Gymnasium Fränkische Schweiz Abiturjahrgang 2011 Ebermannstadt SEMINARARBEIT. im W-Seminar Mathematik: Komplexe Zahlen. Thema. Die Mandelbrotmenge

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1 Gymnasium Fränkische Schweiz Abiturjahrgang 2011 Ebermannstadt SEMINARARBEIT im W-Seminar Mathematik: Komplexe Zahlen Thema Die Mandelbrotmenge Verfasser/in: Seminarleiter/in: Michael Hübschmann Herr Hümmer Abgabetermin: Ergebnis der vorgelegten Seminararbeit Ergebnis der Präsentation mit Prüfungsgespräch Gesamtergebnis in doppelter Wertung: auf ganze Punktzahl gerundetes Ergebnis von (3x schr. + 1x mdl.):2 Punkte Punkte Punkte

2 Inhaltsverzeichnis 1 Faszination des Apfelmännchens Mathematischer Hintergrund Das Verfahren der Iteration Definition der Mandelbrotmenge Eigenschaften der Mandelbrotmenge Zusammenhang zwischen Juliamengen und Mandelbrotmenge Verschiedene Ergebnisfolgen der Iteration in Bezug auf die Mandelbrotmenge Grafische Darstellung Fraktal in der komplexen Ebene Randphänomene Satelliten Seepferdchental Spiralen Apfelmännchen in 3D Schlusswort Literatur- und Quellenverzeichnis Bücher Webquellen Bildernachweis Anhang...17

3 1 Faszination des Apfelmännchens Die Mandelbrotmenge, wegen ihres optischen Erscheinungsbildes auch Apfelmännchen genannt (siehe Abb. 1), vermochte es seit ihrer Entdeckung die Menschen zu faszinieren. Bereits um das Jahr 1975 waren Fraktale und die Chaosforschung aktuelle und viel beachtete Themen in der Mathematik. Plötzlich kamen viele geometrische Muster der Natur nahe, da nicht mehr nur nach der euklidischen Geometrie 1 beschrieben wurde, sondern nach Fraktalen. Gegenüber glatten Dreiecken und Kreisen erscheinen Fraktale rau, denn ihre Ränder stellen sich zerklüftet dar. Bezeichnend für Fraktale ist die Selbstähnlichkeit: Wenn man die Form vergrößert, findet man sie unendlich oft verkleinert in sich selbst wieder. Benoît Mandelbrot ( ), ein promovierter Mathematiker, befasste sich schon früh mit diesen Phänomenen, vor allem wie diese in der Natur auftreten. So visualisierte er Mengen mit komplexen Strukturen, die sich aber immer auf eine einfache Formel zurückführen lassen und erkannte, dass das Prinzip der Selbstähnlichkeit einheitlich Systemen wie Wolken oder Bäumen zugrunde liegt. 1 Der griechische Mathematiker 'Euklid von Alexandria' vertrat die These, dass alle Formen in der Natur sich durch einfache mathematische Elemente beschreiben lassen, wie z.b. Dreiecke oder Kreise Die Mandelbrotmenge 3 Michael Hübschmann

