3 Analysis in mehreren Variablen

Transkript

1 200 3 Analysis in mehreren Variablen 9 Differentialrechnung bei mehreren Variablen 9. Funktionen zwischen Tupelräumen 9.. Die betrachteten Funktionentypen Wir werden in diesem Kapitel Funktionen (Synonym für Abbildungen, s.7.. ) folgenden Typs untersuchen: R n D f R Typ () (reellwertige Funktionen) f R D R n Typ (2) f R n D R n Typ (3) R n D f R m Typ (4) ( allgemeiner Typ) Übereinkunft Wir schreiben in diesem Kapitel die n-tupel x R n meist, wie in der Analysis üblich, als x = (x, x 2,..., x n ) und nur selten als einspaltigen Vektor, wie wir es in der Linearen Algebra getan haben. Anmerkung Bei Funktionen aus den Anwendungen in der Wirtschaftstheorie wird der Definitionsbereich D oft die Teilmenge R n 0 := { x Rn x i 0 für alle Koordinaten x i von x } sein. Wir nennen R n 0 den nicht-negativen Quadranten von Rn. (Ein Quadrant ist es nur im R 2, im R 3 ist es ein Oktant und im R 3 die entsprechende Verallgemeinerung. In Ermangelung eines entsprechenden allgemeinen Ausdrucks bleiben wir beim Wort Quadrant.) Die Teilmenge R n >0 := { x Rn x i > 0 für alle Koordinaten x i von x } heißt entsprechend der positive Quadrant im R n. Beispiele (zur Motivation): Lineare Funktionen Lineare Funktionen des allgemeinen Typs (4) haben wir in 7.. behandelt: Für A R m n hat man f A : R n R m, x A x (s.7..2) Spezielle Funktionen des Typs () sind die (linearen) Zielfunktionen der linearen Programmierung: f = f Z : R n R, x z x z n x n = Z x mit Z = (z... z n ) R n

2 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 20 2 Hier Beispiele für reellwertige Funktionen, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften benutzt werden. (i) In allemeinen Wirtschaftstheorien arbeitet man oft mit Funktionen in drei Variablen: f(k, A, t), wo K = Kapital, A = Arbeit, t = Parameter für den technischen Fortschritt (ii) Beliebte Funktionen in Wirtschaftstheorien sind Funktionen wie f(x, y, z) = x α y β z γ mit x, y, z R, 0 α, β, γ, = α + β + γ (iii) In der Wirtschaftstheorie arbeitet man auch mit sog. Nutzenfunktionen. Das sind reellwertige Funktionen f(x, x 2,..., x n ) in n Variablen, die so interpretiert werden: Die Argumente x = (x,..., x n ) stehen für Güterbündel (s.6.. Anwendungen (2) ). Die Funktion f wird benutzt, um den Nutzen von solchen Bündeln zu vergleichen : f(x,..., x n ) > f(y,..., y n ) bedeutet: vorgezogen. Das Bündel x wird dem Bündel y (iv) Der Mittelwert (a,..., a n ) a := n n a i sind Funktionen des Typs (). i= i= a i und die Varianz (a,..., a n ) 3 Funktionen des Typs (2) werden oft als Kurven interpretiert. Mit solchen Kurven lassen sich etwa Bahnen von Himmelssonden modellieren. 4 Funktionen des Typs (3) treten als Koordinatentransformationen auf. Zum Beispiel: {( ) } R 2 \ {0} =: D f r R α 2 r > 0, 0 α < 2π R 2 ( ) r = x x ( ) ( ) x = x 2 α = der Winkel α, für den x cos α x = sin α Der Übergang von x zu diesem f(x) heißt Übergang zu Polarkoordinaten. x 2

3 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Anschauliche Vorstellung : Der Graph einer reellwertigen Funktion n= : Man hat das übliche Schaubild (den Graph): Der Graph {( von f :) I R} ist die Kurve x x I im R f(x) 2 n = 2 : Man definiert den Graphen von f : D R (D R 2 ) durch { x ( ) G(f) = y x D, z = f y z ( x y ) } Stellt man sich ein Stück abstrakter Erdoberfläche vor, parametrisiert durch x = Längengrad, y = Breitengrad, und ist z = h(x, y) = Höhe von (x, y) über dem Meeresspiegel, so ist der Graph die echte Erdoberfläche (mit all ihren Zerklüftungen). Siehe Bild. Skizzen einiger weiterer Graphen: f(x, y) = y 2 Rinne f(x, y) = x 2 + y 2 Rotationsparaboloid f(x, y) = x 2 y 2 Sattelfläche f(x, y) = x 3 3xy 2 Affensattel Anmerkung: In den Dimensionen n 3 ist der Graph eine Teilmenge des R n+, n + 4 und kann direkt nicht mehr vorgestellt werden. In der Dimension 3 kann man noch die Höhenlinien des folgenden Abschnitts zur Veranschaulichung hinzuziehen.

4 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Anschauliche Vorstellung 2 : Die Höhenlinien Bezeichnung (Isoquanten) Sei D R n und f : D R eine reelle Funktion auf D. Die Punktmengen I c = { x D f(x) = c }, c R, heißen Höhenlinien für n = 2, Höhenflächen für n = 3 und Isoquanten von f für allgemeines n. Manchmal sagt man Höhenlinien der Einfachheit halber auch im allgemeinen Fall. Anschaulich: Beim Vergleich des Schaubilds von f mit dem Relief einer Landschaft entsprechen die I c s den üblichen Höhenlinien, wie sie auf Karten eingezeichnet sind. Höhenflächen im R 3 muß man sich i.a. als gekrümmte Flächen vorstellen. Beispiele bei früher betrachteten f: Funktion Höhenlinien f(x) = z x z n x n linear (Gewinn-, Kostenfunktion) Die Isogewinn- bzw. Isokostengeraden f(x) = c f(x, y) = y 2 Rinne I c = die beiden Parallelen zur y-achse mit y = + c und y = c für c 0 und die(x-achse für c = 0) f(x, y) = x 2 + y 2 Die I c, c > 0, sind die konzentrischen Kreise um 0 mit Radius c f(x, y) = x 2 y 2 Für c 0 sind die I c Hyperbeln (mit zwei Ästen) mit den Asymptoten x y = 0 und x + y = 0 Für c 0 ist I c das Koodinatenkreuz.

5 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 204 Noch eine abstrakte Landschaft: 9..4 Stetigkeit. Offene Mengen. Bezeichnung: Für x R n, ε > 0, heißt B ε (x) = {y R n y x < ε} die (offene) ε-kugel oder die ε-umgebung von x. Für die Anschauungsdimensionen: Im R : Intervall mit Mittelpunkt x und Länge 2ε. Im R 2 : Kreisfläche mit Mittelpunkt x und Radius ε. Im R 3 : Kugel mit Mittelpunkt x und Radius ε, etc. Definition (Stetigkeit): Sei D R n, f : D R m eine Abbildung, a D. f heißt stetig in a, wenn gilt: Für alle ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß für alle x B δ (a) D R n gilt: f(x) B ε (f(a)). Wir haben die Definition nur notiert, um zu zeigen, daß sich die Definition von der einfachen Situation mit einer Variablen (siehe die ε δ-definition der Stetigkeit in 3.3. ) problemlos auf den allgemeinen Fall der Funktionen vom Typ (4) übertragen läßt. Weitergehend werden wir Stetigkeit nicht untersuchen. Das Phänomen der Stetigkeit ist in den R n, n 2, trotz der formal gleichen Definition viel komplexer als für n =. Definition 2: D R n heißt offen: Für alle x D gibt es ein ε > 0, so daß noch B ε (x) D. Definition 3: Sei D R n. Ein x D heißt ein innerer Punkt von D, wenn es ein ε > 0 gibt mit B ε (x) D. Die Menge aller inneren Punkte von D heißt das Innere von D. Ein Punkt aus D, der kein innerer Punkt ist, heißt ein Randpunkt von D. Die Menge aller Randpunkte von D, heißt der Rand von D. Schreibweisen: D := das Innere von D, D := der Rand von D.

