Bauakustik I. FHNW HABG CAS Akustik 4 h. Version: 26. Februar kann man das Verhalten mit den folgenden drei Grössen beschreiben: p t p i.

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1 Bauakustik I FHNW HABG CAS Akustik 4 h Version: 6. Februar 009 Inhalt 1 3 Theoretische Grundlagen der Luftschalldämmung Messen und Masse der Luftschalldämmung Praktische Berechnungsverfahren für die Luftschalldämmung (1) 1 Theoretische Grundlagen Luftschalldämmung 1.1 Luftschalldämm-Mass [1] Kap. 7. Fällt eine Welle p i auf eine Wand oder Grenzschicht, dann wird ein Teil der Welle reflektiert p r, ein Teil wird disssipiert p d und ein Teil wird transmittiert p t. Damit kann man das Verhalten mit den folgenden drei Grössen beschreiben: Transmissionsfaktor: t p t p i Reflexionsfaktor: r p r p i Dissipationsfaktor: d p d p i Diese Grössen sind meist komplex, da sie mathematisch erschöpfend die Wirkung einer Sperrschicht beschreiben. Etwas einfacher sind dei Verhältnisse, wenn wir die Intensitäten betrachten. Wir haben dabei: Transmissiongrad: t I t I i 1

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3 p t x, t p_ t, cos cos k xkw t Cp_ t, sin sin k xkw t (1..3) und v i x, t p_ i cos k 1 xkw t (1..4) p_ cos k xcw t r, cos 1 v x, t K r p_ sin k xcw t r, sin 1 C v t x, t p_ t, cos cos k xkw t p_ sin k xkw t t, sin C (1..6) Es gilt nun auf der Wasseroberfläche bei x0 die Gleichheit des Druckes und der Schnelle auf beiden Seiten der Grenzschicht: p 0, t Cp 0, t p 0, t i r t v 0, t Cv 0, t v 0, t i r t und damit: p_ i cos Kw t Cp_ r, cos cos w t Kp_ r, sin sin w t p_ t, cos cos Kw t Cp_ t, sin sin Kw t (1..7) p_ i cos Kw t p_ cos w t r, cos K C p_ r, sin sin w t p_ t, cos cos Kw t p_ sin Kw t t, sin C (1..8) Nun müssen die beiden Gleichen natürlich für alle Zeiten t richtig sein, d.h. sin und cos müssen je die Gleichungen gleichzeitig erfüllen.wir haben also 4 Unbekannte (p i setzen wir als bekannt voraus) und 4 Gleichungen. Getrennt ergeben sich damit die folgenden 4 Gleichungen: p_ i cos w t Cp_ r, cos cos w t p_ t, cos cos w t Kp_ r, sin sin w t Kp_ t, sin sin w t (1..9) p_ i cos w t K p_ r, cos cos w t p_ t, cos cos w t p_ r, sin sin w t p_ sin w t t, sin K (1..1) Und daraus die Lösung: p_ t, sin 0, p_ r, sin 0, p_ r, cos p_ i K C, p_ t, cos p_ i C (1..13) Wie man der Lösung entnehmen kann, sind die transmittierte und die reflektierte Wellen wie die einfallende Welle reine cos-wellen. Es ergibt sich damit für den Transmissionsund Reflexionsfaktor: 3

4 t C (1..14) r K C (1..15) D.h. wenn Z 0 dann ist t 1 und r 0. Das Wichtigste ist: Bei einer diskontinuierlichen Aenderung der Impedanz entsteht immer eine Reflexion. Ist die zweite Schicht "weicher", d.h. Z!Z dann schwingt die reflektierte Welle 1 in Anti-Phase zur einfallenden Welle: r!0. Ist die zweite Schicht "härter", dann schwingt die reflektierte Welle in Phase zur einfallenden Welle, d.h. 0! r. Einige physikalische Eigenschaften von Materialien: Eigenschaften von Materialien bei 0 und 10 5 Pa Material kg/m 3 E GPa u h int % Z kg/(m s) f g *h Hz*m c p m/s Backstein * Beton * Gips Gipskarton * Nadelholz *10 6 (quer zur Faser) Spanplatten * Sperrholz Glas * Aluminium * Blei * Kupfer * Stahl * Erdgas * Luft * Wasser * Gummi * * Kork * Gemäss den obigen Zahlen muss Wasser als schallhart bezeichnet werden, ähnlich wie Holz. D.h. das Schall im Wasser wirkt sehr gut auf Mauerwerk ein. -> Beispiel Unterwasser-Pumpe 4