4 Seine berühmteste Entdeckung jedoch ist die nach ihm benannte Mandelbrotmenge. Doch nicht die mathematische Bedeutung, sondern die grafische Darstellung machen die Menge einem breiten nichtwissenschaftlichen Publikum bekannt. Ende der 80er Jahre griffen viele Magazine die Geschichte Apfelmännchen auf. Die Ästhetik eines auf Mathematik beruhenden Gebildes war bis dahin unbekannt. Computergeneriert und eingefärbt ähnelte die Mandelbrotmenge einem Kunstwerk und schuf damit eine Verbindung zwischen Mathematik und Kunst. Dies löste einen regelrechten Hype aus, begründet in der subjektiven Schönheit und dem Irrglauben, durch das Apfelmännchen einen Einblick in die Chaosforschung 2 und damit in die höhere Mathematik zu bekommen. Mit der damaligen Hardware konnten mit wenig Aufwand sogar zuhause Apfelmännchen auf die Bildschirme gezaubert werden. Es erschienen unzählige populärwissenschaftliche Bücher und es waren sogar bedruckte T-Shirts und Tassen erhältlich. Als Folge stieg das Ansehen der Mathematik in nicht vorhersehbarem Ausmaß, was der als langweilig verschrieenen Wissenschaft nicht ungelegen kam. Auch heute noch besitzen solche Darstellungen enorme Anziehungskraft. Inzwischen nehmen sie allerdings durch den technischen Fortschritt andere Formen an 3. Letztlich dient die Mandelbrotmenge aber hauptsächlich der Klassifizierung von Julia-Mengen 4, und benötigt außer dem Themengebiet komplexer Zahlen keine tiefergehenden mathematischen Kenntnisse, da sie auf einem einfachen iterierten Gleichungssystem beruht. Ein Computer kann heute mithilfe fast jeder beliebigen aktuellen Programmiersprache ein Abbild der Mandelbrotmenge zeichnen. 2 Mathematischer Hintergrund 2.1 Das Verfahren der Iteration Für die Iteration setzt man eine Gleichung voraus. Man bestimmt einen Anfangswert, und das Ergebnis, das man nach Einsetzen in die Rechenvorschrift bekommt, wird 2 Die Chaosforschung befasst sich mit dynamischen Systemen und beeinflusst als noch relativ neuer Teilbereich der Mathematik unser heutiges Leben in Form der Wettervorhersage oder der Beschreibung von Wirtschaftskreisläufen. Das Hauptziel besteht meist darin, chaotischen Systemen eine Struktur zu geben. 3 Mehr dazu in Kapitel Mehr dazu in Kapitel 2.4 Die Mandelbrotmenge 4 Michael Hübschmann

5 erneut verwendet, um das nächste Ergebnis zu bestimmen. Man setzt also quasi in die Funktion immer wieder das Ergebnis des vorhergehenden Schrittes ein. Dabei lassen sich 4 Typen für das Ergebnis unterscheiden: Bei der Konvergenz läuft die Folge gegen einen festen Grenzwert. Handelt es sich um Divergenz, so existiert kein solcher Grenzwert, die Folge verläuft also z.b. gegen. Das periodische Verhalten beschreibt das Pendeln der Folge zwischen verschiedenen Ergebnissen. Beim chaotischen Verhalten folgt der Verlauf keiner erkennbaren Regel. Beispiele anhand der Mandelbrotmenge werden in Kapitel 2.5 berechnet. 2.2 Definition der Mandelbrotmenge Die Mandelbrotmenge ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die der Grenzwert der iterierten Gleichungen mit dem Bildungsgesetz z n 1 =z 2 n c c C und dem Startwert z 0 =0 beschränkt bleibt. M ist somit eine Teilmenge von C. M wird in der komplexen Ebene dargestellt, wobei alle zur Menge gehörenden Elemente schwarz gefärbt sind. Wenn die Mandelbrotmenge am PC berechnet wird, muss man natürlich irgendwann das Runden anfangen. Das bedeutet, dass zusätzlich noch festgelegt werden muss, wie oft man die Gleichung iteriert. Da dadurch nicht gesagt werden kann, ob das Ergebnis für die bestimmte komplexe Zahl c gegen verläuft, legt man noch einen Wert fest, bis zu dem das Ergebnis für c in der Mandelbrotmenge liegt. 2.3 Eigenschaften der Mandelbrotmenge 5 Die Mandelbrotmenge lässt sich auf einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius 2 eingrenzen und ist symmetrisch zur reellen Achse, was die Abbildung 2 bereits vermuten lässt. Unabhängig davon, ob der Imaginärteil der Zahl c positiv oder negativ ist, unterscheidet sich, mit Blick auf die Bildungsvorschrift, auch beim Ergebnis nur der Imaginärteil durch das Vorzeichen. 5 Behr, 1997, S.226ff Die Mandelbrotmenge 5 Michael Hübschmann

