener Aktivitäten und Kompetenzen im Unterricht in Verbindung mit Aufgaben zwei Instrumente vor: Die Aufgabenanalyse Vor allem in der Planungsphase von Unterricht werden Aufgaben auf ihr Potenzial für die Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen/Aktivitäten bei Schülern untersucht. Die Aufgabenvariation Lehrer und Schüler variieren Aufgaben; dabei werden in der Regel prozessbezogene Aktivitäten gefördert Aufgabenanalyse, Erläuterung an Beispielen Die beiden zentralen Fragen zur Aufgabenanalyse lauten: Welche Aufgaben auf der Schulbuchseite sind zur Förderung prozessbezogener Aktivitäten/Kompetenzen geeignet? Welche prozessbezogenen Aktivitäten/Kompetenzen kommen mit den Aufgaben gefördert werden? Zur Verdeutlichung der Aufgabenanalyse erörtern wir zwei typische Aufgabensituationen. Beispiel 1 Abb. 3: Aufgabenbeispiele zur Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen Welche prozessbezogenen Tätigkeiten können durch die Aufgabe bei den Kindern angeregt werden? 6

7 Abb. 4: Beispiel einer Seite aus einem Schulbuch für den Schuljahrgang 4 (vgl. Fußnote S. 5) 7

8 Das Besondere an diesem Beispiel ist, dass die Aufgabe explizite Aufforderungen zu prozessbezogenen Tätigkeiten enthalten. In diesem Fall ist es für die Lehrkraft ein Leichtes zu erkennen, dass die Aufgabe Ansätze zur Förderung prozessbezogener Aktivitäten/Kompetenzen enthält. Analyse zu Beispiel 1 Mathematisieren: In den Teilen a) bis c) müssen die Schüler in den gegebenen Aufgabenpäckchen mit mathematischen Mitteln eine Regelmäßigkeit, ein Muster in bzw. strukturelle Beziehungen zwischen den Aufgaben jedes Päckchens herausfinden 7. Bei a) kann die zweite Aufgabe als Tauschaufgabe der ersten, aber auch anders gedeutet werden (s. u.). Die dritte Aufgabe hängt mit der ersten bzw. der zweiten zusammen. Der erste Summand der dritten Aufgabe ist um 4 kleiner als der erste Summand der ersten Aufgabe; der zweite Summand der dritten Aufgabe ist um 4 größer als der zweite Summand der ersten Aufgabe usw. Bei den Päckchen c) und d) wächst der erste Summand von Aufgabe zu Aufgabe um 1 bzw. 10, der zweite Summand nimmt jeweils um die gleiche Zahl gegensinnig ab. In jedem Fall soll also eine innermathematische Situation, nämlich jeweils ein Päckchen mit drei Aufgaben mit mathematischen Mitteln geordnet werden. Kreativität: Wenn sich die Schüler mit den Teilen a) bis d) beschäftigen, werden sie zunächst Vermutungen über ein Muster, eine Regelmäßigkeit in den Aufgaben, oder Beziehungen zwischen den Aufgaben aufstellen. Auf der Grundlage der entdeckten Regelmäßigkeiten in den Aufgaben sollen die Schüler durch Verallgemeinerung selbstständig Aufgaben entwickeln, die zu dem jeweiligen Muster passen. Nun müssen die Schüler Lösungswege planen, welches der Muster den Ausgangspunkt für die Verallgemeinerungen abgeben soll. Der Spielraum für die weitere Arbeit der Schüler ist beträchtlich: Sie können in den einzelnen Aufgabenpäckchen, im Set der Päckchen oder in beiden verallgemeinern und weitere Aufgaben mit gleichem Ergebnis konstruieren. Zudem können die Schüler in den beiden ersten Päckchen für ihre weiteren Konstruktionen (zumindest punktuell) den Aspekt Aufgabe Tauschaufgabe berücksichtigen, oder als die dominierende Beziehung zwischen den Aufgaben das Gesetz von der Konstanz der Summe bei gegensinniger Veränderung der Summanden um den gleichen Betrag nutzen. Natürlich könnten die Schüler auch nach eigenen Regeln Aufgaben mit gleichem Ergebnis konstruieren. 7 Vgl. hierzu auch Modul 2 Schöne Päckchen. 8

