Exponate Mathematik zum Anfassen 2013 in Basel

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1 Exponate Mathematik zum Anfassen 2013 in Basel Die Unterlagen geben einen Eindruck über die einzelnen Exponate, deren zentrale mathematische Themen, sowie mögliche Lernumgebungen im Schweizer (SZB 1-6) und ( 7-9/9+ und jeweils in Klammern das neu überarbeitete mathbuch 1) im Zusammenhang mit diesen Exponaten. Die Liste ist nicht vollständig! Sie soll Ideen und Anregungen vermitteln und aufzeigen, in welchen Bereichen gearbeitet werden kann. Weitere Einzelheiten zu den Exponaten und deren mathematischem Hintergrund sind im Ausstellungskatalog des Mathematikums nachzulesen (am Bücherstand in der Ausstellung erhältlich). Inhaltsverzeichnis 1 Knobeltisch 19 Riesenseifenhaut 2 Körper zum Selberbauen - Polydrontisch 20 Kantenmodelle /Seifenhauttisch 3 Leonardo-Brücke 21 Wo geht s hier am schnellsten runter? 4 Turm von Ionah 22 Potentialtrichter 5 Zahlen am Menschen 23 Spiegelbuch 6 Bevölkerungswachstum 24 Symmetrische Buchstaben 7 Mozart - Das musikalische Würfelspiel 25 Riesenkaleidoskop 8 Mein Geburtstag in Pi 26 Quadrat-Puzzle 9 Pi in Zahlen 27 Känguru-Puzzle nach Escher 10 Hochstapelei 28 Penrose-Puzzle 11 Knack den Code 29 Wer kommt am weitesten raus? 12 Leonardo-Mann 30 Pythagoras zum Klappen 13 Rote Würfel raus! 31 Phytagoras zum Wiegen 14 Würfelschlange 32 Lights on! 15 Der Zweite ist immer der Erste - die Efron'sche Würfel 33 Soma-Würfel, Würfeltisch 16 Der Goldene Schnitt 34 Platz da! 17 Was alles in den Würfel passt 35 Schach anders 18 Ich bin eine Funktion 36 Kleines Euler-Kabinett 0

2 Knobeltisch Dies ist eine Zusammenstellung verschiedenster bekannter Knobelspiele: T-Puzzle (Legespiel), Zwerge ( Zaubertrick durch Vertauschung zweier Elemente), Pyramiden aus 2 und 4 Teilen zum Zusammensetzen (Räumliche Puzzle), Waben (Anlege-Spiel),... Denkschule Kombinatorik Geometrisches Denken SZB 2 Tangram S. 34/35 Bald ist Weihnachten S. 116/117 8 LU 5 Kopfgeometrie S. 12/13 9 LU 7 Von eckig zu rund S. 16/17 LU 8 Kopfgeometrie S. 18/19 LU 17 Körperschule S. 36 bis LU 7 Kopfgeometrie S. 16/17 Die Knotenschulen, sowie die Lernumgebungen mit den Quadern kippen in den Zahlenbüchern, sind Gebiete, welche mathematische Knobeleien unterstützen. Die Bearbeitung von Knobelaufgaben fördert das Vorstellungsvermögen und das Problemlöseverhalten von Schülerinnen und Schülern. Der Wechsel von Sichtweisen und das Angehen von ungewohnten Problemen steigern die Flexibilität im Umgang mit mathematischen Problemen. 1

3 Körper zum Selberbauen Polydrontisch Hier können die Besuchenden aus verschiedenen farbigen Plastikbauteilen verschiedene geometrische Körper bauen und ihrer Fantasie freien Lauf lassen. Flächen und Körper Mit Flächen bauen Platonische Körper Archimedische Körper SZB 3 Formen erkennen S. 44 Flächen und Körperformen S. 53 Bänder und Ringe aus Formen S. 62 SZB 4 Regelmässige Körper S. 107 SZB 5 Figuren und Flächen S. 20/21 Bald ist Weihnachten S. 100/101 7 (mathbuch 1) LU 13 Kopfgeometrie S. 26/27 LU 14 Mit W. Quader bauen S. 28/29 (LU 13 und LU 24*) 8 LU 5 Kopfgeometrie, Tetraeder S. 12/13 9+ LU 19 Körperschule S. 42 bis 47 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Dreieck, Quadrat, Rechteck, Fünfeck und Sechseck; Flächen, Kanten, Ecken; Würfelnetze; Körpernetze allgemein; Oberfläche, Volumen; griechische Zahlwörter; Mit Flächen bauen (Zusatzlehrmittel Klett Verlag) Weiterführende Fragen: Welches sind die 5 platonischen Körper? Welches die 13 archimedischen Körper? Welches sind ihre Würfelnetze? Polyederformel von Leonhard Euler: e k + f = 2 (siehe auch Kleines Euler-Kabinett ) Mit welchen geometrischen Grundformen kann ein Parkett gelegt werden? 2

4 Leonardo-Brücke Aus Holzstäben soll eine Brücke gebaut werden, ohne dass Klebeoder Befestigungsmaterialien verwendet werden dürfen. Ein Prinzip, das von Leonardo da Vinci entwickelt wurde. Trigonometrie Statik Bei diesem Exponat steht nebst dem mathematischen Hintergrund auch das soziale Lernen im Vordergrund. Die Brücke kann nur zu zweit oder noch besser zu dritt gebaut werden. Teamarbeit und Koordination sind gefragt. Weiterführende Fragen: Wie viele Hölzer braucht es, um die kleinste Brücke zu bauen? (8 Hölzer) Mit welchem Muster lässt sich die Brücke erweitern? (+4) Welches ist die grösstmögliche Spannweite einer Leonardo-Brücke? Wie ist das Verhältnis von Spannweite und Anstellwinkel? 3