6 Abbildung 2: Die Mandelbrotmenge in der komplexen Ebene Die Fläche lässt sich nur schätzen: Da schon bekannt ist, dass die Mandelbrotmenge höchstens die Fläche des Kreises mit Radius 2 haben kann, ist eine Eingrenzung möglich. Wegen des fraktalen Randbereichs - den immer kleiner werdenden Verästelungen - lässt sich die Fläche aber nicht berechnen. Ähnlich verhält es sich mit dem Umfang. Für jeden vergrößerten Ausschnitt des Randbereichs ergibt sich erneut ein fraktaler Umriss, wodurch der Umfang unendlich groß wird. Interessanterweise kann man bei diesen Vergrößerungen des Randbereichs wieder kleine Apfelmännchen erkennen, die ungefähr dem großen Abbild gleichen, weshalb man von (fraktaler) 6 Selbstähnlichkeit spricht. Selbstähnlichkeit bedeutet aber, dass jede Vergrößerung exakt die gleiche Struktur wie das Gesamtgebilde haben müsste, was bei der Mandelbrotmenge nicht der Fall ist, deshalb ist sie nicht strikt selbstähnlich. Obwohl man auf Abbildungen der Mandelbrotmenge immer kleine Flächen sieht, die isoliert zu stehen scheinen, zeigt die entsprechende Vergrößerung die Verbindungen dieser Punkte zur Menge. Die Mandelbrotmenge ist somit zusammenhängend. Die quadratische Funktion z n 1 =z n 2 c selbst ist holomorph. Nach der Definition ist sie daher komplex differenzierbar. Dafür teilt man die Funktionen in Real- und 6 Neben der fraktalen Selbstähnlichkeit kann man noch die gewöhnliche Selbstähnlichkeit unterscheiden. Diese beschränkt sich auf die, von der Schulgeometrie bekannten, Dimensionen, während Mandelbrot für die fraktale Selbstähnlichkeit noch die nicht ganzzahlige fraktale oder Hausdorff Dimension verwendet. (Mandelbrot, 1977, S.44) Die Mandelbrotmenge 6 Michael Hübschmann

7 Imaginärteil und überprüft, ob die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. 7 Benoît Mandelbrot beschrieb eine Verallgemeinerung der Mandelbrotmenge, bei der man ein anderes Bildungsgesetz verwendet. Jedoch erreichte keine andere Gleichung den Bekanntheitsgrad des Originals. 2.4 Zusammenhang zwischen Juliamengen und Mandelbrotmenge Die Juliamengen wurden von Gaston Maurice Julia beschrieben. Im Wesentlichen gibt es für jeden Wert der komplexen Zahl c vieler komplexer, rekursiver Funktionen eine Juliamenge, die alle komplexen Zahlen enthält, für die der Betrag nach beliebig vielen Iterationen beschränkt bleibt. Das bedeutet, dass Juliamengen keinen festgelegten Startwert z 0 haben und eine beliebige Gleichung haben können. Betrachtet man die Mandelbrotmenge, so beschreibt sie, als Teilmenge der Juliamenge, alle komplexen Zahlen für ihre definierte Funktion, die nicht divergieren. Juliamengen zeigen für die Startwerte z 0 in der komplexen Ebene die Konvergenz an. Wie bei der Mandelbrotmenge werden alle Punkte schwarz gezeichnet, die nach einer bestimmeten Zahl von Iterationen betragsmäßig größer als 2 sind. 7 Siehe Seminararbeit Holomorphe Funktionen von Kevin Volkert, Gymnasium Fr. Schweiz, 2010 Die Mandelbrotmenge 7 Michael Hübschmann