9 Abb. 5: Beispiele für Verallgemeinerungen von Päckchen a); der Summenwert 51 wurde weggelassen Argumentationsfähigkeit: Im Teil e) des ersten Beispiels sollen die Schüler begründen, warum die Ergebnisse in einem Päckchen immer gleich sind. Solche Begründungen müssen sich selbstverständlich auf die Regeln stützen, die dem Muster der Aufgaben zugrunde liegen, sowie auf einschlägige arithmetische Regeln (z. B. Vertauschungsgesetz oder das Gesetz von der Konstanz der Summe bei gegensinniger Veränderung der Summanden um den gleichen Betrag). Aus Berichten von Lehrern ist bekannt, dass von manchen Schülern in einer Situation, in der die Ergebnisse in einem Päckchen vorgegeben gleich sind oder in den selbst konstruierten Aufgaben gleich sind, keine Begründungsnotwendigkeit gesehen wird: Die Ergebnisse sind doch gleich. Hier könnte man z. B. ein neues Päckchen nehmen, das noch nicht ausgerechnet wurde und dann die entsprechenden Schüler nach einer Begründung suchen lassen. Ansonsten werden sich die Argumente für die Gleichheit der Ergebnisse im Wesentlichen auf die oben herausgefundenen Regelmäßigkeiten stützen. Wir halten nochmals fest, dass dieses Aufgabenbeispiel im Text explizite Aufforderungen enthält, die in die Richtung von prozessbezogenen Kompetenzen gehen. Wie aber die Aufgabe letztlich im Unterricht bearbeitet wird, ob also die Anregungen in Richtung prozessbezogener Aktivitäten/Kompetenzen umgesetzt werden, ist durch die äußeren Aufgabenmerkmale, z. B. den Aufgabentext oder zugehörige Bilder selbstverständlich noch nicht bestimmt. Es dürfte aber auch deutlich geworden sein, dass selbst bei einer Aufgabe mit expliziten Hinweisen auf prozessbezogene Aktivitäten/Kompetenzen erst eine intensive Auseinandersetzung der Lehrkraft bzw. der Lehrkräfte mit der Aufgabe, danach auf der 9

10 Grundlage eigener Erfahrungen zu weiter gehenden Anregungen für prozessbezogener Aktivitäten führt, und damit eine gute Aufgabe zu einer besseren gemacht werden kann. Um diesen Punkt drastisch zu beleuchten stelle man sich folgendes Szenario vor: Ein Lehrer begnügt sich damit, dass die Schüler z. B. zwei weitere Aufgaben mit dem gleichen Ergebnis angeben; der Zusammenhang mit den anderen Aufgaben, der Aspekt des Musters, der Struktur in den Aufgaben, also das, worauf es bei dem von uns eingenommenen Standpunkt schließlich ankommt, wird jedoch nicht weiter thematisiert. Damit würde das in der Aufgabe steckende Potenzial zur Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen nicht genutzt werden. Manchmal wenden Lehrkräfte ein, dass die Schüler schon rein sprachlich nicht in der Lage wären, mathematische Sachverhalte zu formulieren, zu begründen, argumentativ zu vertreten. Um dieses Vorurteil zu relativieren, bringen wir aus der IGLU Studie einige Beispiele für qualitativ unterschiedliche Begründungen von Viertklässlern in einer Testsituation mit sehr knapp bemessener Bearbeitungszeit für die Testaufgaben. Die Testaufgabe entsprach ihrer Struktur nach dem Pärchen aus der zweiten und dritten Aufgabe in b): = = 88 Warum sind die Ergebnisse eines solchen Pärchens immer gleich? Schüler begründen 10