6 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 205 Beispiele (i) Ist D = I ein Intervall im R = R, so stimmt das hier definierte Innere mit dem Innern des Intervalls überein, wie es in definiert wurde. (ii) Sei D = R n 0 der nicht-negative Quadrant. Dann ist D = R n >0 der positive Quadrant und D = { x D x i = 0 für mindestens ein i mit i n }. (iii) Bei den in 8..2 und gezeichneten zulässigen Bereichen K von Linearen-Optimierungs- Problemen ist der Rand K von K die Vereinigung der Randgeradenstücke (der Seiten ) von K und das Innere K ist das schraffierte Innere des Bereiches ohne die Seiten. /bin/sh: schraffierte: command not found Bemerkung Das Innere D eines D R n ist offen. (Die leere Menge gilt als offen.) 9.2 Differenzieren reellwertiger Funktionen auf dem R n Gemeint sind Funktionen des Typs R n D f R Die partielle Ableitung Definition (partielle Ableitung): Sei f : D R eine Funktion und sei x ein Punkt im Innern D von D. Für i {, 2,..., n} sei e i = (0,..., 0,, 0,..., 0) der i-te Einheitsvektor. i Betrachte den Limes f(x + h e i ) f(x) lim h 0 h! = lim h 0 f(x,..., x i, x i + h, x i+,..., x n ) f(x) h Existiert dieser Limes und ist gleich α, so heißt f in x nach der i-ten Variablen partiell differenzierbar. Der Limes α heißt die i-te partielle Ableitung von f in x. Schreibweisen: α =: (x) =: f xi (x) =: f i (x) =: D i f(x). Ist (x) definiert für alle x D, so heißt die Funktion : D R, (x) die i-te partialle Ableitung von f, f heißt partiell differenzierbar in D nach der i- ten Koordinate ( nach x i oder kurz nach i ). Ist zudem stetig, so heißt f stetig partiell differenzierbar.

7 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 206 Merkregel: Beim partiellen Ableiten nach i wird angenommen, die Variablen x j, j i, seien konstant, und nur die i-te Variable x i sei variabel. Dann hat man eine Funktion vorliegen, die nur von einer Variablen, nämlich von x i, abhängt. Diese Funktion wird dann nach x := x i abgeleitet wie gewohnt. Bemerkung: Ist x auf dem Rand von D von D, so existieren eventuell die entsprechenden einseitigen Limites lim oder lim (s ) statt des Limes lim in der Definition. Als partielle Ableitungen nimmt man dann diese einseitigen Ableitungen. h 0 h 0 + h 0 Beispiel für so eine Situation: D := R n 0 und x ein Punkt aus D, bei dem (mindestens) eine Koordinate 0 ist. Beispiele (für partielle Ableitungen): (i) f(x, y, z) = x 3 y 4 z 2 x y x (x, y, z) = 3x2 y 4 z 2 y, y (x, y, z) = 4x3 y 3 z 2 x, z (x, y, z) = 2x3 y 4 z (ii) f(x, y, z) = x 2 y z e 2x e y2 e x sin z x (x, y, z) = 2xyz 2e2x e y2 e x sin z sin z e 2x e y2 e x sin z z (x, y, z) = x2 y x cos z e 2x e y2 e x sin z y (x, y, z) = x2 z 2y e 2x e y2 e x sin z Veranschaulichung Im Schaubildraum R n R = {(x, z) x R n, z R} betrachte die Parallelen zur x i -Achse und zur z-achse im Punkte (x, 0), x D R m. Die von diesen beiden Geraden erzeugte Ebene

8 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 207 E schneidet das Schaubild G f = {(x, f(x)) x D} in einer Kurve. In E mit der Parallelen zur x i -Achse als reeller Achse bekommt man so das Schaubild einer üblichen reellen Funktion mit x i als reellem Parameter. Der Anstieg der Tangente dieses Schaubilds im Punkt x i = i-te Koordinate von x ist dann (x). Definition 2: (höhere ( gemischte ) partielle Ableitungen) Beispiel: Die i-te Ableitung als Funktion sei definiert. Sei j {, 2,..., n}. Ist dann (in x) nach der j-ten Variablen partiell differenzierbar, so heißt die partielle Ableitung x j ( ) (x) =: 2 f x j (x) =: f xi x j (x) =: D j D i f(x) die partielle Ableitung 2. Ordnung (2. partielle Ableitung) nach i und nach j in x. Entsprechend sind höhere gemischte partielle Ableitungen betrachtet, etwa (iii) f(x, y, z) = x 3 y 2 cos z 3 x 3 ( x ) 2 := ( ( )), x 3 x x 3 f z ( x) 2 (x, y, z) = z (6x y2 cos z) = 6x y 2 sin z 3 f x k x j Anmerkung Die andere Reihenfolge der Indizes bei der Schreibweise f xi x j (x) kommt daher, daß nach Definition f xi x j (x) := (f xi ) xj ist. Diese leichte Irritation durch die Bezeichnung ist aber folgenlos, da die gemischte 2. partielle Ableitung nach der Tatsache in bei allen gebräuchlichen Funktionen unabhängig von der Reihenfolge ist. usw Gradient und Hesse-Matrix Sei D R n offen, f : D R sei in x partiell differenzierbar nach allen Variablen i =,..., n. (Ist D von Anfang an nicht offen, so kann man sich auf die offene Situation zurückziehen, indem man die Funktion auf das Innere von D einschränkt.) Definition (Gradient): Das Tupel (der Vektor ): grad f (x) := ( (x), (x),..., ) (x) x x 2 x n = ( f x (x), f x2 (x),..., f xn (x) ) heißt der Gradient von f in x.

9 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 208 Definition 2 (Hesse-Matrix): Beispiel: Existieren alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung in x, so heißt die (n, n)-matrix f x x (x) f x x 2 (x)... f x x n (x) H f (x) = ( 2 f (x) ) f x2 x (x) f x2 x 2 (x)... f x2 x n (x) i=,...,n = x j j=,...,n... die Hesse-Matrix von f in x. Sei f(x, x 2, x 3 ) = x 2 x3 2 x 3. Es ist grad f (x) = ( 2x x 3 2x 3, 3x 2 x 2 2x 3, x 2 x 3 2 ) 2x 3 2 x 3 6x x 2 2 x 3 2x x 3 2 H f (x) = 6x x 2 2 x 3 6x 2 x 2x 3 3x 2 x2 2 2x x 3 2 3x 2 x2 2 0 und konkret an der Stelle x = (, 2, 3) : grad f (, 2, 3) = ( 48, 36, 8), H f (, 2, 3) = Einfaches, aber wichtiges allgemeines Beispiel des Gradienten: Sei f : R n R, f(x) = z x +... z n x n linear. Dann ist grad f (x) = (z, z 2,..., z n ) für alle x. f xnx (x) f xnx 2 (x)... f xnx n (x) Beobachtung Die Hesse-Matrix im Beispiel ist symmetrisch (s ). Das ist kein Zufall, sondern ein genereller Sachverhalt wegen folgender Tatsache: Tatsache ( Lemma von Schwarz ): Sei f : D R 2-mal stetig differenzierbar, d.h. alle partiellen Ableitungen bis zur Ordung 2 existieren und sind stetig. Dann gilt: und alle i, j {, 2,..., n}. 2 f x j (x) = 2 f x j (x) für alle x D Das heißt für jedes x D : Die Hesse-Matrix H f (x) ist eine symmetrische Matrix. Hinweis Bei den später behandelten Extremwertbestimmungen bei mehreren Variablen werden der Gradient die Rolle der ersten Ableitung und die Hesse-Matrix die Rolle der zweiten Ableitung übernehmen.