5 Turm von Ionah Der Turm von Ionah stellt eine Umkehrung des bekannten Turms von Hanoi dar: Fünf Scheiben sind von einem Trichter in einen von zwei weiteren Trichtern zu versetzen. Dabei darf in jedem Schritt nur eine Scheibe bewegt werden. Außerdem darf nie eine kleinere Scheibe über einer größeren liegen. Problemlöseverfahren Entdecken einer Formel 2-er Potenzen Grosse Zahlen SZB 1 bis 6 Denkschulen im Begleitband 7 (mathbuch 1) LU 5 Wie viel ist viel? S. 10/11 (LU 16*) LU 17 Potenzieren S.3 4/35 8 LU 7 Chiara AHA! S.1 6/17 LU 15 Etwa S. 32/33 9+ LU 10 Ecco! S. 22/23 LU 36 Alles ist 0 und 1 S. 80/81 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Weiterführende Fragen: Wie viele Züge brauchst du mindestens bei 3, 4, 5,... Scheiben? (Rekursionsformel) Entdeckst du den Zusammenhang zu den Zahlen der 2-er Potenzen? Kannst du eine Formel finden für die kleinste Anzahl benötigter Züge bei einer beliebigen Anzahl Scheiben? Legende des Turmes von Hanoi und berechnen der Anzahl Jahre bis der Tempel von Benares zusammenstürzt (siehe Internet oder Ausstellungskatalog) 4

6 Zahlen am Menschen An den Umrissen eines Mannes, einer Frau und eines Kindes sind Zahlen rund um den menschlichen Körper beschrieben. Wie viele Kinder hat die Frau mit den meisten Kindern der Welt geboren? Welche Geschwindigkeit erreicht die Luft beim Niesen?... Versch. Zahlentypen: Anzahlen, Anteile, Jahreszahlen, Geschwindigkeiten, Längen, Gewichte, Verhältnisse, Zeiträume, Temperaturen, Häufigkeiten, Flächen, Volumen SZB 3 Diverse Seiten SZB 4 Wie gross in Wirklichkeit? S. 19 Zahlen aus Stadt und Land/... aus Zeitungen S. 38/39 Diverse Seiten SZB 6 Zahlen zum Leben S. 84/85 7 (mathbuch 1) LU 1 So klein! So gross! S. 2/3 (LU 4*) 9 LU 9 Zu früh geboren S.20/21 9+ LU 8 Zu früh geboren S. 18/19 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Grössenordnungen, Rekorde, besonders grosse und besonders kleine Zahlen, Schätzen, Überschlagen, Sachrechnen 5

7 Bevölkerungswachstum Auf einer Weltkarte kann man das Wachstum der Bevölkerung in den einzelnen Kontinenten miterleben. Ein Gesamtzähler gibt die aktuelle Zahl der Weltbevölkerung an. Grosse Zahlen Wachstum relatives Wachstum absolutes Wachstum prozentuales Wachstum lineares Wachstum experimentielles Wachstum 7 (mathbuch 1) LU 5 Wie viel ist viel? S. 10/11 (LU 16*) 8 LU 15 Etwa S. 32/33 9 LU 24 Wachstum und Zerfall S. 54/55 9+ LU 17 Wachstum und Zerfall I S. 38/39 LU 31 Wachstum und Zerfall II S. 70/71 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Auf der Weltkarte werden die aktuellen Bevölkerungszahlen der Kontinente angegeben sowie die Anzahl der bewohner der Erde. Die sich ständig bewegenden Zähler zeigen dabei immer die absolute Bevölkerungszahl an. Also die Anzahl der menschen, die in diesem Moment auf dem entsprechenden Kontinent leben. Weiterführende Fragen: Warum bewegt sich der Zähler in Europa kaum, und wenn, dann läuft er eher zurück? Warum ist das prozentuale Wachstum in Südamerika viel höher als in Asien, obwohl der Zähler dort viel langsamer läuft? Um wie viele Menschen wächst die Bevölkerung in einem Tag, in einer Stunde, Minute oder Sekunde? 6

8 Mozart Das musikalische Würfelspiel Bei dieser Komposition Mozarts werden 16 Takte durch 16-maliges Würfeln zweier Würfel auf immer neue Weise zusammengesetzt und gespielt. Es gibt verschiedene Stücke. Kombinatorik Wahrscheinlichkeit SZB 1 bis 3 Bald ist Ostern S. 110/111 Bald ist Ostern S. 118/119 Bald ist Ostern S. 118/119 SZB 5 Kriminalpolizei S. 94/95 SZB 6 Wahrscheinlich zufällig S. 86/87 7 (mathbuch 1) LU 5 Wie viel ist viel? S. 10/11 (LU 16*) LU 33 Domino Triomino S. 70/71 (LU 33*) 8 LU 15 Etwa S. 32/33 LU 33 Gewinnen S. 74/75 9 LU 13 Roulette S. 28/29 9+ LU 12 Zahlenlotto S. 26/27 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Schnell wachsende Zahlen, grosse Zahlen Mozart s Musik ist eindeutig erkennbar; das Würfelspiel stammt tatsächlich von ihm; man stelle sich vor, wie es zu seiner Zeit mit Würfeln ausgewürfelt und mit dem Hammerklavier gespielt wurde; ev. die Noten beschaffen Weiterführende Fragen: Warum kann gesagt werden, dass dein gewürfeltes Mozart-Musikstück mit grosser Wahrscheinlichkeit eine Uraufführung darstellt, also eine Variation, die mit grosser Sicherheit noch kein Mensch zuvor gehört hat? Wie viele Jahre müsste Mozart seit seiner Geburt Klavier spielen, wenn er in jeder Sekunde Tag und Nacht eines der möglichen Stücke gespielt hätte und vielleicht noch spielen würde? 7