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12 Abb. 6: Begründungen von Schülern; der IGLU-Studie entnommen Aktivität: Analysieren Sie bitte gemeinsam mit Kollegen die Begründungen der Schüler. Sind die Begründungen korrekt bzw. was ist ggf. nicht korrekt? Sind die Begründungen vollständig bzw. was fehlt ggf.? Was könnten sich die Kinder bei in Ihren Augen - nicht korrekten Begründungen gedacht haben? Welche Rolle spielen ggf. implizite Annahmen der Schüler? Welchen Maßstab für eine akzeptable Begründung könnte man aufstellen? Versuchen Sie doch in Ihrer Klasse ähnliche Schülerdokumente z. B. zu Begründungen zu sammeln und diskutieren Sie mit Ihren Kollegen darüber. 12

13 Beispiel 2 Wir betrachten die beiden folgenden Ausschnitte aus der obigen Schulbuchseite. Ausschnitt 1 13

14 Ausschnitt 2 Abb. 7: Ausschnitt aus der dargestellten Schulbuchseite (vgl. Abb. 3) Beide Ausschnitte enthalten keine explizite Aufforderungen zu prozessbezogenen Tätigkeiten. Beim ersten Überfliegen der Schulbuchseite wie wir es oben getan haben werden einem diese beiden Aufgabenpäckchen vermutlich gar nicht auffallen. Es kommt nun sehr stark auf das Wissen und die Erfahrungen der Lehrkräfte im Zusammenhang mit prozessbezogenen Aktivitäten und Kompetenzen an, ob sie beim Durchsehen der obigen Schulbuchseite relativ schnell wittern, dass in diesen Aufgaben ein Potenzial zur Förderung prozessbezogener Aktivitäten/Kompetenzen steckt. Wer sich noch nie eingehender mit der Thematik Prozessbezogene Aktivitäten und Kompetenzen auseinandergesetzt hat, wird sich vermutlich schwer tun, hier einen geeigneten Ansatz zu finden. Es ist daher ratsam, in der Einstiegsphase zu MODUL 1 mit anderen Lehrkräften zusammenzuarbeiten, um in Momenten der Leere bzw. Hilflosigkeit im kollegialen Ideenaustausch dennoch von der Stelle zu kommen. Kurz: Welches Potential, welche Möglichkeiten zum Mathematisieren, zu Kreativität, zum Forschen und Entdecken, zum Argumentieren und Formulieren steckt bzw. stecken neben inhaltlichen Aktivitäten, dem Rechnen, in dieser Aufgabe? Entscheidend ist in dieser Phase wie oben angedeutet - die professionelle Kompetenz der Lehrkraft zu prozessbezogenen Aktivitäten. Dieser Punkt ist bereits wesentlich für die Auswahl gerade dieser viel versprechenden Aufgabe aus der Schulbuchseite. 14

15 Analyse zu Beispiel 2 in Stichworten Mathematisieren Überraschende Feststellung beim Rechnen(!): Bei der Addition der Ergebnisse ergibt sich stets 900 Welches Muster, welcher strukturelle Zusammenhang verbindet die einzelnen Teilaufgaben? Welche Gemeinsamkeiten/Unterschiede sind bei den Teilaufgaben festzustellen? (In jeder Teilaufgabe kommt 450 vor; bei jedem Aufgabenpärchen wird jeweils eine Zahl addiert und die gleiche Zahl subtrahiert) Argumentieren/Begründen/Formulieren Was erhält man bei Addition der Ergebnisse von z.b und ? Warum nicht 900? (An Vereinbarungen/Regeln halten, die Regel/das Muster formulieren) Woran liegt es, dass sich bei Addition der Ergebnisse in den gegebenen Päckchen stets 900 ergibt? Formal: = = 900, usw. Was ist das Gemeinsame/die Struktur? Abb. 8: Begründung mit dem Rechenstrich. Kreativität/Forschend-entdeckendes Lernen Über das Gegebene hinausgehen / Verallgemeinern: Denkt euch weitere Aufgabenpaare aus, bei denen die Summe der Ergebnisse auch 900 ist. Zunehmende Schematisierung / Ablösung von Einzelfällen: Warum ist das immer so? Variationen der Aufgabe: Denkt euch Aufgabenpaare aus, bei denen die Summe der Ergebnisse z. B. 560 (561) ist. Was passiert, wenn man die Ergebnisse subtrahiert (hierzu auch Ausschnitt 2)? 15

