Formen von roten Blutkörperchen Seminarbeitrag zum Seminar Hydrodynamik des Blutes im SS 14

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1 Formen von roten Blutkörperchen Seminarbeitrag zum Seminar Hydrodynamik des Blutes im SS 14 Sebastian Sohn Das rote Blutkörperchen ist die am häufigst vorkommende Zelle im menschlichen Körper und ist essentiell wichtig für den Sauerstofftransport vom Herzen zu den Organen und Extremitäten. Um den Einfluss der verschiedenen Formen der Zellen auf den Transport zu studieren, wird ein Modell benötigt, dass abhängig von äußeren Einflüssen die Form korrekt vorhersagt. Ein solches Modell wird in dieser Arbeit vorgestellt, aufbauend auf dem Seminarvortrag unter dem gleichen Titel im Seminar Hydrodynamik des Blutes im SS 14 an der TU Dortmund. Inhaltsverzeichnis 1 Formen und Aufbau von roten Blutkörperchen 1 2 Modellierung Plasmamembran Membranskelett Randbedingungen Simulation 4 4 Zusammenfassung und Ausblick 6 Literatur 6 1 Formen und Aufbau von roten Blutkörperchen Die häufigste Zelle im menschlichen Körper ist das rote Blutkörperchen. Die Aufgabe dieser Zellen ist der Transport von Sauerstoff von der Lunge hin zu allen Verbrauchern wie Organen und Extremitäten. Dabei existieren im Durchschnitt ca. 25 Billionen dieser Zellen gleichzeitig im Körper, die sich allerdings ständig erneuern müssen. Die Formen dieser Blutkörperchen sind vielfältig. Die wichtigsten, weil häufigsten sind in Abbildung 1 dargestellt. Die Grundform ist der Discozyt, wie er in der Mitte dargestellt ist. Diese Form stellt die gesunde Form dar, beeinflusst also nicht negativ den Blutfluss. Die anderen Formen in Abbildung werden Sphärozyten (engl. Stomatocytes, in der Abbildung 1 links vom Discozyten) und Echinozyten (Echinocytes,rechts) genannt. Diese Verformungen sind die Ergebnisse von Krankheiten, die z.b. in der Leber auftreten. Aufgrund der Formen gibt es negative Effekte beim Blutfluss, da diese Formen z.b. nicht sehr gut durch die Kapillaren passen. Es existieren noch andere Formen wie die Sichelzelle, die andere Krankheiten als Ursache haben. In Abbildung 1 ist der sogenannte SDE-Zyklus dargestellt. Die einzelnen Formen lassen sich durch Zugabe von bestimmten Stoffen (agents) ineinander überführen. Solange die Verformungen nicht zu stark sind, ist dieser Prozess reversibel, was z.b. eine medikamentöse Behandlung zulässt. Erst in den Zonen IV verändern sich die Zellen dauerhaft. 1

2 1 Formen und Aufbau von roten Blutkörperchen Abb. 1: Darstellung des SDE-Zyklus [1]. Abb. 2: Schematischer Aufbau eines roten Blutkörperchens [1]. Das rote Blutkörperchen ist keine typische Zelle im menschlichen Körper, denn es besitzt keinen Zellkern. Für die Form sind daher nur die Doppelmembran, die aus zwei Lipidschichten besteht und das Plasmaskelett verantwortlich. Dieses besteht aus vielen Proteinen, hauptsächlich dünnen Spektrinfäden, die in der Zellmembran verankert sind. Durch kurze Aktinproteine werden diese Fäden zusammengezogen, so dass sich eine dichte Masser ergibt. Eine schematische Darstellung ist in Abbildung 2 dargestellt. 2