5 Es kann auch die "Schalldämmung" einer Grenzschicht berechnet werden. Diese ist: R 10 ln 1 4 ln 10 C (1..16) Die Schalldämmung nimmt also zu, je härter die zweite Schicht ist, und zwar bei sehr grosser Härte proportional zur Härte. Interessant ist ebenfalls, dass die Schalldämmung unabhängig von der Frequenz und der Richtung des Uebergangs ist! Beispiel 1 Was ist die Schalldämmung der Grenzschicht Luft-Wasser und der Grenzschicht Wasser- Beton? Lösung: Aus der obigen Tabelle ergibt sich für Luft und Wasser eingesetzt in obiger Gleichung für R: R db (1..1.1) Und für Wasser auf Beton: R db (1..1.) Zum Vergleich noch der Uebergang von Luft auf Beton: R db (1..1.3) Auf keinen Fall darf man deshalb Wasser als isolierend betrachten, ähnlich wie z.b. Gummi. Was passiert nun, wenn die Schallwelle schräg im Winkel q 1 auf die Trennschicht auftrifft? 5

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8 p_ i cos Kw t p_ cos w t r, cos K C p_ r, sin sin w t p_ t, cos cos Kw t p_ sin Kw t t, sin C (1.3.) Auch hier trennen wir in den sin und den cos Anteil: p_ i cos w t Cp_ r, cos cos w t Kp_ t, cos cos w t m'' p_ t, sin cos w t w (1.3.3) Kp_ r, sin sin w t Cp_ t, sin sin w t m'' p_ t, cos sin w t w p_ i cos w t K p_ r, cos cos w t p_ t, cos cos w t p_ r, sin sin w t p_ sin w t t, sin K (1.3.6) Und dann ergibt sich für die Lösung: p_ t, cos Z Z CZ p_ m'' w Z p_ 1 i C Z Z Cm'' w CZ, p_ K 1 i r, sin 1 1 C Z Z Cm'' w CZ, p_ r, cos 1 1 (1.3.7) p_ i Cm'' w K C Cm'' w C, p_ t, sin m'' w p_ i C Cm'' w C Hier besteht die transmittierte Welle sowohl aus einem sin wie auch aus einem cos Anteil. Die jeweiligen Transmissionsfaktoren sind: t cos C C Cm'' w C (1.3.8) t sin m'' w C Cm'' w C (1.3.9) Der Transmissiongrad ergibt sich als Summe des Quadrates der beiden Anteile. Wenn wir noch annehmen, dass hinter und vor der Wand die Impedanz gleich ist, ergibt sich t zu: t 4 Z 0 4 Z 0 Cm'' w (1.3.10) und die Schalldämmung: R 10 ln 1 C 1 m'' w 4 Z 0 ln 10 db (1.3.11) Das ist das berühmte Massengesetz der Akustik. Wenn wir noch den Einfallswinkel berücksichtigen, ergibt sich: 8

9 R Masse 10 ln 1 C 1 4 m'' w cos q ln 10 Z 0 db (1.3.1) Aus der obigen Formel lassen sich folgende Schlüsse ziehen: Die Schalldämmung nimmt um 6 db pro Oktave zu. Die Schalldämmung nimmt mit 6 db pro Verdoppelung der Masse zu. Die Schalldämmung verschwindet für q p Beispiel 1 Was ist die Schalldämmung eines mm dicken Bleilappens bei 45 Grad Schalleinfall? Lösung: Die Dichte von Blei ist: r Blei kg m 3 ( ) und damit die Flächenmasse: m''.600 kg m (1.3.1.) Daraus ergibt sich: R ln 1. C Blei kg m s kg m w cos q db ( ) Und als Graphik: 9

10 80 Grad Grad Grad db Frequenz [Hz] Und die Schalldämmung bei 500 Hz in Funktion des Einfallswinkels: 10