9 Mein Geburtstag in Pi Man tippt sein Geburtsdatum ein, daraufhin zeigt der Computer, wo in der Dezimalbruchentwicklung von Pi diese Ziffernkombination vorkommt. Kreiszahl Pi Unendlichkeit 8 LU 16 und dreht und dreht S. 34/35 LU 19 Kornkreise S. 40 bis LU 11 Reell: rational irrational S. 24/25 Im Mathbu.ch 9/9+ wird Pi bei der Berechnung von Kreissektoren und Kugeloberflächen und volumen angewendet: LU 14 und LU 15 Kreisberechnung; Annäherung an Pi; transzendente Zahl; Pi-Gedichte 8

10 Pi in Zahlen Ein grosses Plakat zeigt die ersten 30'000 Nachkommastellen der Kreiszahl Pi. Die Besuchenden können beliebige Zahlenkombinationen wie ihren Geburtstag in der Ziffernfolge finden. Kreiszahl Pi Unendlichkeit 8 LU 16 und dreht und dreht S. 34/35 LU 19 Kornkreise S. 40 bis LU 11 Reell: rational irrational S. 24/25 Im Mathbu.ch 9/9+ wird Pi bei der Berechnung von Kreissektoren und Kugeloberflächen und volumen angewendet: LU 14 und LU 15 Kreisberechnung; Annäherung an Pi; transzendente Zahl; Pi-Gedichte 9

11 Hochstapelei Aus Kunststoffscheiben in der Dicke 1 (10cm), 2 (20cm), 4 (40cm), 8, 16, 32, 64 und 128 können sämtliche Körpergrössen der Besuchenden aufgestapelt werden. Binärsystem systematisches Bauen 9+ LU 36 Alles ist 0 und 1 S. 80/81 2-er Potenzen; Dezimalsystem Binärsystem; Anwendungen Binärsystem Turm von Hanoi; Reiskörner auf dem Schachbrett Weiterführende Fragen: Was verbirgt sich dahinter, dass die Körpergrösse jedes Kindes der Klasse durch Aufeinanderschichten weniger verschieden dicker Scheiben zentimetergenau gestapelt werden kann? 10

12 Knack den Code Ein verschlüsselter Text darf geknackt werden! Schnell entwickelt man Tricks, wie man am besten beim Entschlüsseln vorgeht. Kryptographie Codierung Verschlüsselung Kombinatorik SZB 5 Kriminalpolizei S. 94/95 SZB 6 Geheimsprachen Geheimschriften - Geheimzahlen S. 78/79 9 LU 30 Prüfziffern S. 66/67 9+ LU 28 Prüfziffern S. 64/65 Geheimschriften und Codes; Verschlüsselung; Codes und Pins im Alltag Geheimbotschaften sind für alle Schülerinnen und Schüler jeglicher Schulstufe ein faszinierendes Thema. Auf einfache Weise können auch jüngere Schülerinnen und Schüler mit einer Geheimsprache arbeiten, zum Beispiel mit einer Cäsar-Scheibe. Cäsar-Scheibe basteln ( Wie viele Schlüssel sind möglich mit der Cäsar-Scheibe? 11

13 Leonardo-Mann Die Besuchenden können sich in das berühmte Bild von Leonardo da Vinci, auf dem der Mann in ein Quadrat und einen Kreis eingepasst ist, selbst hineinstellen und etwas über die Proportionen ihres Körpers erfahren. Proportionen Ähnlichkeit Grössenverhältnisse Quadrat und Kreis Zentrische Streckung 8 LU 19 Kornkreise S. 40 bis 43 9 LU 5Form Quadratur des Kreises Mathematik und Kunst 12

14 Rote Würfel raus! Je zwei Seiten von 60 Würfeln sind rot eingefärbt. Nach dem Würfeln werden die Würfel, die eine rote Seite zeigen, in eine Reihe gelegt. Wiederholt man dieses Spiel so lange, bis alle Würfel in Spalten nebeneinander gelegt sind, zeigt sich die Exponentialfunktion. Wahrscheinlichkeit Funktionen Exponentialfunktion SZB 6 Wahrscheinlich zufällig S. 86/87 8 LU 33 Gewinnen S. 74/75 LU 34 Gesetze des Zufalls S. 76/77 9 LU 13 Roulette S. 28/29 LU 24 Wachstum und Zerfall S. 54/55 9+ LU 12 Zahlenlotto S. 26/27 LU 17 Wachstum und Zerfall I S. 38/39 LU 31 Wachstum und Zerfall II S.70/71 Solche Funktionen spielen auch bei vielen Vorgängen in der Natur eine Rolle, z.b. beim radioaktiven Zerfall von Atomkernen. Unser Würfelspiel müsste sehr oft durchgeführt werden, damit möglichst wenige Schwankungen in der Höhe der Säulen auftreten und wir eine gute Annäherung an die Exponentialfunktion erhalten. Genauso verhält es sich mit dem radioaktiven Zerfall von Atomkernen. Es kann nie im Voraus gesagt werden, wann ein bestimmter Kern zerfällt. Man kann aber sehr genau prognostizieren, wann die Hälfte der Atomkerne zerfallen ist. Diese Zeit bezeichnet man als Halbwertszeit. Für manche Atome beträgt sie nur ein Millionstel einer Sekunde, für andere Millionen von Jahren. 13

15 Würfelschlange Ein überraschendes Würfelspiel, bei dem die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung für den Effekt ausgenutzt werden. Zählen Wahrscheinlichkeit SZB 1 Würfelaugen S. 12 Zählen bis 6 SZB 6 Wahrscheinlich zufällig S. 86/87 8 LU 33 Gewinnen S. 74/75 LU 34 Gesetze des Zufalls S. 76/77 9+ LU 12 Zahlenlotto S. 26/27 Würfelbilder erkennen (strukturierte Zahlerfassung) Gegenwahrscheinlichkeit Weiterführende Fragen: Warum funktioniert das Experiment und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 70, 80, 90,... Würfeln? Wie viele Würfel braucht es, damit das Experiment mit genügend grosser Wahrscheinlichkeit funktioniert? 14