3 2 Modellierung 2 Modellierung In diesem Abschnitt wird ein Modell vorgestellt, mit dem sich die Form der roten Blutkörperchen beschreiben lässt. Dieses Modell wird durch die Freie Energie beschrieben. Ziel ist es dann, durch Simulationen den Grundzustand, also den Zustand mit der geringsten Energie zu finden. Wie im letzten Abschnitt beschrieben, sind die strukturrelevanten Elemente der Zellen die Plasmamembran und das Membranskelett. Damit lässt sich formal die freie Energie durch F [S 0 ; S] = F pm [S] + F ms [S 0 ; S] + F con [S] (1) beschreiben. Der Beitrag F con stellt Randbedingungen dar, die für die numerische Simulation benötigt werden. Der Parameter S beschreibt die aktuelle Oberfläche der Membran. Diese wird dabei als reines 2D Objekt betrachtet, da die Dicke vernachlässigbar ist. Der zweite auftretende Parameter S 0 stellt dagegen die Ausgangskonfiguration des Membranskelettes dar. Im folgenden werden die einzelnen Beiträge detailliert vorgestellt. 2.1 Plasmamembran Der Anteil der Plasmamembran lässt sich ebenfalls in drei Teile zerlegen: F pm [S] = F sc [S] + F g [S] + F ad [S]. (2) Die ersten beiden Summanden sind Integrale über die Oberfläche der Membran bezüglich der Krümmungen. Sie unterscheiden sich in der Art, wie die Hauptkrümmungen gemittelt werden: F sc [S] = κ b da [2H(r) C 0 ] 2, H(r) = 1 2 S 2 (C 1(r) + C 2 (r)), (3) F g [S] = κ g da K(r), K(r) = C 1 (r)c 2 (r). (4) S Die Hauptkrümmungen sind dabei die Eigenwerte der Krümmungsmatrix und beschreiben dementsprechend die Krümmung in jedem Punkt r vollständig. Das Integral (4) hat dabei die Eigenschaft, für Objekte mit gleicher Topologie den gleichen Wert zu liefern. Es spielt daher nur dann eine Rolle bei der Bestimmung des Grundzustandes, wenn diese sich im Verformungsprozess ändert. Abb. 3: Schematische Darstellung, wie die unterschiedliche Teilchenzahl eine spontane Krümmung bewirkt. Der letzte Summand trägt der Doppelmembran Rechnung. Die beiden Membranschichten besitzen eine unterschiedliche Anzahl von Lipiden. Der Teilchenaustausch ist außerdem sehr langsam. In Abbildung 3,oberer Teil ist dies schematisch dargestellt. Da die roten als auch die blauen Teilchen identisch sind, wird sich im Gleichgewicht auch der gleiche Abstand für alle Teilchen einstellen, wie im unteren Teil von Abbildung 3 zu sehen ist. Insgesamt ergibt sich damit eine spontane Krümmung, die die Zelle in eine sphärische Form treibt. Der Energiebeitrag lässt sich über die Abweichung zur Größe berechnen: A[S] = 2D 0 A 0 = A out A in (5) da H(r), (6) F ad [S] = π κ 2D0 2A ( A[S] A 0 ) 2 (7) 0. (8) Die Größe H(r) ist in (3) definiert, D 0 ist der Gleichgewichtsabstand und κ stellt die Kopplungsstärke dar. Die hierbei auftretende Kraft ist also ein Drehmoment, dass die Membran in ihre ursprüngliche Form zurücktreibt. 3

4 3 Simulation 2.2 Membranskelett Das Membranskelett wird als hyperelastisches Material modelliert. Das bedeutet, das auch für starke Verformungen keine Hysterese auftritt und das Material ohne äußere Krafteinwirkung immer in seine Ausgangsform zurückkehrt. Der Parameter S 0 beschreibt diese Form, wobei diese sphärische Topologie besitzt und als gleichmäßiges Kontinuum angenommen wird. Der Vorteil dieser Herangehensweise ist, dass sich die auftretenden Verformungen nun als Flächenbelastung α und Scherung β bezüglich der Grundform beschreiben lassen. Damit muss das Integral nur über die sphärische Ausgangsform durchgeführt werden: F ms [S 0 ; S] = da 0 f ms (α(r 0 ), β(r 0 )), (9) S 0 f ms (α,β) K αα 2 + µβ. (10) 2 Die Größe f ms ist damit eine Energiedichte, K α ist das Elastizitätsmodul und µ das Schermodul des Plasmaskeletts. 2.3 Randbedingungen Der beschriebene SDE-Zyklus ist in einem weiten Bereich reversibel. Um dies in der Rechnung zu berücksichtigen, müssen das Volumen und die Oberfläche der Zelle konstant bleiben, da sich sonst Teilchen anlagern oder abseparieren müssen. Außerdem würden bei zu starker Dehnung z.b. die Lipidverbindungen auseinander reißen. Abb. 4: 1D Darstellung des Potenzialverlaufs. Die Zustände mit A = A 0 und V = V 0 sind lokale Minima. Die Simulation wäre aber nicht in der Lage aus dem rechten in den linken Zustand mit einem Schritt zu wechseln (bzw. dies ist sehr unwahrscheinlich). Der Sprung auf das Maximum ist zwar ungünstiger, aber leichter zu realisieren. Solange analytisch gerechnet wird (was hier nicht getan wird), lassen sich diese Randbedingungen hart fordern. Bei einer numerischen Betrachtung tritt ein Problem auf: Bei einer Simulation mit einem Monte-Carlo-Verfahren werden der Zelle zufällige Verformungen angeboten. Die Wahrscheinlichkeit, ob diese Verformung tatsächlich angenommen wird, hängt von der Energiedifferenz der beiden Formen ab. Es zeigt sich aber, dass deutlich weniger Züge angenommen werden, wenn die Verformungen pro Schritt zu groß sind. Im vorliegenden Fall stellt sich damit das Problem dar, dass die Zustände mit gleichem A und V zu weit auseinander liegen und die Simulation in metastabilen Zuständen hängenbleibt (schematisch dargestellt in Abbildung 4). Um dieses Problem zu lösen, werden für die Simulationen auch Formen mit abweichender Oberfläche und Volumen erlaubt. Diese Abweichung wird allerdings durch Beiträge zur Freien Energie unterdrückt: F con = F A + F V, (11) F A [S] K A(A[S] A 0 ) 2 2A 0, (12) F V [S] K V (V [S] V 0 ) 2 2V 0. (13) 3 Simulation Das Modell wird nun auf seinen Grundzustand bzw. auf die einzelnen Formen hin untersucht. Zu diesem Zweck wird die Freie Energie so umgeformt, dass sie nur noch von 2 äußeren Parametern abhängt: V ms ist das Volumen des Referenzmembranskeletts, die Oberfläche wird für alle Simulationen gleich gewählt. Die 4

