SINUS Grundschule. Gute Aufgaben und Bildungsstandards Rendsburg Prof. Dr. G. Walther, CAU Kiel Mathematisches Seminar

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1 SINUS Grundschule Gute Aufgaben und Bildungsstandards

2 GLIEDERUNG 1. Aufgaben als Ausgangspunkt 2. Ausgangslage für die Bildungsstandards Grundschule 3. Prozessbezogene Aktivitäten, Allgemeine Kompetenzen. Kompetenzentwicklung die SINUS Transfer Brücke 4. Rückblick

3 1. AUFGABEN als Ausgangspunkt Mathematik als Aufgabenfach: Der Mathematikunterricht wird wesentlich durch die Arbeit mit Aufgaben geprägt (Lernaufgaben, Leistungsaufgaben) Mit Aufgaben werden inhaltliche mathematische Kompetenzen entwickelt aber auch damit verbundene allgemeine Kompetenzen.

4 Anknüpfungspunkte für Allgemeine mathematische Kompetenzen im Grundschul Lehrplan von S.-H. Schlüsselqualifikationen Sozialkompetenz, Selbstkompetenz Mathematikunterricht als konstruktiver und entdeckender Prozess Die Bildungsstandards können als Weiterentwicklung dieses Ansatzes der Kompetenzorientierung verstanden werden.

5 Allgemeine (inhaltliche) mathematische Kompetenzen im Lehrplan von S.-H. Schlüsselqualifikationen

6 Sozial- und Selbstkompetenz

7 Konzept von Unterricht: Auffassung von Mathematiklernen als konstruktiven entdeckenden Prozess Stichwort: Unterrichtskultur

8 Forts.

9 Zum Einstieg: Welche Aufgabe ist gut? NUR Rechnen Rechnen und reflektiv etwas erkennen: Ergebnisse sind Spiegelzahlen, z.b.: 6385 und 5836 Problem mathematisch lösen, Mathematisch sehen : Struktur, Verallgemeinern, Argumentieren

10 Zum dritten Beispiel (eine analoge Aufgabe aus IGLU) Zahlenpärchen = 64, = 64 etc = = 77 Warum sind die Ergebnisse eines solchen Pärchens immer gleich?

11 Schüler können es! Schüler argumentieren (aus IGLU)

12 Schüler argumentieren Forts.

13 Was sind gute Aufgaben? Das hängt von der pädagogischen Zielsetzung ab 1. Aufgabenbeispiel: Atomisiertes Üben von Fertigkeiten das muss auch sein 2. Aufgabenbeispiel: Strukturiertes (reflexives) Üben 3. Aufgabenbeispiel: In der Aufgabe werden explizit prozessbezogene Tätigkeiten an substantiellen mathematischen Inhalten angeregt. Dies soll langfristig die Entwicklung von prozessbezogenen bzw. allgemeinen mathematischen Kompetenzen fördern, z.b. (nach H. Winter): Probleme mathematisch lösen Mathematik auf außer- bzw. innermathematische Situationen anwenden Mit der besonderen Sprache der Mathematik umgehen

14 aber auch vom Umgang der Lehrkraft mit Aufgaben Planungsphase; Was möchte ich mit Aufgaben im Hinblick auf Kompetenzerwerb bei Schülern erreichen: Aufgabenanalyse, Aufgabenvariation Welches inhaltliche mathematische Potential steckt in der Aufgabe? Welches Potential für prozessbezogene Tätigkeiten steckt in der Aufgabe? Welche Variationen lässt die Aufgabe zu (spontan auch mit Schülern Aufgaben erfinden ), und aus Sicht der Lehrkraft: welche prozessbezogenen Tätigkeiten können dabei angeregt werden?