16 Der Zweite ist immer der Erste (Efron sche Würfel) Ein unfaires Spiel: Unabhängig von der ersten Wahl des Würfels aus vier Würfeln, findet der eingeweihte zweite Spieler unter den drei verbleibenden immer einen, der mit grösserer Wahrscheinlichkeit zum Sieg führt. Wahrscheinlichkeit Statistik 8 LU 33 Gewinnen S. 74/75 LU 34 Gesetze des Zufalls S. 76/77 9 LU 13 Roulette S.28/29 9+ LU12 Zahlenlotto S. 26/27 4 SchülerInnen der Grösse nach nebeneinander stellen: wenn A>B und B>C und C>D, dann gilt auch A>D! Wie ist das Phänomen erklärbar: A besiegt B, B besiegt C, C besiegt D und D besiegt wieder A? Das ist wider die Logik! Baumdiagramme Würfel selber herstellen; Versuchsreihe durchführen 15

17 Der Goldene Schnitt Mit einem Metermass und einem goldenen Zirkel kann man prüfen, ob man nach dem goldenen Schnitt proportioniert ist. Auch in Gemälden kann man den goldenen Schnitt entdecken. Zusätzlich erhält man zahlreiche Hintergrundinformationen zum Goldenen Schnitt und den Fibonacci-Zahlen. Verbindung von Geometrie und Arithmetik Konstruktion Goldener Schnitt Fibonacci-Zahlen Zahlenfolgen, Reihen Verhältnisse SZB 4 bis 6 Folgenkurs im Begleitband SZB 5 Folgen S. 88/89 SZB 6 Reihenzahlen Quadratzahlen Primzahlen S. 62/63 Folgen S.68/69 8 LU 31 Zahl folgt auf Zahl folgt auf Zahl S. 70/71 9 LU 17.2 Körperschule S.38/39 LU 29 Formate S. 64/65 9+ LU19.2 Körperschule S.44/45 LU 27 Formate S. 62/63 Quadratzahlen, Dreieckszahlen, Primzahlen Konstruktion des regelmässigen Fünfecks Mathematik und Kunst 16

18 Was alles in den Würfel passt Neben einem oben offenen Würfel stehen drei scheinbar grössere Körper (Tetraeder, Oktaederstumpf, Stella Octangula). Diese sollen in den Würfel eingepasst werden. Es funktioniert! Geometrie Körper Volumen SZB 6 (Rauminhalte (Volumen) S. 60/61) 7 (mathbuch 1) LU 12 Verpackungen S.24/25 (LU 27*) LU 13 Kopfgeometrie S. 26/27 (LU 13*) LU 27 8 LU 5 Kopfgeometrie S. 12/13 LU 24 Altar von Delos S. 56/57 9 LU 6 Pyramiden und Prisma S. 14/15 LU 7 Von eckig zu rund S. 16/17 LU 17 Körperschule S.36 bis 41 LU 17.3 Keplerstern S.36 bis LU 6 Pyramiden S. 14/15 LU 7 Kopfgeometrie S.16/17 LU 19 Körperschule S. 42 bis 47 LU 19.3 Keplerstern S. 47 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Dieses einfache Experiment gewährt eine Fülle von mathematischen Einblicken und kann auf ganz verschiedenen Ebenen behandelt werden: von einem rein spielerischen Herangehen bis zum routinierten Umgang mit Formeln. Ein klassisches Knobelexperiment: Auf den ersten Blick scheint es unmöglich, den Tetraeder-Stern in den Würfel hineinzubekommen. Alt und jung haben die gleichen Lösungschancen! Ecken, Kanten, Flächen; Diagonalen; Quadrat Würfel; Dreieck Tetraeder; Kuboktaeder; Raumvorstellung; Volumenberechnung; Umgang mit Formeln; mit Flächen bauen (siehe Zusatzlehrmittel Klett Verlag) Weiterführende Fragen: Welchen Teil des Würfelvolumens nimmt das eingepasste Tetraeder ein (zuerst schätzen!)? Diese Frage beantwortet man am besten, indem man nicht den Rauminhalt des Tetraeders ausrechnet, sondern den der vier restlichen Ecken. 17

19 Ich bin eine Funktion Eine auf einem Bildschirm vorgegebene Kurve kann bei diesem Experiment erlaufen werden. Durch Vor- und Zurückgehen wird der Benutzer selbst zu einer Funktion Auch mit diesem Exponat können bereits jüngere Schülerinnen und Schüler experimentieren. Die Aufgabenstellung bezieht sich auf die Bewegung, welche man durchführen muss um der Funktion zu folgen. Die Schülerinnen und Schüler können die Unterschiede und den Verlauf der Funktion erklären (schneller oder langsamer gehen, usw.). Weg-Zeit Diagramm Interpretation von Funktionen und Graphen Direkt proportionale Zuordnung SZB 5 Tabellen und Grafiken S. 22/23 Brüche im Alltag S. 40/41 (Grafik interpretieren) Gefässe füllen S. 90/91 7 (mathbuch 1) LU 2 Wasserstand S. 6/7 (LU 14*) LU 18 Snowboard S. 38/39 (Darstellung von Proportionalitäten) (LU 22*) LU 23 Fernsehgewohnheiten S. 50/51 (Diagramme) (LU 25* und LU 29*) 8 LU 25 Aufwärts abwärts S. 58/59 LU 26 Dichte S. 60/61 LU 27 Alles bewegt sich S. 62/63 9 LU 3 Handy-Abos S. 8/9 LU 12 Ist eine Tasse Kaffee teuer? S. 26/27 (Graphen) LU 14 Wanderheuschrecken S. 30/31 LU 24 Wachstum und Zerfall S. 54/55 9+ LU 13 Handy-Abos S. 28/29 LU 16 Brüche in Termen und Gleichungen S. 36/37 LU 17 Wachstum und Zerfall 1 S. 38/39 LU 31 Wachstum und Zerfall 2 S. 70/71 LU 37 Wanderheuschrecken S. 82/83 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 18