16 Und eine kühne Variation: Was passiert, wenn man die Ergebnisse multipliziert? Das Beispiel zeigt, dass die drei Felder prozessbezogener Kompetenzen bzw. Aktivitäten nur unter analytischer Perspektive zu trennen sind; ansonsten bestehen zwischen den Feldern enge Beziehungen: Mathematisieren Argumentieren, Formulieren Abb. 9: Beziehungen zwischen den prozessorientierten Kompetenzen Schöpferisch tätig sein, Entdecken, Erforschen Aufgabenvariation, Erläuterung an Beispielen Prozessbezogene Aktivitäten ergeben sich vielfach in Verbindung mit der Variation von Aufgaben angestoßen durch die Lehrkraft, spontan durch Schülerinnen und Schüler. Beispiel 1 Ausgangsaufgabe: In dem Quadrat mit Seitenlänge 7 sind die kleinen Quadrate auf den beiden Diagonalen grau gefärbt. Wie viele kleine weiße Quadrate enthält das Siebenerquadrat? Seitenlänge 7 Anzahl der weißen Felder: 36 16

17 Aktivität: Bearbeiten Sie die Aufgabe, und untersuchen Sie bitte, welches Potenzial, welche Möglichkeiten zum Mathematisieren, zu Kreativität, zum Forschen und Entdecken, zum Argumentieren und Formulieren in der Ausgangsaufgabe steckt bzw. stecken. Nun zur Aufgabenvariation! Man könnte die Fragestellung der Ausgangsaufgabe für Quadrate anderer Größe untersuchen. Bei den nahe liegenden Quadraten mit Seitenlänge 6 bzw. 8 werden die Schüler überrascht feststellen, dass das Muster der grauen Quadrate nun anders aussieht. Seitenlänge 6 Anzahl der weißen Felder: 24 Schüler könnten nun versuchen, die neue Situation zu bewältigen, oder nachsehen, welches Muster sich bei Quadraten mit Seitenlänge z. B. 5 bzw. 9 ergibt. Seitenlänge 5 Anzahl der weißen Felder: 16 Aus diesen Impulsen dürfte klar sein, wie die Idee Veränderung der Größe des Quadrats weiter ausgebaut werden könnte. 17

18 Nun zu einer anderen, nahe liegenden Variationsmöglichkeit. Statt uns für die Anzahl der weißen Quadrate zu interessieren, könnten wir auch die Anzahl der grauen Quadrate untersuchen. Bei der Ausgangsaufgabe sind die kleinen Quadrate auf den beiden Diagonalen grau gefärbt. Man könnte auch an andere Muster für die grauen Quadrate denken und der Frage nach der Anzahl der weißen bzw. grauen nachgehen. Wenn wir auf die Ausgangsaufgabe zurück blicken, dann war der Ansatzpunkt für Variationen die Identifizierung von Bestimmungsstücken (Parameter) der Aufgabe (es könnten ggf. auch weitere Bestimmungsstücke identifiziert werden):die Größe des Quadrats, die Frage nach der Anzahl von kleinen Quadraten eines bestimmten Typs (weiß, grau), das Muster der kleinen, grauen Quadrate. Aktivität: Bearbeiten Sie verschiedene Variationen der Ausgangsaufgabe, und untersuchen Sie bitte, welches Potential zum Mathematisieren, zu Kreativität, zum Forschen und Entdecken, zum Argumentieren und Formulieren durch die Variationen geschaffen wird. Beispiel 2 Ausgangsaufgabe: Wähle eine zweistellige Zahl, z. B. 24. Füge zwischen den Ziffern 2 und 4 eine Null ein; du erhältst 204. Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl! Als Ergebnis erhalten die Schüler 180. Nimm jetzt die Zahl 27 als Ausgangszahl und gehe wie eben vor. Überraschung: Die Differenz ist wieder