10 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Richtungsableitungen Vorbemerkung: Erinnere die Definition f(x + h e i ) f(x) lim =: (x) h 0 h der partiellen Ableitung. Sie gibt den Anstieg der Funktion f in Richtung der positiven x i -Achse wider. Nun gibt es noch all die anderen Richtungen, die nicht in Richtung einer Koordinatenachse zeigen. Man kann den Anstieg von f auch in diesen Richtungen definieren. Dazu eine formale Definition des Begriffs Richtung. Bezeichnung: Ein e R n mit e = heißt eine Richtung im R n. Die Menge { e R n e = } aller Richtungen wird oft mit S n bezeichnet und Einheitssphäre genannt. Beispiele im R 2 : (Man denke bei e an eine Kompaßnadel.) Die Richtung (,0) ist die Richtung in positiver x-achse ( Osten ), (0,-) zeigt in Richtung negativer y-achse ( Süden ), 2 (, ) zeigt in Richtung der positiven Hauptdiagonalen ( Nordosten ) usw. Definition (Richtungsableitung): Betrachte f : D R und sei e eine Richtung. Existiert der Limes f(x + h e) f(x) lim h 0 h so wird er die Richtungsableitung von f in Richtung e genannt. Schreibweise: lim h 0 f(x + h e) f(x) h =: e (x). Wir werden in 9.3 als Anwendung der Kettenregel (s.dort) nachweisen, daß sich für die gebräuchlichen Funktionen die Richtungsableitungen in x D auf folgende Weise aus dem Gradienten grad f (x) berechnen lassen. Tatsache : Sei D R n offen. Sei f : D R stetig differenzierbar, d.h. alle partiellen Ableitungen in D existieren und sind stetig. Sei dann a D und e R n, e =, sei eine Richtung. Dann gilt e (a) = gradf(a), e (Skalarprodukt). Beispiele: (i) e = e i : e (x) = (x)

11 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 20 (ii) e = 2 (, ) : e (x) = 2 x (x) + 2 x 2 (x) (iii) f(x, y, z) = x 2 z y 2 2 x y z, x = (, 2, ) Richtung: von x zum Punkt (6, 3, 6). Dann: gradf(x) = (2xyz x 2 y z, x2 z xy 2 y, 2x2 yz + 2 xyz 2 ) gradf(x) = (5, 9, 5) Der Richtungsvektor ist e = Die gesuchte Richtungsableitung ist also: (6, 3, 6) (, 2, ) (6, 3, 6) (, 2, ) = (5, 5 2, 5) (5, 5 2, 5) = ( 2 3, 3, 2 3 ). e (x) = (5, 9, 5), (2 3, 3, 2 20 ) = = Prägnante Eigenschaften des Gradienten Wir beginnen mit einer Ungleichung zum Skalarprodukt, die eigentlich in den Abschnitt gehört. (Sie wird beim Beweis der dort formulierten Dreiecksungleichung für die Norm gebraucht.) Tatsache (Die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung) Für alle x, y R n gilt x, y x y. Dabei gilt die Gleichheit dann und nur dann, wenn x und y linear abhängig sind. Der Beweis ist nicht schwer aber nicht trivial. Als Anwendung erhält man: Tatsache 2 Der Gradient zeigt in die Richtung, in der die Richtungsableitung maximal ist. Genauer: Sei a D grad f (a) und sei grad f (a) 0. Sei γ := die Richtung des Gradienten. grad f (a) Dann gilt für alle Richtungen e S n : e (a) γ (a) = grad f (a) Beweis: e (a) = grad f (a), e grad f (a) e = grad f (a) = grad f (a) grad f (a) grad f (a), grad f (a) = grad f (a), = grad f (a),, γ = grad f (a) γ (a). Die Ungleichung dabei ist die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung, die darauf folgende Gleichung gilt, weil e = ist. Der Rest sind Umformungen.

12 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 2 Eine ökonomische Deutung von Tatsache 2 Ist f eine Produktionsfunktion, so hat man: Die Änderungsrate der Produktion ist am größten bei einer Faktorvariation in Richtung des Gradienten. Eine anschauliche Eigenschaft des Gradienten ist die folgende: Tatsache 3 Der Gradient von f in a steht senkrecht auf der Isoquante von f durch a. (Das ist die Isoquante I f(a).) Siehe die Vorlesung für Genaueres. Ein einfaches Beispiel zum Verständnis: Für lineare f : R n R, f(x) = z x +... z n x n ist der Gradient gleich (z, z 2,..., z n ) für alle x. Aus wissen wir (dort in der Dimension 3 ), daß dieser Vektor senkrecht auf den Geraden steht, die durch z x +... z n x n = c definiert sind und diese Geraden sind die Isoquanten von f. 9.3 Extremwertbestimmung 9.3. Extremwerte ohne Nebenbedingung 2 isolierte Maxima, Sattelpunkt ganze x-achse besteht aus Minima (nicht isoliert) Bezeichnung : Sei D R n, f : D R und sei a D. f hat in a ein lokales Maximum (isoliertes lokales Maximum). Es gibt ε > 0, so daß gilt: Für ( alle x D mit x a < ε gilt f(a) f(x). Bzw.im Fall des isolierten lokalen Maximums: Es ist f(a) > f(x) für alle x D mit x a und x a < ε )

13 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 22 Eine analoge Definition gilt für lokale Minima. Anschauliche Beispiele oben. Satz: Sei D R n und f : D R sei 2-mal stetig differenziebar. Sei a D (dem Innern von D ). () Hat f in a ein Extremum, so ist gradf(a) = 0. (2) Sei gradf(a) = 0. Dann: (i) H f (a) positiv definit = { f hat in a ein isoliertes lokales Minimum (ii) H f (a) negativ definit = { f hat in a ein isoliertes lokales Maximum (iii) H f (a) indefinit = { f hat in a keine Extremstelle Im Vergleich zur Dimension : Der Gradient übernimmt die Rolle der. Ableitung. Die Hesse-Matrix übernimmt die Rolle der 2. Ableitung. Dabei übernimmt die positive Definitheit die Rolle des Positiv-Seins, die negative Definitheit die Rolle des Negativ-Seins. Die Definitheit der Hesse-Matrix untersucht man mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums in Musterbeispiele: (i) f(x, y) = x 2 + y 2, gradf(x, y) = ( (2x, 2y) ) = 0 x = y = 0, 2 0 H f (x, y) = allgemein und H 0 2 f (0, 0) = Also: Isoliertes Minimum (s. Schaubild) in a = 0. (ii) f(x, y) = x 2 y 2 Auch hier gradf(x, ( y) = 0 ) x = y = Diesmal ist H f (0, 0) = negativ definit. 0 2 Ergebnis: Isoliertes Maximum in 0. ( ) sind positiv definit. (iii) f(x, y) = x 2 y 2, ( gradf(x, y) ) = 0 x = y = In (0, 0) : H f (0, 0) = =: A, ist indefinit, denn: 0 2 ( ) ( ) 0 Für x = ist x 0 t Ax = 2 > 0 und für y = ist y t Ay = 2 Ergebnis: Kein Extemwert. Bezeichnung 2: Die Punkte a mit grad f(a) = 0 bezeichnet man auch als kritische Punkte von f. Die kritischen Punkte im R 2 mit indefiniter Hesse-Matrix werden Sattelpunkte genannt. Weniger einfaches Beispiel: (iv) f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 + x 2 y 2