20 Riesenseifenhaut Zieht man an einem Seil, wird man von einem wunderschönen Seifentunnel eingehüllt. Zuerst hat der Tunnel noch die Form eines Schlauches, aber bald bekommt er eine immer schmalere Taille, bis er schliesslich den Besuchenden berührt und zerplatzt. vom Kreis zum Zylinder von der Ebene zum Raum Minimalflächen Rotationsflächen Ein einmaliges Erlebnis! Wer einmal in der Seifenhaut stand, wird nie mehr vergessen, was ein Zylinder ist! Vom Quadrat zum Würfel; vom Rechteck zum Quader; vom Dreieck/Vieleck zum Prisma;... Verschiedene Körper und ihre Grundflächen 19

21 Seifenhauttisch / Kantenmodelle Unterschiedliche Körper aus Metalldrähten können in Seifenlauge getaucht werden. Es entstehen wunderschöne Seifenhäute Minimalflächen, die man nicht erwartet hätte. Minimalflächen, Rotationsflächen Kettenflächen = Katenoid SZB 3 Flächen- und Körperformen S. 53 Würfel falten S. 63 SZB 4 Regelmässige Körper S (mathbuch 1) LU 12 Verpackungen S. 26/27 (LU 27*) LU 14 Mit Würfeln Quader bauen S. 30/31 (LU 13*) 8 LU23 Grundfläche x Höhe S. 54/55 9 LU 6 Pyramiden und Prisma S. 14/15 LU 7 Von eckig zu rund S. 16/17 LU 16 und rollt und rollt S. 34/35 LU 17 Körperschule S.36 bis LU 6 Pyramiden S. 14/15 LU 14 Kegel und Co. S. 30/31 LU 15 Kugelrund S. 32 bis 35 LU 19 Körperschule * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Berechnung Oberfläche Tetraeder Minimalfläche (Gymnasium) Verhältnis Oberfläche Minimalfläche (Gymnasium) 20

22 Wo geht s am schnellsten runter? Eine Kugelbahn mit zwei gebogenen und einer geraden Bahn auf einer Grundplatte; zwei Kugeln machen ein Wettrennen und wieder Erwarten gewinnt die Kugel auf der gebogenen Bahn. Physik Beschleunigung Zykloiden, Brachystrochrone (Gymnasium) 21

23 Potentialtrichter Dies ist ein Trichter, der sich mathematisch als Rotationsfläche einer Hyperbelfunktion beschreiben lässt. Wirft man eine Münze in den Trichter, so kreist sie in vielen Bahnen im Trichter bevor sie in das Loch im Innern fällt. Rotationsfläche Hyperbel potentielle Energie > kinetische Energie Physik Eintrittspreis in die Ausstellung: Eine beliebige Schweizer Geldmünze, die in den Schlitz am oberen Rand des Potentialtrichters geworfen wird. Was passiert, wenn man zwei Münzen gleichzeitig in die beiden gegenüberliegenden Schlitze wirft? Berechnen der Umlauffrequenz (angewandte Mathematik, Gymnasium) 22

24 Spiegelbuch Zwei senkrechte Spiegel, von denen einer um die senkrechte Achse gedreht werden kann. Je nach Einstellung des Winkels sieht man die auf dem Tisch liegende Figur unterschiedlich oft gespiegelt. Spiegelung Symmetrien SZB 1 Was der Spiegel alles kann! S. 40 Viel und wenig S. 41 Verdoppeln mit dem Spiegel S. 42 SZB 2 Spiegeln S. 82/83 SZB 3 Spiegelbilder S. 42/43 SZB 4 Spiegelbuch S. 34/35 SZB 6 Geobrett S. 34/35 7 (mathbuch 1) LU 25 Schmetterling und Propeller S. 54/55 (LU 20*) 8 LU 35.1 Quod erat demonstrandum S. 78/79 (Bild: Luzern KKL) * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Verkettung von Spiegelungen: Experimentieren mit unterschiedlichen Ausgangswinkeln Kaleidoskop 23

25 Symmetrische Buchstaben Halbe Buchstaben kann man zu ganzen reparieren, indem man sie vor einen Spiegel legt: Das Spiegelbild ersetzt den fehlenden Rest. Aus diesen Buchstaben kann man Wörter zusammensetzen: DIE DICKE HEXE. Symmetrie, Spiegelung Achsensymmetrie 7 (mathbuch 1) LU 25 Schmetterling und Propeller S. 52/53 (LU 20*) * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Kaleidoskop 24

26 Riesenkaleidoskop Stellt man sich ins Innere dieses verspiegelten Kastens, so sieht man sich selbst aus verschiedensten Richtungen unendlich oft gespiegelt. Symmetrie Spiegelung unendlicher Raum SZB 3 Mandala S. 115 SZB 4 Spiegelbuch S. 34/35 Mandalas S. 106 Verkettung von Spiegelungen; Drehung als Verkettung zweier Spiegelungen Parkette Mandalas Basteln eines Kaleidoskops 25

27 Quadrat-Puzzle Ein rechteckiger Rahmen lässt sich mit Quadraten unterschiedlicher Grösse auslegen. Fläche, Quadrat, Rechteck Zerlegungsproblem perfekte Zerlegung SZB 1 Falten, schneiden, legen S. 62 Längen messen und vergleichen S. 37 SZB 2 Tangram S. 34/35 SZB 3 Formen aus Quadraten S. 20/21 SZB 4 Geobrett: Symmetrie, Flächeninhalt S. 50/51 SZB 5 Gleicher Bruchteil andere Form S. 44/45 (Bilder als Puzzle) Künstler konstruieren S. 68/69 Ähnliche Flächen, Flächeneinteilungen, Vorstellungsvermögen Weiterführende Fragen: Mathematik und Kunst: Max Bill ( ), Schweizer Künstler der Kunstrichtung der Konkreten Kunst, experimentiert in seinen Bildern mit Flächen und Flächeneinteilungen. Siehe u.a. Auf den Spuren von Max Bill, Anita Lenz und Renate Pfendsack, fächerübergreifendes Projekt für das Schuljahr. 26