15 2. Ausgangslage für die Bildungsstandards Grundschule KMK-Beschlüsse zu Bildungsstandards: Dezember 2003 Mittlerer Schulabschluss, Jahrgangsstufe 10 Oktober 2004 Hauptschulabschluss, Jahrgangsstufe 9 KONTINUITÄT, Schnittstellenproblematik zu SEK I Oktober 2004 Grundschule Jahrgangsstufe 4...Bildungsstandards greifen allgemeine Bildungsziele auf und legen fest, welche Kompetenzen die Schülerinnen und Schüler bis zu einer bestimmten Jahrgangstufe an wesentlichen Inhalten erworben haben sollen. Die Bildungsstandards konzentrieren sich auf Kernbereiche eines Faches und beschreiben erwartete Lernergebnisse. In: Bildungsstandards der KMK, S.9

16 Zur Erinnerung: Inhaltsbezogene und prozessbezogene (allgemeine) mathematische Kompetenzen Probleme mathematisch lösen Kommunizieren Argumentieren Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen durch Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten Mathematisch modellieren Mathematische Darstellungen verwenden Vgl. Bildungsstandards Mathematik 4. Schuljahr

17 Übersicht: Mathematische Leitideen, Kompetenzen, Anforderungsbereiche Mathematische Leitideen, Inhaltliche Kompetenzen Anforderungsbereiche (kognitiver Anspruch an die Schülertätigkeit) Allgemeine mathematische Kompetenzen Orientierung an SEK I aber auch Unterschiede

18 Zusammenfassung: Prozessbezogene Kompetenzen, Mathematische Leitideen, Anforderungsbereiche Prozessbezogene mathematische Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen mathematisch kommunizieren und argumentieren mathematisch modellieren mathematische Darstellungen verwenden Mathematische Leitideen: Zahl und Operation Raum und Form Muster und Strukturen Größen und Messen Daten, Häufigkeit und Zufall Anforderungsbereiche Kognitiver Anspruch an die Schülertätigkeit I Reproduzieren II Zusammenhänge herstellen III Verallgemeinern und Reflexion

19 Zentrale Ideen der Bildungsstandards Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich, S.6 Das Mathematiklernen in der Grundschule darf nicht auf die Aneignung von Kenntnissen und Fertigkeiten reduziert werden. Das Ziel ist die Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte. Nicht nur Rechnen Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen verdeutlichen, dass die Art und Weise der Auseinandersetzung mit mathematischen Fragen ein wesentlicher Teil der Entwicklung mathematischer Grundbildung ist. Mathematische Grundbildung und Prozess

20 Zentrale Ideen Forts. Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich, S.6 Deren [Mathematische Grundbildung] Entwicklung hängt nicht nur davon ab, welche Inhalte unterrichtet wurden, sondern in mindestens gleichem Maße davon, wie sie unterrichtet wurden, d.h. in welchem Maße den Kindern Gelegenheit gegeben wurde, selbst Probleme zu lösen, über Mathematik zu kommunizieren, usw. (Hervorh. von mir) Methodik Unterrichtskultur

21 Zentrale Ideen Forts. Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich, S.6 Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind mit entscheidend für den Aufbau positiver Einstellungen und Grundhaltungen zum Fach. In einem Mathematikunterricht, der diese Kompetenzen in den Mittelpunkt des unterrichtlichen Geschehens rückt, wird es besser gelingen, die Freude an der Mathematik und die Entdeckerhaltung der Kinder zu fördern und weiter auszubauen. Auswirkungen allgemeiner Kompetenzen auf den affektiven Bereich. Förderung von Einstellungen und Haltungen, Interesse.

22 Intentionen der Bildungsstandards als Regelstandards Bildungsstandards greifen die Grundprinzipien des jeweiligen Unterrichtsfaches auf, beschreiben die fachbezogenen Kompetenzen einschließlich zugrunde liegender Wissensbestände, die Schülerinnen und Schüler bis zu einem bestimmten Zeitpunkt ihres Bildungsganges erreicht haben sollen, beziehen sich auf den Kernbereich des jeweiligen Faches und geben den Schulen Gestaltungsräume für ihre pädagogische Arbeit, Fachorientierung Kompetenz- und Outputorientierung Unterrichtskultur In: Bildungsstandards der KMK, S.6