14 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 23 x (x, y) = 4x(x2 + y 2 ) + 2x = 4x(x 2 + y 2 2 ) y (x, y) = 4y(x2 + y 2 ) 2y = 4y(x 2 + y ) Dann: y (x, y) = 0 y = 0, weil (x2 + y x (x, 0) = 0 4x3 + 2x = 0 x = 0 oder x = ± ) immer > 0, also 0 ist.. Fazit: Die kritischen Punkte sind: (0, 0), ( 2 2, 0) und ( 2 2 (, 0). 2x Hesse-Matrix H f (x, y) = 2 4y xy 8xy 4x 2 2y 2 2 Dann: H f (0, 0) = ( ( H f ( , 0) = 0 4 ) indefinit (s. Beispiel (iii)) ) = H f ( 2 2, 0) Also: Ein Sattelpunkt in (0, 0) und zwei relative Maxima in ( 2 2, 0) und ( 2 2, 0). (Das Schaubild sieht ähnlich aus wie das Anfangsbild dieses Abschnitts.) Zur Beachtung: Die analoge Warnung wie in ist auch hier angebracht: Erstens: Die kritischen Punkte liefern erst einmal nur Kandidaten für Extremwerte. Zweitens: Auf dem Rand D von D können Extremstellen vorliegen, ohne daß der Gradient 0 ist, d.h. Randextrema müssen extra untersucht werden. Es kommt hinzu, daß in der Dimension n 2 der Rand eines D recht kompliziert sein kann. Wir geben noch eine explizite Beschreibung der Definitheitsfrage im Falle einer (2,2)-Matrix, weil dieser einfache Fall häufig vorkommt. Definitheit der Hesse-Matrix bei zwei Variablen: ( ) a b Sei A = symmetrische 2, 2)-Matrix. Dann: b d A positiv definit a > 0 und ad b 2 > 0 A negativ definit a < 0 und ad b 2 > 0 Man kann zeigen: ad b 2 < 0 A indefinit ( ) fxx f Für die Hessesche H f (x, y) = xy f yx = f xy f yy (dabei f x := x, f y := y ) heißt das: H f (x, y) positiv definit f xx > 0 und f xx f yy f 2 xy > 0 H f (x, y) negativ definit f xx < 0 und f xx f yy f 2 xy > 0 f xx f yy f 2 xy < 0 H f indefinit. 2 2 )

15 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Extremwerte unter Nebenbedingungen Situation: Man hat eine Funktion R n D f R, eine weitere Funktion g : R n R und ein c R. Bezeichnung: Sei M c := {x R n g(x) = c} die Isoquante von g zum Wert c. Sei a D. Man sagt: } Es ist g(a) = c, d.h. a D M c f hat in a ein lokales Maximum unter der Nebenbedingung g(x) = c Es ist f(a) f(x) für alle und es gibt ε > 0, so daß gilt: x D M c mit x a < ε Also: Es ist a M c und zum Vergleich mit dem Wert von f in a werden nur die Werte von f in denjenigen x D herangezogen, die in M c liegen. Bemerke: Das Maximum unter der Nebenbedingung braucht kein Maximum für das gesamte D zu sein. Eine analoge Definition hat man für lokale Minima. Musterbeispiel aus der Ökonomie: Es sei f : R n 0 = D R eine Nutzenfunktion. Das g sei in diesem Fall eine Kostenfunktion g : D R, x p x + p 2 x p n x n und die Nebenbedingung ist eine Budget- Gleichung p x + p 2 x p n x n = β. Gesucht: Das Güterbündel x maximalen Nutzens unter der Nebenbedingung p x +p 2 x p n x n = β, d.h. für das das Geld noch reicht. Eine Möglichkeit zur Lösung solcher Probleme bietet der folgende Satz: Satz : Die Situation sei wie in der Bezeichnung. Außerdem: Es sei a aus dem Innern D von D und sowohl f als auch g seien nach allen Koordinaten stetig partiell differenzierbar. Schließlich: Es sei grad g(x 0 ) 0. Dann gilt: Hat f in a ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung g(x) = c, so folgt: Es gibt ein λ R mit grad f(a) = λ grad g(a) ( d.h. grad f(a) und grad g(a) zeigen in dieselbe Richtung) d.h. mit (a) = λ g (a) für alle i =,..., n Name: Das λ heißt ein Lagrangescher Multiplikator für die Extremstelle.

16 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 25 Beachte: () Der Satz gibt wieder nur eine notwendige Bedingung für Extremstellen an. D.h. er liefert Kandidaten für Extremstellen. Ob tatsächlich ein Maximum oder Minimum vorliegt und welches von beiden, muß jeweils extra untersucht werden. Auch die Bedingung grad g(a) 0 muß sei, damit der Satz funktioniert. (2) Um die Koordinaten x,..., x n der Extremstellen-Kandidaten und, als Hilfswert, das λ zu bestimmen, stehen folgende n + Gleichungen zur Verfügung: (x) = λ g (x) für i =,..., n und g(x) = c. Beispiel: f : R 2 >0 R, f(x, y) = x2 + 4xy, mit der Nebenbedingung g(x, y) = x 2 y = c > 0. Kandidaten für Extremwerte sind diejenigen (x, y), wo () (2x + 4y, 4x) = grad f(x, y) = λ grad g(x, y) = λ (2xy, x 2 ) und: (2) g(x, y) = x 2 y = c > 0 Aus () : (3) 2x + 4y = λ 2xy (4) 4x = λ x 2 = λ = 4 x 2x + 4y = 8y = x = 2y = aus(3) Eingesetzt in (2): 4y 3 = c = y = 3 c 4 und x = 2 3 c 4 Die Nebenbedingung kann für beliebig großes x erfüllt werden (wenn nur y = c ). Also kann x2 f(x, y) beliebig groß werden. Andererseits ist f(x, y) > 0, d.h. nach unten beschränkt. Aus all dem läßt sich schließen, daß f in a = (2 3 c 4, 3 c 4 ) ein Minimum hat. Ein weiteres einfaches Beispiel: Gesucht: Extremwerte von f(x, y) = x 2 + y 2 unter der Nebenbedingung g(x, y) = 2x + y = 4. ( ) ( ) 2x 2 Man hat grad f =, grad g =. 2y Bedingungen: () 2x = 2λ, (2) 2y = λ und (3) 2x + y = 4 Daraus: λ = x = y = x 5 2 = 2 x = 4. in(2) in(3) Also: x = 8 5, y = 4 5. Somit ist a = ( ) das einzige mögliche Extremum. Da x 2 + y 2 für x, y mit großem Betrag beliebig groß wird, liegt ein Minimum vor.