28 Känguru-Puzzle nach M.C.Escher Die Kängurus passen so gut zusammen, dass sie insgesamt ein grosses Muster (Parkett) bilden. Themen im Bereich Musterbildung mit geometrischen Figuren sind besonders für fächerübergreifende Projekte geeignet. So kann dieses Thema sowohl im Bildnerischen Gestalten, Geschichte (Islam), Kunst und Mathematik eingesetzt werden. Die Thematik ist für jede Schulstufe geeignet und kann verschiedenste mathematische Themen einbringen (z.b. Strahlensätze, Innenwinkel von regulären Vielecken, usw.). Parkettierung SZB 1 Falten, schneiden, legen S. 62 Mandala S. 107 SZB 2 Ornamente zeichnen S. 57 Legen und zeichnen S. 80 SZB 3 Formen aus Quadraten S. 20/21 Formen erkennen S. 44 Parkette mit regelmässigen Vielecken S. 45 Bänder und Ringe aus Formen S. 62 SZB 4 Geobrett: Symmetrien und Flächeninhalte S. 50/51 Zirkel S.78 Zeichenuhr S. 80 Mandalas S. 106 SZB 5 Ornamente S. 10/11 Zirkel und Geodreieck S.60/61 Künstler konstruieren S. 68/69 SZB 6 Ornamente S. 12/13 Künstler konstruieren S. 42/43 Kreismuster-Kreisornamente S. 66/67 7 (mathbuch 1) Bändelischule S. 40 bis 43 (--) 8 LU 20 Musterschule S. 44 bis 49 27

29 Penrose-Puzzle Aus den Figuren Drachen und Pfeile kann ein 10-eckiges aperiodisches (!) Muster gelegt werden. Die Figuren sind grosse Puzzleteile, so dass das entstehende Parkett nicht verrutscht. Periodische und aperiodische Parkettierungen Innenwinkel goldener Schnitt SZB 5 Ornamente S. 10/11 SZB 6 Ornamente S. 12/13 Kreismuster, Kreisornamente S. 66/67 8 LU 20 Musterschule S. 44 bis 49 LU 20.3 Die Parkette des Roger Penrose S. 49 Siehe auch unter Känguru-Puzzle nach Escher Die Drachen und Pfeile sind die beiden Teile eines Rhombus mit den Winkeln 72 und 108, dessen längere Diagonale im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt wurde. Aperiodische Parkette wurden erst in den 60-er Jahren des 20. Jh. entdeckt; das Penrose Parkett ist benannt nach seinem Entdecker Roger Penrose (Mathematik-Professor in Oxford). Themen im Bereich Musterbildung mit geometrischen Figuren sind besonders für fächerübergreifende Projekte geeignet. So kann dieses Thema sowohl im Bildnerischen Gestalten, Geschichte (Islam), Kunst und Mathematik eingesetzt werden. Die Thematik für jede Schulstufe geeignet und kann verschiedenste mathematische Themen einbringen (z.b. Strahlensätze, Innenwinkel von regulären Vielecken, usw.). 28

30 Wer kommt am weitesten raus? Dies ist ein Knobelspiel, bei dem es darauf ankommt, Steine so auf ein Podest aufzutürmen, dass ein Stein frei über dem Abgrund schwebt. Physik Statik harmonische Reihe SZB 1 bis 6 Denkschulen im Begleitband Die Originalität der Lösung kann die mathematische übertreffen! 29

31 Pythagoras zum Klappen Ein Beweis für den Satz des Pythagoras, der durch das Umklappen von Holzteilen veranschaulicht wird (Zerlegungsbeweis). Satz des Pythagoras Beweisführung 8 LU 12 Das Leben von Pythagoras S. 26/27 LU 13 Satz des Pythagoras S. 28/29 LU 14 Quadratwurzel S. 30/31 Flächenverwandlung; was steckt genau hinter dem Satz des Pythagoras Vergleiche auch das Exponat Pythagoras zum Wiegen Verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras (man kennt heute über 400!) 30

32 Pythagoras zum Wiegen Ein Beweis für den Satz des Pythagoras, der durch Wiegen von Quadraten, Sternen und Hasen veranschaulicht wird. Satz des Pythagoras Beweisführung 8 LU 12 Das Leben von Pythagoras S. 26/27 LU 13 Satz des Pythagoras S.28/29 LU 14 Quadratwurzel S. 30/31 Vergleiche auch das Exponat Pythagoras zum Klappen 31

33 Lights on Wenn man auf einen Schalter drückt, ändert sich der Zustand von drei der sieben Lampen: Wenn eine aus war, geht sie an und umgekehrt. Ziel ist es, alle sieben Lampen zum Leuchten zu bringen. Wie viele Schalter müssen mindestens gedrückt werden, um alle Lampen von aus zu ein zu bringen? Kombinatorik SZB 5 Kriminalpolizei S. 94/95 SZB 6 Wahrscheinlich zufällig S. 86/87 7 (mathbuch 1) LU 33 Domino Triomino S. 70/71 (LU 31*) 8 LU 7 Chiara AHA S.16/17 LU 33 Gewinnen S. 74/75 9 LU 13 Roulette S. 28/29 9+ LU 12 Zahlenlotto S. 26/27 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Zum Thema Kombinatorik findet man ab dem SZB1 verschiedene Lernumgebungen. Weiterführende Fragen: Wie viele Versuche brauchst du? Wie kannst du dein Vorgehen optimieren? Funktioniert das Exponat auch mit 8, 9, 10 oder mehr Lampen? Oder mit weniger als 7? Was muss beachtet werden und wie viele Schalter müssten jeweils gedrückt werden? Programmierte Homepage zum benutzen, von Martin Lacher, PHZ: Lights on zum selber machen.(dankeschön!) 32