23 Intentionen der Bildungsstandards als Regelstandards (Forts.) Bildungsstandards zielen auf systematisches und vernetztes Lernen und folgen so dem Prinzip des kumulativen Kompetenzerwerbs, beschreiben erwartete Leistungen im Rahmen von Anforderungsbereichen, weisen ein mittleres Anforderungsniveau (Regelstandards) auf. Kumulativer, vernetzender Kompetenzerwerb Outputorientierung Differenzierung In: Bildungsstandards der KMK, S.6

24 Kurz ausgedrückt: Hervorhebung der prozessbezogenen Tätigkeiten/ Kompetenzen Die Vermittlung fachspezifischer Inhalte ist nicht Selbstzweck, sondern dient auch der Herausbildung prozessbezogener (allgemeiner) Tätigkeiten/Kompetenzen wie Problemlösen, Argumentieren, Modellieren. Ferner: Stärkung der Schülerpersönlichkeit durch Zugänge auf unterschiedlichen Anspruchsniveaus (Drei Anforderungsbereiche: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern und Reflexion) Konzept der natürlichen inneren Differenzierung

25 Wie werden mathematische Kompetenzen entwickelt? Von Tätigkeiten zu Kompetenzen These, gestützt durch Ergebnisse der Pädagogischen Psychologie: Die Entwicklung von inhaltlichen und allgemeinen mathematische Kompetenzen ist eine langfristige pädagogische Aufgabe. Sie erfolgt (gewissermaßen lokal) in einem Unterricht, der inhaltliche und prozessbezogene Tätigkeiten durch geeignete Aufgaben initiiert.

26 Inhaltliche mathematische Tätigkeiten inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Lokal: Inhaltliche math. Tätigkeiten, z.b.: -Repräsentanten von Größen vergleichen, messen, schätzen, -Repräsentanten für Standardeinheiten kennen - Größenangaben umwandeln können, usw. Schulzeit, auch andere Fächer, lebenslang Entwicklung, Genese Langfristig: Die inhaltliche Kompetenz Größenvorstellung entwickeln

27 Prozessbezogene Tätigkeiten Allgemeine mathematische Kompetenzen Lokal: Prozessbezogene Tätigkeiten, z.b.: -Lösungsstrategien entwickeln und nutzen -Zusammenhänge erkennen und nutzen... Schulzeit, auch andere Fächer, lebenslang Entwicklung, Genese Langfristig: Die Kompetenz Problemlösen entwickeln

28 3. Wie kann man im Mathematikunterricht die Entwicklung und Festigung von prozessbezogenen Kompetenzen in Verbindung mit mathematisch substantiellen Inhalten bewirken? Die SINUS-Transfer Brücke

29 Globales Ziel: Veränderung der Unterrichtskultur D.h.: die Art, wie Schüler und Lehrkräfte im Unterricht miteinander und dem Unterrichtsgegenstand, der Mathematik, umgehen das für einen bestimmten Unterricht charakteristische, situationsübergreifende Gefüge von eingespielten Handlungs- und Interaktionsmustern, entsprechenden Wertvorstellungen, Sichtweisen und Erwartungen der Unterrichtsteilnehmer nach H.W. Heymann

30 System-Perspektive: Lernaufgaben im Mathematikunterricht Schüler1 Schüler2 Lehrkraft Wechselwirkungsbereich Aufgabe Aufgabensystem Inhaltliche Kompetenzen Allgemeine Kompetenzen Thematischer Kontext

31 Bei SINUS Transfer Grundschule bezieht sich eine veränderte Unterrichtskultur insbesondere auf die Entwicklung/Festigung inhaltlicher und allgemeiner mathematischer Kompetenzen die Rolle der Eigenaktivität von Schülern den Umgang mit Fehlern die Reflexion über mathematisches Tun die Verklammerung von fachlichem und sozialem Lernen die Sicherung von Basiswissen durch intelligentes Üben

32 Die Lage: In der Grundschule werden von Lehrkräften inhaltlich mathematische Tätigkeiten, die zur Bearbeitung der Aufgaben erforderlich sind, in der Regel unmittelbar wahrgenommen/erkannt, während die expliziten oder impliziten Ansatzpunkte in Aufgaben, ihr Potential für die Entwicklung prozessbezogener mathematischer Tätigkeiten oft nicht gesehen oder in seiner Bedeutung verkannt wird.