19 Welche Bestimmungsstücke /Parameter bestimmen die Aufgabe? Die Ausgangszahl Die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl Die Anzahl der eingefügten Nullen Die Differenz Variationen der Ausgangsaufgabe: Für welche Ausgangszahlen in der Ausgangsaufgabe ergibt sich die Differenz 180? Welche Differenzen treten überhaupt auf (Situation Ausgangsaufgabe)? Warum ist das so? Wir gehen von einer dreistelligen Ausgangszahl aus und fügen eine Null ein. Was passiert mit der Differenz, wenn man bei zweistelliger Ausgangszahl zwei Nullen einfügt? Auch hier ist zu erkennen, dass die Parameter der Aufgabe in der Regel nicht unabhängig von einander variiert werden können. Rückblick. Was sind nun Gute und andere Aufgaben? Die Klassifizierung von Aufgaben als gute oder andere hängt von der verfolgten Zielsetzung ab: Gute Aufgaben sind bei der in Modul 1 eingenommenen Betrachtungsweise solche, welche bei Schülern in Verbindung mit grundlegenden mathematischen Begriffen und Verfahren die Entwicklung und Festigung prozessbezogener Aktivitäten bzw. Kompetenzen unterstützen können. Andere Aufgaben sind aus der von uns hier eingenommenen Perspektive solche, mit denen andere Ziele verfolgt werden. Literatur /1/ Baum, M. und Wielpütz, H.: Mathematik in der Grundschule: ein Arbeitsbuch. Seelze: Kallmeyer, /2/ Baruk, S.: Wie alt ist der Kapitän? Basel: Birkhäuser Verlag, /3/ KMK. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz. Bildungsstandards im Fach Mathematik (Jahrgangsstufe 4). Entwurf (Stand: ). /4/ Krauthausen, G.: Allgemeine Lernziele im Mathematikunterricht der Grundschule. In: Die Grundschulzeitschrift 119/1998, S /5/ Müller, G. N. und Wittmann, E. Ch.: Handbuch produktiver Rechenübungen (2 Bände). Stuttgart: Klett Schulbuchverlag,

20 /6/ Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R., Ebeling, A.: Handbuch für den Mathematikunterricht 1. Schuljahr. Hannover: Schroedel, /7/ Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R., Ebeling, A.: Handbuch für den Mathematikunterricht 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel, /8/ Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R., Ebeling, A.: Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel, /9/ Schipper, W., Dröge, R., Ebeling, A.: Handbuch für den Mathematikunterricht 4. Schuljahr. Hannover: Schroedel, /10/ Ruwisch, S. und Peter, Koop, A.: Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Offenburg: Mildenberger Verlag, /11/ Schupp, H.: Thema mit Variationen oder Aufgabenvariation im Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker Verlag, /12/ Selter, Ch., Spiegel, H.: Wie Kinder rechnen. Leipzig: Klett Grundschulverlag, /13/ Steinweg, A. S.: Zur Entwicklung des Zahlenmusterverständnisses bei Kindern. LIT, Münster, /14/ Walther, G.: Zur Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht. In: Beiträge zum Mathematikunterricht. Franzbecker Verlag, Hildesheim 1985, S /15/ Walther, G.: Mathematik themenorientiert. In: Grundschule 7/8 (1998), S /16/ Winter, H.: Allgemeine Lernziele für den Mathematikunterricht? In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 7 (1975), S /17/ Winter, H.: Mathematik entdecken neue Ansätze für den Unterricht in der Grundschule. Scriptor, Frankfurt /18/ Wittmann, E. Ch.: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Braunschweig: Vieweg Verlag,