34 Soma-Würfel, Würfelpuzzletisch Der Soma-Würfel besteht aus sieben Teilen mit verschiedenen Würfeldrillingen und Würfelvierlingen (27 Einheitswürfel). Diese lassen sich zu einem 3x3 Würfel zusammensetzen; es gibt 240 verschiedene Lösungen! Es gibt viele verwandte Würfelpuzzles mit weniger oder mehr Lösungsmöglichkeiten. Einer hat nur eine einzige Lösung wer findet sie? Einheitswürfel Volumen Kubikzahlen Würfelgebäude Mit Würfeln bauen: Java-Applets unter Würfelzusammensetzungen SZB 3 Mit Würfeln bauen S. 52 S. 97 SZB 4 Bald ist Weihnachten S. 108/109 SZB 5 Körper aus Würfeln S. 82/83 SZB 6 Quader S. 58/59 7 (mathbuch 1) LU 13 Kopfgeometrie S. 28/29 (LU 13*) LU 14 Mit Würfeln Quader bauen S. 28/29 8 LU 17 Würfelgebäude S. 37 * Die LU in Klammern entsprechen der neuen Überarbeitung mathbuch 1 Weiterführende Fragen: Das Experimentieren mit dem Soma-Würfel und ähnlichen Würfelpuzzles schult das Vorstellungsvermögen. Die Tatsache, dass der Soma-Würfel 240 mögliche Zusammensetzungen hat, lädt ein, verschiedene Zusammensetzungen zu finden und diese zu vergleichen: wie kann man erkennen, ob sich die neue Lösung von den bisher gefundenen unterscheidet? Welches Problemlöseverfahren eignet sich? Was kann beobachtet werden? Worin unterscheidet sich der Conway-Würfel von den anderen Würfeln? 33

35 Platz da! Auf dem Spielfeld blockieren sich die Autos gegenseitig. Durch strategisches Vorgehen kann der Weg frei geräumt werden. Orientierung im Raum Strategisches Vorgehen Problemlöseverhalten Vorstellungsvermögen Planlesen Soziales Lernen; Kooperation Denkschule Ab ZB 1. Klasse Um Mathematik erfolgreich betreiben zu können braucht es Grundlagen. Zu diesen gehören Vorstellungsvermögen, Orientierungsfähigkeit, Problemlöseverhalten und die Fähigkeit Strategien zu entwickeln. Auch das Kooperieren muss gelernt und geübt werden. Mit diesem Übungsspiel werden solche Inhalte aufgegriffen. Rush hour als Tischspiel im Handel erhältlich. Weiterführende Fragen: Kann in die Kopfgeometrie übertragen werden. Zeichne einen oder mehrere Lösungswege aus dem Kopf auf. Finde möglichst kurze Wege. Finde den kürzesten Weg. 34

36 Schach anders Ein Schachbrett und 8 Damen: Wie können die 8 Damen auf dem Schachbrett so aufgestellt werden, dass keine von ihnen eine der anderen sieben schlagen kann? Es gibt 12 Lösungen! Vorstellungsvermögen Problemlöseverfahren Backtracking-Verfahren SZB 1 bis 6 Denkschulen im Begleitband Die Schachbrettaufgaben eignen sich ausgezeichnet für die Begabungsförderung. Sie schulen das Problemlöseverhalten. Es gibt Aufstellaufgaben wie die vorliegende, Wegprobleme (kürzester Weg oder Springerproblem nach Leonhard Euler), Zerlegungsaufgaben, u.a. Weiterführende Fragen: Übertrage die Aufgabe auf andere Schachfiguren: Wie viele Türme, Springer ( Rössli ), Läufer oder Könige kannst du maximal aufstellen, ohne dass sie sich gegenseitig bedrohen? Kehre die Aufgabe um: Kannst du 5 Damen so auf dem Schachbrett aufstellen, dass sie das ganze Feld kontrollieren? Wie viele Türme, Springer, Läufer oder Könige bräuchtest du mindestens um das ganze Feld zu kontrollieren und wie müsstest du diese aufstellen? 35

37 Kleines Euler-Kabinett (1) Euler-Quadrate (1) (3) Das Offiziersproblem der 36 Offiziere ist eines der ältesten Probleme der Kombinatorik. Es wird berichtet, dass Leonhard Euler ( ), der ab 1766 in St. Petersburg arbeitete, von der Zarin Katharina der Grossen die folgende Aufgabe erhielt: Beim grossen Divisionsball sollen von jedem der sechs anwesenden Regimenter je ein Offizier der sechs verschiedenen Dienstgrade zur Feier des Tages so im Quadrat aufgestellt werden, dass in jeder Reihe und in jeder Spalte genau ein Offizier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht. Das Exponat Euler-Quadrate (2) verwendet Spielsteine aus dem Spiel Qwirkle (Spiel des Jahres 2011, Schmidt). Die Spielsteine können ebenfalls für das Offiziersproblem verwendet werden. Magische Quadrate Lateinische Quadrate Kombinatorik SZB 1 Zauberquadrate S. 94/95 SZB 2 Gerade und ungerade Zahlen S. 109 SZB 3 Magisches Quadrat S. 18/19 SZB 5 Zahlenquadrate S. 80/81 SZB 6 Zahlenquadrate S. 98/99 Leonhard Euler ( ) gilt als einer der grössten Mathematiker aller Zeiten. In seinen letzten Lebensjahren beschäftigte er sich mit den verschiedenen Möglichkeiten magischer Quadrate. Eine besondere Problemstellung war, aus 2 Sätzen von jeweils n Symbolen Kombinationen derart anzuordnen, dass in keiner Spalte oder Zeile ein Symbolpaar doppelt vorkommt. Da Euler Buchstaben des griechischen und lateinischen Alphabets verwendete, sind solche Gebilde auch als griechisch-lateinische Quadrate bekannt. Wie sich erst im Laufe der Zeit herausgestellt hat, gibt es Lösungen dieser Aufgabe für alle natürlichen Zahlen ausser n=2 und n=6! Ausgehend vom 4x4 Quadrat können Lösungen für 8x8 Quadrate, 12x12 Quadrate etc. gesucht werden; aus 3x3 Quadraten und 5x5 Quadraten lassen sich Lösungen finden für alle Quadrate mit ungeradem n. Veritable Knacknüsse sind die Quadrate mit n=10, 14, bzw. alle n, die kein Vielfaches sind von 4! Die kombinatorische Grundidee von Sudoku basiert auf diesen Euler-Quadraten. Ein korrekt ausgefülltes Sudoku ist ein lateinisches Quadrat der Ordnung 9 mit der Zusatzbedingung, dass neun 3x3-Teilquadrate ebenfalls alle 9 Ziffern genau einmal enthalten. Die Bearbeitung von Knobelaufgaben fördert das Vorstellungsvermögen und das Problemlöseverhalten von Schülerinnen und Schülern. Der Wechsel von Sichtweisen und das Angehen von ungewohnten Problemen steigern die Flexibilität im Umgang mit mathematischen Problemen. Die Denkschulen in den Begleitbänden zu den Zahlenbüchern 1 bis 6 bieten eine Fülle solcher Knobelaufgaben 36