17 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 26 Geometrische Deutung des letzten Beispiels: Für X = (x, y) ist x 2 + y 2 = X 2 =! Quadrat des Abstands von X vom Nullpunkt. ) Also: a = ( Abstand hat! 5 ist der Punkt auf der Geradeng 2x + y = 4, welcher von 0 den kleinsten Alternative Lösungsmethode mittels Substitution: Unter Umständen kann man die Nebenbedingung g(x) = c nach einer der Variablen, etwa nach x n, auflösen, d.h. für die Punkte x M c kann man x n, zumindest in einer Umgebung von x, als Funktion x n = ϕ(x,..., x n ) darstellen. (In unseren Beispielen z.b. geht das: Im ersten Beispiel ist y = c und im zweiten Beispiel ist y = 4 2x.) In diesem Fall kann man die Funktion F (x,..., x n ) := f(x,..., x n, ϕ(x,..., x n )) betrachten. In ihr ist die Nebenbedingung integriert. Das Problem, Extremstellen für f unter der Nebenbedingung zu finden, ist transformiert in das Problem, Extremstellen von F ohne Nebenbedingung und bei nur noch n Variablen zu finden. Diese Problem löst man dann mit den Methoden aus 9.3. (oder, wenn n = 2 also n = ist, mit den Methoden der (Schul- )Kurvendiskussion aus ). Etwa bei unserem ersten Beispiel: y = c x 2 x 2 in f eingesetzt ergibt F (x) = x2 + 4c x. Die Ableitung ist F (x) = 2x 4c 4c. Dies nullgesetzt ergibt 0 = 2x x2 x 2 x3 = 2c x = 3 2c c (= 2 3 wie oben errechnet; die letzte Gleichung bitte als kleine Übung in Wurzelrechnen nachprüfen). 4 Die zweite Ableitung F (x) = 2+ 8c x 3 ist gleich 6 > 0 für x = 3 2c. Also hat man ein Minimum. Den y-wert im Minimum erhält man durch Einsetzen von x = 3 2c in die Substitutionsgleichung y = c x 2. Es ist y = 3 c 4 wie auch oben errechnet. Als Übung löse man das zweite Beispiel mit der Substitutionsmethode. Alternative Formulierungen zum Satz Viele Autoren schreiben die Nebenbedingung nur in der Form g(x) = 0. Das ist keine Einschränkung der Allgemeinheit. Denn man kann g(x) = c als g(x) c = 0 und dies als g(x) = 0 schreiben mit g := g c als neuer Nebenbedingungsfunktion. Die Gradienten von g und g sind dieselben. Gegeben sei f und die Nebenbedingung g(x) = 0. Man kann die Funktion f(x) + λ g(x) =: L(x, λ) = L(x,..., x n, λ) in den n + Variablen x,..., x n und λ betrachten und registriert:

18 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 27 grad L(x, λ) = 0 D f(x) + λ D g(x) = D n f(x) + λ D n g(x) = 0 g(x) = 0 grad f(x) = λ grad g(x) und g(x) = 0 Das sind (mit λ statt λ,was irrelevant ist) dieselben notwendigen Bedingungen wie sie im Satz für eine Extremstelle verlangt sind. Der Satz lautet in dieser Formulierung also: In einer Extremstelle gilt grad L(x, λ) = Die (totale) Ableitung 9.4. Die Definition der Ableitung Erinnere an den Abschnitt 4..2 Differenzierbarkeit und lineare Approximation. Dort hatten wir die Differenzierbarkeit folgendermaßen charakterisiert: f ist differenzierbar in a mit Ableitung α } Es ist f(x) = f(a) + α (x a) + r(x) mit r(x) einem Rest r(x), für den lim = 0. x x 0 x x 0 In Worten: Die lineare Funktion t(x) := f(x 0 )+α (x x 0 ) approximiert f(x) in der Nähe von x 0 besonders r(x) gut, und zwar so, daß für x x 0 nicht nur der Rest r(x), sondern sogar gegen 0 strebt. x x 0 Die lineare Funktion t : R R, t(x) = f(x 0 ) + α (x x 0 ) war dann die Gleichung der Tangente an f bei x 0. Verallgemeinerung auf unsere Situation Es stellt sich heraus, daß die zitierte Charakterisierung den besten Ansatz liefert, den Begriff der Ableitung einer Funktion auf unsere Funktionen mit mehreren Variablen zu verallgemeinern. Wir machen dies gleich im allgemeinen Fall von Funktionen des Typs R n D f R m. Definition (Differenzierbarkeit und Ableitung): f Sei D R n R m eine Funktion und sei a D. Dann: Es gibt eine lineare Abbildung F a : R n R m, } f heißt so daß gilt: Ist r : D R m die Restfunktion : aus der Gleichung f(x) =: f(a) + F differenzierbar in a a (x a) + r(x), r(x) so ist lim x a x a = 0 Gilt die rechte Seite, so heißt F a die Ableitung von f in a.

19 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 28 (Auch die Bezeichnung totales Differential von f in a ist für F a gebräuchlich.) Schreibweisen: F a =: df a =: Df a. Vergleiche: Das ist formal die gleiche Definition wie bei Funktionen in einer Variablen. Anstelle der simpelsten linearen Funktion R x αx hat man hier das F a und weil man den Vektor r(x) nicht durch den Vektor x a dividieren kann, bildet man erst die Norm von beiden. Das liefert reelle Zahlen und die kann man dividieren. Der Limes in der Definition bedeutet folgendes: r(x) x a Die Funktion D x x a 0 x = a ist stetig in a. Bemerkung Man kann zeigen, daß ein F a wie auf der rechten Seite der Definition eindeutig ist, sofern es existiert. Daher ist die Definition von F a als der Ableitung sinnvoll. Zum Einprägen: Die Ableitung von f in a ist eine lineare Abbildung vom R n in den R m! Interpretation als lineare Approximation Wie bei der Differenzierbarkeit bei Funktionen einer Variablen läßt sich die Differenzierbarkeit einer Funktion als Approximation durch eine lineare Funktion deuten: Die lineare Funktion t(x) := f(a) + F a (x a) approximiert f in der Nähe von a so gut, r(x) daß nicht nur der Rest r(x), sondern sogar gegen Null geht für x a. x a Zur anschaulichen Bedeutung von t(x) siehe Die Existenz der Ableitung ist eine starke Eigenschaft. Wie in einer Variablen gilt Satz (Stetigkeit differenzierbarer funktionen) f differenzierbar in a = f stetig in a. Der Beweis ist nicht schwer Die Jakobi-Matrix Bezeichnungswahl: In den nächsten Abschnitten werden wir die Tupel aus den Tupelräumen R n, wie in der Linearen Algebra, wieder als -spaltige Matrizen schreiben. f Sei D R n R m eine Funktion wie im Abschnitt zuvor. Man hat also: x f (x) x 2 f 2 (x) x =. x n f(x) =:. f m (x) Die i-te Koordinate von f(x), haben wir dabei f i (x) genannt, i =,..., m.