11 Abhaengigkeit der Schalldämmung R vom Einfallswinkel für mm Blei bei 500 Hz R [db] Einfallswinkel [Grad] 1.4 Einfluss der Biegesteife [] Kap Wände besitzen eine Steifigkeit in Bezug auf Biegung. Dies nennt man die Biegesteife B. Die Biegesteife B ergibt sich aus dem Elastizitätsmodul E und der Poissonzahl m des Materials: B' E h 3 1 K1 m (1.4.1) Aufgrund von Biegesteifigkeit und Flächenmasse können sich nun Biege-Wellen in der Wand ausbreiten. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenzahl dieser Biegewellen ergibt sich wie folgt aus der Biefgesteife und der Masse: c B' B' m'' 1/4 w (1.4.) k B' m'' B' 1/4 w (1.4.3) Interessant ist nun, dass die Biegewellengeschwindigkeit von der Frequenz abhängt! Man nennt dies auch Dispersion. Neben anderen Effekten, die direkte Auswirkung auf die Bauakustik haben, hat die Dispersion den Effekt, dass Signale, also Information, schneller übermittelt werden kann als aufgrund der Biegenwellengeschwindigkeit vorgegeben. Dazu ist anzumerken, dass durch eine monochromatische Welle keine Information übermittelt werden kann. Nur mit einem Gemisch von Wellen kann Information 11

12 übermittelt werden. Dies sei an einem Beispiel gezeigt: K0.4 K x K1 Wie man dem Beispiel entnehmen kann, bewegt sich die Gruppe schneller vorwärts als die Phase, und zwar genau aufgrund der Differenz zwischen den beiden Wellen. Man definiert deshalb drei Geschwindigkeiten: 1

13 die Phasengeschwindigkeit c k w k p k die Gruppengeschwindigkeit: c k v g vk w k die Frontgeschwindigkeit: c k lim f k/n w k k Die Uebermittlung von Information erfolgt immer mittels Frontgeschwindigkeit (An- und Ausschalten eines Trägers). Für die Biegewellen ergibt sich: c p k k m'' B' (1.4.4) c g k k m'' B' c f N (1.4.6) Die Gruppengeschwindigkeit ist also doppelt so gross wie die Phasengeschwindigkeit! Informationen können (wenigstens theoretisch) unendlich schnell ausgetauscht werden. Für eine optimale Abstrahlung von Biegewellen muss die Spur der Wellenzahl der akustischen Welle der Wellenzahl der Biegewelle entsprechen. -> Demo Abstrahlung Es muss also gelten: k 0 sin q k B' oder w sin q m'' c B' 0 1/4 w (1.4.7) Das ergibt für den Winkel q: sin q m'' B' w 1/4 c0 (1.4.8) Nun muss aber sin q %1 sein, was für die Frequenz bedeutet: m'' B' c 0 %w (1.4.9) Die Frequenz, ab welcher also Abstrahlung aufgrund der Biegewellen stattfindet heisst 13

14 auch Grenzfrequenz. Die Biegesteifigkeit eingesetzt ergibt: f g 1 r 1 K1 m h E p c 0 (1.4.10) Wie man sieht, ist die Grösse f g h eine Konstante des Materials, die es erlaubt, einfach die Grenzfrequenz zu berechnen. Oberhalb der Grenzfrequenz ergibt sich rückwärts der Abstrahlwinkel zu: sin q f g f (1.4.11) Materialien, die ihre Grenzfrequenz unterhalb des bauakustisch relevanten Bereichs von 100 Hz Hz haben, nennt man biegesteif, Materialien, die die Grenzfrequenz oberhalb dieses Bereichs haben, nennt man biegeweich. Schlecht ist, wenn die Koinzidenzfrequenz innerhalb des bauphysikalisch relevanten Bereichs ist. Als Beispiel für den typischen Verlauf die Schalldämmung einer Sperrholzplatte und einer Bleiplatte gleichen Flächengewichts: 110. R[dB] Frequenz [Hz] Theoretisch nimmt oberhalb der Koinzidenzfrequenz die Schalldämmung mit 18 db / Oktave zu. Bei Glasscheiben, kann man den Koinzidenzeffekt direkt hören: 14

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16 mit m" der Flächenmasse der beiden Schalen in kg m und s' der dynamischen Steifigkeit der Zwischenschicht in Pa. Ist das Material in Bezug auf die Dicke linear, so ergibt m sich die dynamische Steifigkeit s' aus dem dynamischen Elastizitätsmodul E und der Dicke h zu: s' E h Eine Zusammenstellung der dynamischen Steifigkeiten befindet sich in []. Zusammengefasst anbei eine Zusammenstellung: Elastizitätsmodul von Dämmschichten (Dies sind nur Anhaltswerte. Konkrete dynamische Steifigkeiten sind direkt den Produktedaten zu entnehmen) Material E MPa Glaswolle 0.0 Gummischrot 0.60 Luft 0.1 Melaminharzschaum 0.36 Polystyrol, extrudiert 16 Polystyrol, expandiert und elastifiziert 0.16 Polyurethanschaum, weich 0.35 Sind die beiden Schichten nicht durch eine elastische Dämmschicht direkt miteinander verbunden, so ist die Steifigkeit der Luft zu nehmen. Anbei ein Beispiel für die Luftschalldämmung einer Fensterscheibe, bestehend aus Gläsern je 3 mm dick in einem Abstand von 10 mm: 16