8 2.5 Verschiedene Ergebnisfolgen der Iteration in Bezug auf die Mandelbrotmenge Die vier verschiedenen Typen, die man als Ergebnis für die Iteration bekommen kann, lassen sich an Punkten in und außerhalb der Mandelbrotmenge anschaulich darstellen. Das nach dem amerikanischen Physiker Mitchell Jay Feigenbaum (*1944) benannte Feigenbaum-Diagramm zeigt die Periodenanzahl für verschiedene Parameterwerte an. Bei der Mandelbrotmenge ist der Parameter die komplexe Zahl c, die in die Rechenvorschrift eingesetzt wird. Als Ergebnis können Folgen mit bestimmter Periodizität auftreten. Abbildung 4: Feigenbaum-Diagramm im Zusammenhang mit dem Apfelmännchen; markierte Punkte a,b,c,d: siehe spätere Berechnung Für das Feigenbaumdiagramm werden die ersten ca. 100 Iterationen ausgelassen, da Die Mandelbrotmenge 8 Michael Hübschmann

9 die Periodizität erst nach einigen Iterationen deutlich eintritt. Nach Koordinatentransformation kann man das Feigenbaum-Diagramm für die reelle Funktion Q c x =x 2 c der Mandelbrotmenge gegenüberstellen (siehe Abb.4). Während von der Y-Achse (also von rechts) ausgehend zuerst nur eine Linie im Feigenbaum-Diagramm verläuft, die die Konvergenz gegen einen bestimmten Wert im ganzen Hauptkörper beschreibt, tritt beim Einschnitt zwischen Rumpf und Kopf die erste sogenannte Bifurkation auf. Eine Bifurkation stellt eine Periodenverdopplung dar und hat eine gabelförmige Struktur. Folglich ergibt sich nun periodisches Verhalten. Bei jeder neuen Scheibe des Apfelmännchens verdoppelt sich die Anzahl der Werte, zwischen denen die Ergebnisfolge pendelt, bis zuletzt keine Anzahl mehr erkennbar ist und damit chaotisches Verhalten auftritt. Mithilfe dieser Darstellung lassen sich nun bequem Werte für die verschiedenen Arten von Ergebnissen für die Iteration heraussuchen. Wir betrachten also zur Vorschrift z n 1 =z 2 n c C mit dem Startwert z 0 =0 zunächst nur einen Punkt außerhalb der Mandelbrotmenge (Punkt a in Abbildung 4), z.b. c=1 i. Durch Einsetzen in die Rechenvorschrift erhalten wir: z 1 =0 2 1 i Nun setzen wir wiederholt immer das vorherige Ergebnis ein: z 2 = 1 i 2 3 i= 1 2i 1 1 i =1 3i z 3 = 1 3 i 2 1 i = 7 7 i z 4 = 7 7i 2 1 i =1 97i z 5 = 1 97i 2 1 i = i z 6 = i 2 1 i = i z 7 = i 2 1 i = i Der Betrag des Ergebnisses läuft extrem schnell gegen und es gibt keinen Grund anzunehmen, warum sich das noch ändern sollte. Somit kann man hier mit hoher Wahrscheinlichkeit von Divergenz sprechen. Wir nehmen nun einen Punkt aus dem ersten Zyklus des Feigenbaumdiagramms (Punkt b in Abbildung 4), also aus dem Hauptkörper des Apfelmännchens. Die Mandelbrotmenge 9 Michael Hübschmann