20 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 29 Bemerke: Dadurch werden m reellwertige Funktionen definiert. f i : D R, x f i (x) := i te Koordinate von f(x), i =,..., m, Bezeichnung: Diese f i heißen die Koordinatenfunktionen von f. Man kann dann für alle i =,..., m und alle j =,..., n die j-te partielle Ableitung von f i betrachten: i x j (x) =: D j f i (x), i =,..., m, j =,..., n wir übernehmen hier diese Schreibweise Definition: Betrachte R n D f R m, x f (x). f m (x). Sei dann x aus dem Innern von D und alle f i seien partiell differenzierbar nach allen Variablen. Die Matrix Spezialfälle: J f (x) = (D j f i (x)) i=,...m j=,...,n = heißt die Jakobi-Matrix von f in x. D f (x) D 2 f (x)... D n f (x) D f 2 (x) D 2 f 2 (x)... D n f 2 (x).. D f m (x) D 2 f m (x)... D n f m (x) m = : Das heißt, f ist reellwertig (vomtyp () ). Dann: J f (x) = (D f(x) D 2 f(x)... D n f(x))! = ( grad f(x) ) t. Also: Die Jakobi-Matrix einer reellwertigen Funktion ist die transponierte des Gradienten. Anmerkung: Im Fall reellwertiger Funktionen sind also die Jakobi-Matrix und der Gradient im wesentlichen das gleiche. Der (feine) Unterschied in der Schreibweise wird z.b. ermöglichen, die Kettenregel besonders einfach und prägnant zu formulieren. 2 n =, d.h. Typ (2) : Der Fall der Kurven. Da wir dann nur ein Variable im Spiel haben, sind die Koordinatenfunktionen gewöhnliche reelle Funktionen. Es gibt nur eine Variable und deshalb nur eine partielle Ableitung, und das ist die gewöhnliche Ableitung aus dem Paragraphen 4. Also: J f (x) = d dx f (x). d dx f m(x) = f (x). f m(x) (x R) =: f (x) Bezeichnung: Das m-tupel J f (x) = f (x) nennt man in diesem Fall den Tangential- oder Geschwindigkeitsvektor der Kurve f. Im Punkt f(x) angesetzt, ist der Vektor f (x) tangential zur Kurve f.

21 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Eine Funktion vom Typ (3): Der Übergang zu den Polarkoordinaten (s, 9.. ) ( ) r cos ϕ f : R 2 \ {0} R 2, f(r, ϕ) = r sin ϕ In diesem Fall: ( ) cos ϕ r sin ϕ J f (r, ϕ) = sin ϕ r cos ϕ Jakobi-Matrix Ableitung In 7..2 haben wir den engen Zusammenhang zwischen Matizen A aus R m n und lineare Abbildungen vom R n in den R m kennengelernt. Zu Funktionen R n D f R m haben wir bisher lineare Funktionen als Ableitung und Matrizen als Jakobi-Matrix eingeführt. Es stellt sich nun heraus, daß beide für alle gebräuchlichen Funktionen im Sinne der linearen Algebra dasselbe sind: Satz Gegeben seien die Funktion R n D f R m und ei a D, dem Innern von D. () Ist f in a differenzierbar mit Ableitung Df a, so sind alle Koordinatenfunktionen f i, i =,..., m von f nach allen Koordinaten partiell differenzierbar. Es existiert also die Jacobi-Matrix J f (a) und sie ist die Matrix der Ableitung, d.h. für alle x R n, ist Df a (x) = J f (a) x (2) Ist f stetig differenzierbar in D, d.h. existieren dort alle partiellen Ableitungen aller Koordinatenfuktionen f i und sind sie stetig, so ist f differenzierbar in (jedem) a und es gilt erneut Df a (x) = J f (a) x für x R n. Anmerkung Die Zusammenhänge bei allgemeineren Voraussetzungen sind recht komplex. Die Existenz der Ableitung ist die stärkere Eigenschaft. Es gibt z.b. Funktionen, bei denen alle partiellen Ableitungen, also die Jakobi-Matrizen, in einem a existieren, wo aber f in a nicht differenzierbar ist Die Ableitung bei reellwertigen Funktionen Situation Die Funktion f : R n D R sei gegeben und differenzierbar in a D. Für x R n betrachte t : R n R, t(x) := f(a) + Df a (x)(x a) = f(a) + J f (a) (x a)! = f(a) + grad f(a), x a. Bemerkung : Das Schaubild von t ist durch die Gleichung x n+ = t(x,..., x n ), gegeben und beschreibt eine Hyperebene (s. Def.2 in ) im R n+, für n = 2 also eine Ebene im R 3. Bezeichnung Dieses Schaubild heißt die Tangential-Hyperebene (Tangentialebene für n = 2 ) von f in a.

22 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 22 Vorstellung: Es ist die (Hyper-)Ebene durch den Punkt (a, f(a)) R n+, an die sich das Schaubild der Funktion anschmiegt. Siehe das folgende Bild. Bemerkung 2: Wie in der Dimension werden die Punkte auf der Tangentialhyperebene als Näherungswerte für die f(x), x nahe bei a, angesehen: f(x) f(x) + J f (x) (x a) = D i f(a) (x i a i ) = grad f(a), x a i= oder für f := f(x) f(a) und x := x a : f J f (x) x = grad f(a), x ungefähr, in. Näherung (das alles für x nahe bei a )

23 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Kettenregel Bemerke: Wie in für die gewöhnlichen reellen Funktionen kann man auch unsere allgemeineren Funktionen hintereinanderschalten (komponieren): Gegeben seien die Funktionen R n D f R m und R m D g R k und es sei f(d) D. Dann existiert die Komposition von f und g, das ist die Funktion g f : D R k, a g f(x) := g(f(x)). In 4..5 haben wir mittels Kettenregel die Ableitung der Komposition bei gewöhnlichen (d.h. es ist n = m = ) differenzierbaren Funktionen berechnet. In diesem Fall gilt für x D : (g f) (x) = g (f(x)) f (x). In Worten: Die Ableitung von g f in x ist gleich dem Produkt der Ableitung von g in f(x) mit der Ableitung von f in x. Es stellt sich heraus, daß wir diese Formulierung beinahe wörtlich auch im Fall mehrerer Variablen übernehmen können: Satz (Kettenregel): Gegeben seien R n D Es seien a D und f(a) D. Dann: f R m, R m D g R k und es sei f(d) D. Ist f differenzierbar in a und g differenzierbar in f(a), so ist g f differenzierbar in a und für die Ableitung gilt D(g f) a = Dg f(a) Df a In Worten: Die Ableitung der Komposition differenzierbarer Funktionen ist die Komposition der entsprechenden Ableitungen. Für die Jakobi-Matrizen gilt die äquivalente Aussage: J g f (a) = J g (f(a)) J f (a) (Matrizenprodukt) Also: Die Jakobi-Matrix der Komposition differenzierbarer Funktionen ist das Produkt der ensprechenden Jakobi-Matrizen. Zum Beweis benutzt man die Approximationsaussagen der Differenzierbarkeitsdefinition und muß einige Tatsachen über Grenzwerte bei Funktionen mehrerer Variablen sorgfältig beachten. Anmerkung Man erkennt, wie perfekt diese Verallgemeinerung ist. In gewissem Sinne gewinnt sogar das frühere Ergebnis bei einer Variablen durch die verallgemeinerte Fassung an Klarheit und Kontur.