33 Instrumente zum besseren Sehen Aufgabenanalyse Aufgabenvariation

34 Sehhilfen AUFGABENANALYSE Welches inhaltliche mathematische Potential steckt in der Aufgabe? Welches Potential für prozessbezogene Tätigkeiten steckt in der Aufgabe? AUFGABENVARIATION Welche Variationen lässt die Aufgabe zu (spontan auch mit Schülern Aufgaben erfinden ), und welche prozessbezogenen Tätigkeiten können dabei angeregt werden?

35 Beispiele zur Aufgabenanalyse und zur Aufgabenvariation In der Praxis ist die Aufgabenvariation häufig eine Konsequenz der Aufgabenanalyse bzw. ist mit dieser eng verbunden.

36 Welches Potential für prozessbezogene Tätigkeiten steckt in der Aufgabe? Beispiel 1 Argumentieren Darstellen Kommunizieren Problemlösen Kommunizieren Argumentieren

37 Hinweise im Aufgabentext auf mögliche prozessbezogene Tätigkeiten Das Aufgabenbeispiel enthält Textteile, die sich auf Prozessbezogene Tätigkeiten (Allgemeine mathematische Kompetenzen) beziehen: Wie rechnest du?, Erkläre deinen Weg, und oben: Finde weitere Aufgaben mit dem gleichen Ergebnis, Warum sind die Ergebnisse in einem Päckchen immer gleich? Weitere Beispiele für P - Textteile Begründe, Überlege, Erkläre, Überprüfe Finde weitere Aufgaben mit dem gleichen Ergebnis, Finde einen anderen Lösungsweg, Wie rechnen die Kinder, Erkläre die Lösungen von Tina und Kai, Wo steckt der Fehler,

38 Und was macht man bei folgenden Aufgaben ohne P-Textteile? Jetzt kommt es entscheidend auf das professionelle Wissen und die Erfahrung der Lehrkraft bzw. des Lehrkräfte - Teams (Teamgedanke bei SINUS) an mögliche Muster, Strukturen in der gegebenen Aufgabe zu erkennen Ansätze für Kommunikation und Argumentation zu sehen oder zu schaffen aus einer Standardaufgabe durch Variation(en) eine problemhaltige Aufgabe zu machen Schüler anzuregen, die Aufgabe zu variieren etc.

39 Forts. Wie kann ich als Lehrkraft dieses Potential für die konkrete Unterrichtssituation nutzen? Entscheidend: Schaffung von günstigen Lernbedingungen Kurz: Aus einer Aufgabe eine gute Aufgabe machen

40 Umgang mit Aufgaben: aus Aufgaben gute Aufgaben machen, Beispiel 2 Nur rechnen: Ergebnisse zusammentragen, Fehler korrigieren ab zur nächsten Aufgabe Oder: Durch Aufgabenvariation Anlässe für prozessbezogene Tätigkeiten schaffen Methode: Anreicherung der Aufgaben-, Fragestellung Addiert immer die Ergebnisse in jedem Aufgabenpärchen. Was fällt auf? Rechenolympiade in: WdZ 4, 2006, S.60

41 Problemlösen, Mathematisieren Überraschende Feststellung beim Rechnen(!): Bei den Aufgabenpärchen a), b), c) ergibt sich 10000, 8000, usw. Wie hängen diese Ergebnisse mit den gegebenen Zahlen in den Aufgabenpärchen zusammen? Welches Muster, welcher strukturelle Zusammenhang verbindet die einzelnen Zahlen? bei jedem Aufgabenpärchen wird jeweils eine Zahl addiert und die gleiche Zahl subtrahiert

42 Argumentieren/Begründen/Formulieren Was erhält man bei Addition der Ergebnisse von z.b und ? Warum nicht 12800? (An Vereinbarungen/Regeln halten, die Regel/das Muster formulieren) Woran liegt es, dass sich bei Addition der Ergebnisse in den gegebenen Päckchen stets das Doppelte des ersten Summanden ergibt? Formal: = = 8000, usw. Was ist das Gemeinsame/die Struktur?