10 Für c= 0,5 0,1 i ergibt sich 8 : z 0 =0 0i ; z 1 = i ; z 2 = i ; z 3 = i ; z 4 = i ; z 5 = i ; z 6 = i ; z 7 = i ; Nach einigen Iterationen hat sich der Wert stabilisiert und man bekommt als Wert: z 126 = i ; Für den Parameter c= 0,5 0,1i tritt Konvergenz auf, da die Gleichung einen Grenzwert erreicht. Trotzdem ist das noch nicht der genaue Wert, da das Programm auf diese Anzahl an Stellen rundet. Betrachten wir als Beispiel für den periodischen Verlauf einen Wert aus der dritten Kardioide 9 entlang der reellen Achse (Punkt c in Abbildung 4): c= 1,28 0,05 i z 0 =0 0i ; z 1 = i ; z 2 = i ; z 3 = i ; z 4 = i ; z 5 = i ; z 6 = i ; z 7 = i ; Erst nach deutlich mehr Iterationsschritten stabilisiert sich auch hier der Wert: z 2941 = i ; z 2942 = i ; z 2943 = i ; z 2944 = i ; 8 Für die Generierung der Werte wurde ein selbst erstelltes Java-Programm verwendet, das sich auf der CD im Ordner Programme befindet. 9 Eine Kardioide ist eine Herzkurve, also ein Kreis, der eine Einbuchtung enthält Die Mandelbrotmenge 10 Michael Hübschmann

11 z 2945 = i ; z 2946 = i ;. Wie im Diagramm zu sehen, wechselt die Folge periodisch zwischen 4 Werten, und mit zunehmender Iterationszahl lässt sich auch die Genauigkeit noch verbessern. Die Suche nach einem Punkt für das chaotische Verhalten gestaltet sich etwas schwieriger, da man sich weiter vom Hauptkörper entfernen muss. Dort sind die Strukturen allerdings schon sehr fein, doch Vergrößerungen helfen bei der Auswahl. Der Punkt (Punkt d in Abbildung 4) liegt sehr nah an der reellen Achse: c= 1, , z 0 =0 0i ; z 1 = i ; z 2 = i ; z 3 = i ; z 4 = i ; z 5 = i ; z 6 = i ; z 7 = i ; Schon der Anfang lässt kein Muster, wie bei den vorhergehenden Folgen, erahnen. Doch auch nach einigen hundert... z 454 = i ; z 455 = i ; z 456 = i ; oder tausend z = i ; z = i ; z = i ; Iterationen bleibt der Wert zwar beschränkt, es stellt sich jedoch keine Regelmäßigkeit ein. Das Chaos ist offensichtlich und verblüfft doch, da es aus einer simplen Gleichung entsteht. Die Mandelbrotmenge 11 Michael Hübschmann

12 3 Grafische Darstellung 3.1 Fraktal in der komplexen Ebene Die Mandelbrotmenge als Teilmenge der Komplexen Zahlen wird in der komplexen Ebene im Bereich von -2 bis 1 an der reellen Achse und von -1,5 bis 1,5 an der imaginären Achse gezeichnet. Die grafische Darstellung erfolgt für den Parameter c. Es wird also jede komplexe Zahl c, die nicht divergiert, schwarz abgedruckt. Dadurch entsteht die charakteristische Form, die leicht die Fantasie anregen kann. Interessante Interpretationen gibt es zuhauf: Sie erinnere an eine Schildkröte von oben [ ] Andere sehen in ihr eher eine merkwürdige Kaktusknolle mit ihren Fruchtwarzen [ ] Sicher haben sie alle Recht, auch der Bremer Lehrer, den die Figur an einen 'fetten Beamtenar...' erinnert 10 Bekannt wurde vor allem die farbige Darstellung. Dafür wird zusätzlich zur Ursprungsform der Rand der Menge je nach Stärke der Konvergenz in bestimmten Farben eingefärbt. Es werden also Punkte, die außerhalb der Menge liegen, nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen ihrem entsprechenden Intervall zugewiesen, für das eine Farbe vorbestimmt worden ist. Somit entstehen reizvolle Farbmuster. Diese haben in der Mathematik keinen praktischen Wert, doch sie sind ästhetisch sehr ansprechend. Es werden verschiedene Phänomene unterschieden. 3.2 Randphänomene Satelliten Als Satelliten bezeichnet man die verkleinerten Abbilder der Mandelbrotmenge an ihrem Rand. Sie sind durch Antennen mit dem jeweils unter/übergeordneten Satelliten verbunden (siehe Abb. 5). Bei einer direkten Verbindung heißen sie auch Knospen. Man erkennt schon an der Spitze des Apfelmännchens auf der negativen reellen Achse kleine Apfelmännchen. Mit Abbildung 4 wird außerdem der Zusammenhang etwas klarer. Innerhalb der Mandelbrotmenge läuft jeder Punkt gegen einen Grenzzyklus, der sich für kleinere 10 Becker und Dörfler, 1989, S.149 Die Mandelbrotmenge 12 Michael Hübschmann