17 80. R[dB] Frequenz [Hz] Im oberen Frequenzbereich ist der Beginn der Resonanzen innerhalb des Scheibenzwischenraumes zu beobachten. Messen und Masse der Luftschalldämmung 3 Praktische Berechnungsverfahren für die Luftschalldämmung Im Prinzip ist die exakte Berechnung des Luftschallschutzes vorläufig noch nicht möglich bzw. ist sehr schwierig. Es gibt darum drei Möglichkeiten: Berechnung der Luftschalldämmung mit grösstem numerischen Aufwand Praktische Berechungsverfahren, basierend auf Erfahrung Messungen. Nur Messungen vermögen im Moment die Genauigkeit zu liefern, die in Fällen, wo eine Haftpflicht besteht, nötig ist. Praktische Berechungsverfahren können nur mit Einbezug entsprechender Reserven verwendet werde. 3.1 Schalldämmung biegeweicher Materialien [] Kap Die Schalldämmung für das diffuse Schallfeld ergibt sich aus der Flächenmasse m' unterhalb der Koinzidenzfrequenz zu: 17

18 R Diff 0 log10 f m'' K47 db Da die Form des Spektrums sich mit der Flächenmasse nicht ändert, sondern nur parallell verschiebt, so ergibt sich für die bewertete Schalldämmung nach obiger Formel zu: R Diff, w 0 log10 m'' C11.7 db Man kann mit folgender rechnerischen Näherung für die bewertete Schalldämmung monolitischer, schwerer Bauteile mit 150 kg m!m'' (Beton, Backstein, Gips etc.) rechnen: R w 37.5 log10 m'' K4 db 3. Biegewellen [] Kap Oberhalb der Koinzidenzfrequenz ergibt sich die Schalldämmung aus der Flächenmasse m', der Koinzidenzfrequenz f g und dem Verlustfaktor h zu: R Diff 0 log10 f m'' C5 log10 f f g C10 log10 h K40 db Es scheint das beste zu sein, die Koinzidenzfrequenz unter einem Einfallswinkel von 45 Grad zu nehmen. Wenn man die Schwingungen einer Wand misst, kann aus dem Schnellepegel L v der Wand auf die abgestrahlte Schall-Leistung L W geschlossen werden. Diese ergibt sich zu (Achtung die Referenzgrösse für die Schnelle ist dabei K8 m ) : s L W L v C10 log10 s C10 log S s nennt man den Abstrahlgrad. Nach Heckl Müller ist der Abstrahlgrad als Funktion von Fläche S, Umfang U und Koinzidenzfrequenz f g des Bauteils: f!0.5 f g : s : U c 0 S p f f g 3 f f g : s : 0.45 U f g c 0 f g!f: s 1. Nach SIA ergeben sich praktisch folgende Schalldämm-Masse für Einzelschalen: 18

19 3.3 Doppelschalige Bauteile [] Kap Die Verbesserung, die durch doppelschalige Bauteile im Gegensatz zu gleich schweren einschaligen Bauteilen oberhalb der Resonanzfrequenz f r erreichbar ist, ist: D R 40 log f f r Die Verbesserung von Wänden mit einem bewerteten Schalldämmass R durch Vorsatzschalen, w sofern die Resonanzfrequenz unter 80 Hz ist und die Vorsatzschale mind. 10 kg/m schwer, ergibt sich zu: D R 35 K0.5 R w w Bei Fensterscheiben ist besonders zu beachten, dass die Schalldämmung auch von der Grösse der Scheiben abhängt. Aus Erfahrung verändert sich für luft- oder argongefüllte Scheiben die Schalldämmung mit der Scheibengrösse S nach folgender Formel: D R w K4.3 log10 S 1.88 m db und für Scheiben mit Schwergasfüllung: D R w K0.6 log10 S 1.88 m db. 19