43 Argumentieren/Begründen/ Formulieren (Forts.) Begründung mit dem Punktefeld = = 7 24

44 Problemlösen, entdeckendes Lernen, Argumentieren Über das Gegebene hinausgehen, Verallgemeinern: Denkt euch weitere Aufgabenpaare aus, bei denen die Summe der Ergebnisse auch etc. ist. Variationen der Aufgabe: Denkt euch Aufgabenpaare aus, bei denen die Summe der Ergebnisse z.b. 800 (840, 834, 817) ist. Was passiert, wenn man die Ergebnisse subtrahiert? Zunehmende Schematisierung/Ablösung von Einzelfällen: Warum ist das immer so?

45 Umgang mit Aufgaben: aus Aufgaben gute Aufgaben machen, Beispiel 3 Die ursprüngliche Aufgabe WdZ 3, 2006, S.114 Methode: Aufgabenstellung im Text ausblenden Variation des vorgegebenen Aufgabentextes Addiere jeweils die drei Ergebnisse Variation der Fragestellung: Was fällt auf? Überprüfe das Ergebnis auf einem anderen Rechenweg Bastle eine ähnliche Aufgabe

46 Schüler sollen selbst Aufgaben erfinden. Innen-und Außenquadrate. Beispiel 4 Die ursprüngliche Aufgabe Das Mathebuch 4

47 Schüler sollen selbst Aufgaben erfinden. Methode: Aufgabenstellung im Text ausblenden. Das Mathebuch 4

48 Entdeckungen im Hunderterfeld Methode: Variation von Aufgabenparametern Beispiel Bekannt, aber dennoch schön: = , = , etc Variation der Verknüpfung: 4 15 = = = = 532 Was fällt auf?

49 Entdeckungen im Hunderterfeld: Woran liegt das? Begründen Variation der Verknüpfung: 4 15 = = Umordnen: 4 15 = = =

50 Hunderterfeld, Variation der Form Variation der Form, Addition: = , = , etc Multiplikation: 4 14 = = = = 513 Was fällt auf?

51 Hunderterfeld, Variation der Quadratgröße Variation der Quadratgröße, Addition: = , = , etc Multiplikation: 4 26 = = = = 760 Was fällt auf?

52 Hunderterfeld, Variation der Rechenoperation Eine weitere Variation (Quadratsummen): = = = =

53 Zusammenfassung der Methoden P Textteile in Aufgaben nutzen Aufgabenvariation durch Anreicherung der Aufgaben-, Fragestellung Ausblenden von Aufgabenstellungen im gegebenen Aufgabentext und Variation der Aufgabenstellung durch Lehrkraft bzw. Schüler Variation von Aufgabenparametern durch Lehrkraft bzw. Schüler

54 4. Rückblick: Was sind nun Gute und andere Aufgaben? Die Klassifizierung von Aufgaben als gute oder andere hängt von der verfolgten Zielsetzung ab: Gute Aufgaben sind bei der von uns eingenommenen Betrachtungsweise solche, welche bei Schülern in Verbindung mit grundlegenden mathematischen Begriffen und Verfahren die Entwicklung und Festigung prozessbezogener Tätigkeiten bzw. Kompetenzen unterstützen können. Andere Aufgaben sind solche, mit denen andere Ziele verfolgt werden. Es kann also auch andere gute Aufgaben geben!

55 Noch einmal: Zur Rolle von Aufgaben eine Aufgabe und die über sie zu fördernden Kompetenzen sind immer abhängig von der didaktischmethodischen Aufbereitung im [und für den] Unterricht. (NIK, S. 10). So können auch Aufgaben, die auf die Festigung einer inhaltlichen Kompetenz ausgerichtet sind, durch Variationen, Ergänzungen und eine offenere Behandlung, die die individuellen Lernwege der Schüler herausfordert, zur Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen beitragen. (ebd.).