13 Satelliten in diesem Fall jeweils verdoppelt. Die Satelliten besitzen deshalb jeweils ihre eigene Periodizität des Grenzzyklus. Dadurch kommt es letztendlich zum Chaos, das in einer Divergenz mündet, welche nicht mehr Teil der Mandelbrotmenge ist. Je kleiner der Satellit ist, desto größer ist die Periodizität. Die Deutlichkeit dieses Übergangs hängt von der Anzahl der Iterationen ab, die für absolute Genauigkeit eigentlich unendlich groß sein müsste. Abbildung 5: Antenne des Apfelmännchens mit Satelliten Abbildung 6: Eine Seepferdchen im unteren Einschnitt zwischen "Kopf" und "Rumpf" des Apfelmännchens Die Mandelbrotmenge 13 Michael Hübschmann

14 3.2.2 Seepferdchental Das Seepferdchental ist aufgrund der Ähnlichkeit zu den gemusterten und ebenso zerklüfteten Meeresbewohnern so benannt worden. Das Muster kann an den meisten Einschnitten zwischen Kopf und Rumpf des Apfelmännchens, die das Tal bilden, bestaunt werden (Abb. 6) Spiralen Ein sehr häufig auftretendes Phänomen ist die Spirale: entweder in Form einer linksoder rechtsgedrehten Spirale (Abb. 7) oder sogar als Doppelspirale (Abb. 8). Es ist fast immer möglich, so weit es das Programm zulässt, in die Mitte hineinzuzoomen ohne je ein Ende zu erreichen. Dadurch bekommt man ein bestimmtes Gefühl für die Unendlichkeit. Mathematisch ist auch dieses Gebilde selbstähnlich und basiert auf der Multiplikation von zwei komplexen Zahlen, da der Winkel zwischen den komplexen Zeigern als größer 0 betrachtet wird. 11 Abbildung 7: einfache Spirale Abbildung 8: doppelte Spirale 3.3 Apfelmännchen in 3D Mit der steigenden Leistungsfähigkeit der Rechner entwickelt sich auch die Mandelbrotmenge weiter, indem sie sich in die dritte Dimension ausdehnte. Während einfachere Darstellungen die Mandelbrotmenge um die reelle Achse kreiseln lassen 11 Voß, 1998, S.191 Die Mandelbrotmenge 14 Michael Hübschmann

