Implementation und Test eines Optimierungsverfahrens zur Lösung nichtlinearer Gleichungen der Strukturmechanik

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1 Bauhaus-Universität Weimar Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Strukturmechanik Diplomarbeit Implementation und Test eines Optimierungsverfahrens zur Lösung nichtlinearer Gleichungen der Strukturmechanik zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Ingenieur eingereicht von: Sebastian Wolff geb. am in Rostock Seminargruppe: B/99/F Matrikelnummer: Reg.-Nr. B/2005/93 Erstprüfer: Zweitprüfer: Ausgabedatum: Abgabedatum: Prof. Dr. techn. Christian Bucher Dr.-Ing. Dirk Roos

2 Meinen Eltern

3 I Aufgabenstellung Implementation und Test eines Optimierungsverfahrens zur Lösung nichtlinearer Gleichungen der Strukturmechanik In weggrößenorientierten Verfahren der Strukturmechanik führen die statischen oder dynamischen Gleichgewichtsbedingungen auf große gekoppelte nichtlineare Gleichungssysteme. In vielen Fällen werden diese Gleichungssysteme iterativ auf der Grundlage des Newton schen Näherungsverfahrens gelöst. Die Gleichungen konnen alternativ als Karush-Kuhn-Tucker- Bedingungen eines Optimierungsproblems aufgefasst, und daher mit Verfahren der mathematischen Optimierung gelöst werden. Die Arbeit soll sich zunächst mit den Grundlagen der Problemformulierung als Optimierungsaufgabe auseinander setzen, und dabei speziell die Anforderungen aus Werkstoffnichtlinearitat und Kontakt untersuchen. In weiterer Folge ist ein Optimierungsalgoritmus innerhalb der Softwareumgebung SL ang zu implementieren, der die in der Strukturmechanik typische schwach besetzte Struktur der Hessematrix ausnutzt. Dabei ist insbesondere das Konvergenzverhalten des Algorithmus zu untersuchen und möglichst gut einzustellen. Die Implementation soll anhandvonbeispielen aus der Statik unddynamik großer Systeme getestet unddie Resultate hinsichtlichihrer Genauigkeit anhandvon Alternativlösungen (z.b. aus expliziten Verfahren) verifiziert werden. Die potenziellen Anwendungsgebiete des entwickelten Algorithmus sind aufzuzeigen, und die Effizienz des Verfahrens ist zu bewerten. Conceptual Formulation Implementationand Testofan OptimizationMethod SolvingNonlinear Equations of Structural Mechanics In displacement oriented methods of structural mechanics may static and dynamic equilibrium conditions lead to large coupled nonlinear systems of equations. In many cases they are solved iteratively utilizing derivatives of Newton s method. Alternatively, the equations may be expressed in terms of the Karush-Kuhn-Tucker conditions of an optimization problem and, therefore, may be solved using methods of mathematical programming. To begin with, the work should deal with the fundamentals of the formulation as optimization problem. In particular, the requirements of material nonlinearity and contact situations shall be analyzed. Proximately, an algorithm shall be implemented which utilizes the usually sparse structure of the Hessian matrix, whereby particularly the convergence behaviour shall be analyzed and adjusted. The implementation shall be tested using examples from statics and dynamics of large systems. The results are verified considering the accuracy comparing alternative solutions (e.g. explicit methods). The potential areas of application are to be shown and the efficiency of the methods shall be evaluated.

4 CONTENTS II Contents Conceptual Formulation Contents Symbols and Notations I II V 1 Introduction Motivation Objectives Nonlinear Optimization Unconstrained Optimization Introduction Convergence Damping Descent Methods Quasi-Newton Methods Limited Memory BFGS Matrices L-BFGS-B Test Problems Constrained Optimization Introduction Sequential Unconstrained Minimization Methods (SUMT) Sequential Quadratic Programming (SQP) Implementation LBFGSAL LSQP Test Problems Final Remarks Nonlinear Finite Element Method Fundamentals of Continuum Mechanics Kinematics Kinetics

5 CONTENTS III Constitutive Equations Incremental Principle of Virtual Displacements Finite Element Discretization Classical Solution Methods Time Integration Newmark Method Central Differences Minimization of the Mechanical Energy Principle of Stationarity Nonconvexities Formulation of the Optimization Problem Preconditioning Convergence Criteria Nonlinear Materials Incremental Formulation of the Strain Energy Density Approximation for General Materials Frictionless Contact Formulation Contact Search Convergence Criteria Test Examples Elastic Cantilever Beam Elastoplastic Cantilever Beam Contact Problems Patch Test Falling Cubes Prestrained Pin Discussion Summary and Conclusions 101 Bibliography 105

6 CONTENTS IV List of Figures 107 List of Tables 108 List of Algorithms 109 A SL ang the Structural Language 110 B Tables 111 C API 117 C.1 LBFGSALC Declaration 118 Theses 119