38 Kleines Euler-Kabinett (2) Grafentheorie Topologie Das Königsberger Brückenproblem Gibt es einen Rundweg, der jede der sieben Brücken von Königsberg nur genau einmal benutzt? Diese Frage beschäftigte einige Königsberger im 18. Jahrhundert. Der geteilte Fluss Pregel bildete in ihrer Stadt eine Insel - sieben Brücken verbanden die Insel und die Quartiere am Fluss miteinander. Leonhard Euler löste dieses topologische Problem nicht durch Versuche, sondern durch Abstraktion mit sogenannten Grafen: Punkten (Ecken), die durch Strecken (Kanten) verbunden sind. Vier Ecken entsprechen den vier Stadtteilen, sieben Kanten den sieben Brücken. Euler zeigte auf, dass der Rundweg nicht möglich war, da zu allen vier Gebieten von Königsberg eine ungerade Zahl von Brücken führte. Diese Methode begründete die moderne Grafentheorie, die in vielen Bereichen, etwa in der Logistik, bei Navigationssystemen oder in der Ökonomie zur Anwendung kommt. Bekanntes Beispiel für einen gelingenden Rundweg ist das Haus des Nikolaus : man kann das Haus mit Dach in einem Zug (Rundgang) zeichnen, dass von Ecke zu Ecke keine Linie zweimal gezogen werden muss. Bezogen auf einen beliebigen Grafen gilt: Die Anzahl der von einer Ecke ausgehenden Kanten muss gerade sein, mit höchstens zwei Ausnahmen. Weiterührende Fragen: Zeichne das Haus des Nikolaus in einem Zug. Finde andere Figuren, die du in einem Zug zeichnen kannst (suche einfache und schwierigere!). Finde Figuren, die du nicht in einem Zug zeichnen kannst. Findest du eine Regel, wann es geht und wann nicht? Versuche deine Regel zu begründen. 37

39 Kleines Euler-Kabinett (3) Euler sche Formel (Polyederformel) Die Eulersch e Polyederformel e k + f = 2 gilt für alle konvexen Polyeder! Das Exponat ermöglicht, eine mathematische Formel spielerisch und handlungsorientiert zu verstehen und vielleicht auch die überraschende Schönheit des Ergebnisses wertzuschätzen. Meist ist es gerade die formale Sprache der Mathematik, die abschreckt und unverständlich bleibt. Flächen und Körper Platonische Körper Archimedische Körper Topologie SZB 4 Regelmässige Körper S. 107 Ecken, Kanten, Flächen, Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder Die Euler sche Polyederformel (oder Polyedersatz) beschreibt eine fundamentale, universell gültige Eigenschaft von vielflächigen Körpern (Polyedern) und gehört zu den bekanntesten Entdeckungen Leonhard Eulers. Sie gilt nicht nur für die wenigen regelmässigen Polyeder, sondern auch für alle unregelmässigen (konvexen) Polyeder. Sie lässt sich ebenfalls beim klassischen Lederfussball (heute immer weniger verwendet...) überprüfen: e = 60, k = 90 und f = 32 also =2! Vgl. auch das Exponat Körper zum Selberbauen Polydrontisch Weiterführende Fragen Welches sind die 13 archimedischen Körper? Gilt die Formel für alle Fantasie -Körper, auch für die konkaven? Von mehreren Schülerinnen und Schülern verschiedene Körper zusammensetzen lassen und Ergebnisse austauschen 38

40 Hinweise: Mathematik zum Anfassen, 50 mathematische Experimente, hands on hearts on minds on, Albrecht Beutelspacher Ausstellungskatalog des Mathematikums Giessen Am Büchertisch in der Ausstellung erhältlich Mit Flächen bauen mit Flächen lernen, Flächen transparent und CD-Rom mit Arbeitsmaterialien und Informationsbroschüre, 7. bis 9. Schuljahr, Klett und Balmer Verlag Zug, CHF 99.- (in blau, grün, gelb und weiss erhältlich) Am Büchertisch in der Ausstellung erhältlich Zahlen, Spiralen und magische Quadrate, Kristin Dahl/ Sven Nordquist Am Büchertisch in der Ausstellung erhältlich Alles ist Zahl Buch zu den Bildern von Eugen Jost Ev am Büchertisch in der Ausstellung erhältlich Auf den Spuren von Max Bill, fächerübergreifendes Projekt, 6. bis 8. Schuljahr, Infos bei 39