24 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Spezialfälle der Kettenregel (Wir geben die Formulierungen für die Jakobi-Matrizen) f Hier sei R R m g R t f(t) g(f)t)) Es gilt in diesem Fall, d.h. es ist n = k =. d dt (g f)(t) = (g f) (t) = J g (f(t)) J f (t) = (D g(f(t))... D m g(f(t)) Das Ergebnis als Funktion geschrieben ist also: ( ) d m dt (g f) = D j g df j dt j= = grad g, f df dt (t). df m dt (t). Als Anwendung (Beweis der Tatsache aus ): Wir benutzen die jetzigen Bezeichnungen: Es sei R m D g R k die Funktion, deren Richtungsableitungen wir berechnen wollen, und es sei a D. Sei e eine Richtung im R m. Sei ] δ, δ [ =: D mit δ > 0 ein Intervall in R, so daß a + he D ist für alle h D. Wir betrachten dann die Abbildung f : D D R m, h a + he, und schließlich die Komposition g f. Man stellt fest: (i) Es ist g f(h) = g(a + he) und g f(0) = g(a). Daraus g(a + h e) g(a) (ii) Es ist lim h 0 h (iii) Es ist f (0)! = e. Aus all dem und aus ( ) folgt dann: = (g f) (0). g e (a) = grad g(a), e Das ist aber, modulo der Bezeichnung, die Aussage der Tatsache in Kompositionen des Typs R n f R n g R. Die Formel ist in diesem Fall: ( ) J g f (x) = ( D g (f(x)) D 2 g (f(x))... D n g (f(x)) ) Das liefert für die einzelnen partiellen Ableitungen: D i (g f)(x) = D j g(f(x)) D i f j (x). j= D f (x)... D n f (x) D f 2 (x)... D n f 2 (x)... D f n (x)... D n f n (x)

25 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 224 Beispiel: f(r, ϕ) = Hier ( r cos ϕ r sin ϕ ( ) cos ϕ r sin ϕ J f (r, ϕ) = sin ϕ r cos ϕ ) (Polarkoordinaten) Schreibt man { x := r cos ϕ für f (r, ϕ) x 2 := r cos ϕ für f 2 (r, ϕ), so erhält man r g(x, x 2 ) = g x (x) cos ϕ + g x 2 (x) sin ϕ ϕ g(x, x 2 ) = g x r sin ϕ + g x 2 r cos ϕ 9.5 Einige Anwendungen 9.5. Partielle Wachstumsraten und Elastizitäten Bezeichnung: Gegeben sei R n D (x) f(x) x i f(x) f R. Es sei f differenzierbar in x und f(x) 0 für alle x D. =: r f,i (x) heißt partielle Wachstumsrate nach der i-ten Variablen. (x) =: ε f,i(x) heißt partielle Elastizität nach der i-ten Variablen. (Die partielle Ableitung (x) selbst nennt man manchmal auch Änderungsrate nach der i-ten Variablen.) Beispiel: f(x, y) = x α y β. ε f, (x) = α x α y β Dann: x x α y β = α und analog ε f,2 (x) = β. Diverse Bezeichnungsweisen: Für konkrete und spezielle Funktionen hat man oft auch spezielle, in der jeweiligen Situation aber meist unmißverständliche Namen für diese Elastizitäten. Zum Beispiel: Sei x(a, K) eine Produktionsfunktion, abhängig von den Faktoren Arbeit (A) und Kapital (K). Man gibt dann den ε x,i (x) auch die entsprechenden konkreten Namen: ε x, (x) = x A A (A, B) x ε x,2 (x) = x K K (A, B) x heißt Elastizität der Produktion nach der Arbeit und heißt Elastizität der Produktion nach dem Kapital. Die Interpretation: Die Interpretation ist entsprechend der für einfache Elastizitäten, s (und Vorlesung).

26 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Skalenelastizität So heißt die Elastizität bei der sogenannten proportionalen Faktorvariation. Das ist, ausgehend von einem a 0 im Definitionsbereich von f, eine Änderung der Variablen ( =: Faktoren ) auf der Geraden R a. (Im Kontrast dazu steht die sogenannte partielle Faktorvariation, wo man die Variablen in Richtung der Parallelen a + R e i zur x i -Achse verändert und die zur partiellen Ableitung und zur partiellen Elastizität führt.) Genauer (wir beschränken uns auf die gebräuchliche Situation): Gegeben: f : R n >0 =: D R, und a D. Sei δ > 0 so, daß λ a D ist für alle λ mit δ < λ < + δ. Man kann dann betrachten ϕ :] δ, + δ[ R, λ ϕ(λ) := f(λ a) Definition (Skalenelastizität) Die Skalenelastizität ε f,λ (λ a) von f in λ a ist definiert als die (gewöhnliche) Elastizität von ϕ in λ. Für λ = erhält man die Skalenelastizität ε f,λ (a) von f in a. Weil ε ϕ (λ) = ϕ (λ) ϕ(λ) λ = ϕ(λ)=f(λ a) ε f,λ (λ a) =: ( ) ε f,λ (a) =: ( ) ϕ (λ) f(λ a) λ ϕ () f(a). ϕ (λ) λ gilt also in Formeln: f(λ a) und Anwendung der Kettenregel bringt uns detailliertere Informationen: Betrachte die Abbildung σ : ] δ, + δ[ =: I R, λ λ a. Dann gilt: ϕ ist die Komposition ϕ! = f σ und d σ d λ (λ) = σ (λ)! a = a. a n für alle λ I. Die Kettenregel in der Form des Spezialfalls liefert daher (mit den jetzigen Bezeichnungen) : (f σ) (λ) = (λ a) a i ( ) i= Die Gleichung ( ) in die Gleichung ( ) eingesetzt ergibt: x ε f,λ (λ a) = i (λ a) λ a i = ε f,i (λ a). f(λ a) i= }{{} i= ε f,i (λ a)

27 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 226 Als Ergebnis erhalten wir den Satz (Wicksell-Johnson-Theorem): Die Skalenelastizität ist die Summe der partiellen Elastizitäten. Oder als Formel: Für alle a D ist ε f,λ (a) = ε f,i (a). i= Bemerkung Das Wicksell-Johnson-Theorem erlaubt es, die Skalenelastizität direkt für alle a zu definieren ohne Rekurs auf die Abbildung λ λ a, nämlich als Summe der partiellen Elastizitäten. Beispiel: Betrachte die Funktion f(x, y) = x α y β mit α,, β > 0. Dann ist (s. dieses Beispiel in 9.5.): ε f,λ (a) = α + β für alle a, insbesondere ist ε f,λ (a) konstant in a. Bezeichnung Ist f eine (Produktions-)Funktion, so spricht man von konstanten Skalenerträgen (constant returns to scale) wenn ε f,λ = in ganz D, wachsenden Skalenerträgen (increasing returns to scale) wenn ε f,λ > in ganz D, fallenden Skalenerträgen (decreasing returns to scale) wenn ε f,λ < in ganz D. (Interpretation in der Mikroökonomie.) Homogene Funktionen Definition: (homogene Funktionen): Sei R n D f R und sei r R. { für alle x D und alle λ R mit f heißt homogen vom Grade r λ x D gilt: f(λ x) = λ r f(x). Beispiel: f(x, y) = x α y β mit α + β = r ist homogen vom Grade r. Denn: f(λx, λy) = λ α x α λ β y β = λ α+β x α y β = λ r f(x). Die hier und auch schon früher als Beispiel betrachteten Potenzfunktionen sind wichtig zur Demonstration grundlegender Zusammenhänge ökonomischer Theorien und haben einen klassischen Namen: Bezeichnung (Cobb Douglas-Funktionen): Sei f : R n >0 R, f(x) = f(x,..., x n ) := c x α xα xαn n, mit α + α α n = r und einer Konstanten c > 0.