5 3 Simulation äußeren Einflüsse sowie die spontane Krümmung werden über m 0 gesteuert. Für jedes Parameterpar werden nun Simulationen durchgeführt, um den Grundzustand und die dazugehörige Form zu bestimmen. Die Ergebnisse dieser Simulationen sind in Abbildung 5 dargestellt. Auf der x-achse ist der Parameter V ms dargestellt, auf der y-achse m 0. Die z-achse wird durch die Farbeinteilung dargestellt. Jede Farbe gehört dabei zu einer anderen Form. Das Diagramm ist also so zu lesen, das zu einem bestimmten Parameterpaar der Grundzustand durch die Form eingenommen wird, dessen Farbe an dieser Stelle steht. Abb. 5: Formdiagramm für das vorgestellte Modell. Im markierten Bereich ist der SDE-Zyklus zu erkennen [1]. Der markierte Bereich im Diagramm ist vom besonderen Interesse. Hier findet sich der reversible Teil des SDE-Zyklus wieder, was für die Aussagekraft des Modells spricht. Unterstrichen wird dies von zwei Tatsachen: Das wahrscheinlichste Volumen V ms entspricht ungefähr der gemessenen Größe von Blutkörperchen. Außerdem ist das Modell sehr feinfühlig auf der y-achse: Die großen Änderungen von m 0 sind auf sehr kleine Änderungen der Oberflächendifferenz oder der Umgebungsvariablen zurückzuführen. Auch dies entspricht den experimentellen Befunden. Die in Abbildung 5 bezeichneten Formen sind in den Abbbildungen 6 und 7 dargestellt. Die Farben zeigen hier die Stärke von Flächenbelastung und Scherung. Es ist zu erkennen, dass die Formen am Rande des Spektrums deutlich größere Kräften ausgesetzt sind, als die Grundform AD(5) (Discozyt). Daran ist zu erkennen, dass diese Formen Reaktionen auf die äußeren Verhältnisse sein müssen. 5

6 4 Zusammenfassung und Ausblick Abb. 6: Simulierte Formen für Sphärozyten und Discozyt [1]. Abb. 7: Simulierte Formen für Echinozyten [1]. 4 Zusammenfassung und Ausblick Die Ergebnisse der Simulationen passen sehr gut zu den experimentellen Befunden. Damit kann von der Gültigkeit des verwendeten Modells ausgegangen werden. Der nächste Schritt für z.b. Blutflussuntersuchungen ist es, dieses Modell und dessen Dynamik in diese integrieren. Dadurch kann das komplizierte Verhalten von Blut besser untersucht werden. Dieses Vorhaben ist gegenwärtiger Stand der Forschung und wird momentan vor allem durch die verfügbare Rechenleistung beschränkt. Das naheliegende Ziel ist daher, die Simulationen effektiver und schneller zu gestalten. Literatur [1] Gerhard Gompper und Michael Schick. Soft Matter. Weinheim und Germany: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, isbn: doi: /