15 oder topographisch die Mandelbrotmenge als Hochplateau mit, je nach Divergenzstärke, abfallenden Rändern interpretieren, ist das Ziel der meisten Forscher ein genauso formenreiches Gebilde, wie die 2D Darstellung, in 3D aus der Mandelbrotmenge zu erzeugen. Diese Körper sollten möglichst eine Art von Selbstähnlichkeit aufweisen und in größeren Zoomstufen detailliert bleiben. Bei einer dreidimensionalen Darstellung treten jedoch andere Aspekte wie die richtige Beleuchtung und der Schattenwurf in den Vordergrund. Auch die Präsentation hat sich gewandelt. Entwickler stellen ihre Werke in animierten, musikalisch hinterlegten Fahrten durch ihre 3D Interpretation der Mandelbrotmenge dar. 12 Wegen der nötigen 3 Koordinaten werden hyperkomplexe Zahlen mit 3 Komponenten verwendet. Diese werden in die Gleichung z n 1=z r n c eingesetzt. Für r=2 entspricht die Rechnung somit der Mandelbrotmenge. Der bekannteste sogenannte Mandelbulb ( ~ Mandelknolle, siehe Abb. 8) entsteht aber für r=8, also Mächtigkeit 8. Es entstehen bizarre Figuren mit partiellen Ähnlichkeiten zur 2D Version. 13 Abbildung 8: Ein "Mandelbulb" der Mächtigkeit 8 12 Vgl. Anhang (CD), Ordner Videos 13 White, 2010, S. 2 Die Mandelbrotmenge 15 Michael Hübschmann

16 4 Schlusswort Leider mussten bei dieser Seminararbeit, um den Rahmen nicht zu sprengen, einige Themen ausgelassen werden. Die Schwierigkeit bestand darin, einen abgeschlossenen und in sich schlüssigen Komplex zu verfassen, der möglichst alle Aspekte der Mandelbrotmenge beleuchtet. Doch die Vielzahl der wissenschaftlichen Untersuchungen erzwingt eine beschränkte Auswahl. Überraschend verstarb während des Verfassens der Seminararbeit ( ) der Namensgeber und Entdecker der Mandelbrotmenge Benoît Mandelbrot an einem Krebsleiden 14. Seine unkonventionelle Herangehensweise prägte das Verständnis von der Mathematik. Mathematik zum Beschreiben von Bäumen - vor einem Jahrhundert noch undenkbar. Auch wenn das mathematische Gewicht der Mandelbrotmenge nicht so beeindruckend ist, die Beachtung die daraufhin Fraktale und Chaosforschung bekamen, sind es. 5 Literatur- und Quellenverzeichnis 5.1 Bücher [1] Becker, Karl Heinz und Michael Dörfler 1989 Dynamische Systeme und Fraktale Vieweg Verlag [2] Behr, Reinhart 1993 Algorithmen für Chaos und Fraktale Klett Verlag [3] Herrmann, Dietmar 1997 Ein Weg zur fraktalen Geometrie Addison Wesley Verlag [4] Mandelbrot, Benoît 1977 The Fractal Geometry of Nature W. H. Freeman [5] Peak, David und Michael Frame 1995 Komplexität. Das gezähmte Chaos Birkhäuser Verlag AG [6] Voss, Herbert 1998 Chaos und Fraktale selbst programmieren Franzis Verlag GmbH 5.2 Webquellen [1] White, Daniel 2010 The Unravelling of the Real 3D Mandelbulb abgerufen am [2] abgerufen am [3] abgerufen am (Während in der Literatur immer nur kleine Ausschnitte des Gesamtthemas 14 New York Times: Die Mandelbrotmenge 16 Michael Hübschmann

17 Mandelbrotmenge forciert werden, findet sich hier eine Komplettzusammenfassung aus verschiedenen Büchern und Artikeln, die teilweise auch in dieser Seminararbeit verwendet wurden) 5.3 Bildernachweis Abb. 2: Die Mandelbrotmenge in der komplexen Ebene abgerufen am Abb.4: Feigenbaum-Diagramm im Zusammenhang mit dem Apfelmännchen; markierte Punkte a,b,c,d: siehe spätere Berechnung abgerufen am Abb. 1, 3, 5,6,7: Erstellt mithilfe von Fractalizer (Freeware). By Robert Sontheimer Abb. 8: Erstellt mithilfe von Mandelbulber(Open Source). By Krzysztof Marczak 6 Anhang Die Mandelbrotmenge 17 Michael Hübschmann

18 Erklärung: Ich habe diese Seminararbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt. Ort, Datum, Unterschrift Die Mandelbrotmenge 18 Michael Hübschmann