56 Aber: Es gibt auch Widerstände bei der Umsetzung Die erhöhten kognitiven Anforderungen von Guten Aufgaben stellen für Schüler und Lehrer eine besondere Herausforderung dar. Tendenz zur Komplexitätsverminderung Schüler drängen gelegentlich vorschnell auf Lösungshilfen Lehrkräfte reduzieren daraufhin wohlmeinend prozessbezogene Aspekte zu Gunsten des Rechnens Somit: Sparsame Hilfen (möglichst zur Selbsthilfe), keine Teillösungen verraten.

57 Widerstände bei der Umsetzung, Forts. Genügend Zeit einräumen. Schüler brauchen Zeit zum Nachdenken, Untersuchen, Gedankenaustausch mit anderen Schülern. Fehler als Chancen zu lernen, als Erlebnis von motivationsfördernder Diskrepanz. Trennung von Lern- und Leistungssituationen.

58 Versteckt aber gefunden Heureka,Jean Tinguely Zürcher Seepromenade

59 Voll der Durchblick?

60 Das wars, vielen Dank

61 Wesentliches an strukturierten Aufgaben Die einzelnen (Rechen-) Aufgaben sind nicht isoliert, sondern in einer Struktur/einem Muster verknüpft Zudem stehen in den Aufgaben vielfach verschiedene mathematische Objekte und Operationen bzw. Eigenschaften von Objekten und Operationen zu einander in Beziehung Konsequenz: Strukturierte Aufgaben bieten natürliche Ansatzpunkte zum Rechnen, Modellieren, Variieren, Problemlösen, Argumentieren, Kommunizieren, Darstellen

62 Positionsbestimmung: Durch die Brille von Curricula Intendiertes Curriculum: Lehrplan, Rahmenplan KERNCURRICULUM Potentielles Curriculum: Schulbücher, Arbeitsblätter etc. Implementiertes Curriculum: Der im Unterricht tatsächlich behandelte Stoff LEHRKRAFT Erreichtes Curriculum: das, was Schüler gelernt haben (Schülerleistung) NEU: NATIONALE BILDUNGSSTANDARDS

63 Bildungsbeitrag des Faches Mathematik Befähigung zur praktischen Lebensbewältigung Befähigung zur Wahrnehmung der Mathematik als Kulturgut Mathematik als Tätigkeit, als Werkzeug, Leitideen Befähigung zum strukturellen Denken und zum kritischen Vernunftgebrauch Verallgemeinern, Argumentieren, Begründen, Ordnen, Zusammenhänge herstellen, Strukturen, Muster, Befähigung zum sozialen Handeln Argumentieren, anderen helfen, gemeinsames Problemlösen,

64 Prinzipien der Unterrichtsgestaltung Handlungsorientiertes Lernen und Arbeiten (Darstellungsebenen EIS) Aktiv entdeckendes Lernen. Lernen auf eigenen Wegen mit individuellen Lösungsansätzen und strategien in problemhaltigen, herausfordernden Situationen. Üben und Vertiefen Produktives Üben Strukturiertes Üben Formales Üben Fächerverbindendes und fachübergreifendes Lernen

65 Zentrale Ideen der Bildungsstandards Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich, S.6

66 Intentionen der Bildungsstandards als Regelstandards In: Bildungsstandards der KMK, S.6

67 Durch Aufgaben den Bildungsbeitrag des Faches Mathematik erschließen Befähigung zur praktischen Lebensbewältigung Befähigung zur Wahrnehmung der Mathematik als Kulturgut Mathematik als Tätigkeit, als Werkzeug, Leitideen Befähigung zum strukturellen Denken und zum kritischen Vernunftgebrauch Verallgemeinern, Argumentieren, Begründen, Ordnen, Zusammenhänge herstellen, Strukturen, Muster, Befähigung zum sozialen Handeln Argumentieren, anderen helfen, gemeinsames Problemlösen,