28 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 227 Dann heißt f eine (allgemeine) Wicksell-Cobb-Douglas-Funktion. Mit Cobb-Douglas-Funktion schlechthin bezeichnet man meist die mit r =. Wicksell-Cobb-Douglas-Funktionen sind homogen vom Grade r (Beweis wie im Beispiel). Die Eulerschen Homogenitätsrelationen: Vorausgesetzt: f : D R sei homogen vom Grade r und es sei x D. Betrachte ein Intervall I in R mit I und λ x D für alle λ I und die zusammengesetzte Abbildung ϕ definiert durch ϕ := f σ, wo ϕ : I σ D f R, also ϕ(λ) := f(λ x) λ λ x f(λ x). Es gilt dann: f(λ x) = λ r f(x) Beide Seiten nach λ abgeleitet, links nach der Kettenregel, ergibt: ( ) i= D i f(λ x) x i = df dλ (λ x) = d dλ λr f(x) = r λ r f(x) Für λ = liefert das den: Satz Unter den bisherigen Voraussetzungen gilt: r f(x) = D i f(x) x i (Eulersche Homogenitätsrelation) i= Dividiert man noch durch f(x) (für f(x) 0), so erhält man r = ε f,i (x) i= (Eulersche Homogenitätsrelation für die partielle Elastizität) Herleitung ökonomischer Gesetzmäßigkeiten mittels Lagrange-Theorie Gegeben: Güterbündel x = (x,..., x n ) R n 0 Preisvektor p = (p,..., p n ) mit p i > 0, für alle i (p i = Preis pro Einheit von x i ) Nutzenfunktion: f : R n R Budgetbeschränkung: x i p i = c = g(x) Gesucht: Maximum von f unter der Budgetbschränkung als Nebenbedingung. Die Theorie der Extremstellen unter Nebenbedingungen in legt die Vorgehensweise nahe: Man bestimme die x mit

29 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 228 grad f(x) = x (x). x n (x) = λ p. p n = λ grad g(x). D.h. mit x (x) = λ p i bzw. λ = i (x), i =,..., n. p i Ergebnis: Die Quotienten rechts in der letzten Gleichung müssen alle gleich sein. Wir haben folgendes Gesetz hergeleitet: Satz (sogenanntes 2. Gossensches Gesetz): Mit den bisherigen Bezeichnungen und Voraussetzungen gilt: In einem x m mit maximalem Nutzen ist das Verhältnis i (x m) p i = Grenznutzen nach x i Preis pro Einheit von x i für alle i dasselbe. Oder in anderer Form: Es ist (x m ) p i = x j (x m ) p j = für alle i, j n. Bringt man in diesen Gleichungen die Preise auf eine Seite, so erhält man folgende Variante: Im Punkte x m maximalen Nutzens gilt für alle i, j die Gleichheit folgender Verhältnisse: (x m ) x j (x m ) = Grenznutzen nach x i Grenznutzen nach x j = p i p j Ausgleichsgerade Dies ist eine Anwendung der Extremwertbestimmung (ohne Nebenbedingungen) in der Statistik. Ausgangslage: Bei einer Erhebung festgestellt (bzw. bei einem Experiment gemessen) wurden für gewisse Argumente x, x 2,..., x n R die Meßdaten y, y 2,..., y n. Gesucht: Eine Gerade g(x) = ax + b, so daß Q(a, b) = (g(x i ) y i ) 2 = (ax i + b i y i ) minimal wird. i=

30 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 229 Die Theorie der Extremwertbestimmung gibt vor: Zu suchen sind die (a, b) mit grad Q(a, b) = 0 d.h. mit Q a = 0 = Q, also mit: b Q a Q b = = 2(ax i + b y i ) x i = 2 (( x 2 i ) a + ( x i ) b i= 2 (ax i + b y i ) = 2 (( x i ) a + n b ( y i )) = 0 i= x i y i = 0 Dabei: Die x i, x 2 i, y i, x i y i sind durch das Experiment gegebene und also konstante Zahlen. Man erhält ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen für die beiden Unbekannten a und b: ( ( x i ) a + n b = x 2 i ) a + ( x i ) b = y i x i y i (Name für dieses Gleichungssystem: System der Normalgleichungen). Daraus lassen sich a und b bestimmen. Anmerkung Es lohnt sich nicht, die nicht ganz übersichtlichen Koeffizienten dieser Gleichungen auswendig zu lernen. Einfacher ist es, sich die Herleitung zu merken und sich die Koeffizienten selbst zu bestimmen.

31 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN Aufgaben Aufgabe. Gegeben sei die Funktion: f : R 2 R, f(x, y) = x 4 4x 2 y 2 + y 4. Betrachten Sie die davon hergeleiteten Funktionen f y=0 und f x=0, die jeweils die Einschränkung von f auf die x-achse bzw. die y-achse darstellen: f y=0 : R R, f y=0 (x) = f(x, 0) = x 4 f x=0 : R R, f x=0 (y) = f(0, y) = y 4. Zeigen Sie, dass sowohl f y=0 als auch f x=0 an der Stelle x = 0 (bzw. y = 0) ein Minimum haben. Können Sie daraus schließen, dass die Funktion f an der Stelle (x, y) = (0, 0) auch ein Minimum hat? Überprüfen Sie Ihre Aussage durch Einsetzen verschiedener Punkte. Aufgabe 2. Bestimmen Sie Gradient und Hessematrix für folgende Funktionen: f : R 2 R (x, y) 3xy + 5y f 2 : R 2 R (x, y) sin(xy) f : R 3 R (x, y, z) x sin(yz) e x2 +z Aufgabe 3. Bestimmen Sie Gradient und Hessematrix von (vgl. Aufgabe ): f : R 2 R, f(x, y) = x 4 4x 2 y 2 + y 4. Zeigen Sie, dass die Hessematrix am Punkt (0, 0) indefinit ist. Aufgabe 4. Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion: f : R 2 R, (x, y) x 3 + 3x 2 y + 3y 2 x 3x Aufgabe 5. Eine Firma stellt aus den Produktionsfaktoren a und k ein Produkt P her. Die Produktionsfunktion sei x(a, k) = 20a 4 k 2, und das Endprodukt lasse sich zum fixen Marktpreis von p = 0 EUR absetzen. Eine Arbeitsstunde a kostet 5 EUR, eine Einheit k des Kapitalstocks kostet 0 EUR. Welcher Faktoreinsatz maximiert den Gewinn, wenn keine weiteren Kosten anfallen? Wie hoch ist dieser? Aufgabe 6. Berechnen Sie die partiellen Elastizitäten sowie die Skalenelastizitäten folgender Funktionen:

32 9. DIFFERENTIALRECHNUNG BEI MEHREREN VARIABLEN 23 a) f(x, y) = e x2 +y b) f(x, y, z) = x 2 yz 3 Aufgabe 7. Betrachten Sie folgende Produktionsfunktion in Abhängigkeit der Faktoren Arbeit und Kapital: f(a, K) = (A 2 + 2K 2 ) 2. Zeigen Sie, dass diese Funktion Skalenelastizität besitzt. Aufgabe 8. Bestimmen Sie mögliche Extrema der Funktion unter der Nebenbedingung f(x, y, z) = (x ) 2 + y 2 + z 2 x + 2y + 2z = 0 (vgl. auch Klausuraufgabe 5 von letztem Jahr ).